Üçüncü Örnek Olaya İlişkin Bulgular

(i) cos = se e somente se =𝜋+ , e (ii) sen = se e somente se =

com inteiro.

De fato, para todo número complexo = + 𝑖 , com e reais, temos que

cos = cos + 𝑖 = cos ( + − ) − 𝑖 sen ( − − ).

Para termos cos = , devemos ter cos 𝑒 +𝑒− − 𝑖 sen 𝑒 −𝑒− = o que ocorre se, e somente se, cos 𝑒 +𝑒− = 𝑖 sen 𝑒 −𝑒− .

Note que, o primeiro membro da igualdade é livre da unidade imaginária 𝑖, sendo assim,

cos 𝑒 +𝑒− é real para quaisquer e . Dessa forma, teremos a igualdade se, e somente se, cos 𝑒 +𝑒− = e 𝑖 sen 𝑒 −𝑒− = .

Na primeira parte, 𝑒 +𝑒− ≠ para todo . Então devemos ter cos = . Como é real, cos = se, e somente se, =𝜋+ , para inteiro.

𝑖 sen 𝑒 −𝑒− = se, e somente se, sen = ou 𝑒 −𝑒− = .

Mas, para real, nunca sen e cos se anulam simultaneamente. Como já temos que

cos = , então devemos ter sen ≠ , para todo . Assim, para anularmos 𝑖 sen 𝑒 −𝑒− = , devemos ter 𝑒 −𝑒− = , o que só ocorre quando = .

Logo, teremos cos = se, e somente se =𝜋+ e = , isto é para =𝜋+

+ 𝑖, donde =𝜋+ , com inteiro, como queríamos demonstrar.

Para o seno, procederemos de modo análogo.

Para todo número complexo = + 𝑖 , com e reais, temos que

sen = sen + 𝑖 = sen ( + − ) + 𝑖 ( − − ) cos

e, sen = , se e somente se, sen 𝑒 +𝑒− = −𝑖 𝑒 −𝑒− cos .

Note que, o primeiro membro da igualdade é livre da unidade imaginária 𝑖, sendo assim,

sen 𝑒 +𝑒− é real para quaisquer e . Dessa forma, teremos a igualdade se e somente se, sen 𝑒 +𝑒− = e −𝑖 𝑒 −𝑒− cos = .

Na primeira parte, 𝑒 +𝑒− ≠ para todo . Então devemos ter sen = . Como é real, sen = se, e somente se, = + , para inteiro.

Por outro lado, −𝑖 cos 𝑒 −𝑒− = se, e somente se, cos = ou 𝑒 −𝑒− = . Mas, para real, nunca sen e cos se anulam simultaneamente. Como necessariamente sen = , então cos ≠ . Logo, devemos ter 𝑒 −𝑒− = , o que só ocorre quando = .

Assim, teremos sen = se, e somente se, = + e = , isto é, para = +

+ 𝑖, donde = , com inteiro, como queríamos demonstrar.

Note que as funções cosseno e seno de uma variável complexa, se anulam nos mesmos pontos das funções cosseno e seno no campo dos reais. Vale ressaltar que os pontos que anulam uma função são chamados de zeros da função.

Capítulo VI

A periodicidade das funções seno e cosseno em ℂ

Sabemos que no campo dos números reais, as funções cosseno e seno são periódicas e ambas possuem período .

Lembremos que, por definição, uma função : ℝ → ℝ é periódica, se existe um número real positivo 𝑇, tal que + 𝑇 = , ∀ ∈ ℝ.

O menor valor de 𝑇 que satisfaz a condição acima é chamado í de . Para funções de uma variável complexa a definição é análoga, mudando é claro, as variáveis a serem estudadas.

Mostraremos que no campo dos números complexos as funções cosseno e seno também são periódicas.

De fato, pela propriedade 4, para todos e números complexos,

cos + = cos cos − sen sen

Fazendo = e = , tem-se

cos + = cos cos − sen sen cos + = cos ∙ − sen ∙

donde

cos + = cos .

Dessa forma, mostramos que a função cosseno no campo dos complexos é periódica. E quanto ao período? Podemos afirmar que seu período é , como ocorre nos reais?

A resposta é não! Pois, de forma rigorosa, partindo da definição, o período da função cosseno é o menor número positivo 𝑇, tal que cos + 𝑇 = cos . Mas ℂ não é corpo ordenado. Logo, não faz sentido no conjunto dos complexos, dizer que é o menor. Assim, só podemos garantir a existência da periodicidade.

