Conforme mencionamos anteriormente, segundo Shulman (1986, 1987) o conhecimento pedagógico do conteúdo é construído com base tanto no conhecimento específico como no conhecimento pedagógico quando o professor transforma seu conhecimento específico em conteúdos a serem ensinados. O autor inclui nesta categoria de
conhecimento as representações mais úteis das idéias de uma área específica de conhecimento a serem ensinadas, as analogias mais poderosas, as ilustrações, exemplos, demonstrações etc, além da compreensão do que facilita ou dificulta a aprendizagem de determinados tópicos.
De fato, tais recursos, conhecimentos, são fundamentais para o ensino e, a nosso ver, constituem a essência do que entendemos por conhecimento pedagógico do conteúdo. Podemos dizer ainda que a construção desse conhecimento requer do professor não só o conhecimento de simples fatos, termos ou conceitos de uma disciplina, mas também sua estrutura, suas formas de organização, de conexão de idéias e de sua construção. Sendo assim, ao tratarmos do trabalho do professor de Matemática torna-se fundamental refletirmos acerca das especificidades do conhecimento matemático e sobre isto, conforme mencionamos no capítulo 3, D‘Ambrósio (1993) nos traz valiosas contribuições ao discutir as características desejadas num professor de Matemática.
A primeira delas é a necessidade de os professores compreenderem a Matemática como uma disciplina de investigação e resolução de problemas o que contraria a idéia de que ela é uma disciplina de resultados precisos e procedimentos infalíveis, cujos elementos fundamentais são as operações aritméticas, procedimentos algébricos, definições e teoremas geométricos.
Tal característica é fortemente corroborada por importantes matemáticos. Caraça (1984)10, por exemplo, ressalta que esta ciência pode ser vista sob duas perspectivas distintas:
ou se olha como está exposta nos livros de ensino e a aparência é de todo harmonioso, sem contradições, em que os capítulos se encadeiam em ordem. Ou se procura acompanhar seu processo de desenvolvimento conhecendo a maneira como foi sendo elaborada, construída. Neste caso, como diz o autor, o aspecto é muito diferente pois se percebem hesitações, dúvidas e contradições que só um longo trabalho de reflexão e apuramento pode eliminar e então esta ciência se mostra como um organismo vivo, impregnado de condição humana. Encontramos um bom exemplo sobre o processo de criação matemática no relato de Poincaré11 (1996, apud Ponte et al., 2003, p.14):
Havia já quinze dias que me esforçava por demonstrar que não podia existir nenhuma função análoga às que depois vim a chamar funções fuchsianas. Estava, então, na mais completa ignorância; sentava-me todos os dias à minha mesa de trabalho e ali permanecia uma ou duas horas ensaiando um
10 Bento de Jesus Caraça (1901-1948): matemático português.
grande número de combinações e não chegava a nenhum resultado. Uma tarde, contra meu costume, tomei um café preto e não consegui adormecer, as idéias surgiram em tropel, sentia que me escapavam, até que duas delas, por assim dizer, se encaixaram formando uma combinação estável. De madrugada tinha estabelecido a existência de uma classe de funções fuchsianas, as que derivam da série hipergeométrica. Não tive mais que redigir os resultados, o que me levou algumas horas.
Tendo em vista esta forma de construção do conhecimento matemático, é possível compreender o que para D‘Ambrósio (1993) constitui a segunda característica desejável do professor de Matemática, a visão do que constitui a atividade matemática: uma atividade caracterizada muito mais pela ação de fazer Matemática do que pelo acúmulo de informações. A partir daí, a autora defende que o objetivo do ensino de Matemática deve ser proporcionar aos alunos legítimas experiências matemáticas, ou seja, experiências semelhantes aos dos matemáticos. Também aqui podemos citar as palavras do matemático Jacques Hadamard, confirmando esta idéia:
Entre o trabalho do estudante que tenta resolver um problema em geometria ou álgebra e o trabalho de invenção, pode-se dizer que há apenas uma diferença de grau, uma diferença de nível, tendo ambos os trabalhos uma natureza semelhante. (HADAMARD, 1945, p.104)
Há ainda duas outras características discutidas por D’Ambrósio (1993) que, a nosso ver, estão intimamente relacionadas: a visão do que constitui a aprendizagem matemática e do que constitui um ambiente propício à aprendizagem matemática. A autora ressalta a importância do conhecimento do processo de construção do conhecimento matemático, uma vez que este substitui a noção do aluno como recipiente passivo de fatos e idéias. Considerando estes aspectos, de fato o ambiente propício à aprendizagem matemática caracteriza-se como aquele em que os alunos propõem, exploram e investigam problemas matemáticos.
