Güçlü İzahlar: Morfizm

Semantik ya da yapısalcı görüş, daha önce de söylediğimiz gibi genellikle bir kuramı modeller ailesi olarak kavrar. Örneğin klasik fizik lineer osilatör, basit sarkaç, güneş sistemi modeli gibi çeşitli modellerden oluşur. Tüm bu modeller kuramla yakın ilişki içerisindedirler. Modellerde ifade edilen nesneler kuramın yasalarını sağlarlar. Birinci tür yapısalcı görüşler altında izomorfizm, kısmi izomorfizm ve homomorfizm olmak üzere üç tür morfizm vardır. Morfist izahların savunucuları arasında Suppes (1960; 2002), Mundy (1986), Swoyer (1991), Van Fraassen (1980) ve Da Costa ve French (2003) sayılabilir. İzomorfizm esasında soyut cebirde geçen bir kavramdır. En basit ifadesiyle izomorfizm eş yapıya sahip iki matematiksel gruptan7 birinin bilinmesi halinde diğerinin de bilinebilmesine işaret eder. İlk grubun her bir elemanına diğer grupta bir eleman tekabül ederse, yani iki grup arasında kusursuz bir eşleşme varsa ve iki grupta tanımlanan ilişkiler birbirleriyle aynıysa, bu durumda iki grubun izomorf olduğu söylenir ve ‘≅’ işaretiyle gösterilir. Daha teknik bir ifadeyle f: A → B’nin bir izomorfizm olması için üç koşul sağlanmalıdır: i) a, a’ ∈ A olmak üzere a ≠ a’ → f (a) ≠ f (a’); ii) Her b∈ B için a∈ A ve f

(a)=b; iii) 𝐴: 𝑅_𝑗^𝐴(𝑎₁… 𝑎_𝑛)’daki tüm j ve a’lar için 𝑅_𝑗^𝐵(𝑓(𝑎₁) … 𝑓(𝑎_𝑛)) olmalıdır (Pero - Suárez, 2016, 79). Eğer birebir ve örten bir ilişki yoksa bu durumda homomorfizmden söz edilir. Dolayısıyla her izomorfizm bir homomorfizmdir ama her homomorfizm bir izomorfizm değildir. İzomorfizm, her matematiksel grubun elemanları kendisiyle eşleştiği (A ≅ A) için dönüşlü; bir gruptan ikincisine izomorfizm ikincisinden birincisine izomorfizmle aynı olduğu (A ≅ A’ = A’ ≅ A) için simetrik; bir grup, diğer iki gruptan birisiyle aynı yapısal ilişkiyi sergiliyorsa diğeriyle de bu ilişkiyi sergileyeceği (A ≅ B ve

B ≅ C ise A ≅ C ) için de geçişlidir.

7 Soyut cebirde üzerinde en az bir ikili işlem tanımlanmış bir kümeye cebirsel yapı denir. Cebirsel yapılar

< A, * > gibi bir notasyonla gösterilir. Burada A bir küme, * ise bir ikili işlemdir. İkili işlem, kümenin iki

elemanı üzerinde yapılan aritmetik bir işlemin yine o kümenin bir elemanına tekabül etmesi anlamına gelir. Bir cebirsel yapı, aşağıdaki üç özelliğe sahipse, bu cebirsel yapıya matematiksel grup ya da kısaca grup adı verilir. Başka bir deyişle bir A kümesi için geçerli olmak üzere,

1- A, birleşme özelliğine sahiptir: (ab) c = a (bc) 2- A’nın birim elemanı (1) vardır: a1 = a = 1a

54

Bilimsel temsilin kurucu öğesinin izomorfizm olduğunu düşünenlere göre temsil ilişkisinin gerek ve yeter koşulu aşağıdaki biçimde ifade edilebilir:

[1] A, B’yi ancak ve ancak A’nın sergilediği yapı, B’nin sergilediği yapıya izomorf ise

m-temsil eder.