Apesar se soar estranho uma função ser periódica e não possuir período, temos também em ℝ, uma função com tal característica.

Considere a função constante, : ℝ → ℝ, tal que = . Temos que, para qualquer 𝑇 real, + 𝑇 = = . Assim a função é periódica. Mas, não existe um menor valor positivo para 𝑇, tal que + 𝑇 = . Logo, não podemos determinar um período para tal função.

Vamos agora, mostrar que a função seno de uma variável complexa também é uma função periódica. Procederemos de modo análogo ao feito para a função cosseno.

Com efeito, pela propriedade 5, temos que, para todos e números complexos,

sen + = sen cos + sen cos .

Fazendo = e = , tem-se

sen + = sen cos + sen cos sen + = sen ∙ + ∙ cos

donde

sen + = sen .

Provamos então que a função seno é periódica no campo dos números complexos. E de modo análogo a função cosseno, como ℂ não é corpo ordenado, não faz sentido procurar um menor número complexo para representar o período da função.

NOTA: Em alguns textos, qualquer número 𝑇 tal que + 𝑇 = é dito um período da função. Não precisa ser o menor 𝑇 para ser considerado um período para a função. Caso exista, o menor número 𝑇 tal que + 𝑇 = é chamado de período fundamental, e indicado por 𝑇 .

Dessa forma, determinadas funções possuem infinitos números que podem representar um período. Mas apenas um ou nenhum número que possa representar o período fundamental. Nesse contexto, aí sim, podemos dizer que é um período para as funções cosseno e seno em ℂ. E nesse caso, como ℂ não é corpo ordenado, tais

Capítulo VII

Resolvendo uma equação trigonométrica em ℂ

Vejamos agora como fica a resolução de uma equação trigonométrica em ℂ. Vamos determinar todos os números complexos = + 𝑖, com e reais, tais que

cos = .

Resolução:

Sabemos que cos =𝑒𝑖 +𝑒−𝑖 , daí, a equação cos = é equivalente a

𝑖 ₊ −𝑖

=

donde

𝑖 ₊ −𝑖 _{= .}

Multiplicando ambos os membros da igualdade por 𝑖 , temos

𝑖 _∙ 𝑖 ₊ 𝑖 _∙ −𝑖 ₌ 𝑖 _∙

( 𝑖 _{) +} 𝑖 −𝑖 ₌ 𝑖

( 𝑖 _{) −} 𝑖 _{+ = .}

Fazendo a substituição 𝑖 = , fica

− + =

que é uma equação do 2° grau na incógnita . Resolvendo temos

=− − ± √ − − ∙ ∙ = ± √ .

Mas = 𝑖 , segue então que 𝑖 = ± √ . Como = + 𝑖, temos que, 𝑖 + 𝑖 = ± √

𝑖 − _{= ± √} 𝑖 _∙ − _{= ± √ .}

Mas da fórmula de Euler, temos que 𝑖 = cos + 𝑖 sen , substituindo tem-se

cos + 𝑖 sen ∙ − _{= ± √} − _{∙ cos + 𝑖} − _{∙ sen = ± √ .}

Note que ± √ é um número complexo cuja parte imaginária é nula. Então, para termos a igualdade devemos ter

− _{∙ cos = ± √ e 𝑖} − _{∙ sen = .}

Da igualdade 𝑖 − ∙ sen = , devemos ter sen = , já que − nunca se anula. Dessa forma = , com inteiro.

Vamos agora analisar a igualdade − ∙ cos = ± √ . Já sabemos que = , com inteiro. Separemos em dois casos, ímpar e par.

Se ímpar, temos então que cos = cos = − . Substituindo temos

− _{∙ − = ± √}

donde

− − _{= + √ ou −} − _{= − √ .}

Mas ambos os casos é impossível, já que − − é sempre negativo para todo , e +

√ assim como − √ são números positivos. Logo, para ímpar, a equação não tem

solução.

Se par, então cos = cos = . Substituindo em − ∙ cos = ± √ , temos

− _{∙ = ± √ .}

Assim − = ± √ , donde − = log_𝑒 ± √ , donde

= − ln + √ ou = − ln − √ ⇔ = − ln + √ ou = ln − √ − _. Mas − √ − = −√ = −√ ∙ +√ +√ = + √ , daí = − ln + √ ou = ln + √ .

