Bulanık Küme ve Üyelik Fonksiyonu

Yukarıda değinilen bilgilerde, daima yaklaĢıklık ve bulanıklık içerdiği anlaĢılmaktadır. Bulanık mantık‟ın temel elemanı bulanık kümelerdir denilebilir. Geleneksel küme teorisi ile bulanık küme teorisi arasındaki temel fark üyelik fonksiyonlarıdır. Bulanık kümeler, üyelik fonksiyonları ile karakterize edilirler. Bulanık bir küme sonsuz sayıda üyelik fonksiyonu ile nitelenebilmektedir. Aslında bu üyelik fonksiyonları birer sayıdan baĢka bir Ģey değildir. Belirsizlik durumlarında en uygun yöntembilim esasının küme elemanlarına değiĢik üyelik derecelerinin verilmesi ile olacağı Lütfi Asker zade tarafından 1965 yılındaki makalesinde belirtilmektedir.

Bulanık mantığın merkezini bulanık kümeler oluĢturmaktadır. Günlük hayatta kullandığımız uzun boylu kümesi kiĢiden kiĢiye değiĢebilmektedir. Bulanık mantığın sağladığı en büyük fayda insana özgü kavramların modellenebilmesi ve belirsiz durumların sayısallaĢtırılarak matematiksel olarak ifade edilebilmesidir (Arslan ve Gürel, 2008:57).

Küme kuramı kulağa matematiksel olarak gelse de anlaĢılması kolaydır. Örneğin “orta yaĢ” kavramı incelenecek olursa, bu kavramın sınırlarının kiĢiden kiĢiye değiĢiklik gösterdiği görülür. Kesin sınırlar söz konusu olmadığı için kavram, matematiksel olarak da kolayca formüle edilemez. Bu kavram grafik olarak ifade edilmek istendiğinde sonuç olarak bir eğri ortaya çıkacaktır. Bu eğriye “aitlik eğrisi” adı verilir ve kavram içinde hangi değerin hangi ağırlıkta olduğunu gösterir. Zadeh, bulanık küme elemanlarının üyelik derecelerini göstermek için [0-1] aralığındaki gerçek sayıların kullanılmasını önermiĢtir (Zadeh, 1965:338-353).

Bulanık küme teorisinin üyelikten üye olmamaya dereceli geçiĢi ifade etmesindeki yeteneği, belirsizlikleri tanımlamada önemli bir yere sahiptir. Bulanık küme teorisi belirsizliğin ölçülmesinde güçlü ve anlamlı araçlar sunmasına ek olarak dilsel olarak ifade edilen kavramların anlamlı bir biçimde temsilini sağlar (Sarı ve diğ., 2005:78).

Bulanık mantık ile modellemede iĢleyiĢ, giriĢ-çıkıĢ değiĢkenlerinin üyelik derecelerinin belirlenmesi, kuralların oluĢturulması, bu kurallardan çıkıĢ

karakteristiklerinin belirlenmesi,çıkıĢ üyelik fonksiyonlarına geçiĢ ve en son adım olarak, bu sistem çıkıĢının elde edilmesi Ģeklindedir (Fırat ve diğ., 2008:450).

Bir karar verme durumunda, çoğu zaman bir ölçütten çok daha fazla ölçüt göz önünde bulundurularak karar verilir (Yager,1981). Bir karar verme kümesi, en iyi seçimin yapılabilmesi için alternatifler kümesi ve kriterler kümesinden oluĢmaktadır (Bellman and Zadeh,1970). Bazı durumlarda ölçütlerimizin bir kısmını üyelik derecesi 1 olarak karĢılarken bazılarının üyelik derecesini 1‟den az olacak Ģekilde karĢılayabilir. Bu durumlarda bulanık mantık gerçek kararlar vermemizi sağlar (Arslan ve Gürel, 2008:58). Bir üyelik fonksiyonu 0 ile 1 arasında bir üyelik değerinde giriĢ uzayındaki her noktanın nasıl belirleneceğinin ayrıntısıyla planlamasını sağlayan bir dalgadır (URL-10).