De nosso ponto de vista, temos aqui delineadas as principais especificidades do conhecimento matemático e o modo como sua compreensão contribui para que o professor de Matemática construa e desenvolva o conhecimento pedagógico do conteúdo.
A partir disto, podemos dizer que a análise dos dados de nossa pesquisa confirma tal compreensão sobre o processo de construção do conhecimento pedagógico matemático. E mais, podemos dizer ainda que a análise contribuiu para melhor compreendermos este processo pois, como vemos nos trechos seguintes, alguns professores perceberam novas
possibilidades de trabalharem o conteúdo matemático em sala de aula e descrevem a prática que passaram a realizar a partir do trabalho no projeto:
(...) tinha muita coisa que muitas vezes eles ficavam em dúvida e às vezes você não tinha uma saída assim...eu falava assim ‘ai meu Deus...?!?’ e às vezes eu acabava respondendo a questão, entendeu? Pro aluno. E hoje não, (...) você teria assim...começou a aparecer os argumentos (...) eu já comecei a fazer isso, falei assim ‘olha, como é que você faria isso, como é que você separaria, que combinação daria?’, aí eu.. falei assim ‘olha, se você tivesse, por exemplo, botões de diversas cores, diversos tamanhos, diversos formatos, como que você queria separar esses botões?’, ‘ah, professor, eu ia pegar primeiro os grandes depois os pequenos’, ‘tudo bem! E depois?’, ‘ah, eu separaria os redondos dos quadrados’, ‘e depois?’ (...) ‘O que você está fazendo? Você não está agrupando? Você não está formando pares diferentes de acordo com as semelhanças de alguma coisa que eles têm? (...) Muda teu pensamento agora, né.. você não está trabalhando com cores, você não está trabalhando com formas, você está trabalhando com números’, ‘ah, então eu posso jogar e nesse aqui sair um e nesse aqui pode sair o dois?’, ‘então.. marca!’ (...) Então, nesses pontos assim que eu acho que mudou, entendeu?. (Ent. – Prof. Carlos)
Porque é muito tecnicista a coisa, então por instinto você ia.. pela Matemática antiga, né...’Olha dois vezes dois quatro, você faz isso aqui, tal, coloca lá, desce um, tal..’, por que vai esse um?, entendeu? sobe um, (...) Eu comecei dar aula pro aluno achando que o aluno sabia o porquê que ia esse um. E aí, de repente você percebe que ele sobe um mas ele não sabe o quê que sobe. E aí paro o garotinho e falo ‘não, mas espera aí...deu, vamos supor, nove mais nove deu dezoito, ficou oito aqui, oito o que? Não é dezoito? Oito unidades não é? Subiu o que? Um. Mas esse um significa o que? Dezena, aí você soma com fulano, são tantas dezenas, vai dar...’. Então eu acho que esse tipo de coisa já mudou... as lacunas que eu falei que estavam vazias, já começaram a ser preenchidas, entendeu? E quem me ajuda nesse ponto? A equipe. (Ent. – Prof. Carlos)
Notamos na fala do professor Carlos elementos muito interessantes. Por exemplo, quando ele se refere à “Matemática antiga” a nosso ver ele revela na verdade sua nova visão sobre a Matemática, pois ele ensina o mesmo conteúdo, porém de maneira diferente, ou seja, ele explica não simplesmente o procedimento algorítmico mas também os seus significados, os conceitos ali envolvidos. Isto para nós consiste em conhecimento pedagógico do conteúdo
sendo elaborado a partir do conhecimento matemático e de suas especificidades, conforme discutidas anteriormente, bem como dos conhecimentos pedagógicos (conhecimento sobre o aluno, por exemplo).