Dessa forma, as soluções da equação cos = são todos os números complexos = +

𝑖, com = , par, e = − ln( + √ ) ou = ln + √ .

Como é par, então = , com inteiro. Assim, as soluções são da forma

= ± 𝑖 ln + √ , com inteiro.

Faremos agora uma prova real. Vamos verificar que o valor encontrado para , realmente representa o conjunto de soluções da equação cos = , em ℂ.

Mostraremos o caso = + 𝑖 ln + √ , com inteiro. O caso onde =

− 𝑖 ln + √ é inteiramente análogo.

De fato, sabemos que cos =𝑒𝑖 + 𝑒−𝑖 . Substituindo = + 𝑖 ln + √ , com inteiro, teremos

cos[ + 𝑖 ln( + √ )] = 𝑖[ 𝑘𝜋+𝑖 l ( +√ )] + −𝑖[ 𝑘𝜋+𝑖 l ( +√ )] = 𝑘𝜋𝑖∙ − l ( +√ )+ − 𝑘𝜋𝑖 ∙ l ( +√ ) = 𝑘𝜋𝑖∙ l ( +√ ) − + − 𝑘𝜋𝑖 _∙ l ( +√ ) .

Como vimos anteriormente, ( − √ )− = + √ , então ( + √ )− = − √ . Substituindo, teremos cos[ + 𝑖 ln( + √ )] = 𝑘𝜋𝑖∙ l −√ + − 𝑘𝜋𝑖∙ l ( +√ ) = 𝑘𝜋𝑖∙ − √ + − 𝑘𝜋𝑖∙ + √ = 𝑘𝜋𝑖− √ 𝑘𝜋𝑖+ − 𝑘𝜋𝑖 + √ − 𝑘𝜋𝑖 = 𝜋𝑖 𝑘− √ ( 𝜋𝑖) 𝑘 + 𝜋𝑖 − 𝑘_{+ √} 𝜋𝑖 − 𝑘 .

Mas atenção, da fórmula de Euler,

𝑖 _{= cos + 𝑖 sen}

𝑖𝜋 _{= cos + 𝑖 sen .}

Como cos = − e sen = , temos que 𝑖𝜋 = − + = − . Substituindo em cos[ + 𝑖 ln( + √ )], temos

cos[ + 𝑖 ln( + √ )] = ∙ − 𝑘− √ ∙ − 𝑘+ ∙ − − 𝑘+ √ ∙ − − 𝑘 cos[ + 𝑖 ln( + √ )] = − √ + + √

donde

cos[ + 𝑖 ln( + √ )] = .

CapítuloVIII

A fórmula de Euler no conjunto dos números complexos

Mostraremos que a fórmula de Euler, que foi o ponto inicial para todas as relações da trigonometria dos complexos, também é válida em uma variável complexa, isto é, mostraremos que para todo número complexo , tem-se

𝑖 _{= cos + 𝑖 sen .}

De fato, sabemos que cos =𝑒𝑖 +𝑒−𝑖 e sen =𝑒𝑖 −𝑒−𝑖

𝑖 . Assim, cos + 𝑖 sen = 𝑖 + −𝑖 + 𝑖 ∙ 𝑖 −_𝑖 −𝑖 cos + 𝑖 sen = 𝑖 + −𝑖 + 𝑖 − −𝑖 cos + 𝑖 sen = 𝑖 + −𝑖 + 𝑖 − −𝑖 cos + 𝑖 sen = 𝑖 + 𝑖 cos + 𝑖 sen = 𝑖 , donde 𝑖 _{= cos + 𝑖 sen ,}

Capítulo IX

Refletindo sobre gráficos em ℂ

Nosso objetivo agora é observar como se comporta o gráfico de uma função trigonométrica no campo dos números complexos.

Quando temos uma função no conjunto dos números reais, = , podemos representar o gráfico no plano cartesiano de coordenadas retangulares . Nesse caso, temos o domínio unidimensional e o contradomínio unidimensional, nos fornecendo um gráfico de pontos , que pode ser representado num plano, isto é, fornecendo uma figura em uma região bidimensional.

Quando temos uma função no conjunto dos números complexos, = , temos o domínio bidimensional e o contradomínio bidimensional, já que todo número complexo pode ser representado como um par ordenado. Nesse caso, teremos um gráfico em um espaço de dimensão 4, o que é impossível de ser visualizado.