Klasik kümeler ile bulanık kümeler arasındaki en temel fark üyelik fonksiyonlarıdır. Klasik ve bulanık kümelerin alabileceği değerler Ģekil 2‟de gösterilmiĢtir. ü(x) ü(x) 1.0 ………____________…….. 1.0 ……….. 0.5 0 x 0 x

A (klasik küme) B (bulanık küme)

ġekil 2. Klasik ve Bulanık Kümelerin Gösterimi (ġen, 2001:18).

Klasik kümeler üye olma ve üye olmama çerçevesinde geliĢtirilmiĢlerdir. Klasik küme teorisinde kesin sınırlı küme kavramı da kullanılmaktadır.

Bulanık bir küme, değiĢik üyelik derecesinde öğeleri olan bir topluluktur (Baykal ve Beyan, 2004:74). Böyle bir küme, elemanlarının her birine 0 ile 1 arasında üyelik değeri atayabilen bir üyelik fonksiyonu ile karakterize edilebilir. Kümeye dahil olmayan elemanların üyelik değerleri 0, kümeye tam dahil olanların üyelik değerleri de 1 olarak atanmaktadır. Kümeye dahil olup olmadıkları belirsiz olan elemanlara ise belirsizlik durumuna göre 0 ile 1 arasında değerler atanır. Oysa klasik küme teorisinde belirsiz eleman diye bir Ģey söz konusu değildir. Bir eleman ya kümeye dahildir ya da

tamamı ile kümenin dıĢındadır. Dolayısıyla kesin kümelerde bir elemanın alabileceği üyelik değeri ya 0 ya da 1‟dir (AltaĢ, 1999:82).

Bulanık kümeler tanımlı oldukları evrensel küme ile ilgili bir kavram ve bu kavramın kullanıldığı ortama göre biçimlenir. Bulanık küme teorisinde üyelik fonksiyonlarını belirleme süreci için özel algoritmalar geliĢtirilmiĢ olmasına rağmen, bir çok uygulama iĢlemse kolaylık sağlanması nedeniyle parametrik olarak ifade edilebilen üyelik fonksiyonları ile gerçekleĢtirilmiĢtir. Üyelik fonksiyonlarının doğru ve uygulama ile örtüĢen bir Ģekilde belirlenmesi, bulanık küme teorisinde önemli bir yer tutmaktadır. Çünkü üyelik fonksiyonları bulanık küme teorisinin esasını teĢkil etmektedir (Özkan, 2003:10).

Bulanık kümelerde klasik kümlere benzer Ģekilde iki yöntemle gösterilmektedir. Bunlardan birincisi küme elamanlarının üyelik derecelerine göre sıralanması, diğeri de matematiksel olarak üyelik fonksiyonu tanımlamak Ģeklindedir. Bulanık kümelerde üyelik dereceleri arasındaki geçiĢ yumuĢak ve sürekli bir biçimde olmaktadır. Öğeler bulanık kümeye kısmi derecede aittir. Bulanık kümelerde klasik kümelerdeki karakteristik fonksiyon , _A:E{0,1} yerini üyelik fonksiyonuna bırakır. Bu da;

: [0,1]

A E

  Ģeklinde gösterilir.

Herhangi bir bulanık küme, elemanlarının ait olma derecelerini gösteren bir karakteristik veya üyelik fonksiyon ile temsil edilebilir. Genel olarak küme üyelerini değerleri ile değiĢiklik gösteren eğriye üyelik fonksiyonu adı verilir. Üyelik fonksiyonu grafiğinde x ekseni üyeleri gösterirken, y ekseni de üyelik derecelerini gösterir. A bulanık kümesi, _A:E[0,1], A‟nın üyelik fonksiyonu ve _A( ) [0,1]x  xE‟nin A daki üyelik derecesi olmak üzere; A{(_A( ), )}x x olarak yazılır (Baykal ve Beyan, 2004:76).

y (üyelik dereceleri)

0 x (üyeler)

ġekil 3. A Kümesinin üyelik gösterimi

Bulanık kümenin ayrık olması durumunda; A





_A( ) /x_i x_i



Ģeklinde gösterilir (Baykal ve Beyan, 2004:76).

