İkinci Örnek Olaya İlişkin Bulgular

İkinci örnek olayda, öğrenciler aynı alana sahip iki şeklin aynı çevre uzunluğuna sahip olacağını düşünmelerinden hata yapmışlardır. Başka bir deyişle, bu örnek olayda öğrencilerin yanlış cevabının ardında “alan değişmediği için çevre uzunluğu da değişmez.” şeklinde bir kavrayış vardır. Öğrenciler, bir şeklin parçalara ayrılıp aynı parçalar kullanılarak oluşturulan yeni şeklin çevre uzunluğunun değişmediğine inanmaktadırlar. Öğrencilerin çevre uzunluğunun değişebilirliği konusunda kavram yanılgıları vardır (Şişman ve Aksu, 2009). Öğrenciler. bir şeklin parçalarına ayrılıp, aynı parçalar kullanılarak oluşturulan yeni şeklin alanı değişmediği için çevre uzunluğunun da değişmediğini düşünmektedirler (Hart, 1998).

Daha önceki bölümde bahsedildiği üzere, görüşmelerde beş öğretmen adayı da örnek olaydaki öğrencilerin hatasını tespit etmişledir. Bu hatanın kaynağını 2, 3, 4 ve 5 numaralı öğretmen adayları alan ile çevrenin karıştırılması olarak ifade ederken 1 numaralı öğretmen adayı ise ekleme-çıkarma yapılmazsa çevre uzunluğu değişmez şeklinde bir düşüncenin olduğunu ifade etmiştir. Daha sonra görüşmelerde, öğretmen adaylarından öğrencilerin sahip olduğu bu kavram yanılgısına çözüm sunmaları istenmiştir.

Öğretmen adayları, sundukları çözüm önerilerinde iki farklı öğretim yaklaşımı kullanmışlardır. Öğretmen adaylarının sundukları çözüm önerilerinde kullandıkları öğretim yaklaşımları Tablo 4.9‟da verilmiştir.

Tablo 4.9. Öğretmen adaylarının ikinci örnek olaya ilişkin sundukları çözüm önerilerinde kullandıkları öğretim yaklaşımları

Yukarıdaki tabloda görüldüğü gibi, dört öğretmen adayı öğrencinin yaptığı hatayı bizatihi kendisine fark ettirmeye çalışırken 5 numaralı öğretmen adayı ise bilgilerini doğrudan öğrencilere sunmayı tercih etmiştir. Öğretmen adaylarının çözüm önerileri kategoriler esas alınarak ayrıntılı bir şekilde aşağıda verilmiştir.

1 numaralı öğretmen adayı öğrencilerdeki kavram yanılgısının çözümüne ilişkin görüş ve düşüncelerini şu şekilde açıklamıştır:

G: Öğrencilerin sahip olduğu bu tarz kavrayışı düzeltmek için nasıl bir dönüt verirdiniz?

Öa1: Cetvelle de ölçüm yapmasını isterim. Tahtaya çizerim; gel bakalım cetvelle ölç kenarları. Kenarlar burada 10 ise burada 10 olmayacaktır. Cetvelle de ölçerek farkı görmesi sağlanabilir. İki şeklin çevresi de aynıdır, dedikleri zaman ikisini ayrı ayrı tahtaya çizerim. İkisinin de çevre uzunluğu aynı. Çevre uzunluğumuz neydi. Bütün kenarların toplamıydı. Cetvelle ölçerler bakarlar ki çevre uzunlukları aynı çıkmıyor. Hem kendileri cetvelle ölçmüş olurlar. Hem de kendileri görmüş olurlar. Peki, eşit mi çıktı sonuçta derim. Daha sonra da örneklerle pekiştiririm.