O que pode ser feito para se obter algumas informações sobre o comportamento da função, é exibir conjuntos de pontos correspondentes e em dois planos.

Sendo e números complexos da forma = + 𝑖 e = + 𝑖, representaremos cada um desses números pelos seus afixos , e , .

Chamaremos de − , o plano que contém os pontos do domínio de , e de

− , o plano que contém os pontos do contradomínio de . Assim, cada ponto

, no − , estará associado a um ponto , no − , através da aplicação .

Dessa forma, analisaremos quando um ponto se desloca no − , o que acontece, ou seja, como se move seu ponto correspondente no − .

Portando, teremos dois gráficos, um em cada plano. O primeiro representando os pontos do domínio, e o segundo, representando os pontos da imagem, no contradomínio.

Vamos então analisar o comportamento dos pontos do domínio, e do contradomínio da função seno de uma variável complexa.

Considere a função = sen , no conjunto dos números complexos, isto é, : ℂ →

Como foi dito anteriormente, vamos representar os pontos , do domínio de em um plano, denominado − , e representar os pontos , do contradomínio de em um outro plano, denominado − . E a partir daí, estudar o comportamento de cada ponto , , quando seu correspondente , no outro plano se desloca.

Vamos considerar inicialmente no − , as retas horizontais = , constante real, e analisar em que curvas elas transformam-se no − através da aplicação .

Vimos anteriormente que, para = + 𝑖 ∈ ℂ, com , ∈ ℝ,

sen + 𝑖 = sen ( + − ) + 𝑖 ( − − ) cos

que também pode ser escrito como

sen + 𝑖 = sen cosh + 𝑖 senh cos .

Assim, a função pode ser escrita como

+ 𝑖 = sen cosh + 𝑖 senh cos .

Sendo = , a imagem de = , através da aplicação , temos que

= sen cosh + 𝑖 senh cos

é um complexo com parte real = sen cosh e parte imaginária = senh cos . Para = , segue

{ = sen cosh_{= senh cos} , ∈ ℝ.

Que é um sistema de equações paramétricas no parâmetro , de uma equação do tipo elíptica, considerando os possíveis casos degenerados.

De fato, dividindo ambos os membros da primeira igualdade por cosh , e da segunda igualdade por senh , obtemos

c = sen e e = cos .

Da relação fundamental da trigonometria, temos que sen² + cos² = . Substituindo, temos

que é uma equação da forma + = , que representa uma elipse centrada na origem. Como por definição,

cosh = 𝑒 +𝑒− e senh = 𝑒 −𝑒− , temos que

|cosh | > |senh |, para todo real.

Temos então, que a equação

c + e = representa uma elipse com

reta focal sobre o eixo , semieixo maior medindo = |cosh | e semieixo menor medindo = |senh |.

Como a elipse está centrada na origem e possui a reta focal sobre o eixo , as coordenadas dos focos serão −𝐹, e 𝐹, , onde 𝐹 representa a medida da distância focal.

Da geometria analítica, em toda elipse, temos que = + 𝐹 , donde 𝐹 =

− . Como = |cosh | e = |senh |, temos 𝐹 = |cosh | − |senh | .

Mas, do estudo das funções hiperbólicas, temos que cosh − senh = ,

∀ ∈ ℝ. Logo, 𝐹 = , donde 𝐹 = ± .

Como 𝐹 = ± , ∀ ∈ ℝ, resulta que todas as elipses terão as coordenadas dos focos

− , e , .

Na figura abaixo, temos o caso para = , e = − , . Mostra os pontos do domínio que estão sobre as retas horizontais = , e = − , no = . Através da aplicação , as imagens desses pontos estão sobre a elipse

c , + e , =

Note também que, quando → +∞ ou → −∞, a elipse tende a se tornar uma circunferência.

De fato, voltando para a equação

cosh + senh = .

Como cosh = 𝑒𝑐+𝑒−𝑐 , quando → +∞ ou → −∞, |𝑒𝑐+𝑒−𝑐| →𝑒|𝑐| → +∞. Como senh =𝑒𝑐−𝑒−𝑐 , quando → +∞ ou → −∞, |𝑒𝑐−𝑒−𝑐| →𝑒|𝑐| → +∞. Assim, para valores muito grandes de | |, teremos |senh | ≈ |cosh | ≈ 𝑒|𝑐| . E a equação

ℎ + 𝑒 ℎ = ficará aproximadamente igual a

𝑒|𝑐| + _𝑒|𝑐| = ⇔ + =

| |

que representa a equação de uma circunferência centrada na origem de raio 𝑒|𝑐| .

