III. Aziz Agustinus
III.V. Aziz Agustinus’un Lütuf (Gratia) Kavramı
As express˜oes das estat´ısticas de teste da raz˜ao de verossimilhan¸cas e da gradeinte utilizadas s˜ao dadas, respectivamente, pela express˜ao (4.3) e por:
ξG = Uα(α0, cφ0) [bα − α0] + Uφ(α0, cφ0) h b φ − cφ0 i = 1 α0 n X i=1 n 1 − SM O(α0, cφ0) [1 + δi] o [bα − α0] , (4.4) em que Uφ(α0, cφ0) = 0.
A constru¸c˜ao da express˜ao (4.4) ´e como segue:
Inicialmente faz-se uma simplifica¸c˜ao de nota¸c˜ao, para diminuir a densidade de vari´aveis, da seguinte maneira: h = h(D; α, φ) e SM O = SM O(D; α, φ), em que h e SM O s˜ao as fun¸c˜oes risco
e de sobrevivˆencia na forma estendida de Marshall-Olkin e D = {n, t, δ}. Al´em disso a derivada dessas fun¸c˜oes ´e dif´ıcil de ser obtida. No caso, ∂h∂α = −hSM O
α e ∂SM O ∂α = SM O α (1 − SM O). Assim a express˜ao ξG = Uα(α0, cφ0) [bα − α0] + Uφ(α0, cφ0) h b φ − cφ0 i nada mais ´e do que
ξG = Uα(α, φ) [bα − α]
com (α, φ) = (α0, cφ0). Dessa forma
ξG = Uα(α, φ) [bα − α] = ∂l(α, φ) ∂α [bα − α] = ∂ ( n X i=1 (δilnh + lnSM O) ) ∂α [bα − α] = n X i=1 δi 1 h ∂h ∂α + 1 SM O ∂SM O ∂α [bα − α] = n X i=1 δi 1 h (−hSM O) α + 1 SM O SM O α (1 − SM O) [bα − α] = 1 α n X i=1 {1 − SM O[1 + δi]} [bα − α] .
4.3 Hip´oteses compostas 24
Cap´ıtulo 5
Simula¸c˜ao
5.1
Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo s˜ao exibidos resultados de simula¸c˜oes feitas em amostras de dados simulados de sobrevivˆencia geradas pelo software R, vers˜ao 2.12.2, e impondo uma porcentagem de cen- sura para cada n´ıvel de significˆancia. Utiliza-se tamb´em as distribui¸c˜oes exponencial e Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin, respectivamente, e as estat´ısticas de teste da raz˜ao de verossimilhan¸ca e gradiente.
5.2
A Simula¸c˜ao
As simula¸c˜oes foram realizadas no software livre R 2.12.2 e o pacote reliaR foi utilizado para obten¸c˜ao das express˜oes das fun¸c˜oes de densidade, sobrevivˆencia e risco das distribui¸c˜oes exponencial e Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin (ver apˆendice A). V´arios tamanhos de amostra s˜ao considerados. Assim, para cada, considerando alguns parˆametros pr´e-definidos e esquema de censura de 10% ou 15%, 10.000 simula¸c˜oes de amostras s˜ao geradas. O esquema de censura atribu´ıdo foi o de censura `a direita do tipo aleat´orio. Como existe a presen¸ca de censura, trˆes vari´aveis aleat´orias s˜ao consideradas, T que representa tempo de falha, C que representa a censura com distribui¸c˜ao exponencial com parˆametro 1/ζ e t que toma o m´ınimo entre T e C. Em todos os casos o parˆametro de escala da distribui¸c˜ao foi escolhido como λ = 1. O m´etodo quase-Newton (Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno, 1970), tamb´em chamado de
5.3 Resultados da Simula¸c˜ao 26
BFGS, ´e utilizado por meio do comando optim, do pacote b´asico, do software R para encontrar por um processo num´erico o valor de m´axima verossimilhan¸ca. Testa-se a seguinte hip´otese H0 : α = 1, dessa forma os parˆametros da distribui¸c˜ao conhecida foram fixados ou um deles
foi atribu´ıdo como de pertuba¸c˜ao na sua estima¸c˜ao. Tendo as 10.000 estimativas, calcula-se os 10.000 valores de cada estat´ıstica e defini-se uma fun¸c˜ao indicadora que associa 1 a rejei¸c˜ao de H0 e 0 no caso contr´ario. Calculando a propor¸c˜ao de vezes em que H0 ´e rejeitada, a melhor
estat´ıstica ´e aquela que mais se aproximar ao n´ıvel nominal.
