I. BÖLÜM
1.6. İNTEGRAL KAVRAMININ TARİHSEL GELİŞİMİ
Genel Matematik dersinde, matematiksel sonuçların arka planındaki tarihsel süreç sıklıkla ihmal edilmekte ve önemsenmemektedir. Genel Matematikte kavramlar arası sebep sonuç ilişkileri son derece önemlidir. Öğrenciler metotların orijinalindeki temel anlayışa sahip olmadıklarından, niçin hangi tekniğin kullanılması gerektiği konusunu anlamada eksiklikler yaşamaktadırlar. Bu bölümde integral kavramı için anlamlı matematiksel ayrıntıları içeren tarihsel bir yol keşfedilmeye çalışılmıştır.
Bir bilim dalında, onun meydana gelmesine sebep olan yollar üzerine çalışmanın gerekliliği tartışılmazdır. Archimedes, Cavalieri, Wallis, Leibniz, Newton, Fourier, Gauss, Liouville, Risch gibi ünlü matematikçilerin integralin temel metotlarının ortaya çıkmasında önemli katkıları olmuştur.
Thomas (1991), Archimedes’ i şu şekilde tanıtmaktadır.
Archimedes (287-212 M.Ö.) Akdeniz kıyılarında yaşamış, Yunanlılar arasında modern matematiğin temelinin atıldığı milattan önce beşinci yüzyıl ve milattan sonra ikinci yüzyıl zaman diliminin en büyük matematikçisidir. Yaklaşık 2.000 yıl önce Arşimet paraboloid, koni ve küre gibi bazı katı (üç boyutlu) nesnelerin hacmi ve yüzeylerin alanını formüle edebilmiştir. Onun integrasyon metodu, o zamanlarda, modern cebir, fonksiyon kavramı hatta sayıların ondalık kesirlerle gösterimi bilinmemesi dikkate alındığında oldukça dikkati çekmektedir. Archimedes’in bulduğu alan ve hacim formüllerini limit kavramı üzerine kurulu yöntemlerle elde etmediği daha değişik yöntemleri kullandığı düşünülmüştür. 1906 yılında Archimedes’in eski zamanlardan beri kayıp olan The Method isimli bilimsel eseri tesadüfen bulunmuştur. Bu eserde, matematik analizin icadı ve araştırılmasında kullanılan sonsuz küçük kavramını kullanarak bir keşif metodu tarif edilmiştir. Archimedes'in en parlak matematik başarılarından biri de, eğri yüzeylerin alanlarını bulmak için bazı yöntemler geliştirmesidir. Bir parabol kesmesini dörtgenleştirirken sonsuz küçükler hesabına yaklaşmıştır. Sonsuz küçükler hesabı, bir alana tasavvur edilebilecek en küçük parçadan daha da küçük bir parçayı matematiksel olarak ekleyebilmektir. Bu hesabın çok büyük bir tarihî değeri vardır. Sonradan modern matematiğin gelişmesinin temelini oluşturmuş, Newton ve Leibniz'in bulduğu diferansiyel ve integral hesap için iyi bir temel oluşturmuştur.
İntegralin keşfindeki esaslar yaklaşık 1635 yılında bir İtalyan matematikçi olan Cavalieri tarafından ortaya konulmuştur. Cavalieri’nin çalışması, bir eğrinin
hareketli noktalarla ve bir alanın hareketli doğrularla çizilebileceğini öne süren bir düşünceye dayanmaktadır. Cavalieri, bölünmezlik olarak adlandırdığı, hareketli noktanın geometriksel anlamı ile uğraşmayı amaçlamıştır. Cavalieri’ye göre, bir hareketli nokta ile bir eğri çizilebiliyorsa, bir eğri bu noktaların toplamıdır. Bu düşünce ile, her bir eğri sonsuz sayıda noktadan oluşmaktadır ve bölünemez. Ayrıca, sonsuz sayıda çizginin oluşturduğu alan da bölünmezlikle ile açıklanabilir. Cavalieri, sonsuz küçük açısından geometrik figürleri dikkate alan ilk kişi olmamasına rağmen alan hesaplamada bu kavramı ilk kez kullanmıştır (Ginsburg vd. , 1997).
Cavalieri’nin metoduna giriş yapmak amacı ile bir üçgenin alanını bulmaya çalışalım. Bilenen bir gerçektir ki, bir üçgenin alanı aynı taban ve yüksekliğe sahip bir dikdörtgenin alanının yarısına eşittir.
Şekil 1.1. Dikdörtgen
5 1 2 3 4 5
6
Şekil 1.1’deki dikdörtgenin tabanı 6, yüksekliği 5 birime ayrılmıştır (A=a.h, yani dikdörtgenin toplam alanı 30 birim karedir.) Taralı bölgenin alanı (dikdörtgensel bölgelerin alanları toplamı) kolayca dikdörtgenlerin alanları toplanarak bulunabilir.
