Ölçmenin Matematiksel Yapısı

Çevremizdeki nesneler veya olaylar bazı nitelikleriyle ön plana çıkarlar. Mesela, bir ip uzunluk niteliği ile ön plana çıkarken bir balon hacim niteliği ile daha çok anılmakta, bir futbol sahası ise alan niteliği ile ön plana çıkmaktadır. İçinde bulunduğumuz durumlara göre nesneleri algılarken ve karşılaştırırken, bu niteliklerin miktarları önem arz eder. Mesela, pazardan alacağımız bir ipin uzunluk miktarını bilelim ki ne kadar para vermemiz gerektiğini hesaplayabilelim. Niteliklerin miktarla- rına ihtiyaç duyduğumuza göre bu miktarların dolaylı ya da doğrudan ölçülmesine gereksinim vardır. Bu türden gereksinimler, durumlara göre standart (cm, kg, vs.) veya standart olmayan (kalem, ataç, vs.) birim(ler)le giderilir. Örneğin, 'nesne' olarak bir 'olayı' (bir futbol maçını) ele aldığımızda, bu nesnenin ilk akla gelen 'niteliklerinden' biri 'zaman' (maçın süresi) olup; zamanın 'miktarı' '94', bu miktarın birimi 'dakika' olarak ele alınabilir. Dolayısıyla bu şekilde "Maç 94 dakika sürdü" cümlesinin ölçme bağlamında matematiksel bir analizi yapılmış olur. Burada aslında gizli bir biçimde mukayese yapılmaktadır. Futbol maçı ve bunun gibi diğer örneklere dayanarak ölçmeyi özet- lemeye yarayan Şekil 2.4‟deki gibi bir matematiksel yapıdan bahsetmek mümkündür.

Şekil 2.4. Ölçmenin matematiksel yapısını özetleyen genel bir model (Zembat, 2009)

Yukarıda genel haliyle verilen ve ölçmeyi özetleyen model matematik eğitimi literatüründe verilen ölçmeye dair açıklamaların bir sentezinden elde edilmiştir. Örneğin Bright (1976) yukarıdaki modeli eylemsel (işlemsel) anlamda şu cümle ile özetlemektedir: "Ölçme, fiziksel bir nesnenin bir niteliğinin, bu niteliğin miktarını belirlemeye yarayan seçilmiş bir birim ile mukayesesidir." Örneğin, düzgün ve kısa bir yolun (fiziksel bir nesne) uzunluğu (nesnenin niteliği) aynı şekilde uzunluk niteliğine sahip olan çubuk metre (seçilen birim) ile mukayese edilerek belirlenebilir. Bu şekilde çubuk metrenin ardı ardına eklenerek yolun uzunluğunun kaç metreye denk geldiğinin belirlenmesi işlemine Bright'ın (1976) tanımına göre Ölçme denilmektedir. Bu tanım ölçme için çok sık referans alınan bir tanım olup hemen her matematik eğitimi makalesinde ölçme için temel bir tasvir olarak ele alınmaktadır (Zembat, 2009).

Yukarıda verilen tanımdan da anlaşıldığı üzere ölçme ile ilgili bazı temel kavramlar bulunmaktadır. Bunları şu şekilde sıralayabiliriz;

 Ölçülen şey nesnelerin kendileri değil, onların özellikleridir.

 Bir özelliğin ölçülebilmesi için, ölçülecek özelliğin, aynı özellikten birim kabul edilen bir miktarla karşılaştırılması gerekir. O halde ölçme için bir birime ihtiyaç vardır.

 Ölçmede bir karşılaştırma vardır. Bu karşılaştırma sonucunda ölçme çokluğa bir sayı karşı getirir; başka bir deyişle karşılaştırma sonucunda bir sayı (miktar) elde edilir

 Ölçme bir sayma işlemidir.

Örneğin, masanın boyunun uzunluğunu ölçme işleminde, kullanılan 1 cm uzunluğu birim, bu birimden masanın uzunluğunda kaç tane olduğunu saptamak için yapılan işlem karşılaştırma ve sayma işlemi, uzunluğun ölçülmesi işi ve sayma sonunda elde edilen örneğin 105 cm de ölçme sonucu veya ölçümdür.

İlköğretimde ölçme konusu olan özellikler, nesnelerin uzunluk, alan, hacim, kütle ve değerleri yönünden büyüklükleri ile zamandır. Ölçülecek özelliklerin farklı olmasına rağmen öğretimde izlenebilecek ortak bir strateji vardır. Bu stratejinin adımları şu şekilde sıralanabilir;

 Ölçülecek özelliğin (büyüklüğün) belirlenmesi

 Özelliğe (büyüklüğe) uygun bir birim seçilmesi

 Seçilen birimden ölçülecek büyüklükte kaç tane olduğunun saptanması

 Sonucun ifade edilmesi (Baykul, 2009).