Örneğin bir harita (H) bir üniversite kampüsünü (K), K’nın yapısal ilişkilerini koruduğu,

H’nin yapısı K’nın yapısına izomorf olduğu için temsil eder. Bu yapısal izomorfizm

sayesinde aradığımız yeri kolaylıkla buluruz. Bilimsel bağlamda izomorfizmi ise Suppes şu şekilde tanımlar: Bir kuramın iki modeli, kuramın temel kavramları açısından eş yapıya sahipse, bu durumda iki model birbirine izomorftur (Suppes, 2002, 54).

Suppes’e göre modeller küme-kuramsal varlıklardır ve matematiksel mantıktaki model kavramı deneysel bilimlerde de geçerlidir. Bir model sıralı değişkenlerden, bu değişkenler arasındaki ilişkilerden ve bunlar üzerinde gerçekleştirilen çeşitli işlemlerden ibaret olan aksiyomatik bir sistemdir (Suppes, 1960, 290). Örneğin klasik parçacık mekaniğini aksiyomatize etmek istediğimizi düşünelim. Bu durumda Suppes’e göre kuramın temel kavramlarını dikkate almamız gerekir. Parçacıklar kümesi P, geçen zamanlara tekabül eden reel sayı aralığı T, parçacık kümesinin Kartezyen çarpımıyla zaman aralığının üzerinde tanımlanan konum fonksiyonu s, parçacıkların oluşturduğu kümenin üzerinde tanımlanan kütle fonksiyonu m, parçacıklar kümesinin Kartezyen çarpımı üzerinde tanımlanan kuvvet fonksiyonu f olmak üzere klasik kuramın aksiyomlarının mümkün bir gerçeklenimi yani modeli φ = < P, T, s, m, f > olarak ifade edilir. Burada parçacıklar kümesini güneş sistemindeki gezegenler kümesi olarak aldığımızda güneş sistemine ilişkin bir model elde etmiş oluruz.

Yapısalcı yaklaşım modelleri matematiksel modeller olarak kavrar. Dolayısıyla her modelin belli bir yapısı vardır. Örneğin Van Fraassen’e göre bilimin temel amacı “empirik açıdan yeterli” kuramlar vermektir. Burada “empirik açıdan yeterli” ifadesi, kuramın dünyada olup biten gözlemlenebilir olaylar hakkında söylediklerinin doğru olması, daha açık bir deyişle “fenomenleri kurtarabilmesi” anlamına gelir. Bilimsel etkinlik gözlemlenemeyenlerle ilgili doğrulukların keşfini içeren bir süreç değil, empirik açıdan yeterli, fenomenleri kurtaran modeller inşa eden bir süreçtir. Van Fraassen bu nedenle kendi görüşüne konstrüktif empirizm adını verir. “Bilimsel İmge” (The Scientific

55

oluşturduğu bir kümenin belirlenmesini içerdiğini belirtir. Bu yapılar aynı zamanda kuramın modelleridirler. Sonra bu yapı ya da “modellerin belli kısımlarını gözlenebilir fenomenlerin dolaysız temsilleri için aday olarak belirleme” sürecidir ki bunlar da ‘empirik altyapılar’ adını alır. Bu arada deney raporlarında tasvir edilen yapılara ise Van Fraassen ‘görünüş’ adı verir. Şimdi bu tanımlar ışığında bir kuramın falanca bir modelini düşünelim. Eğer deney ve ölçüm sonuçlarında ifade edilen tüm görünüşler bu modelin empirik altyapılarına izomorf ise, yani bu ikisi arasında birebir ve örten bir eşleştirme yapılabiliyorsa o kuramın empirik açıdan yeterli olduğu söylenir (Van Fraassen, 1980, 4, 64).