Observe que não precisamos de valores tão grandes de para que a elipse no − se aproxime de uma circunferência.

Na figura abaixo temos o caso para = e = − , que no − são pontos sobre as retas = e = − . E através da aplicação , as imagens desses pontos estão sobre a elipse

c + e = no − .

Como cosh =𝑒 +𝑒− ≈ , e senh =𝑒 −𝑒− ≈ , , cosh e senh já são valores relativamente próximos, e assim, a elipse já se parece com uma circunferência.

Porém, note que, quando se aproxima de 0, a elipse vai estreitando-se, até que, para = , a elipse degenera-se, tornando-se um segmento de reta.

De fato, sabemos da geometria analítica, que a excentricidade da elipse é a razão entre a medida da semidistância focal e a medida do semieixo maior, isto é 𝐹 , onde 𝐹 =

√ − . E quando a excentricidade tende a 1, a elipse tende a se estreitar. Conforme

se aproxima de ,

= |cosh | = |𝑒𝑐+𝑒−𝑐| ≈ e = |senh | = |𝑒𝑐−𝑒−𝑐| ≈ .

Assim, a excentricidade será

𝐹 ₌√ − ₌ √|c | −| e |

|c | ≈

|c |

A figura abaixo mostra o caso para = , e = − , , que no − são pontos sobre as retas = , e = − , . E através da aplicação , as imagens desses pontos estão sobre a elipse

c , + e , = no − .

Na figura abaixo, temos o caso = . Substituindo nas equações paramétricas, temos

= sen cosh = sen ∙ 𝑒 +𝑒− = sen ∙ + = sen donde − e

= senh cos = 𝑒 −𝑒− ∙ cos = − ∙ cos = .

Temos então um segmento de reta, cujas extremidades são os pontos − , e , sobre o eixo do − . Sendo assim, um caso degenerado da elipse, no − .

Vimos então que retas horizontais no − transformam-se em curvas do tipo elíptica no − . Vamos agora ver o comportamento de retas verticais no −

, e analisar em que curvas elas se transformam no − através da aplicação .

Consideremos agora no − , as retas verticais = , constante real.

Vimos inicialmente que cada ponto = , no − , tem como imagem o ponto = , , no − através da aplicação , tal que = =

sen cosh + 𝑖 senh cos , resultando em um número complexo com parte real = sen cosh e parte imaginária = senh cos .

Fazendo agora a substituição = , temos

{ = sen cosh_{= senh cos} , ∈ ℝ.

Que é um sistema de equações paramétricas no parâmetro , de uma equação do tipo hiperbólica, considerando os possíveis casos degenerados.

Com efeito, dividindo ambos os membros da primeira igualdade por sen , e da segunda igualdade por cos , temos

e 𝑘 = cosh e c 𝑘= senh .

Da trigonometria hiperbólica, temos que, para todo real, cosh² − senh² = . Substituindo, temos

e 𝑘 − c 𝑘 = ⇔ e 𝑘 − c 𝑘 = ,

que é uma equação da forma − = , que representa uma hipérbole centrada na origem e com reta focal sobre o eixo , semieixo real medindo = |sen | e semieixo imaginário medindo = |cos |.

Como a hipérbole está centrada na origem e possui a reta focal sobre o eixo , as coordenadas dos focos serão os pontos −𝐹, e 𝐹, , onde 𝐹 representa a medida da distância focal.

Da geometria analítica, em toda hipérbole, temos que 𝐹 = + . Como =

|sen | e = |cos |, substituindo temos 𝐹 = |sen | + |cos | .

Mas, do estudo das funções trigonométricas, temos que sen + cos = ,

∀ . Logo, 𝐹 = , donde 𝐹 = ± .

Do estudo das hipérboles, como ela está centrada na origem, suas assíntotas são as retas = ± . Nesse caso então, teremos como assíntotas as retas = ±|c 𝑘|

| e 𝑘| .

Como na trigonometria dos números reais, por definição c 𝑘

e 𝑘 = cotg , podemos

então escrever as equações das assíntotas como = |cotg | e = −|cotg | .

A figura abaixo, mostra o caso para = , e = − , . Representa os pontos do domínio que estão sobre as retas verticais = , e = − , no − . Através da aplicação , as imagens desses pontos estão sobre a hipérbole

sen , − cos , =

no − .

