Binomial Opsiyon Fiyatlama Modeli

Binomial Opsiyon Fiyatlama modelinde, opsiyon sözleşmesine konu olan varlığın farklı aşamalarda iki farklı fiyattan birisini takip edeceği varsayımıyla hareket edilmektedir. Bu modelde rassal yürüyüş hipotezinin geçerli olduğu varsayılır. Daha basit bir şekilde model açıklanacak olursa, vadesi gelmeden önce kullanılabilen Amerikan tipi opsiyonlarda belirli tarihlerde opsiyon fiyatlarının aşağı ya da yukarı yönlü fiyat değişimlerine uğrayabileceği üzerine iki tahmin yapılır. Daha sonra ulaşılan alt ya da üst değer, farklı bir zamanda yine iki farklı fiyat tahmini şeklinde açılım yaparak genişlemeye devam eder (Sancak, 2012: 55).

Model hedging stratejilerinin etkinliğini temel almaktadır. Riskten kaçınmak isteyen yatırımcı, binom ağacında aşağı yönlü zarar durumunu gördüğü anda opsiyonu devam ettirmeyecektir. Eğer kar yönlü bir değişiklik fark ederse opsiyonu devam ettirmeye karar verebilecektir.

Bu model de oluşturulurken bazı temel varsayımlara dayandırılmıştır (Cox vd. 1979: 233-234);

 Piyasalar mükemmel işlemektedir, herhangi bir işlem maliyeti yoktur.

 Faiz oranı sabittir.

 Her bir dönem içerisindeki faiz oranı, hisse senedinin artış ya da azalış oranları bilinmektedir.

 Kar payı ödemesi yoktur.

Hisse senedinin ayrı dönemlerde çarpımsal bir binom süreci izlediğini varsayalım. Her dönemde hisse senedinin getiri oranı iki olasılıklı olabilir. Olasılıklardan birisi q olsun ve bu olasılık için değer u - 1, olasılık 1 - q için değer d - 1 olsun. Hisse senedinin fiyatı S denirse dönem sonunda hisse senedi uS ya da dS olabilecektir. Burada u ve d belirli bir sürede dayanak varlığın getirisinin yüzdesidir. Bu durum bir diyagramla gösterilecek olursa (Cox vd. 1979: 232);

uS (q olasılığı için)

S

dS (1-q olasılığı için)

q olasılığının gerçekleştiği bir durumda hisse senedinin getirisi uS olacak. Yani opsiyonun sürdürülmesi olasılığı durumu vardır. 1 - q olasılığının gerçekleştiği durumda ise hisse senedinin değeri dS olur. Yani hisse senedinin getirisi negatif olacaktır. Bu durumda hisse senedi için opsiyonun bitirilmesi durumu ortaya çıkacaktır.

Opsiyon fiyatının f, hisse senedinin fiyatının da S olduğu varsayılırsa, risksiz faiz oranı ile iskonto edilen portföyün beklenen değeri sonuç olarak portföyün şimdiki değerini gösterecektir. Bu durum formülle gösterilecek olursa (Chambers, 2012: 103).

𝑓 = 𝑒−𝑟𝑇_[𝑝𝑓

bu denklemdeki p ifadesi;

𝑝 =𝑒_𝑢−𝑑𝑟𝑇−𝑑

Bu formül tek dönemli binomial modeli kullanılarak opsiyon sözleşmesinin fiyatlandırılmasına yardımcı olur. Denklem 2.22'de hisse senedi, sözleşmenin anlaşma fiyatı, risksiz faiz oranı ile gelecekte işlem gününde hisse senedinin olası fiyatını belirleyen u ve d gibi parametreler opsiyon fiyatını belirleyen faktörlerdir ya da daha farklı bir ifadeyle bu değişkenler opsiyon fiyatının fonksiyonudur (Chambers, 2012: 104).