5.3
Resultados da Simula¸c˜ao
5.3.1
Distribui¸c˜ao Exponencial
As Figuras 5.1, 5.2, 5.3 e 5.4 mostram simula¸c˜oes feitas com dois testes considerando a hip´otese nula α = 1 utilizando a distribui¸c˜ao exponencial na forma estendida, aos n´ıveis de significˆancia de 5 e 1 % da χ2
1 de amostras com presen¸ca de censura e variando de 5 at´e 150
observa¸c˜oes de 5 em 5. Ao n´ıvel de 5 % os testes ξRV e ξG tem bastante precis˜ao para n ≥ 20
a 10% de censura, mas o teste ξG apresenta uma precis˜ao menor at´e n = 35 quando consider-
amos 15% de censura. Ent˜ao, ambos parecem satisfat´orios mas o teste ξRV apresenta uma leve
vantagem.
A Figura 5.5 mostra o caso em que se testa a hip´otese α = 1 e o parˆametro λ ´e tido como um parˆametro de pertuba¸c˜ao na estima¸c˜ao. As amostras simuladas foram geradas com distribui¸c˜ao exponencial com parˆametro de escala λ = 1. Nos outros casos, utilizando o modelo exponencial mostram a tendˆencia deste. Neste usa-se 15% de censura a um n´ıvel de significˆancia de 5%. Tˆem-se que para todo n a estat´ıstica gradiente se mostra liberal e a estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas se mostra mais conservadora. Para n < 60 a estat´ıstica gradiente se mostra bem liberal, rejeitando em at´e 17% onde espera-se valores pr´oximos de 5%. A partir de n = 60 a estat´ıstica gradiente estabiliza-se mas continua levemente liberal. A maior porcentagem de rejei¸c˜ao da estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas ´e pr´oxima da menor porcentagem de rejei¸c˜ao da gradiente. Dessa forma, observa-se que a estat´ıstica gradiente utilizando a distribui¸c˜ao ex- ponencial na forma estendida de Marshall-Olkin se mostra inferior necessitando um pouco de cautela em rela¸c˜ao as conclus˜oes que pode-se gerar ao usa-la em algum conjunto de dados nas mesmas condi¸c˜oes que foi imposta nesta simula¸c˜ao.
5.3 Resultados da Simula¸c˜ao 27
Figura 5.1: Tamanhos de amostra n simulados ao n´ıvel de 5% para ξRV, ξG e a hip´otese nula α = 1
considerada, utilizando a distribui¸c˜ao exponencial na forma estendida de Marshall-Olkin com 10% de censura. O valor do parˆametro da exponencial ´e λ = 1.
5.3.2
Distribui¸c˜ao Weibull
O estudo de simula¸c˜ao da distribui¸c˜ao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin foi realizado de maneira an´aloga como para a distribui¸c˜ao exponencial tamb´em na forma estendida. Os parametros de escala e forma foram escolhidos como sendo 1 e {0, 5; 1; 2} respectivamente. Da mesma forma na estima¸c˜ao existe um caso em que o parˆametro de forma da distribui¸c˜ao conhecida ´e considerado como de pertuba¸c˜ao.