Fizikte olduğu gibi matematiksel olarak ifade edilmeye uygun kuramlar söz konusu olduğu sürece izomorfizm izahı makul görünür. Örneğin klasik mekanikte basit sarkacın periyodu T = 2𝜋 √𝑙/𝑔 formülüyle verilir. Bu eşitlik, sarkacın uzunluğu ve ona etkiyen yerçekimi ivmesi gibi bazı yapısal özelliklerinin sarkacın başka bir özelliğine yani salınım süresine eşit olduğu bir yapının temsilidir. Başka bir deyişle denklemdeki çeşitli semboller arasındaki ilişkiler, basit sarkacın özellikleri arasındaki ilişkiye tekabül eder. Bu nedenle T = 2𝜋 √𝑙/𝑔 denkleminin ortaya koyduğu yapı basit sarkaca izomorftur ve onun periyodunu temsil eder. Yine özellikle matematiksel kuramlar söz konusu olduğu sürece, daha kapsamlı yapıların alt kümesi olan yapıların bu kapsamlı yapılara izomorf olduğu düşünüldüğünde izomorfizm faydalı bir temsil aracı olarak iş görür. Örneğin sarkacın sergilediği yapı, daha kapsamlı lineer osilatörün sergilediği altyapıya izomorftur ve lineer osilatör eşitiği sarkaca ilişkin eşitliği sağlar ve onu temsil eder (Downes, 1992, 146).

Bununla birlikte temsilin yeter koşulu olduğu düşünülen izomorfizm problemlerden muaf değildir. İlk olarak o, Suárez’in (2003) gösterdiği gibi temsilin biçimsel özelliklerini karşılayamaz: Asimetrik, geçişsiz ve dönüşsüz olan temsilin aksine izomorfizm, simetrik, geçişli ve dönüşlü bir ilişkidir.

İkinci bir eleştiri, yapısal anlamda izomorf olan iki şeyden birinin, diğerini her zaman temsil etmediği gösterilerek yapılabilir. Spiral bir merdiven DNA’yla aynı yapıyı taşıyabilir ancak bundan merdivenin DNA’yı temsil ettiği sonucu çıkmaz. Yine örneğin bir kuantum parçacığının durum vektörünün tasvir ettiği bir faz uzayı modeli, rastlantısal olarak klasik bir parçacığın fiziksel uzaydaki hareketine izomorf olabilir. Ancak

56

böylelikle söz konusu modelin klasik parçacığın hareketinin temsili olduğunu söylemeyiz (Suárez, 2003, 236). Contessa’nın (2006) verdiği başka bir örnek izomorfizm izahına ilişkin bu problemi örneklendirmektedir. Bohr atom modelini yapısal olarak aşağıdaki şekilde ifade ettiğimizi düşünelim: A Bohr atom modelinin yapısını, a çekirdeği ve b elektronu temsil etmek üzere A: < a, b; ab-1, ba-1, ab, aRb, bRa > . Bu yapıda ab-1

çekirdeğin sahip olduğu, elektronun sahip olmadığı bir özelliği (pozitif yüklü olma); ba -1 elektronun sahip olduğu, çekirdeğin sahip olmadığı bir özelliği (negatif yüklü olma); ab çekirdek ve elektronun birlikte sahip olduğu bir özelliği (bir yüke sahip olma); aRb çekirdeğin elektronla olan bir ilişkisini (daha kütleli olma); bRa ise elektronun çekirdekle olan bir ilişkisini (çekirdeğe doğru çekilme) göstermektedir. Şimdi klasik mekanikte sıklıkla kullanılan sürtünmesiz eğik bir düzlem üzerinde bulunan bir cisim modelini düşünelim ve bu modelin sergilediği yapıyı şu şekilde ifade edelim: A’ eğik düzlem modelinin sergilediği yapıyı, a’ düzlem ve b’ cismi temsil etmek üzere A’:< a’, b’; (ab -1)’, (ba-1)’, (ab)’, (aRb)’, (bRa)’ >. Burada (ab-1)’ düzlemin sahip olduğu, cismin sahip

olmadığı bir özelliği (sürtünmesiz olma); (ba-1)’ cismin sahip olduğu ancak düzlemin

sahip olmadığı bir özelliği (kütleli olma); (ab)’ düzlem ve cismin birlikte sahip olduğu bir özelliği (eğimli olma); (aRb)’ düzlemin cisimle olan bir ilişkisini (altında olma);

(bRa)’ ise cismin düzlemle olan herhangi bir ilişkisini (üstünde olma) temsil etmektedir.

Bu örnek bütünüyle farklı iki modelin aynı yapıyla ifade edildiklerini ve birbirlerini temsil etmediklerini göstermektedir. Başka bir deyişle izomorfizm açısından modeldeki nesnelerin varlığı yeterli olup, bu nesnelerin ne oldukları önemli değildir.