Taralı Bö lg enin Alanı 0 1 2 3 4 5 15 1
Dikdörtgenin Alanı 5.6 30 2
+ + + + +
= = =
Aynı yöntem kullanılarak, büyük dikdörtgenin içine çok daha fazla dikdörtgenler yerleştirebiliriz.
Taralı Bö lg enin Alanı 0 1 2 ... 10 55 1
Dikdörtgenin Alanı 10.11 110 2
+ + + +
= = =
İçteki dikdörtgensel bölgelerin oluşturduğu alanların toplamının büyük dikdörtgenin alanına oranı her zaman 1
2 sayısına eşit olmaktadır. Biz bunu toplam sembolü ile gösterebiliriz.
n i 0 n(n 1) i 0 1 2 ... n 2 = + = + + + + =
∑
n i 0
1
i n(n 1)
Taralı Bö lg enin Alanı 2 1
Dikdörtgenin Alanı n(n 1) n(n 1) 2
= +
= = =
+ +
∑
Böylece Cavalieri integral analizin oluşmasında son derece önemli bir adımı atmış olmaktaydı. O bölünmezlik kavramını kullanarak, sonsuz sayıda taralı bölgeyi hayal etti. Gittikçe bu taralı bölgelerin bir çizgiye dönüştüğünü gördü. Böylece gölgeli bölge bir üçgene dönüşmüş oldu (Ginsburg vd. , 1997).
Wallis, Aritmetica infinitorum'un yazarıdır. Uygulamaya çalıştığı eskiçağın geometrisi değil, yeni aritmetica (cebir) idi. Bu süreçte cebiri gerçek bir analize doğru genişleten ilk matematikçidir. Sonsuz süreçlerle ilgilenme yöntemleri genellikle incelikten yoksun olsa da, yeni sonuçlara ulaşmıştır. Sonsuz serileri ve sonsuz çarpımları ilk kez kullanmıştır (Mat-Der, 2003).
Wallis ve Fermat integralin modern kavramı için bir ön hazırlık oluşturmalarına rağmen integral ve türev arasındaki ilişkiyi tanımlayamamışlardır. Bu düşünce eş zamanlı olarak Leibniz ve Newton tarafından keşfedilmiştir. Onların anahtar düşünceleri, türev, integral ve bunların birbirlerine dönüşümüydü. Bu sembolik bağın kullanımı ile matematik, fizik ve astronomideki sayısız problemleri çözebilmişlerdir.
J. B. Fourier (1768-1830), fonksiyonu temsil eden trigonometrik terimler serisi ile ısı iletimi üzerine çalışmıştı. Fourier serileri ve integral dönüşümü uygulamaları bugün de müzik, dilbilim ve tıp gibi birçok alanda kullanılmaktadır.
Gauss (1777-1855) integralin ilk tablosunu oluşturmuştur ve birçoklarıyla matematik ve fizik’te integrali uygulamaya devam etmiştir. Cauchy (1789-1857) karmaşık bölgelerde integral almıştır. Riemann (1826-1866) ve Lebesgue (1875- 1941) belirli integrali bu mantıksal yapıya yerleştirmişlerdir.
Liouville (1809-1882), temel fonksiyonların belirli integralinin de tekrar bir temel fonksiyon olduğunun cevabını bulmuş ve yapısal integral için bir yapı(çatı) inşa etmiştir. Hermite (1822-1901) rasyonel fonksiyonların integrali için bir algoritma bulmuştur. 1940’larda A. M. Ostrowski, logaritmayı da içeren rasyonel ifadeler için bu algoritmayı genişletmiştir.
20. yy’da bilgisayarların devreye girmesinden önce, matematikçiler, integrasyon teorisi geliştirip onu integral dönüşümleri ve integrallerin yazım
tablolarına uyguladılar. Bu matematikçiler içinde G. N. Watson, E. C. Titchmarsh, E. W. Barnes, H. Mellin, C. S. Meijer, W. Grobner, N. Hofreiter, A. Erdelyi, L. Lewin, Y. L. Luke, W. Magnus, A. Apelblat, F. Oberhettinger, I. S. Gradshteyn, H. Exton, H. M. Srivastava, A. P. Prudnikov, Ya. A. Brychkov ve O. I. Marichev sayılabilir.
1969’da H.Risch, temel fonksiyonların integrasyonunda genel teori ve pratik üzerine yaptığı çalışmada, belirsiz integrallerin algoritması için büyük bir buluş gerçekleştirdi. Onun algoritması, zor bir diferansiyel denklemin çözümüne ihtiyaç duyana kadar, temel fonksiyonların bütün sınıflarında otomatik olarak uygulanamıyordu. Temel fonksiyonların çeşitli kümeleri için algoritmiksel bu denklemin işlemiyle uğraşana kadar çaba sarfetti. Bu çabalar Risch şemasının algoritmasının gittikçe artarak tamamlanmasını sağladı.1980’lerde bazı ilerlemelerle, özel fonksiyonların bazı sınıflarında bu metot geliştirildi (Wolfram Research, 2007).