As Figuras 5.6 e 5.7 mostram amostras de tamanhos 5 at´e 150 de 5 em 5 simulados, com parˆametro de forma γ = 1, de dois testes baseado na verossimilhan¸ca da distribui¸c˜ao Weibull na forma estendida, utilizando 10% de censura. Os parˆametros foram fixados, sendo estimado somente o novo parˆametro da forma estendida. Os n´ıveis nominais utilizados s˜ao de 5% e 1%, respectivamente. O teste gradiente ´e bem conservativo at´e o tamanho n = 50 e n > 100. O teste da raz˜ao de verossimilhan¸ca oscila de maneira satisfat´oria para todos os tamanhos de amostra n, j´a na Figura 5.7 o teste gradiente se mostra praticamente conservativo para quase todos os tamanhos de amostra. O teste da raz˜ao de verossimilhan¸ca praticamente n˜ao sofre oscila¸c˜ao
5.3 Resultados da Simula¸c˜ao 28
Figura 5.2: Tamanhos de amostra n simulados ao n´ıvel de 5% para ξRV, ξG e a hip´otese nula α = 1
considerada, utilizando a distribui¸c˜ao exponencial na forma estendida de Marshall-Olkin com 15% de censura. O valor do parˆametro da exponencial ´e λ = 1.
para os tamanhos de amostra n. A performace do teste gradiente ´e inferior nestes dois casos. As Figuras 5.8 e 5.9 s˜ao simula¸c˜oes, de tamanhos de 10 at´e 150 de 10 em 10, feitas a um n´ıvel de 5% com 15% de censura e possui varia¸c˜oes em rela¸c˜ao ao parˆametro de forma, no caso 0, 5 e 2 respectivamente. A Figura 5.8 mostra que o teste gradiente compete melhor que no caso do modelo exponencial. As diferen¸cas entre as porcentagens de rejei¸c˜ao n˜ao s˜ao muito grandes at´e n = 60 e quando n > 60 as diferen¸cas s˜ao m´ınimas de forma que um teste ajustado com o modelo desta simula¸c˜ao pode fornecer resultados confi´aveis para qualquer uma das estat´ısticas.
´
E de se notar que a medida que o modelo se torna menos simples, pela escolha dos parˆametros, o teste gradiente se comporta de maneira evolutiva em seus resultados no sentido de ser concor- rente da estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸ca. ´E not´avel tamb´em que o teste gradiente teve o pior comportamento quando o parˆametro de escala foi tido como de perturba¸c˜ao no modelo exponencial apresentado pela Figura 5.5. Agora, a Figura 5.10 ´e a de maior interesse nesse trabalho pelo fato de estar considerando as mesmas condi¸c˜oes apresentadas pela simula¸c˜ao da Figura 5.5, por´em, utilizando o modelo Weibull com o parˆametro de forma tido como de per-
5.3 Resultados da Simula¸c˜ao 29
Figura 5.3: Tamanhos de amostra n simulados ao n´ıvel de 1% para ξRV, ξG e a hip´otese nula α = 1
considerada, utilizando a distribui¸c˜ao exponencial na forma estendida de Marshall-Olkin com 10% de censura. O valor do parˆametro da exponencial ´e λ = 1.
tuba¸c˜ao na estima¸c˜ao e o parˆametro de escala est´a sendo fixado como λ = 1. Nota-se que para n < 40 existem pequenas diferen¸cas entre as duas estat´ısticas, por volta de 0, 0053. Os valores m´ınimos entre as duas estat´ısticas, assim como os valores m´aximos possuem diferen¸ca inferior a 0, 0016. O teste da raz˜ao de verossimilhan¸cas ainda possui uma leve vantagem, mas o teste gradiente parecer ser satisfat´orio para este ´ultimo caso.
5.3 Resultados da Simula¸c˜ao 30
Figura 5.4: Tamanhos de amostra n simulados ao n´ıvel de 1% para ξRV, ξG e a hip´otese nula α = 1
considerada, utilizando a distribui¸c˜ao exponencial na forma estendida de Marshall-Olkin com 15% de censura. O valor do parˆametro da exponencial ´e λ = 1.
5.3 Resultados da Simula¸c˜ao 31
Figura 5.5: Tamanhos de amostra n simulados ao n´ıvel de 5% para ξRV, ξG e a hip´otese nula α = 1
considerada, utilizando a distribui¸c˜ao exponencial na forma estendida de Marshall-Olkin com 15% de censura. O parˆametro da exponencial ´e de perturba¸c˜ao.