Bu örnekler, izomorfizm izahının tek başına gerek ve yeter koşul olarak alındığında iki farklı model arasındaki farkı ortaya koyamadığını, başka bir deyişle temsiller çoğulluğunu açıklayamadığını göstermektedir. Bohr atom modeliyle eğik düzlem modeli aynı yapısal ilişkilerle ifade edilebiliyorsa bu durumda iki model birbirinden ayırt edilemez. Oysa bir temsil kuramının herhangi bir modelin nasıl olup da tekil bir nesne ya da nesne türünün biricik temsili olduğunu ortaya koyabilmesi gerekir. Bohr atom modeli tek bir hidrojen atomunun temsili olduğu kadar tüm hidrojen atomlarının da temsilidir. Farklı türden bir sistemin, örneğin güneş sisteminin temsili değildir. Bu bağlamda başka bir örnek, fiziksel modellerle ilgili olarak verilebilir. Gerçek bir arabayla aynı geometrik yapıya sahip, yani ona izomorf olan farklı renkte iki oyuncak araba modeli düşünelim. Temsil anlayışımıza göre bu iki model, aynı nesnenin farklı temsilleridir. Oysa

57

izomorfizm izahı, birinci model arabanın hedef arabayla yapısal ilişkisi, ikinci arabanın hedef arabayla yapısal ilişkisiyle aynı olduğundan, iki oyuncak araba arasında yani iki temsil arasında bir ayrım yapamaz (Suárez, 2003, 231).

Üçüncü olarak dolaysız temsil ile dolaylı temsil arasındaki ayrımı hatırlayalım. Bir kimsenin A’nın temsil biçimine ilişkin uzlaşımlara aşina olması durumunda A’nın B’yi temsil ettiğini doğrudan anlayabildiği temsile dolaysız temsil; A’nın temsil biçimine ilişkin uzlaşımlara sahip olmadığımız ve dolayısıyla A’nın B’yi temsil ettiğini kendiliğinden anlayamadığımız temsile de dolaylı temsil adını vermiştik. Şimdi B hakkında bilgi sahibi olabilmek için A üzerinde akıl yürütmek gerektiği açıktır. Bu da bilgili ve söz konusu uzlaşımlara sahip öznelerin varlığını şart koşar. Gerekli akıl yürütmeleri yapacak bilgili kullanıcılar olmadığı durumda temsilin görünürlüğü problematik hale geldiğinden, tek başına izomorfizmin temsil için yeterli olmadığı ortaya çıkar. Dolayısıyla Suárez’in de belirttiği gibi, eğer izomorfizm izahı doğru olsaydı, belli bir fenomene izomorf olan yeni bir matematiksel yapının keşfi, bu yapı bilginler tarafından ilgili fenomene uygulanmadan önce de onun temsili olurdu. Ancak günümüzde hiç kimse uzay-zamanın matematiksel temsilini Einstein yerine Riemann’a ya da kuantum kuramını Hilbert’e atfetmemektedir (Suárez, 2003, 234).

Dördüncü problem, izomorfizm düşüncesinin kusurlu temsile yer bırakmamasıyla ilgilidir. Çünkü izomorfizme göre bir model hedef sistemin tam ve doğru bir tasvirini veriyorsa onu temsil eder. Eğer söz konusu tasvir eksik ya da yanlışsa bu durumda hedef sistemin temsili değildir. Oysa bilginler çoğunlukla hedef sistemin bazı özelliklerini kasıtlı olarak çarpıtarak onu temsil ettiklerinde yanlış bir temsil aracı kullanmış olurlar. Modellerin büyük bir çoğunluğu bu türden yanlış temsillere dayanır. Buna karşın Watson ve Crick’in üçlü sarmal DNA modelinde olduğu gibi bilginlerin bazen hedef sistemin yanlışlıkla isabetsiz temsilini gerçekleştirdikleri durumlar vardır. Bir temsil kusurlu da olsa bir temsildir ve izomorfizm izahı bu durumu açıklamaktan uzaktır. Genel görelilik kuramının yaptığı düzeltmeler olmaksızın Newtoncu güneş sistemi modeli yanlış bir temsildir ve bu haliyle hedef sisteme izomorf değildir. Ancak yine de onu güneş sisteminin bir temsili olarak görürüz (Suárez, 2003, 235). Bilim pratiği hedef sisteme izomorf olmayan ve idealleştirme aracılığıyla geliştirilen kusurlu model örnekleriyle doludur. İdealleştirilmiş modeller Cartwright’ın (1983) ifadesiyle ‘hazırlanmış tasvirlere’