ġekil 4. Ayrık zamanlı bulanık küme (AltaĢ,1999:84)

Bulanık kümenin sürekli olması durumunda; A{



_A( ) / }x_i x_i Ģeklinde gösterilir (Baykal ve Beyan, 2004:77).

ġekil 5. Sürekli zamanlı bulanık küme (AltaĢ, 1999:84)

Bu denklemlerde;

X : uzay kümesi (kesin küme)

x : uzay kümesinin kesin küme elemanları A : bulanık küme

µA(x) : x kesin elemanlarının A bulanık kümesindeki üyelik dereceleridir.

Bu denklemlerde kullanılan Σ ve ∫ iĢaretleri toplama ya da integral alma anlamında değil üyelik fonksiyonlarının birleĢimini temsil etmektedirler. Ayrıca bölme çizgisi de bölme yapmak amacıyla değil sadece bir iĢaret olarak kullanılmaktadır (AltaĢ, 1999:84).

Kuralları sisteme girmek için ihtiyaç duyulan üyelik fonksiyonu, her giriĢin katılımının büyüklüğünün grafiksel olarak temsilidir. Üyelik fonksiyonu, gerekli her giriĢ ile ağırlığı birleĢmekte, giriĢler arasındaki fonksiyonel aĢırmaları belirlenmekte ve son olarak bir çıkıĢ cevabı oluĢturmaktadır. Kurallar son çıkıĢ kararının bulanık çıktıdaki etkisini belirlemek için faktörleri ağırlandırarak giriĢ üyelik değerini kullanmaktadır (Kaehler,2010:1).

Bulanık kümeleri karakterize eden üyelik fonksiyonlar değiĢik biçimlere sahiptirler. Çok sayıda üyelik fonksiyonu tipi vardır. Pratikte en fazla kullanılanlar: üçgen, yamuk, çan eğrisi, gaussian, sigmoid fonksiyonlardır. Bu üyelik fonksiyonu

türlerinin yanı sıra sinüsoid ve cauchy türü fonksiyonlar da yeri geldikçe kullanılmaktadır (Kahya, 2003:24). ġekil 6‟da üyelik fonksiyon tipleri verilmiĢtir.

ġekil 6. Üyelik Fonksiyon Tipleri (Kahya, 2003:24)

Pratik uygulamalarda bunlardan en fazla üçgen, ondan sonra yamuk olanı kullanılmaktadır (ġen,2001:32). Bir üçgen üyelik fonksiyonu üç parametre ile tanımlanmaktadır. ġekil 7 „de üçgen üyelik fonksiyon formülü verilmiĢtir.

1 2 1 2 1 1 2 3 2 3 3 3 2 3 1 ( ) / ( ) ( ; , , ) ( ) / ( ) 0 A a x a ise x a a a x a a a a x a ise a x a a x a veya x a ise



        _              

ġekil 7. Üçgen Üyelik Fonksiyon Formülasyonu

(Baykal ve Beyan,2004:78)

Bulanık kümede üyelik dereceleri ile elemanın kümeye ait olması farklılaĢır ve üyelik dereceleri 0 ile 1 arasında sayılarla temsil edilirler. Bulanık kümenin üyelik fonksiyonun parametrelerinin değiĢimi, bulanık kural temeline dayanan modellemede büyük önem arz eder.

Belgede HAZIR GİYİM SEKTÖRÜNDE BULANIK UZMAN SİSTEM YAKLAŞIMI İLE BEDEN NUMARASI BELİRLEME (sayfa 48-53)