Bir alım opsiyonunun değerini bulabilmek için en basit durum ile işlem irdelendiğinde, vade tarihinden bir dönem önce "B" alım opsiyonunun cari değeri olsun. Hisse senedi fiyatı uS'ye giderse opsiyonun değeri Bu, dS'ye giderse Bd olur. Alım opsiyonunun vadesine sadece bir dönem kaldığı için sözleşmenin şartları ve kullanılıp kullanılmayacağı şu şekilde tahmin edilebilmektedir (Cox vd. 1979: 233);

Bu = max [0, uS - K] ve Bd = max [0, dS - K ] (2.23)

Bu = max [0 , uS - K] (q olasılığında)

B

Bd = max [0 , dS - K] (1 - q olasılığında)

Bu aşamadan sonra döviz ve hisse senedini de içeren risksiz bir portföy oluşturulduğunu varsayalım. Bu durumda;

∆uS +rF (q olasılığında)

∆S +F

Bu aşamada ∆ ya da F den herhangi birisi yatırımcının kararına göre seçilebilir. Portföyden ve alım opsiyonundan dönem sonunda eşit miktarda seçildiği varsayılırsa;

∆uS +rF = Fu (2.24)

∆dS +rF =Bd (2.25)

Denklem her bir değer için çözüldüğünde;

∆ = Cu−Cd

(u−d)S ve 𝐵 =

𝑢𝐶𝑑−𝑑𝐶𝑢

(𝑢−𝑑)𝑟 (2.26)

∆ ve F’nin bu yolla seçildiği yöntem riskten korunmuş portföy olarak adlandırılmaktadır. Eğer bu aşamada arbitraj olanağı bulunmuyorsa alım opsiyonunun şu anki değeri (B) riskten korunma portföyünün şimdiki değerinden (∆S + F) düşük olmamalıdır. Eğer böyle bir durum olursa, alım opsiyonu alarak ve portföy satarak risksiz bir kar elde edilebilir (Cox vd. 1979: 234).

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM

OYNAKLIK KAVRAMI VE FİNANSAL PİYASALAR AÇISINDAN ÖNEMİ Bu bölümde oynaklık (volatilite) kavramı, oynaklığı ortaya çıkartan nedenler, oynaklığın belirleyicileri ve oynaklığın ölçülmesine yardımcı olan modeller ele alınmaktadır.

3.1. Oynaklık Kavramı ve Nedenleri

Oynaklık kavramı sözlük anlamı itibariyle, sık sık değişme, ansızın değişme, öngörülememe veya karasızlık şeklinde tanımlanmaktadır. Bunun yanında, kriz, risk, kırılganlık gibi kavramlarla da eş anlamlı olarak kullanılabilmektedir. (Aizenman ve Pinto, 2005: 48). Başka bir ifadeyle oynaklık, finansal bir varlığın fiyatında yaşanan değişikliklerin istatiksel olarak ölçümüdür (Butler, 1999: 190). Aynı zamanda oynaklık, finansal varlık getirilerinin standart sapmasını ya da varyansını ifade etmektedir. Varlığın fiyatı ya da getirisi belirli bir ortalamadan sapıyorsa bu oynaklığı göstermektedir (Akel, 2011: 7).

Oynaklık, temel unsurları, bilgi aktarım mekanizması ve piyasaya dair beklentilerin yansıtılması yönleriyle ilginç bir piyasa deneyimidir. Yukarıdaki tüm değişkenler sürekli birbirleri ile etkileşim halindedir. Örneğin, öz sermayede meydana gelen değişimler toplumun ekonomik, politik ve parasal değişimlerden etkilenebilmektedir. Şirketlerin karlılığı, ürün kalitesi, siyasi istikrar, faiz oranlarının değişkenliği gibi nedenler oynaklığın de değişmesine neden olmaktadır. Çünkü, piyasa dengesi farklı bir konum almaktadır. Piyasa dengesindeki bu değişim, bilgi aktarım mekanizması yoluyla piyasa etkinliğini belirlemektedir (Kalotychou ve Stakikouras, 2009: 6).

Finansal piyasalarda oynaklık ile risk kavramı birçok yatırımcı arasında eş anlamlı olarak değerlendirilmektedir. Ancak ortaya çıkan sonuçlar olumsuz olduğunda aynı anlama gelebilecek bu terimler oynaklığın olumlu sonuç verebilme noktasında ayrışmaktadır. Başka bir ifade ile oynaklık kavramı her zaman olumsuzluk anlamına gelmemektedir. Öngörülebilen bir oynaklık, yatırımcılar ve karar vericiler için pozitif sonuçlar da ortaya koyabilmektedir (Kalotychou ve

Stakikouras, 2009: 6). Bu durumu daha rahat anlayabilmek için Sharpe oranı örnek gösterilebilir. Sharpe oranı, yatırımın performansını ölçmek amacıyla kullanılır ve şu şekilde formüle edilir (Yavuz, 2015: 423).