5.3 Resultados da Simula¸c˜ao 32
Figura 5.6: Tamanhos de amostra n simulados ao n´ıvel de 5% para ξRV, ξG e a hip´otese nula α = 1
considerada, utilizando a distribui¸c˜ao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin com 10% de censura. O parˆametro de forma da Weibull γ = 1.
5.3 Resultados da Simula¸c˜ao 33
Figura 5.7: Tamanhos de amostra n simulados ao n´ıvel de 1% para ξRV, ξG e a hip´otese nula α = 1
considerada, utilizando a distribui¸c˜ao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin com 10% de censura. O parˆametro de forma da Weibull γ = 1.
5.3 Resultados da Simula¸c˜ao 34
Figura 5.8: Tamanhos de amostra n simulados ao n´ıvel de 5% para ξRV, ξG e a hip´otese nula α = 1
considerada, utilizando a distribui¸c˜ao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin com 15% de censura. O parˆametro de forma da Weibull γ = 0, 5.
5.3 Resultados da Simula¸c˜ao 35
Figura 5.9: Tamanhos de amostra n simulados ao n´ıvel de 5% para ξRV, ξG e a hip´otese nula α = 1
considerada, utilizando a distribui¸c˜ao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin com 15% de censura. O parˆametro de forma da Weibull γ = 2.
5.3 Resultados da Simula¸c˜ao 36
Figura 5.10: Tamanhos de amostra n simulados ao n´ıvel de 5% para ξRV, ξG e a hip´otese nula α = 1
considerada, utilizando a distribui¸c˜ao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin com 15% de censura. O parˆametro de forma da Weibull ´e de perturba¸c˜ao.
Cap´ıtulo 6
Considera¸c˜oes Finais e
Recomenda¸c˜oes
Este trabalho teve como objetivo, al´em de explorar e descrever caracter´ıstaras e propriedades do modelo Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin, comparar por meio de um estudo de simula¸c˜ao o desempenho das estat´ısticas de teste da raz˜ao de verossimilhan¸ca e gradiente para testar o parˆametro α, que distingue a distribui¸c˜ao estendida da b´asica.
Com base no estudo apresentado no Cap´ıtulo 3, verificou-se que, al´em da flexibilidade, a forma estendida de Marshall-Olkin tamb´em possui a importante propriedade da estabilidade, ou seja, se a transforma¸c˜ao for aplicada v´arias vezes obtemos como resultado uma express˜ao semelhante `a aplica¸c˜ao da transforma¸c˜ao uma ´unica vez, mas com um valor diferente para o parˆametro extra. Al´em disso, dependendo do valor do parˆametro, a distribui¸c˜ao estendida pode ter uma fun¸c˜ao risco n˜ao mon´otona, que representa uma caracter´ıstica que a distribui¸c˜ao Weibull, por exemplo, n˜ao possui.
Formas estendidas podem representar op¸c˜oes adequadas em situa¸c˜oes reais de an´alise de dados de sobrevivˆencia nas quais modelos usuais n˜ao se ajustam muito bem. Assim, tomando como ponto de partida o ajuste de um modelo na forma estendida de Marshall-Olkin, um interesse natural que surge ´e testar a necessidade da extens˜ao. Uma motiva¸c˜ao para estudar a estat´ıstica gradiente ao inv´es das estat´ısticas cl´assicas de Wald e Score se referem ao fato de que a este, que possui tamb´em uma distribui¸c˜ao assint´otica qui-quadrado, n˜ao apresentava matrizes em sua express˜ao. Este aspecto ´e particularmente vantajoso em An´alise de Sobrevivˆencia, na qual
38
a ocorrˆencia de censura impossibilita em muitas situa¸c˜oes a obten¸c˜ao da matriz de informa¸c˜ao esperada.