58

izomorfturlar, hazırlanmamış, tam tasvirlere değil. Yani basit sarkaç modelinin örneklediği yapı, hayali bir sarkacın örneklediği yapıya izomorf olsa da, gerçek sarkacınkine izomorf değildir.

Bu durumu daha iyi görmek adına Weisberg’in (2013) verdiği bir örnek eşliğinde osilatör modellerini dikkate alalım. Sönümlü harmonik osilatör modeli aşağıdaki eşitlikle ifade edilir: 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2+2γ ^𝑑𝑥 𝑑𝑡 +ω02x = 0 Burada γ = ^𝑏 2𝑚 ve ω02 = ^𝑘

𝑚’dir. γ sönümlenme parametresi, b direnç kuvvetiyle ilgili bir katsayı, ω0 ise açısal frekanstır. Bu denklem sürtünme katsayısını da dikkate aldığı için gerçek bir yayın hareketlerini tasvir etmede daha uygun bir temsildir ve izomorfist anlayışlar tarafından temsil edilebilir.

Öte yandan basit lineer harmonik osilatör modeli bir öncekine göre yüksek derecede idealleştirilmiş bir modeldir:

m ^𝑑

2𝑥

𝑑𝑡2 = – kx.

Bu denklemde m kütleyi, k yay sabitini, x yayın gerilme miktarını imler. Basit lineer harmonik osilatörün hareketi çizgiseldir, tek boyutta gerçekleşir ve çok küçük bir gerilme miktarı için geçerlidir. Daha da önemlisi tüm gerçek osilatörler sürtünme katsayısı nedeniyle sönümlüdürler. Zamanla enerji kaybedip durgun hale gelirler. Ancak bu idealleştirilmiş modelde sürtünme katsayısına ilişkin bir terim yer almaz. Başka bir deyişle model ile fiili hedef sistem arasında birebir ve örten bir eşleştirme yapılamaz. Nitekim bu durumu fark eden bazı düşünürler bütüncül bir izomorfizm yerine daha ılımlı morfist anlayışlar geliştirmişlerdir. Örneğin Mundy (1986) homomorfizmi, Da Costa ve French ise kısmı izomorfizmi savunur. Burada kısmi izomorfizme değinmekle yetineceğiz. Kısmi izomorfizm aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

[2] A, B’yi ancak ve ancak A’nın sergilediği yapı, B’nin sergilediği yapıya kısmen izomorf

59

[2] ile yapısalcı düşünürler bilim pratiğinde sıklıkla karşımıza çıkan kusurlu temsile yer açmaya çalışırlar. Bu anlayışlara göre bir modelin belli kısımları hedef sistemin bazı kısımlarını temsil etmeyebilir. Kısmi izomorfizme göre hedef sisteme izomorf olan altyapılar olduğu kadar izomorf olmayan altyapılar da vardır. Bu izomorf olmayan altyapıları idealleştirmeler olarak görebiliriz.

İzomorfizme göre bir modelin (yapı), model evreni de denilen n sayıda sıralı öğenin oluşturduğu tanım kümesinden ve bu küme üzerinde tanımlanan ilişkilerden oluştuğunu belirtmiştik. Buna göre ikili bir ilişki sadece, tanım kümesinde bu ilişkiye giren sıralı nesne çiftlerinin kümesidir. Kısmi izomorfizmde ise R ikili bir ilişkiyi ifade etmek üzere

