A predição foi durante muito tempo dominada por estatísticas lineares. As aborda- gens tradicionais para predição de séries temporais, tal como o Box-Jenkins ou modelo ARIMA, assumem que a série temporal sob estudo é gerada a partir de processos lineares. Modelos linea- res têm vantagens pois podem ser entendidos e analisados mais facilmente e ao mesmo tempo são mais simples computacionalmente. Em alguns casos, aproximações lineares são suficientes para aplicações práticas. No entanto, podem ser totalmente inadequadas se o mecanismo gerador 2 O parâmetro k ≥ 0 define a separação temporal (lag) entre amostras.
da série temporal for não-linear. Assim, numa série de aplicações, modelos lineares não são satisfatórios, e representações não-lineares devem ser usadas (ZHANG; PATUWO; HU, 1998). Segundo Aguirre (2000), os sistemas dinâmicos encontrados na prática são, em última análise, não-lineares. A escolha de modelos não-lineares, entretanto, traz consigo um inevitável aumento de complexidade dos algoritmos a serem utilizados. Apesar disto, a razão mais forte para, em uma dada aplicação, optar por modelos não-lineares, deve-se ao fato de modelos não-lineares produzirem certos regimes dinâmicos que modelos lineares não conseguem representar.
Um exemplo de um sistema não-linear bastante simples, com apenas um parâmetro, conhecido como mapa logístico, produz uma série temporal cuja função de autocorrelação se assemelha a de uma sequência de ruído branco (KUGIUMTZIS; LILLEKJENDLIE; CHRIS- TOPHERSEN, 1994), quando na verdade corresponde a uma série temporal caótica. O mapa logístico ou mapa quadrático é descrito pela seguinte equação
x(n + 1) = ξ x(n)[1 − x(n)], (2.15)
em que o parâmetro ξ > 0 é uma constante a ser escolhida em função do comportamento desejado. Para 1 ≤ ξ ≤ 4, a trajetória da variável de estado x produz valores restritos ao intervalo [0,1] para condições iniciais no mesmo intervalo (KUGIUMTZIS; LILLEKJENDLIE; CHRISTOPHERSEN, 1994).
Para valores de ξ entre 0 e 3, na Equação (2.15), o estado assintótico de {x(n)} consiste em apenas um ponto de equilíbrio. Para 3 < ξ < 3,57, a solução assintótica consiste de ciclos-limites de diferentes periodicidades. Para valores de 3,57 < ξ ≤ 4, o sistema passa a apresentar comportamento caótico (KAPLAN; GLASS, 1995). Na Figura 3 é mostrada uma realização do mapa logístico para ξ = 4, em que pontos sucessivos são ligados por linhas retas para facilitar a visualização.
Devido a esta curiosa, porém falsa, semelhança com processos estocásticos lineares, muitas séries temporais caóticas costumam ser tratadas a partir de modelos lineares convencionais, tal como o modelo autoregressivo com médias móveis (autoregressive moving average, ARMA). Contudo, tais modelos têm se mostrado inadequados para a análise e predição de sistemas caóticos, pois não capturam a dinâmica não-linear subjacente à série temporal de interesse. Posto de maneira mais formal, isto se deve ao fato de que modelos lineares conduzem somente a soluções exponencialmente decrescentes ou periodicamente oscilantes, chamadas genericamente de pontos ou soluções de equilíbrio. Sistemas caóticos apresentam outras possíveis soluções
ou comportamentos que só são obtidos quando se usa as ferramentas e modelos não-lineares adequados. (a) 0 10 20 30 40 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 n x(n) (b) 0 5 10 15 20 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 atraso Autocorrelação
Figura 3 – (a) Mapa logístico para estado caótico; (b) autocorrelação para o mapa logístico com ξ = 4.
A predição de séries temporais pode ser vista como um mapeamento f : Rp→ R, a
partir do vetor de regressão x(n) ∈ Rp, [x(n) x(n−1) ··· x(n− p+1)], para a saída bx(n+1). Na
predição linear, este mapa corresponde a um hiperplano simples, determinado pelos coeficientes autoregressivos. Na predição não-linear é preciso um domínio muito mais rico de dinâmicas. A configuração básica de predição x(n + 1) = bx(n + 1) + e(n) é mantida a mesma, no entanto, o modelo baseado na autoregressão não-linear segue
x(n + 1) = f [x(n) x(n − 1) ··· x(n − p + 1)] + e(n),
= f (x(n)) + e(n), (2.16)
onde f (·) é uma função não-linear.
Diferentes métodos de predição não-lineares são frequentemente caracterizados pelo modo como a função f (·) é construída. Pode-se destacar algumas destas representações não- lineares, tais como o modelo bilinear desenvolvido inicialmente por Granger e Andersen (1978); modelos TAR (Threshold Autoregressive) realizados a partir de modelos autoregressivos com thresholde proposto por Tong e Lim (1980); e a familia de modelos ARCH (Auto-Regressive Conditional Heterocedasticity) formulado por Engle (1982), que busca a estimação da variância dos retornos passados.
No entanto, estes modelos não-lineares ainda são limitados, uma vez em que a relação explícita destes modelos pode ser uma hipótese com pouca informação da lei subjacente. Na verdade, a formulação de um modelo não-linear para um determinado conjunto de dados é uma
tarefa muito difícil, pois existem muitos possíveis padrões não-lineares e um modelo não-linear especificado pode não ser suficiente para capturar todas as características do modelo (ZHANG; PATUWO; HU, 1998).
Por volta de 1980, com o aumento do poder computacional dos computadores, dois desenvolvimentos cruciais ocorreram, permitindo que grandes séries temporais pudessem ser analisadas e algoritmos não-lineares mais complexos puderam ser construídos. O primeiro desen- volvimento é a reconstrução do espaço de estados, pelo teorema de imersão de Takens (TAKENS, 1981), baseado no estudo da topologia diferencial e de sistemas dinâmicos.
O segundo é o surgimento da área da aprendizagem de máquina, caracterizada principalmente pelos algoritmos de RNAs. RNAs, que são abordagens não-lineares em sua maioria, são capazes de realizar modelagem não-linear, sem conhecimento a priori sobre as relações entre variáveis de entrada e de saída. Com isto, RNAs tornaram-se ferramentas de modelagem mais gerais e flexíveis para a predição não-linear de séries temporais. Aplicações com sucesso de RNAs em um grande número de tarefas de predição e modelagem de séries temporais podem ser encontradas na pesquisa de técnicas e aplicações de inteligência computacional de Palit e Popovic (2005).
Estes dois assuntos são as principais bases teóricas desta tese. A reconstrução do espaço de estados é o próximo tema a ser tratado neste capítulo, ficando as RNAs como tema de discussões nos capítulos seguintes.