HN-GARCH(1,1) Model Parametrelerinin Hesaplanması

Seride getirilerinin doğal logaritması alınarak birinci farkının oluşturulması ile eğilimin kaybolduğu ve durağanlaştığı, Şekil 14‟de görülmektedir. Şekilde dikkat çeken bir diğer husus ise birinci farkı alınan serinin oynaklık kümelenmesinin etkilerini göstermesidir. Logaritmik getirilerde meydana gelen büyük değişimleri büyük, ufak değişimleri küçük değişimler takip etmektedir.

118

Bu durum aynı zamanda serinin değişen varyansa sahip olduğunun göstergesidir. Literatürde serilerin durağanlığını test etmek için birim kök testlerinden faydalanılmaktadır. Doğal logaritması alınarak oluşturulan fiyat serisinin grafiğinden trendin ortadan kalktığı ve serinin durağanlaştığının görülmesinin yanı sıra serinin durağanlığı ADF ve PP testleri yapılarak da araştırılmıştır.

ADF ve PP test istatistiklerine ait hipotezler aşağıda verilmiştir. H0: γ=0 (Birim kök vardır. Seri durağan değil.)

H1: γ<0 (Birim kök yoktur. Seri durağandır.)

Sıfır hipotezi serinin durağan olmadığını, alternatif hipotez serinin durağan olduğunu gösterir. Bu varsayımlara göre ADF ve PP testleri yapılmış serinin sonuçları Tablo 27‟de listelenmiştir. Yukarıdaki temel hipotezi test etmek için bağımlı değişkeni serinin birinci farkı olan üç model kullanılmıştır.

Sabitsiz model: ADF H0 ile sıfır hipotezini test eder. Alternatif hipotez H1 ile gösterilmiştir. yt-1‟in katsayısı a<1 kısıtı bulunmaktadır.

H0: yt = yt – 1 + b1Δyt – 1 + b2Δyt – 2 + ... + bpΔyt – p + e(t). 3.2

H1: yt = ayt – 1 + b1Δyt – 1 + b2Δyt – 2 + ... + bpΔyt – p + e(t).

Sabitli model: Sabitsiz modeldeki sıfır hipotezine karşı oluşturulan alternatif hipotez de “c” ve “a<1” katsayıları regresyona dahil edilmiştir.

H0: yt = yt – 1 + b1Δyt – 1 + b2Δyt – 2 + ... + bpΔyt – p + e(t). 3.3

H1: yt = c + ayt – 1 + b1Δyt – 1 + b2Δyt – 2 + ... + bpΔyt – p + e(t).

Trendli model: ADF H0 ile sıfır hipotezini test eder. Alternatif hipotez H1 ile gösterilmiştir. Alternatif hipoteze “d” trend katsayısı ve sabit “c” ilave edilmiştir. yt-1‟in katsayısı a<1 kısıtı bulunmaktadır.

119

H0: yt = c + yt – 1 + b1Δyt – 1 + b2Δyt – 2 + ... + bpΔyt – p + e(t). 3.4

H1:yt = c + dt + ayt – 1 + b1Δyt – 1 + b2Δyt – 2 + ... + bpΔyt – p + e(t).

Tablo 27. 2005-2009 Dönemi Logaritmik Getirilerin Birim Kök Testleri Sonuçları

Modeller Olasılık

Değeri İstatistik %1 Durum

ADF Testi

Sabitsiz 0.001 -24.1528 -2.5692 H0:Red

Sabit Terimli 0.001 -24.1750 -3.4374 H0:Red

Sabit Terimli ve Trendli 0.001 -24.1665 -3.9686 H0:Red

PP Testi

Sabitsiz 0.001 -33.0618 -2.5692 H0:Red

Sabit Terimli 0.001 -33.0765 -3.4374 H0:Red

Sabit Terimli ve Trendli 0.001 -33.0638 -3.9686 H0:Red

Birinci farkı alınmış fiyat serisine ilişkin yapılan ADF ve PP testlerinde yer alan test istatistikleri %1 test kriterinden yüksek çıkmıştır. Bu durumda H0 reddedilir. Doğal logaritması alınarak birinci farkı oluşturulan seri durağan olmuştur.