No caso seguinte, a professora conta-nos o que para ela foi a grande novidade de sua experiência no projeto: o modo como os conteúdos matemáticos podem ser trabalhados em sala de aula a partir da exploração e investigação.
Então o quê que aconteceu? Trabalhando as atividades você parte de um tema pra aprofundar outros assuntos, essa é a novidade. (...) Por exemplo, o projeto dos dados, porque foi o que eu trabalhei, eu gosto e me identifiquei com ele. (...) Eles [os alunos] precisaram jogar pra fazer o gráfico. Então é o que a gente pode colocar, você precisa de uma situação pra ter um gráfico, se ele tá lá no jornal ele não tá por acaso, alguma coisa tem que ter acontecido pra aquilo lá estar lá. (...) Por exemplo, o gráfico entra na oitava série, então você, lá na oitava, você dá os tipos de gráficos, os gráficos de coluna, né...gráficos de setor.. enfim, aí tem as situações problemas do livro e você... Mas isso não parte assim, de uma situação bem real: ‘eu tive que fazer isso pra chegar nisso’. (Ent. – Profª. Daniela)
Entendemos através destes relatos que estes professores perceberam novas possibilidades de compreender conteúdos matemáticos e, com isto, novas formas de ensinarem Matemática em sala de aula.
Por fim, no trecho seguinte, a professora Helena descreve seu trabalho de elaboração de atividades e, com isto, ela revela, a nosso ver, não só a compreensão do conteúdo (conhecimento específico) mas também o conhecimento pedagógico do conteúdo que ela elaborou, essencial para a produção dessas atividades (conforme discutimos na seção sobre a produção de material didático):
Estou junto com o Fernando e com a R. desenvolvendo o projeto
Escalímetro. Tivemos dificuldades em iniciar o projeto, pois não é parecido com aqueles desenvolvidos nas aulas regulares, pois o projeto tem que conter atividades exploratórias e investigativas para que possa permitir ao aluno construir e organizar o conhecimento gradativamente, que começa com uma simples brincadeira de arrumar o laboratório de Matemática e termina com a construção e o uso do escalímetro. (...) Neste meio serão abordados conceitos de razão, proporção e regra de três (...). A primeira parte das atividades está concluída, nesta parte o aluno percebe através do
seu desenho do laboratório que os objetos não foram diminuídos proporcionalmente, e para isso precisa ser adotado uma escala. O nosso objetivo nesta parte é introduzir os conceitos de razão, escala e proporção. (Rel. – Profª. Helena)
Considerações Finais
Aqui e ali, onde haja novatos e veteranos, jovens e pessoas de
mais idade, uma espécie qualquer de ensino se desenvolve.
Todos somos discípulos e todos somos professores.
Gilbert Highet
A elaboração e desenvolvimento do Projeto Feira de Matemática se deu com base em constatações e observações feitas pelos professores envolvidos no Projeto, aliado ao desejo dos pesquisadores e estudantes de desenvolver um trabalho junto aos professores no contexto real da prática docente, implementando propostas de projetos de Matemática cujo objetivo principal consiste em abordar conteúdos matemáticos de modo exploratório, investigativo. Esta iniciativa teve como objetivo, comum a todos os participantes (professores, estudantes e pesquisadores), contribuir para melhoria da qualidade do ensino e aprendizagem de Matemática.
Conforme descrevemos no capítulo 2, a elaboração do Projeto foi pautada em três dos diversos problemas levantados pelos professores: a falta de motivação e interesse dos alunos com relação à aprendizagem de Matemática; o isolamento do professor; e a percepção de que o ensino de Matemática se dá forma mecanicista, baseado excessivamente na memorização e reprodução de procedimentos e algoritmos. Sendo assim, seguindo as diretrizes de um projeto de pesquisa-ação, seu objetivo foi atuar nesses três pontos, visando a criar um círculo virtuoso de atitudes positivas dos alunos e professores, que alimentasse e fosse alimentado por um aprendizado investigativo, significativo e prazeroso de Matemática.