2 numaralı öğretmen adayı, çevre uzunluğunun alandan bağımsız olarak değiştiğini kâğıt katlayarak ve cetvel ile ölçüm yaparak göstermeye çalışmıştır. Öğretmen adayı düşüncelerini aşağıdaki şekilde açıklamıştır:

Kategoriler Öğretmen adayları

Bilişsel Çatışma Öa1, Öa2, Öa3, Öa4

“Şimdi 6 ya 6 kare şeklinde bir kâğıt keselim. Bunun çevresi nedir, derim. Öğrenciler 24 derler. Daha sonra bunu tam köşegenden katlayalım. Katladıktan sonra çevresi ne oldu ölçelim derim. 6 burası 6 burası dedim, ne etti? 12 etti. Bir de bu kenar var. Katlanınca demek ki çevresi 18‟i geçiyor. Ama sizin dediğinize göre, öğrencilerin dediğine göre, bunun ne yapması lazımdı. 12 etmesi, 24 ün yarısı yapması lazımdı. Yalnızca bunun iki kenarı zaten 12 ediyor. Diğer kenarı daha hesaba katmadan zaten 12 ediyor. Öğrenci, alan yarıya düşmesine rağmen çevrenin yarıya düşmeyeceğine bu şekilde ölçerek görecektir.” (öa2)

Şekil 4.27. 2 numaralı öğretmen adayının ikinci örnek olaya ilişkin çözüm önerisinde bulunurken kullandığı kâğıt parçaları

3 ve 4 numaralı öğretmen adayları ise öğrencilerin hatalarını kendilerinin görmesi için örnek olaydaki gibi önce kare şeklinde kâğıtlar keserek çevre uzunluklarını öğrencilere buldurmuşlardır. Daha sonra kare şeklindeki kâğıt parçalarını keserek örnek olaydaki 4. şekli elde etmişlerdir. Elde edilen bu şeklin çevre uzunluğunu öğrencilere buldurarak çevre uzunluğunun artacağını öğrencilere izah etmişlerdir. 3 ve 4 numaralı öğretmen adayları düşüncelerini şu şekilde ifade emişlerdir.

“Her bir kenarı 8 cm‟lik kare şeklinde bir kâğıt kestirdik. Önce çevreyi ölçtürdük. 32 çıktı. Sonra hocanın soruda kestiği gibi keserim. 4. şekili şu şekilde elde ederiz. Şimdi bir daha ölçtürecem. Burası da 4, şurası da 4. Bunları öğrenci ölçüyor. İlk başta ölçmüş 32 bulmuştu o duruyor. Artık Pisagor bilmesi lazım. Tek tek ölçtü, şimdi onları toplar. Bunun çevresi ondan büyük çıktı. Diğeri 32 idi. Bu ne yaptı 16 artı sekiz kök beş yaptı. Kök beşin ikiden büyük olduğunu bilmesi lazım Bu şekilde yaşayarak ölçtürerek bunun bundan büyük olduğunu görmesini sağlayacağız.”(öa3)

Şekil 4.28. 3 numaralı öğretmen adayının ikinci örnek olaya ilişkin çözüm önerisindeki yazımı

“Mesela bu şekilde bir kare kestim. Çevresi ne kadar dedim. Ölçtü 32 dedi. Önce bu şekli böyle koydum. 32 yazdırdım. İlk adım buydu. İkinci adım, dedim ki bu uzunluğu kes ortadan ikiye, şu şekilde ortadan ikiye kes. Sonra dedim ki köşegenden kes. Örnek olaydaki aynı adımları yapmasını sağlıyorum. Bu şekilde birleştirdiğinde aynı olduğunu görüyor. Sonra dedim ki bunu buraya al bu şekli, bu şeklide buraya al. Aynı mı oldu? Öğrenci bu şekil ile kare şeklindeki şeklin aynı çevre ye sahip olduğunu düşünüyor. Eğer dik üçgeni bilirse yapması gereken şu üçgenlerin kenar uzunluklarını bulmak bu sefer burası 8, burası 4, burası ne olur? Karekök seksen hepsinden büyük olur. Uzunluğu bulmasını isterim. Bir kere hipotenüsün 8‟den büyük olduğunu öğrencinin bulması gerekir. Önceki bilgilerinden bilirse, burası 8 den büyük olduğunu görür. O zaman da hesaplar 8 den büyükse burası da 8 den büyük. O zaman bu 32 den daha büyük bir şekil oldu. O zamanda bu çevre uzunluğu daha uzun değildir. Çevre uzunluğu daha büyüktür der. Bu şekilde bulmasını sağlayabiliriz. Öğrencinin kendine sorular sorarak, niye aynı oldu? Bu 8 birim mi? öğrenciye bunları sormak lazım. Burada önemli olan bu uzunluğun (hipotenüsun) sekizden büyük olduğunu bilmesi yani hipotenüsün formülünden buranın böyle olduğunu görmesini sağlarım.”(öa4)

