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Como disse Romberg (1992), para realizar uma pesquisa, “a decisão sobre que métodos utilizar segue diretamente das questões que se seleciona, da visão de mundo na qual essas questões estão inseridas, do modelo preliminar que foi construído para explicar o fenômeno de interesse, e da conjectura que se faz a respeito da evidência necessária”.

Passamos, então, para o segundo bloco de Romberg, compreendendo as atividades (5) e (6), que requerem do pesquisador a capacidade de planejar e programar caminhos e procedimentos que o levem a responder ao Problema da Pesquisa. Esse planejamento se apresentou para nós como um projeto de pesquisa envolvendo uma análise do trabalho desenvolvido por alunos de diferentes séries curriculares quando postos diante de situações-problema envolvendo o conceito de função.

Como professora pesquisadora, refletindo sobre o material coletado, pudemos compreender a necessidade, implícita ou explicitamente revelada em todo trabalho de pesquisa em educação matemática, de se encontrar dinâmicas diferentes para o trabalho em sala de aula. Devemos fazer com que nossos alunos

possam dar sentido aos nomes dados aos conceitos que procuramos definir. Que saibam relacionar esses nomes dados em linguagem vernácula, com objetos do mundo físico; que identifiquem um determinado construto matemático dentro de uma teoria matemática; e, por fim, que possam relacioná-los a um símbolo matemático que expresse e reflita uma técnica operatória.

No artigo, Mathematical Meaning and Applicational Meaning in the Semantics of Fractions and Related Concepts 74_{, de Stellam Ohlsson, publicado em} Number Concepts and operations in the Middle Grades 75 (NCTM, 1989, 3ª edição:

1991), encontramos um diagrama expressando a relação entre o significado matemático e o significado aplicacional de um conceito.

Uma descrição de uma situação do mundo real em termos de um construto matemático envolve pelo menos as quatro seguintes entidades: (1) um construto matemático; (2) uma situação do mundo real; (3) um conceito da linguagem natural que especifica o sentido do constructo dentro de uma particular aplicação; e (4) uma correspondência entre o constructo matemático e a situação do mundo real que especifica a referência do constructo dentro de uma particular aplicação.

74_{Significado Matemático e Significado Aplicacional na Semântica das Frações e Conceitos Relacionados} 75 _{Conceitos Numéricos e operações nas 6º., 7º. e 8º. séries}

refere-se Construto Matemático Símbolo Matemático Objeto físico Palavra na linguagem natural Conceito referência adquirida Decisão para aplicar refere-se expressa Situação do Mundo Real Teoria matemática

Uma aplicação significa tanto um sentido como uma referência a um construto matemático. Chama-se, a esse tipo de significado, significado aplicacional. Um construto matemático adquire seu significado a partir da teoria (postulados e teoremas) na qual ele está encaixado e as proposições dessa teoria funcionam como postulados de significado para seus construtos.

Dando continuidade à nossa pesquisa, passamos para o 2° Bloco de Romberg, lançando mão, do Modelo Modificado 2, onde as variáveis aparecem nele dispostas, (p.160).

A atividade 5, nesse Bloco, sugere como estratégia geral (EG), criar um

projeto para desenvolver o trabalho pretendido por nós, ao analisar os trabalhos de alunos, de diferentes séries, visando à construção do conceito de função e de outros a ele relacionados.

Olhando para o Modelo Modificado 2, pudemos compreender que a estratégia geral EG deveria ser composta por uma série de estratégias auxiliares:

E1, E 2,E3, E 4, E5, E6, E7, E8 .

Como E1, vimos que tudo o que o passo 1, do Modelo Modificado 2 pedia, já havia sido trabalhado no Capítulo 3 – Documentos Oficiais.

A estratégia E2, considerando a História da função contida da História da Álgebra que, por sua vez, está contida na História da Matemática já fora trabalhada no Capítulo 4 – A inserção do tópico Funções no domínio da Álgebra.

O passo 3 do Modelo Modificado 2, já havia sido considerado no Capítulo 5 – Resolução de Problemas – e, em seu item 5.2, o tema emergente Ensinando Matemática através da resolução de problemas, nos levaria à construção de um Roteiro de trabalho para a sala de aula, como uma metodologia de ensino- aprendizagem-avaliação, gerando a estratégia E3. A estratégia E3, com uma visão associada à de avaliação, foi considerada como a estratégia E4.

A partir daí, outros passos do Modelo Modificado 2 passaram a constituir- se como novas variáveis para o Problema de Pesquisa, e a exigirem novas investigações.

Como E5 faremos uso dos pontos focais curriculares do NCTM e procuraremos encontrar, nos PCNs e nas Propostas Curriculares do Estado de São Paulo, recomendações e conteúdos referentes ao conceito de função.

Como E6, faremos uma seleção de trabalhos realizados pelos alunos, das diferentes séries escolhidas – 6ª, 7ª, e 8ª do Ensino Fundamental e 1°, 2° e 3° anos do Ensino Médio. Nesse passo deveremos analisar com bastante atenção os trabalhos dos alunos, uma vez que temos, como propósito, diagnosticar caminhos e identificar compreensões e concepções errôneas que tenham relação com a introdução, a evolução e a aplicação do conceito de função, e outros conceitos relacionados, ao fazer uso da resolução de problemas, antes mesmo de terem sido trabalhados os conteúdos matemáticos necessários à sua resolução.