O processo de implementação e desenvolvimento deste Projeto foi marcado essencialmente por um caráter emergente. Diversas dificuldades foram encontradas e inúmeras questões e situações de imprevisibilidade foram surgindo da prática. Para lidar com esta realidade, o Projeto foi sendo desenvolvido de maneira a atender as necessidades emergentes deste contexto e para tanto foi se constituindo um efetivo trabalho de equipe, fundamentado na troca, no diálogo entre professores e pesquisadores, especialmente a partir dos encontros para discussão e reflexão das questões práticas que emergiam do trabalho com os alunos. Com o passar do tempo, fomos percebendo um progresso na atuação dos professores, que acontecia na medida em que eles iam concebendo um novo papel em sala de
aula, que, por sua vez, estabelecia uma nova dinâmica de aula. Sendo assim, conforme mostramos ao longo do estudo que ora concluímos, o Projeto foi se constituindo num espaço coletivo e colaborativo de produção e troca de experiências e conhecimentos.
Este contexto nos impulsionou a desenvolver o presente estudo em que focalizamos o processo vivido pelos professores participantes do Projeto Feira de Matemática, buscando compreender o desenvolvimento profissional docente em tal contexto. Para isto, ao acompanhar de perto a vivência desses professores e também interagindo com eles como participantes do Projeto, procuramos conhecer suas próprias percepções a respeito de seu trabalho docente, suas concepções e evolução de sua prática no referido contexto. Paralelamente, íamos buscando na literatura um embasamento teórico que nos ajudasse a compreender o processo em estudo. Assim, tendo reunido um volume significativo de dados, passamos a analisá-los detidamente, à luz da literatura, procurando compreender o processo em questão e então identificar as possíveis contribuições para o desenvolvimento profissional dos professores e, com isto, buscamos possíveis respostas para a pergunta norteadora desta pesquisa, a saber:
Como e em quais aspectos um projeto colaborativo universidade-escola, voltado para a implementação de propostas de projetos de Matemática para uso em sala de aula, pode contribuir para o Desenvolvimento Profissional de Professores de Matemática?
Neste momento em que finalizamos o presente estudo, queremos apresentar em síntese o que ele nos revela a respeito do processo investigado.
Em primeiro lugar, o estudo nos revela que o Projeto Feira de Matemática se constituiu num contexto propício, facilitador e estimulador da reflexão sobre a prática e da partilha de experiências e conhecimentos, garantindo aos professores um apoio efetivo em situações de imprevisibilidade, muitas vezes complexas, comuns à prática docente, especialmente no contexto específico do Projeto. Tal contexto promoveu, ao longo do tempo, um importante processo de aprendizagem docente no qual se destaca a construção (ou reconstrução) de conhecimentos pedagógicos e conhecimentos pedagógicos de conteúdo matemático e, conforme nos mostra a análise realizada, três foram os aspectos principais que caracterizaram este contexto e que, ao se complementarem, estabeleceram condições favoráveis à promoção do referido processo de aprendizagem docente.
O primeiro destes aspectos diz respeito à relação universidade-escola que foi sendo construída no âmbito do Projeto. Constituída a partir da participação voluntária dos professores, da confiança e respeito mútuos entre professores e pesquisadores e do apoio
efetivo da equipe da universidade, podemos dizer que esta relação constitui uma colaboração entre professores e pesquisadores fundamentada na troca, na partilha de experiências, na socialização de conhecimentos, no diálogo e na reflexão coletiva tendo como ponto de partida a prática em sala de aula. Sobre tal processo colaborativo é importante destacarmos uma de suas características fundamentais: a negociação entre os participantes (professores e pesquisadores) em todo o processo de planejamento e implementação das propostas do Projeto, ou seja, existe um efetivo reconhecimento do saber prático dos professores.