𝑆ℎ𝑎𝑟𝑝𝑒 𝑂𝑟𝑎𝑛𝚤 = (𝑔−𝜏)_𝜎 (3.1)

𝑔: Ortalama Getiri

𝜏: Risksiz Faiz Oranı (hazine tahvili faiz oranı vb.) 𝜎: Getirilerin Standart Sapması

Sonuçlar incelenirken Sharpe oranının büyük olması tercih edilmektedir. Pozitif risksiz getirinin büyük olması standart sapma üzerinde ortalama getiriden daha fazla etkiye sahip olması anlamına gelecektir. Bu da Sharpe oranının düşmesine neden olacaktır. Bu anlamda bakıldığında oynaklığın istenilip istenmediği önemli bir husus olmaktadır (Gökgöz ve Günel, 2012: 10).

Oynaklığı etkileyen en önemli faktör, piyasaya gelen bilginin önemi ve sıklığıdır. Yatırımcılar piyasaya ulaşan önemli haberlere dayanarak karar alma sürecini işletirler. Her gelen bilgi, alınacak pozisyon hakkında fikir vermektedir. Aşağıda belirtilen unsurlar oynaklığın yüksek olmasına neden olabilmektedir (Akel, 2011: 7):

 Yüksek enflasyon oranları; Mascaro ve Meltzer (1983), çalışmalarında enflasyon belirsizliğinin arttığı durumlarda enflasyonun arttığını, bunun da para talebini artırarak hisse senedi talebini azalttığını tespit etmişlerdir. Bu durum, dolaylı yoldan hisse senedi oynaklığını da etkilemektedir.

 Büyüme hızının düşük olması ve bunun sonucunda ortaya çıkan resesyonlar,

 Kısa dönemli faiz oranlarında yaşanan dalgalanmaların yüksek olması,

 Ekonomik büyümede ortaya çıkan yüksek oynaklık,

 Enflasyon oranlarında yaşanan yüksek oynaklık,

Özellikle, 1980 yılından sonra birçok gelişmekte olan ülke sermaye açığını kapatabilmek için dışarıdan sermaye girişine izin vermiştir. Daha serbest ticaretin önünü açabilmek için birçok finansal piyasaları geliştirecek programlar benimsenmiştir. Zaman içerisinde bu ülkelerin birçoğunda eskisi kadar istekli girişimler gözlemlenememiştir. Bunun en önemli nedeni ülke içinde ve ülke dışında, ekonomik faaliyetlere yeterince adapte olamamak yatmaktadır. Kriz dönemlerinde oynaklığın yükseldiği, zayıf kurumsal altyapıya sahip, uluslararası finans piyasalarıyla entegre olamamış bu ülkeler finansal derinliği sağlamada da yetersiz kalmaktadırlar. Bu nedenle, bu ülkelerde finansal piyasalarda yüksek oynaklık gözlemlenmektedir (Fanelli, 2008: 1-2).

Oynaklık hakkında önem arz eden bir diğer konu da değişikliklerin ne şekilde ele alındığıdır. Bir firmanın hisse senedinin günlük getirisi ele alındığında günlük hareketlilik yalnızca getiri ile izlenememektedir. Çünkü gün sonunda elde sadece bir adet veri kalmaktadır. Hisse senedinin getirisinin gün içindeki değişimleri de izlenebiliyorsa, örneğin saatlik ya da 10 dk. veri gibi, bu durumda oynaklık tahmin edilebilmektedir (Tsay, 2002: 80). Diğer taraftan, gün içi getirisinin oynaklığı incelenirken piyasanın mikroekonomik yapısı göz ardı edilmektedir. Gelen bilgilerin piyasaya yayılması sürecinde getiri oynaklığı üzerinde yarattığı etki günümüz literatüründe önemli yer tutmaktadır (Andersen ve Bollerslev, 1997: 116-117).