2.3.1. Uzunluk Ve Uzunluk Ölçümü

Uzunluk bir nesnenin özelliğidir ve nesnenin uç noktaları arasındaki uzaklığın ne kadar olduğu ölçülerek bulunur. Uzaklık iki nokta arasındaki boş alandır (Stephen ve Clements, 2003). Bir nesnenin uzunluğu o nesnenin en büyük boyutudur. İki boyutlu veya üç boyutlu nesnelerin boyutlarından en büyük olanı matematikçiler tarafından geleneksel olarak “uzunluk” olarak adlandırılmaktadır. Örneğin, „3 cm x 4 cm‟ ebatlarında bir dikdörtgenin uzun kenarı olan 4 cm dikdörtgenin boyu olarak ele alınırken „3 cm x 4 cm x 5 cm‟ ebatlarındaki bir dikdörtgenler prizmasının boyu aksi belirtilmedikçe geleneksel olarak 5 cm olarak düşünülür (Zembat, 2009). Çevre ise uzunluğun özel bir uygulamasıdır (Yoe, 2008). Çevre dikkate alınan düzlem parçasını düzlemden ayıran çizgi, bu çizginin uzunluğu (büyüklüğü) de çevrenin ölçüsüdür. Bu çizgi, kapalı bir geometrik bir şekil olabileceği gibi, herhangi bir kapalı çizgide olabilir (Baykul, 2009).

Uzunluk ölçümü ise sabit büyüklükte bir birimin boşluk bırakmadan ve üst üste bindirmeksizin yinelenmesiyle ölçülür. Yineleme işlemi tamamlandıktan sonra sonuç, kullanılan birim ve ölçülen özellikte bu birimden kaç tane olduğu belirtilerek ifade edilir (Zembat, 2009). Çevre, uzunluğun özel bir uygulaması olduğundan dolayı çevre uzunluğu da sabit büyüklükte bir birimin boşluk bırakmadan ve üst üste bindirmeksizin çevre üzerinde yinelenmesiyle ölçülür. Yineleme işlemi tamamlandıktan sonra birim ve çevre üzerinde bu birimden kaç tane olduğu belirtilerek çevre uzunluğu ifade edilir.

2.3.2. Alan Ve Alan Ölçümü

Alan, bir sınır içerisinde ve belli bir yolla ölçülebilen iki boyutlu bir yüzeyin büyüklüğüdür (Batura ve Nason, 1996). Başka bir deyişle alan, düzlem parçasının büyüklüğüdür. Alan ölçümü de bu alan da, birim kabul edilen bir düzlem parçasından kaç tane olduğudur. Alanı ölçmede, uzunlukları ölçmede olduğu gibi, bir birimin kullanılması gerekir. Yukarıdaki tanımdan da anlaşılacağı gibi bu birim yine bir alan parçasıdır (Baykul, 2009).

Alan denildiğinde ilk akla gelen şey bir yerin belli birimlerle kaplanmasıdır. Tabi bu kaplama eylemi bir birimin yinelenmesine (veya bazılarının belirttiği gibi, iterasyonuna) bağlıdır (Hirstein, 1981; akt. Zembat, 2009). Örneğin verilen küçük kare birimlerle belirlenen bir dikdörtgenin alanını bulabilmek için birim karelerin öncelikle satırlar (veya sütunlar) halinde düzenlenmesi, daha sonra bu satırların (veya sütunların) art arda sıralanması gerekmektedir. Sonuçta satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş, birim-kare dizisi şeklinde ele alınabilecek olan bir düzen ortaya çıkar. Bir dikdörtgenin alanını belirlerken bahsi geçen düzen takip edilerek, bir satıra (ya da sütuna) kaç birim denk geldiği ve kaç satır olduğunun bir koordinasyonu gerekmekte ve bu koordi- nasyonun da sayma işlemine uygulanması gerekmektedir. Burada boyutların koordinasyonu da önem arz etmektedir (Outhred ve Mitchelmore, 2000; akt. Zembat, 2009). Alan hesabında iki boyut koordine edilirken hacim hesabında üç boyut koordine edilmek durumundadır. Alan hesabında kaplama eylemi ön plana çıkar. Yani verilen iki boyutlu düzlemsel bir şeklin alanı verilen bir birimle kaplanır. Fakat dikkat edilirse bir dörtgensel düzlem parçasını birim karelerle kaplamak eylemi "tek boyutlu ve toplamsal bir işlem süreci gerektirirken [alan] formülün[ün] kendisi iki boyutlu olup çarpımsaldır" (Outhread ve Mitchelmore, 2000, s.145; akt. Zembat, 2009). Kaplama işleminin tek

boyutlu olmasının anlamı sadece verilen birim karelerin dörtgensel bölgeye belli bir sıra dâhilinde yerleştirmesidir. İşlemin toplamsal olmasından kasıt da birim karelerin adedinin sayma ile veya toplama ile belirlenebilmesidir. Formülün iki boyutlu olmasının nedeni "en x boy" şeklînde ele alınmasından kaynaklanırken bu çarpımı anlamlandırmak çarpımsal düşünceyi gerektirir (en tane boy adedince birim kare gibi) (Zembat, 2009).

2.4. Alan Ölçümü İle İlgili Öğrenci Zorlukları ve Kavram Yanılgıları