Şekil 15‟de serinin birinci farkının otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon grafikleri görülmektedir. Şeklin sol tarafında kısmi otokorelasyon fonksiyonu, sağ tarafında otokorelasyon fonksiyonu bulunmaktadır. Her iki fonksiyonda 1. ve 10. gecikmeler dışında kalan otokorelasyon değerleri güven aralığı içinde görülmektedir.

Şekil 15. İMKB100 Fiyat Serisinin Birinci Farkının Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Grafikleri

Tablo 28 ve 29‟da serinin birinci farkının otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon değerleri görülmektedir. Şekil 15‟de görüldüğü gibi fiyatların getiri serisinin

120

otokorelasyonu ve kısmi otokorelasyonları alındığında katsayıların çoğu güven aralığı [0.0564, - 0.0564] içinde yer almaktadır. Gözlemlenen getiriler çok az otokorelasyon gösterse de, karesi alınan getirilerin otokorelasyon değerleri oldukça yüksek ve süreklilik gösterdiği Şekil 16‟da görülmektedir.

Tablo 28. 2005-2009 Dönemi Logaritmik Getiri Otokorelasyon Değerleri

Tablo 29. 2005-2010 Dönemi Logaritmik Getiri Kısmi Otokorelasyon Değerleri

Şekil 15 ve 16‟da görüldüğü üzere, getiriler kendi aralarında önemli bir ilişki göstermese de, varyans süreci otokorelasyon göstermektedir. Bu durum otoregresif süreçler için tasarlanan modeller için tutarlıdır.

Şekil 16. 2005-2009 Dönemi Getiri Karelerinin Otokorelasyon Fonksiyonu

Gecikme 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Otokorelasyon _{0,068 0,005 -0,022 0,030 -0,007 -0,054 -0,038 -0,034 0,045 0,066} Gecikme 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Otokorelasyon 0,010 -0,029 0,050 0,063 0,008 0,004 -0,009 0,029 -0,009 -0,028 Gecikme 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kısmi Oto Korelasyon 0,068 0,001 -0,023 0,034 -0,012 -0,054 -0,029 -0,031 0,048 0,063 Gecikme 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Kısmi Oto Korelasyon 0,001 -0,030 0,051 0,050 0,002 0,015 -0,004 0,027 -0,014 -0,026

121

Seriler üzerinde görülen korelasyonun varlığını araştırmak için korelasyon grafiklerine ek olarak Ljung-Box-Pierce-Q (LBP-Q) test ve Engle‟in Arch testleri kullanılmıştır. LBP-Q testleri genellikle analiz sonrası artıkların arasındaki otokorelasyonun varlığını test etmek için kullanılır.

İMKB100‟ün logaritmik getirilerini GARCH sürecine göre modelleyebilmek için serinin ARCH etkisine sahip olması gereklidir. Logaritması alınmış mevcut veri setinin kendi seviyesinde durağan olduğuna karar verildikten sonra, İMKB100‟ün fiyat getiri serisinin artıklarında ARCH etkisinin bulunup bulunmadığını test etmek için ARCH-LM (ARCH-Lagrange Multiple) testi yapılmıştır. ARCH-LM testinin model, hipotez ve sonuçları aşağıda verilmiştir.

Model

3.5

Hipotez:

H0: α1 = 0: 1. Düzeyden ARCH etkisi yoktur. H1: α1 ≠ 0: 1. Düzeyden ARCH etkisi vardır.

Tablo 30. ARCH Testi Sonucu

ARCH TESTİ F İstatistiği(Ki-Kare

Değeri) R-kare Değeri (R

2_)*Gözlem Sayısı(T) Hipotez LM(1) 3,841 9,815 H0 RED LM(2) 5,991 30,261 H0 RED LM(4) 9,488 99,041 H0 RED LM(12) 21,026 154,931 H0 RED

ARCH etkisi aranan artık değerler, zaman serisinin logaritmik getiri değerlerinin ortalamasından çıkartılması suretiyle hesaplanmıştır. ARCH LM testi sonucuna göre T *(R2) değerleri 1, 2, 4 ve 12 gecikmelere göre 0,05 hata düzeyindeki Ki-kare tablo değerlerinden büyük çıktığı Tablo 30‟da gösterilmiştir. Bu durum, getiri serisinin artıklarında ARCH etkisinin varlığını ortaya koymaktadır. Bu nedenle ARCH-GARCH yöntemlerini kullanarak zaman serisini modellemek uygundur.