Consideramos que seria importante criar questionamentos que pudessem ser comuns a todas as séries e outros específicos a cada uma delas.

Como E7, o passo seguinte seria o da aplicação desse projeto.

Como E8, visamos diagnosticar, em todos esses trabalhos, acertos, concepções errôneas e erros, analisá-los e buscar superar as dificuldades encontradas.

Correspondentes a essas estratégias selecionadas, a atividade 6 de Romberg pede por procedimentos. Assim, correspondente a EG ter-se-ia o procedimento PG : a criação do projeto.

Para chegar a PG devemos selecionar os procedimentos auxiliares P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 e P8 correspondentes às estratégias E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7 e E8, e pô-los em ação. Para isso devemos construir inicialmente um roteiro de atividades.

Roteiro de Atividades

1. Agrupar, em blocos, atividades desenvolvidas por alunos das 6ª, 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental e por alunos dos 1°, 2° e 3° séries do Ensino Médio.

2. Analisar cada bloco escolhido e selecionar aquelas atividades que dizem respeito ao conceito de função e demais conceitos relacionados.

3. Listar questionamentos relativos às atividades a essas seis séries.

De início foram levantados possíveis questionamentos relativos às atividades a essas seis séries, reconhecendo a possibilidade de utilizar somente aqueles que mais de perto atendessem à nossa pergunta da pesquisa em suas várias indagações.

Verificar, para cada série:

1) Se todas se referem de alguma forma ao conceito de função.

2) Se todas as atividades trabalham a partir de resolução de problemas.

3) Se essas atividades usam a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-

Avaliação ou outra metodologia.

4) Se, nessas atividades, os alunos percebem a relação das palavras função e dependência. Que palavras os alunos usaram para expressar uma relação funcional?

5) Como o professor nessas atividades vê o conceito de função nos problemas selecionados?

6) Se há nessas atividades, indícios de concepções errôneas: (a)

supergeneralização, (b) superespecialização, (c) tradução incorreta e (d) concepções limitadas.

7) De que forma o professor, nessas atividades, se preocupou em chamar a atenção dos alunos, na resolução dos problemas, sobre o conceito de função?

8) Em cada série, o que o professor, nessas atividades, pode fazer para levar o aluno a perceber a relação funcional entre as variáveis contidas nos problemas?

9) Como o professor pode averiguar a dificuldade da passagem da

linguagem falada para a linguagem matemática dos alunos?

10) Se nessas atividades, foram seguidas as recomendações curriculares e a distribuição de conteúdo por séries, dos PCNs e/ou das Propostas Curriculares do Estado de São Paulo? E do NCTM? E dos Pontos Focais Curriculares?

11) Com relação ao conteúdo, foram trabalhadas formas de raciocínio algébricos por meio de:

• Padrões lógicos, tanto por meio de símbolos quanto por meio de palavras?

• Representações como diagramas, retas numeradas, tabelas, gráficos que podem ser utilizados para ilustrar situações matemáticas e relações?

• Simbolismo, envolvendo equações e variáveis, para expressar

generalizações de padrões e relações?

• Variáveis, com significados diferentes, ora representando variáveis que variam ou mudam, como em uma função; ora como valores desconhecidos específicos, como em uma equação, e ora representando quantidades, como em uma expressão generalizada ou fórmula?

• Equações e desigualdades, utilizadas para expressar relações entre quantidades?

12) A possibilidade, nessas atividades, de levar o aluno a um automonitoramento, como co-construtor de seu próprio conhecimento.

13) Identificar nessas atividades, aspectos cruciais do ensino da álgebra: a) álgebra como uso de letras para representar números, b) consciência

explícita do método matemático que está sendo simbolizado pelo uso tanto de números quanto de letras.

14) Analisar nessas atividades, fontes de dificuldade relativas a: a) algumas são inerentes à matéria em si; b) algumas são intrínsecas ao aprendiz; e c) algumas são consequências não intencionais advindas de técnicas

geralmente boas de ensino.

15) Nessas atividades pode-se perceber, nos alunos, o envolvimento do raciocinío com proporção, com o senso de covariação, o de comparações múltiplas e com a capacidade de armazenar e processar mentalmente várias informações?

16) Nessas atividades, os Princípios da Aprendizagem foram considerados pelos professores?

17) Foi feito nessas atividades, o uso de história da função durante sua aplicação?

18) Reconhecer que chegar a resposta é menos importante do que colocar o foco no processo ou método de resolução?

19) Se os estudantes do Ensino Médio devem compreender a ideia básica de uma função como:

a) uma regra de correspondência; b) tabela de duas colunas de números; c) um gráfico

20) Para funções simples, estudantes do Ensino Médio podem: a) identificar padrões?

b) completar informações sobre domínio e imagem? c) descrever verbalmente regras de associação?

e) representar no plano cartesiano a função?

Como professora-pesquisadora, pretendemos analisar, em todas as séries, a possibilidade de se antecipar a introdução do conceito de função antes que este seja introduzido formalmente na 1a _{série do Ensino Médio. No entanto, no} que diz respeito às questões acima, serão consideradas, na análise de cada série em particular, somente as questões que se mostrarem mais adequadas àquela série.

No próximo capítulo, passaremos para o Bloco 3 de Romberg, buscaremos por evidências, conclusões e, a partir daí, procuraremos identificar dificuldades em se trabalhar dessa maneira. Então, procuraremos oferecer sugestões a todos que se interessem em trabalhar com funções em diferentes níveis de escolaridade.