Note que, para as retas verticais = no − , quando → +∞ ou →

−∞, não temos uma situação bem definida para suas imagens no − , como no caso das retas horizontais. Isso porque, na equação

e 𝑘 − c 𝑘 = , quando por

exemplo → +∞, o limite de sen não existe.

Vejamos então o que ocorre quando está numa vizinhança de determinados pontos.

Quando → + , com inteiro, os ramos das hipérboles vão se abrindo e seus vértices vão se aproximando da origem, até que, quando = + temos no −

, pontos percorrendo todo o eixo . Isto é, a hipérbole degenera-se para a reta = , que é o eixo do − .

De fato, vimos que a hipérbole de equação

e 𝑘 − c 𝑘 = , possui assíntotas

= ±|cotg | .

Quando → + , |sen | → , |cos | → .

Daí, a medida do semieixo real |sen |, diminui até tornar-se nula, e nesse caso, os vértices da hipérbole se encontram na origem, e a medida |cotg | → +∞. Como |cotg | e −|cotg | são os coeficientes angulares das assíntotas da hipérbole, quando |cotg | →

+∞ os ramos da hipérbole tendem a se abrir, até se encontrarem e formarem uma reta

sobre o eixo no − .

Na figura abaixo, temos o caso para = , e = − , . Mostra os pontos do domínio que estão sobre as retas verticais = , e = − , no = . Através da aplicação , as imagens desses pontos estão sobre a hipérbole

sen , − cos , =

Note que quando = + , com inteiro, |sen | = , |cos | = . E substituindo nas equações paramétricas que geram a equação da hipérbole, temos

{ = sen cosh_{= senh cos} ⇔ { = sen + cosh

= senh cos + , com inteiro e ∈ ℝ,

donde

{ _{= ± senh} = , ∈ ℝ.

Na figura abaixo, temos o caso para = . Mostra os pontos sobre a reta vertical

= no − , e as imagens desses pontos, através da aplicação , estão sobre a reta = no − . Sendo assim, temos no − um caso degenerado da hipérbole.

Por fim, analisaremos o que ocorre quando →𝜋+ , com inteiro. Nesse caso, novamente na equação da hipérbole

e 𝑘 − c 𝑘 = , de assíntotas

= ±|cotg | . Quando →𝜋+ , |sen | → , |cos | → e |cotg | → . A medida do semieixo real é = |sen |. Como |sen | → , a medida do semieixo real se aproxima de 1, que é a medida da semidistância focal. Assim os vértices da hipérbole vão se aproximando dos focos.

Além disso, como |cotg | vai se aproximando de 0, as assíntotas vão se inclinando de modo a coincidir com o eixo . Com isso, os dois ramos da hipérbole vão se fechando, até que, quando = 𝜋+ os ramos da hipérbole convergem para duas semirretas sobre o eixo , com origens nos focos.

A figura abaixo, apresenta o caso para = , e = − , . Mostra os pontos do domínio que estão sobre as retas verticais = , e = − , no − . Através da aplicação , as imagens desses pontos estão sobre a hipérbole

sen , − cos , =

no − .

Observe que, quando = 𝜋+ , com inteiro, |sen | = , |cos | = . Substituindo nas equações paramétricas que geram a equação da hipérbole, temos

{ = sen cosh_{= senh cos} ⇔ { = sen

𝜋_{+ cosh}

= senh cos 𝜋+ , com inteiro e ∈ ℝ,

donde

{ = ± cosh₌ , ∈ ℝ. que separamos em dois casos:

Se par, { = cosh

= , ∈ ℝ. Que é a semirreta com origem em , , no sentido

Se ímpar, { = − cosh

= , ∈ ℝ. Que é a semirreta com origem em − , , no

sentido negativo do eixo .

Na figura abaixo temos o caso para = 𝜋 e = −𝜋 . Mostra os pontos do domínio que estão sobre as retas verticais = 𝜋 e = −𝜋 no = . Através da aplicação , as imagens desses pontos estão sobre as semirretas, = com e = com

− , no − .

Nota: O estudo do gráfico da função cosseno é feito de modo inteiramente análogo.

Capítulo X

Belgede Matematik öğretmen adaylarının çevre ve alan konularına ilişkin alan eğitimi bilgilerinin öğrenci zorlukları bağlamında incelenmesi (sayfa 139-171)