122

Serinin değişen varyans (heteroscedasticity) özelliği gösterdiği ARCH-LM testi sonucunda ortaya çıkmıştır. HN-GARCH opsiyon fiyatlama modeline göre serinin değişen varyansa sahip olması varsayımı ARCH-LM testi ile tutarlı hale gelmiştir. HN-GARCH modeli seriye uygulanabilir. İMKB100‟ün gün sonu logaritmik getirilerinin HN- GARCH(1,1) model parametrelerinin hesaplanması için denklem HN-GARCH(1,1) fonksiyonları üretilmiştir. HN-GARCH(1,1) modeli aşağıda verilmiştir.

3.6

Denklem 3.6‟da yer alan r: riskiz faiz oranı, σt2:koşullu varyans, zt: normal dağılım gösteren artık terim ve λ, β, α, γ, w terimleri model parametreleridir. HN-GARCH(1,1) modeline göre üretilen parametre değerleri Tablo 31‟de görülmektedir. Model parametreleri R-2.13 istatistik programı kullanılarak hesap edilmiştir.

Tablo 31. HN-GARCH(1,1) Model Parametreleri

Omega değeri çok küçük çıkması nedeniyle yaklaşık olarak 0 kabul edilmiştir. Parametre değerleri yerleştirilmiş HN-GARCH(1,1) modeli getiri ve varyans fonksiyonları Denklem 3.7‟de gösterilmektedir.

3.7 HN-GARCH(1,1) Parametreleri Lamda 0.4014 Omega 2.961 e-54 Alfa 0.00002579 Beta 0.8869 Gama 41.33

123

Oluşturulan HN-GARCH(1,1) modelinin tutarlılığının test edilmesi gerekir. Bunun için modelin artıklarının korelogramı incelerek, LBP-Q ve ARCH-LM testi uygulanmıştır.

Şekil 17. HN-GARCH(1,1) Modeli Standardize Artıkları

Artıklar koşullu varyanslarına bölünerek standarize edilmiştir. Şekil 17‟de standardize olmuş model artıklarının grafiği gösterilmektedir. Şekil 18‟de model getirileri, artıkları ve koşullu standart sapma grafikleri görülmektedir.

Şekil 18. HN-GARCH Modeli Artıklar, Koşullu Standart Sapma ve Getiri Değerleri

124

Şekil 19‟da görülen standarize edilmiş artıkların karelerinin otokorelasyon grafiği incelendiğinde bütün değerlerin güven aralığı içinde çıktığı görülmektedir. Modelin uygulanması ile birlikte standarize artıkların kareleri arasında görülen korelasyon kaybolmuştur.

Şekil 19. HN-GARCH(1,1) Modeli Otokorelasyon Fonksiyonu

Uygulanan LBP-Q, ARCH-LM testi sonuçları Tablo 32‟de verilmektedir. 0,05 güven aralığında yapılan testler oluşturulan modelin tutarlı olduğunu göstermektedir. Artıklar arasında test sonuçlarına göre korelasyon görülmemektedir.

Tablo 32. HN-GARCH(1,1) Modeli ARCH-LM ve LBP-Q Testi Sonuçları

Hipotez P Değeri Ġstatistik Değeri Tablo Değeri

LBP-Q Testi(1) H0 Kabul 0,375 0,788 3,841 LBP-Q Testi(2) H0 Kabul 0,406 1,803 5,991 LBP-Q Testi(4) H0 Kabul 0,502 3,341 9,488 LBP-Q Testi(12) H0 Kabul 0,802 7,779 21,026 ARCH-LM (1) H0 Kabul 0,374 0,791 3,841 ARCH-LM (2) H0 Kabul 0,414 1,763 5,991 ARCH-LM (4) H0 Kabul 0,513 3,272 9,488 ARCH-LM (12) H0 Kabul 0,801 7,796 21,026

Modelin istatistiksel açıklama gücü yeterlidir. HN-GARCH(1,1) modeli ile hesaplanan model parametrelerinin portföy sigortası delta oranlarını hesaplamak için kullanılması uygundur.

125