Embora Lagrange tenha citado Euclides, além de Huyghens, durante este recorte de sua lição, nos deteremos a contextualização acerca deste último matemático, considerando que ele fez uso de parte das teorias utilizadas nesta atividade, como ferramenta matemática em suas pesquisas.
Como forma de esclarecimento acerca das razões que permitiram que a Matemática alcançasse um avanço considerável no decorrer do século XVII é necessário analisarmos, em linhas gerais, as influências políticas e sociais que o tornaram notável na ciência e no desenvolvimento de direitos humanos. Foi durante este período, que uma série de acontecimentos globais afetaram não só as ciências naturais e políticas, como também aquelas que diziam respeito a conceitos abstratos, tais como a matemática, entre os quais podemos citar: a ruína, na civilização anglo-saxão, da doutrina do direito divino dos reis, e no reinado do “Roi Soleil” (Rei Sol), Louis XIV; a consolidação da Rússia como uma poderosa nação, pelas mãos de Pedro, o Grande; o estabelecimento da máquina militar Prussiana – um dos primeiros indícios que levariam à Guerra de 1914-1918; na Áustria, a
60 expulsão dos turcos pelos Hapsburgs; a abertura definitiva do “Novo Mundo”, para a colonização e o comércio; a Guerra dos Trinta Anos (1618-1648) que gerou um considerável distúrbio na vida, política e religiosa, européia (SMITH, 1991).
Neste sentido, a matemática sempre teve seu desenvolvimento atrelado às mudanças no cenário político e à fé religiosa e nesse período não foi diferente. Ao se findar o século XVI, um dos grandes desafios da matemática consistia em encontrar meios de simplificar os cálculos aritméticos, de livrar-lhes dos erros, visando em especial às necessidades da astronomia. Com a chegada do século XVII, destacaram-se nomes como René Descartes e Pierre Fermat. É neste período, ainda, que começam os primeiros passos da Análise Matemática.
Lembrado por trabalhos em Física, Matemática e Astronomia, Christiaan Huyghens nasceu e morreu na cidade de Haia. Em 1651, aos 22 anos de idade, publicou um artigo apontado argumentos falsos usados por Saint-Vincent em seu trabalho sobre a quadratura do círculo. Seguiram-se a esse trabalho vários opúsculos sobre a quadratura de cônicas e
sobre o aprimoramento trigonométrico de Snell ao método clássico de calcular /. Três
anos depois, ele e seu irmão descobriram uma maneira nova, e superior, de polir lentes; isso propiciou a ele condições de resolver muitas questões de astronomia de observação, como a natureza dos anéis de Saturno. Seu conhecimento em astronomia o levou, mais tarde, a inventar o relógio de pêndulo com o objetivo de ter meios mais precisos de medir o tempo (BOYER, 1996; CAJORI, 2007; EVES, 2004; SMITH, 1991).
Figura 09. Christiaan Huyghens
61 Seu primeiro tratado formal sobre probabilidade, baseando-se na correspondência Pascal-Fermat, foi escrito em 1657. Resolveu muitos problemas interessantes e instigantes e introduziu o importante conceito de “esperança matemática”. Em 1665 mudou-se para Paris a fim de usufruir de uma bolsa concedida a ele por Luís XIV. É desse período, um artigo em que comunicava à Royal Society de Londres sua demonstração experimental de que o momento combinado de dois corpos numa certa direção é igual, antes e depois da colisão (BOYER, 1996; CAJORI, 2007; EVES, 2004; SMITH, 1991).
A maior de suas publicações, Horologium oscillatorium, apareceu em Paris em 1673. Em 1675, sob sua supervisão, construiu-se o primeiro relógio regulado por uma mola de compensação. Retornou à Holanda em 1681, construiu algumas lentes de comprimento focal muito grande e inventou a ocular acromática para telescópios. Oito anos depois, visitou a Inglaterra onde teve oportunidade de conhecer Isaac Newton a quem admirava por seu trabalho. No ano seguinte, publicou um tratado em que expunha a teoria ondulatória da luz. Também escreveu muitos opúsculos de menor importância. Retificou a cissóide de Dioclés; investigou a geometria de catenária; escreveu sobre a curva logarítmica; deu uma forma moderna, para polinômios, a regra de Fermat para máximos e mínimos; e fez inúmeras aplicações da matemática à física (BOYER, 1996; CAJORI, 2007; EVES, 2004; SMITH, 1991).
LAGRANGE: A teoria das frações (Primeira Parte)
Tradução do recorte de texto de Joseph Louis Lagrange referente ao conteúdo abordado
Para ter uma ideia a respeito do conceito de fração, devemos considerar a quantidade em si, dividido por um certo número de partes; as frações representam, em geral, relações, e servem para exprimir as diferentes quantidades, umas em relação às outras; na maioria das vezes, tudo o que se mede só pode ser medido por frações, a menos que a medida, não esteja contida um número inteiro de vezes, na coisa medida (LAGRANGE, 1867, p. 184).
É sabido que uma fração pode ser reduzida à sua menor expressão (LAGRANGE, 1867, p. 184).