Neste sentido, podemos mencionar diversos exemplos de episódios em que a negociação entre professores e pesquisadores orientou a definição dos procedimentos no Projeto: ao iniciar suas atividades, a intenção dos pesquisadores era de que cada professor desenvolvesse diversos projetos em cada uma das turmas, de maneira que cada grupo de alunos trabalhasse com um projeto distinto. Tal proposta foi considerada inviável pelos professores e então se decidiu que cada professor trabalharia com apenas um projeto em cada turma. Também o tempo previsto para conclusão dos primeiros projetos, planejado inicialmente para algumas semanas, foi estendido para todo o semestre. Outro exemplo significativo sobre o processo de negociação se refere à elaboração de atividades complementares focadas em conteúdos curriculares. Esta foi proposta pelos pesquisadores já no início do Projeto, porém aconteceu de fato apenas depois de dois anos e por iniciativa dos próprios professores.
Também a relação entre os pares constituiu um dos três aspectos principais, característicos do contexto em estudo. A questão do isolamento do professor foi um dos principais problemas que serviram de pano de fundo para elaboração do Projeto Feira de
Matemática, e justamente sobre tal aspecto foi possível perceber uma importante e
significativa contribuição do contexto colaborativo constituído no Projeto. Referente a este aspecto, diversos professores enfatizaram a melhora no relacionamento pessoal entre os docentes, possibilitando que eles experimentassem e começassem a desenvolver uma cultura de trocas, de colaboração entre os pares. Tal cultura passou a ser desenvolvida ao longo de todo um processo gradativo, que começou pela aproximação ao perceberem uma identidade, uma afinidade uns com os outros, o que contribuiu com a melhora no relacionamento pessoal e profissional.
Como um terceiro aspecto constituinte das condições favoráveis à promoção de aprendizagem docente no contexto do Projeto Feira de Matemática, destacamos a produção de material didático. Conforme discutimos no capítulo 5, este se mostrou como um importante
instrumento para aprendizagem docente. Aqui vale ressaltarmos que, além da professora focalizada no capítulo cinco, outras duas professoras começaram a produzir de fato as primeiras propostas de projetos e atividades para serem desenvolvidas nas oficinas do Projeto. No entanto, elas não foram mencionadas porque somente pudemos observar este fato a partir de seus relatórios apresentados no final do mês de junho de 2005, já na fase final de redação deste trabalho. Contudo, consideramos este um resultado extremamente significativo e que expressa de maneira clara que cada professor tem o seu tempo, que o processo de aprendizagem e desenvolvimento docente acontece de modo particular, específico a cada professor.
Foram estes três aspectos aqui comentados que, ao se complementarem, constituíram um contexto propício à promoção de um processo de aprendizagem docente, no qual se destacaram a construção dos conhecimentos pedagógicos e conhecimentos pedagógicos de conteúdos matemáticos conforme discutidos no capítulo 5. É importante ressaltar que tal processo foi acontecendo em um movimento contínuo e evolutivo, partindo essencialmente da prática, da experiência pessoal do professor, a qual foi sendo questionada e refletida constantemente, de maneira que as ações e reflexões foram configurando o seu próprio fazer e, com isto, produzindo e/ou transformando conhecimentos. Além disto, as trocas intersubjetivas com outros sujeitos da prática educativa se mostra um fator essencial no processo de aprendizagem e desenvolvimento profissional docente.
Em segundo lugar queremos ressaltar que, além destes aspectos que se constituíram em condições propícias que promoveram o processo de aprendizagem docente, as atividades matemáticas desenvolvidas no Projeto possibilitaram aos professores (pelo menos alguns deles) vislumbrar uma outra visão da Matemática, uma visão em que ela é compreensível, constituída por um corpo de conhecimentos articulados e inter-relacionados, que funciona como um organismo vivo, o que é contrastante com aquela visão de que a Matemática é um conjunto de fatos, regras e técnicas. Esta tomada de consciência, a nosso ver, foi um fator essencial para a construção de conhecimentos pedagógicos gerais e de conteúdo matemático. Neste sentido, notamos que as questões que emergiram do tratamento do conteúdo específico, das atividades matemáticas de natureza investigativa, exploratória, foram fatores fundamentais para a construção de conhecimentos pedagógicos. Portanto, entendemos que a discussão e a reflexão focada especificamente nos conteúdos matemáticos contribuem significantemente para a promoção de aprendizagem docente, especialmente no que se refere