Dört öğretmen adayının yukarıdaki açıklamaları dikkatlice incelendiğinde görülecektir ki öğretmen adayları, öğrencilerin bilişsel çatışma yaşamaları için iki şeklin çevre uzunluklarını ölçüp kontrol etmelerini istemektedirler. Bu tarz bir yaklaşımla öğretmen adayı, öğrencileri kendi yorumlarında var olan tutarsızlıkla yüzleştirerek doğru kavrayışı benimsemelerine yardımcı oldukları söylenebilir.

5 numaralı öğretmen adayı ise çözüme ilişkin görüş ve düşüncelerini ise şu şekilde açıklamıştır

Şekil 4.29. 5 numaralı öğretmen adayının ikinci örnek olaya ilişkin çözüm önerisinde bulunurken yaptığı çizimler

“Öğrenciye şunu anlatırım, uzunluğu 4 olan kenar içeri girdi, uzun olan kenar dışarı çıktı. Bu zamana kadar üçgenleri görüyorlar sanırsam, üçgenlerde şunu da görüyorlar. Herhangi bir üçgen aldıklarında (şekil 4.29) şuraya a, şuraya b, şuraya c dersek a+b>c>a-b bu mantıktan giderlerse bir kere şurasının uzunluğu (hipotenüsün uzunluğu) 6‟dan küçük, farkları olan 2‟den de büyük bir sayıdır. 2 ile 6 arasında bir sayıdır. Şunu da göstereceğim öğrenciye, burası dik kenar, bu zamana kadar bunu da görüyorlardır. Şuraya A, şuraya B, şuraya C dersem A açısı, B açısı, C açısı. Açıya göre eğer açı sıralaması A büyük, B büyük, C büyükse aynı şekilde kenar uzunlukları da büyük açının gördüğü kenar büyük kenardır. Sıralamada bu şekildedir diye biliyorlar. Öğrenci bunu biliyorsa bu üçgende en büyük açı 90 derece haliyle en büyük kenar da budur. Yani 4‟ten de, 2‟den de büyük olmak zorundadır. Haliyle buradaki uzunluk (hipotenüsün uzunluğu) da 4‟ten büyüktür, şurasının 4 olduğunu görüyor çocuk, ilk kağıtta burasının da 4 olduğunu, bütün kenarın 4 olduğunu biliyor yalnız fark bu ikisi 4‟ken bu ikisi 4‟ten büyük, haliyle çevre uzunluğu arttı, ama alan değişmedi. Ben ne

yaptım, şeklin bakan yönünü değiştirdim. Bakın çocuklar alan değişmedi diye ispatlıyorum, hiçbir şeyi çöpe atmadım, hiç bir şeyi kesip atmadım, hiçbir şeyi

kırpmadım, sadece kağıdı parçalara böldüm ve tekrar birleştirdim, farklı şekilde birleştirdim, alanı değişmedi ama çevresi değişti diye anlatabilirim. Ne için böyle

olduğunu çocuğa anlatmaya kalkarsam bu şekilde anlatırım. Üçgeni de işin içine

katarım.”(öa5)

Yukarıdaki ifadelerden de anlaşıldığı üzere, 5 numaralı öğretmen adayı açılar ile kenar uzunlukları arasındaki bağıntı ile kenar uzunlukları arasında bağıntıyı kullanarak kendi bilgisini öğrencilere sunmuştur. Öğretmenden öğrenciye tek yönlü bilgi akışının olduğunu söylenebilir. Öğretmen adayının açıklaması „Öğrenciye şunu anlatırım‟ ve „…

alanı değişmedi ama çevresi değişti diye anlatabilirim‟ ifadelerini içermektedir. Bu

ifadeler öğretmen adayının düz anlatım yoluyla öğretim yapma noktasındaki isteğini göstermektedir.