Os resultados das simula¸c˜oes apresentados no cap´ıtulo 5, que representam a contribui¸c˜ao original deste trabalho, mostram claramente que os testes da raz˜ao da verossimilhan¸ca e gradi- ente s˜ao suficientemente precisos para testar o parˆametro extra α nas distribui¸c˜oes exponencial e Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin em amostras finitas. A estat´ısitica gradiente apresentou em geral, uma leve desvantagem, principalmente em amostras muito pequenas e cen- suradas. Esta desvantagem ocorre pelo fato deste teste apresentar o tamanho empirico do teste maior que o n´ıvel nominal considerado (1% ou 5%). O pior resultado para a estat´ıstica gradiente ocorreu no caso apresentado na Figura 5.5, em que o parˆametro da distribui¸c˜ao exponencial foi considerado como de perturba¸c˜ao. Por outro lado quando o parˆametro de forma da Weibull foi considerado de perturba¸c˜ao (Figura 5.10) observou-se o melhor resultado para esta estat´ıstica, que mostrou resultados equivalentes aos obtidos pela estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸ca. N˜ao foram verificadas diferen¸cas nos resultados das simula¸c˜oes para diferentes percentuais de censura, provavelmente pelo fato da simula¸c˜ao considerar apenas pequenos percentuais de cen- sura (10% e 15%). Notou-se que o comando optim interrompeu diversas vezes o processo de simula¸c˜ao ao se encontrar alguma irregularidade (falta de convergˆencia para alguma amostra).
Para trabalhos futuros deseja-se inicialmente aperfei¸coar e ampliar o estudo de simula¸c˜ao. Este estudo apresentou limita¸c˜oes pelo fato de usar o pacote ReliaR (Apˆendice A), que permite apenas o uso da distribui¸c˜ao Weibull com o parˆametro de escala fixado como sendo λ = 1. Implementar a equa¸c˜ao (3.16) tornaria a simula¸c˜ao mais abrangente pois teria parˆametros pr´e- fixados. Dessa forma a simula¸c˜ao poderia ser ampliada para avaliar o desempenho do teste gradiente na presen¸ca de parˆametros de perturba¸c˜ao, assim como em amostras com maiores percentuais de censura. Al´em disso, poderia ser realizado um estudo comparativo do poder dos testes para este modelo e pelo menos uma aplica¸c˜ao a dados reais de sobrevivˆencia.
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Apˆendice A
Neste apˆendice s˜ao colocadas algumas demonstra¸c˜oes para diminuir a densidade te´orica do texto e tornar a leitura mais agrad´avel. De fato, as demonstra¸c˜oes das trˆes propriedades G1, G2, G3 a seguir exigem alguns passos de tal maneira que a sua omiss˜ao pode tornar algumas implica¸c˜oes inv´alidas, mas vamos usar de um certo abuso de nota¸c˜ao que ´e o uso dos simbolos (⇒, ⇔) para que as mesmas n˜ao fiquem muito extensas.
Considera-se inicialmente alguns lemas que s˜ao suporte para algumas demonstra¸c˜oes a saguir: L1. F (xn) ↓ F (x) para xn ↓ x e ∀xi1, xi2, tal que xi1 ≥ xi2; ∀i1, i2; i1 ≤ i2 tem-se F (xi1) ≥
F (xi2) e limn→∞F (xn) = F (x).
De fato essas s˜ao as condi¸c˜oes para que uma sequˆencia mon´otona decrescente seja conver- gente, isso torna o lema L1 com carater axiom´atico.
L2. Por L1, F (xi1) ≥ F (xi2) para ∀i1, i2em que i1 ≤ i2e a ∈ ℜ, ent˜ao a+F (xi1) ≥ a+F (xi2)
Pela seguinte propriedade: Dados a, b ∈ ℜ de forma que a ≤ b, assim c + a ≤ c + b, ∀c ∈ ℜ. L3. Por L1 mais uma vez F (xi1) ≥ F (xi2) para ∀i1, i2em que i1 ≤ i2, logo bF (xi1) ≥ bF (xi2),
se b > 0 e bF (xi1) ≤ bF (xi2), se b < 0.
A propriedade que justifica esse item ´e a seguinte: suponha a, b, c ∈ ℜ, em que a ≤ b, dessa forma ac ≤ bc, se c > 0 e ac ≥ bc, se c < 0.
L4. F (xn) ↓ F (x) quando xn↓ x, dessa forma F(x1n) ↑ F(x)1 .