<R1, R2, R3> gibi bir sıralı üçlüden oluşur. R1, öğeler arasındaki ilişkileri ifade eden cümlelerin sağladığı sıralı çiftler kümesidir. R2 ise bu cümlelerin sağlamadığı sıralı çiftler kümesidir. Son olarak R3 sağlanıp sağlanmadıkları belirsiz bırakılan sıralı çiftler kümesine işaret eder. R3 boş küme olduğunda R, normal bir ikili ilişki halini alır ve R1 ile özdeşleştirilir (Da Costa - French, 2003, 19). Anlaşılabileceği gibi bu fikir, Hesse’nin (1966) pozitif, negatif ve nötr analojilerinin yapısalcılıktaki biçimsel izdüşümüdür. Ancak izomorfizmin bu yumuşatılmış hali bazı kusurlu temsilleri açıklayabilme erdemine sahip olsa da eleştirilerden muaf değildir. Da Costa ve French’in belirttiğinin aksine bazen kısmi izomorfizmi yansıtmayan, başka bir deyişle matematiksel yapıda olmayan bilimsel temsillerimiz vardır. İkinci olarak Pincock’a göre kısmi izomorfizm anlayışı, temsil ilişkilerini önemsizleştirmeye yönelik bir tehlike barındırır. Sözgelimi A, tüm çiftlerin tek bir ilişkiyle yer aldığı (R–A) sönümlü harmonik osilatöre benzer tam bir model olsun. Bu modelin tanım kümesi osilatörün mümkün durumlarının yerine geçen (t,

t’’, t’’’) gibi bir sıralı reel sayılar dizisiyle ifade edilebilir. Fiili bir osilatörün herhangi bir

konumu için ilgili durumdan A’ya kısmi izomorfizmler bulabiliriz. Bu kısmi izomorfizmlerden bir tanesi, doğru fiziksel büyüklükleri modeldeki bir durumla eşleştirilecektir. Ancak bu şekilde A, sarkacın anlamlı bir temsili haline gelmez. Çünkü fiili sarkaç nasıl hareket ederse etsin, onun yörüngesini modelde bulabiliriz. Bu da yine tam bir modelin, sadece herhangi bir osilatörü değil, reel sayılarla ölçülen üç fiziksel büyüklüğe sahip herhangi bir sistemi temsil edebileceğini gösterir. Dolayısıyla hedef sisteme kısmi izomorf olan ama onu anlamlı bir şekilde temsil etmeyen modeller olabilir. Ayrıca kısmi izomorfizm, tüm modellerin ilgili oldukları hedef sistemlere

60

yaklaştırılabileceğine işaret etmektedir (krş. Pincock, 2005, 1253-1255). Oysa daha önce de belirttiğimiz gibi bazen idealleştirmeleri kaldırarak hedef sisteme yaklaştırımda bulunamadığımız modellerimiz vardır.

Sonuç olarak bilimde yapıların önemli olduğu inkâr edilemese de, model sistemleri yapılarla özdeşleştirmek mümkün görünmemektedir. Tüm morfist izahlar temsiller çeşitliliğini, kusurlu temsili, faillerin modellemedeki rolünü açıklamaktan uzaktırlar. Ayrıca temsilin biçimsel özelliklerini de karşılayamazlar. İzomorfizm simetrik, geçişli ve dönüşlüyken birebir ve örten bir ilişkinin olmadığı homomorfizm asimetrik ve geçişsiz ancak dönüşlüdür. Kısmi izomorfizm ise kısmi yapılar arasındaki bir izomorfizm olduğundan simetrik, geçişsiz ve dönüşlüdür. Öte yandan bilimsel pratikle de çelişirler. Frigg’in belirttiği gibi bir modelin hedef sistemi doğru bir şekilde temsil edip etmediği sorusunu, ancak o modelin temsili bir aygıt olduğunu kabul ettikten sonra sorabiliriz. Düz dünya modelinin, en başından temsil olduğunu kabul etmeksizin, hangi gerekçeyle yanlış bir model olduğunu söyleyebiliriz? (krş. Frigg, 2002, 17). O halde yapısalcı izahlar, bilimsel temsil problemini, doğru bilimsel temsil probleminden ayırt edememektedirler. Bu sorunları dikkate alarak morfist izahları yanlış bulan bazı düşünürler temsil ilişkisinin morfizm ile değil yapısal olmayan bir benzerlik ile kurulduğunu düşünürler.