Quando o numerador e o denominador podem ser divididos por um mesmo número, podemos encontrar este máximo divisor comum por um método muito
62 engenhoso. Este método, oriundo de Euclides, é muito simples e analítico. Todavia, poderíamos torná-lo ainda mais sensível se seguíssemos o algoritmo a seguir (LAGRANGE, 1867, p. 184).
Suponha que dado um determinado comprimento, temos por missão medi-lo. Recebemos então, para essa tarefa, uma medida para usarmos como referência e para descobrirmos quantas medidas estão contidas naquele comprimento. Inicialmente, levamos a medida o tanto de vezes possível sobre o comprimento, até que tenhamos varrido toda a extensão deste último. Isto nos dará um número inteiro de medidas, referente à quantidade de vezes que a medida estava contida no comprimento, e se não houver resto, teremos finalizado, aqui, a tarefa. Mas, se houver um resto a ser medido, será necessário avaliá-lo. Sendo assim, se a medida é dividida em partes iguais, como por exemplos, em dez ou doze, etc., é natural levarmos essas subdivisões da medida sobre o resto do comprimento e observar quantas destas partes estão compreendidas no resto. Então, temos como instrumento de avaliação do resto, uma fração cujo numerador é o número de partes contidas no resto, e o denominador, é o número total das partes nas quais a medida é dividida (LAGRANGE, 1867, p. 184).
Suponha agora que a medida não seja dividida em sub-medidas, e que queiramos, todavia, saber qual a relação entre o comprimento proposto e o comprimento tomado como medida referencial. Para isto a operação mais frequente, com esse objetivo, seria a seguinte: se temos um resto, como ele é inferior à medida, é natural que procuremos quantas vezes ele estará compreendido nela. Suponha, por exemplo, que sejam duas vezes, e que ainda exista um resto resultante da medição. Leve este último resto, de encontro ao resto precedente. Como ele é necessariamente menor, ele se encontrará ainda contido um certo número de vezes no resto precedente. Ao termino deste procedimento verificamos, mais uma vez, se ainda existe resto ou não, repetindo assim, este processo até que se chegue a uma medição aceitável (LAGRANGE, 1867, pp. 184, 185).
Havendo a formação de todos estes diferentes restos, teremos o que chamamos de fração contínua. Neste contexto, suponha que foi encontrado que a medida era contida três vezes no comprimento proposto, neste caso, teríamos então, inicialmente o número três. Em seguida, suponha que o primeiro resto encontrado estaria contido duas vezes na medida, ou seja, teríamos a fração um dividido por dois. Mas este denominador não está completo, já que para isto, não poderia ter sobrado um resto. Supondo que ainda haja um, isto nos levará a uma nova fração semelhante, para acrescentar a este denominador, por
63 exemplo, um dividido por três, supondo assim que, este último resto, estaria contido três vezes no resto precedente, e assim por diante. Procedendo desta maneira, teríamos a fração 3 + #&
12 ⋱
, para expressar a relação entre o comprimento e a medida que tomamos como referencial. Neste caso, o sinal +, usual na Álgebra, significa mais, e indica uma adição a fazer (LAGRANGE, 1867, p. 185).
Frações com estas características são denominadas de frações contínuas, e podem ser reduzidas em frações ordinárias pelas regras que já nos foram apresentadas. Na verdade, se nos prendermos a fração inicial, ou seja, se levarmos em consideração apenas
o primeiro resto é negligenciarmos o seguinte, teríamos 3 +# que, se reduziria à 4.
Seguindo o mesmo raciocínio, levando em conta apenas o primeiro e o segundo resto, nos concentraríamos sobre a segunda fração, 3 + #&
1
, neste caso, como 2 +# =4, teríamos
3 +4, a saber, 4, e assim por diante. Neste contexto, se durante o processo, alcançarmos
um resto que mede exatamente o resto precedente, a operação estaria concluída. Sendo assim, teríamos por meio da fração contínua, uma fração ordinária que teria o valor exato do comprimento medido, expresso por aquela medida que serviu de referência. Porém, se a operação não terminar assim, ela poderá chegar ao infinito, e teremos frações que se aproximaram cada vez do valor exato (LAGRANGE, 1867, pp. 185, 186).
Sugestões de Questões
Questão 1.1 – Com suas palavras e notações modernas, explicite, enumerando cada passo, o algoritmo utilizado por Lagrange.
Questão 1.2 – A partir deste primeiro algoritmo exposto por Lagrange, durante uma de suas lições ministrada na Escola Normal de Paris, considerando o enunciado a seguir, para cada aproximação pedida, encontre a sua respectiva fração ordinária:
“Durante uma de suas aulas na cidade de Toulouse, no sul da França, um certo senhor
Pierre Ruzzene, ex-aluno de Lagrange na turma de 1795 (fato fictício), elaborou um enunciado onde dizia que a medida de referência estava contida cinco vezes no comprimento a ser medido, todavia, após a medição, ainda havia um resto. Este primeiro resto, por sua vez, estava contido três vezes na medida de referência. Por ainda haver um