Pela propriedade seguinte justifica-se L4: seja a, b ∈ ℜ, a < b, ent˜ao 1a > 1b Demonstra¸c˜ao: G1.
43
F (x) ≤ F (y)⇐⇒ −F (y) ≤ −F (x)L3 ⇔ 1 − F (y) ≤ 1 − F (x) ⇔ S(y) ≤ S(x)L2 Considerando α > 0 e αS(y)αS(x) = αS(x)αS(y) ´e f´acil ver que
αS(y) ≤ αS(x) e al´em disso
αS(y) − αS(y)αS(x) ≤ αS(x) − αS(x)αS(y). Logo
αS(y)(1 − αS(x)) = αS(x)(1 − αS(y)).
Dividindo ambas as parcelas por (1 − αS(x))(1 − αS(y)) > 0 chega-se que αS(y) 1 − αS(y) ≤ αS(x) 1 − αS(x) ⇔ SM O(y; α) ≤ SM O(x; α). Portanto G(x; α) ≤ G(y; α). c.q.d. Demonstra¸c˜ao: G2.
Suponha que xn↓ x, segue que
F (xn) ↓ F (x)⇐⇒ −F (xL3 n) ↑ −F (x)⇐⇒ 1 − F (xL2 n) ↓ 1 − F (x) ⇔ S(xn) ↑ S(x)⇐⇒L4 L4 ⇐⇒ 1 S(xn) ↓ 1 S(x) L2 ⇐⇒ 1 S(xn) − α ↓ 1 S(x) − α ⇔ 1 S(xn) −αS(xn) S(xn) ↓ 1 S(x)− αS(x) S(x) . Logo 1 − αS(xn) S(xn) ↓ 1 − αS(x) S(x) L4 ⇐⇒ S(xn) 1 − αS(xn) ↑ S(x) 1 − αS(x) L3 ⇐⇒ αS(xn) 1 − αS(xn) ↑ αS(x) 1 − αS(x) que equivale a SM O(xn; α) ↑ SM O(x; α). Portanto
44
G(xn; α) ↓ G(x; α)
aplicando L2 e L3 com a = 1 e b = −1.
c.q.d. Demonstra¸c˜ao: G3
Prova-se inicialmente que se xn↓ −∞ ent˜ao G(xn, α) ↓ 0. Se xn↓ −∞ ´e garantido que
F (xn) ↓ 0 ⇔ 1 − S(xn) ↓ 0 ⇔ 1 − S(xn) ↓ 1 − 1⇐⇒ −S(xL2 n) ↓ −1⇐⇒ S(xL3 n) ↑ 1⇐⇒L3 L3 ⇐⇒ αS(xn) ↑ α⇐⇒L4 1 αS(xn) ↓ 1 α ⇔ 1 αS(xn) ↓ α + α α ⇔ 1 αS(xn) −α α ↓ 1 e ainda pode-se escrever
1 αS(xn) −αS(xn) αS(xn) ↓ 1 ⇔ 1 − αS(xn) αS(xn) ↓ 1⇐⇒L4 αS(xn) 1 − αS(xn) ↑ 1 ⇔ SM O(xn; α) ↑ 1 Portanto G(xn; α) ↓ 0. c.q.d. Para fazer as simula¸c˜oes foram utilizadas express˜oes do pacote reliaR do software livre R, as express˜oes s˜ao da distribui¸c˜ao de Marshall-Olkin na forma estendida. Respectivamente as fun¸c˜oes de densidade das distribui¸c˜oes exponencial e Weibull na forma extendida de Marshall- Olkin do pacote reliaR s˜ao exibidas a seguir
f (x; α, λ) = αλexp(−λx)/(1 − (1 − α)exp {−λx})2 ; x > 0, λ > 0, α > 0 e
f (x) = λαxα−1exp(−xα)/n{1 − (1 − λ)exp(−xα)}2o; x > 0, λ > 0, α > 0.
Note que o parˆametro inserido na forma estendida n˜ao ´e o mesmo nas duas express˜oes. Para a densidade da exponecial na forma estendida ´e o α tradicional, mas na densidade da Weibull na forma estendida ´e o λ e λ, α s˜ao os parˆametros de forma respectivamente. Ambas as express˜oes podem ser encontradas nos seguintes endere¸cos eletrˆonicos respectivamente:
45
127.0.0.1:18158/library/reliaR/html/MOEE.html e
127.0.0.1:18158/library/reliaR/html/MOEW.html. A programa¸c˜ao utilizada na simula¸c˜ao ´e a seguinte:
1) Para a distribui¸c˜ao exponencial na forma estendida de Marshall-Olkin
################################################################################ #Pacote das fun¸c~oes do MarshallOlkin
library(reliaR)
#Fun¸c~ao de Verossimilhan¸ca para alpha_hat e lambda_hat lmoee=function(par,t,c){
alpha=par[1] lambda=par[2]
if (alpha>0 & lambda>0) sum(c*log(hmoee(t,alpha,lambda))+ log(smoee(t, alpha, lambda))) else NA
}
#Fun¸c~ao de Verossimilhan¸ca para lambda0_hat lmoee2=function(lambda,t,c,alpha){
if (alpha>0 & lambda>0) sum(c*log(hmoee(t,alpha,lambda))+ log(smoee(t, alpha, lambda))) else NA
} #Valores iniciais alpha0=lambda0=1 names(alpha0)=’alpha0_hat’ names(lambda0)=’lambda0_hat’ inicial=c(1,1) names(inicial)=c(’alpha_hat’,’lambda_hat’)
46 #Simula¸c~ao #Permuta¸c~oes N=Y=y=Z=z=NULL for (n in seq(5,150,5)){ for (i in 1:10000) { #Gerando valores T=rmoee(n, 1, 1) #MarshallOlkin C=rexp(n,1/5.5) #Censura
t=pmin(T,C) #Tempo observado
c=rep(0,n);for (k in 1:n){if (T[k]<C[k]) c[k]=1} #vetor de censura
#Estimando numericamente lambda0_hat
resposta_l=optim(lambda0,fn=lmoee2,t=t,c=c,alpha=1,method="BFGS", control=list(fnscale=-1))
#Estimando numericamente alpha_hat e lambda_hat
resposta=optim(inicial,fn=lmoee,t=t,c=c,method="BFGS", control=list(fnscale=-1)) #TRV TRV=2*(lmoee(resposta$par,t,c)-lmoee2(alpha0,t,c,resposta_l$par)) #TG TG=(1/alpha0)*sum(1-smoee(t, alpha0,resposta_l$par)*(1+c))* (resposta$par[1]-alpha0) #Propor¸c~ao if (1-pchisq(TRV,1)<0.05) y=c(y,1) if (1-pchisq(TG,1)<0.05) z=c(z,1)
47 } Y=c(Y,(sum(y)/10000)) Z=c(Z,(sum(z)/10000)) N=c(N,n) z=y=NULL #Gerando os gr´aficos plot(N,Y,type=’l’,ylim=c(0,.6),col=’blue’,lty=1,xlab=’Tamanho de amostra n’, ylab=’%’) lines(N,Z,type=’l’,col=’red’,lty=5) abline(h=.05,lty=3) legend(’topright’, c(’TRV’,’TG’), col=c(’blue’,’red’),
text.col = c(’blue’,’red’),lty = c(1,5), merge = F, bg = ’gray90’) }
2) Para distribui¸c˜ao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin
################################################################################ #Pacote das fun¸c~oes do MarshallOlkin
library(reliaR) require(survival)
#Fun¸c~ao de Verossimilhan¸ca para alpha_hat e lambda_hat lmoew=function(par,t,c){
alpha=par[1] lambda=par[2]
if (alpha>0 & lambda>0) sum(c*log(hmoew(t,alpha,lambda))+ log(smoew(t, alpha, lambda))) else NA
}
#Fun¸c~ao de Verossimilhan¸ca para lambda0_hat lmoew2=function(lambda,t,c,alpha){
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log(smoew(t, alpha, lambda))) else NA } #Valores iniciais alpha0=lambda0=1 names(alpha0)=’alpha0_hat’ names(lambda0)=’lambda0_hat’ inicial=c(1,1)