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O raciocínio em matemática é de tal forma importante que inúmeros são os trabalhos de investigadores e educadores matemáticos com enfoque neste campo. É interessante verificar que esta também tem sido uma área muito apreciada por psicólogos, pelo que tem sido abordada em muitos estudos. De acordo com Tang e Ginbsburg (1999), os psicólogos consideram este tema propício ao desenvolvimento de problemáticas do desenvolvimento cognitivo, como por exemplo: as ideias inatas (ex.: será que os bebés tem um conceito de número?); a inteligência prática (ex.: como é que as pessoas utilizam a matemática nas suas profissões?); as diferenças culturais (ex.: será o desenvolvimento do raciocínio matemático diferente em sociedades letradas e iletradas?); e o pensamento abstrato (ex.: como é que as pessoas compreendem noções, como o infinito?).

Mas será que existem fatores que influenciam o raciocínio matemático além do próprio conhecimento matemático que se tem? Mason, Burton e Stacey (2010) consideram na sua obra que, de facto, existem outros fatores que influenciam a eficácia do raciocínio matemático: i) a competência da utilização dos processos de investigação matemática; ii) a confiança em lidar com determinados estados emocionais e psicológicos; e, por fim, iii) a compreensão da matemática e, em particular, da área que está a ser aplicada.

Afinal, o que será o raciocínio matemático? Apesar de já tantos investigadores e educadores se terem debruçado sobre a temática do raciocínio, parece não existir conformidade para o que se entende por raciocínio matemático, sendo, dessa forma, uma palavra com múltiplos significados. Será visto mais à frente que, enquanto alguns autores salientam sobretudo os aspetos lógicos e dedutivos, outros valorizam mais o processo intuitivo e empírico.

Oliveira (2008) utiliza a expressão raciocínio matemático para se referir a “um conjunto de processos mentais complexos através dos quais se obtêm novas proposições (conhecimento novo) a partir de proposições conhecidas ou assumidas (conhecimento prévio)” (p. 3). Por seu lado, Russel (1999) entende que raciocínio matemático é “o que usamos para pensar sobre as propriedades de um determinado objecto matemático e desenvolver generalizações que se apliquem a toda a classe de

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objectos - números, operações, objetos geométricos ou um conjunto de dados” (p. 1). Além disso, o autor refere que a “matemática é a disciplina que lida com entidades abstratas e o raciocínio é a ferramenta para compreender a abstração” (p. 1). Dado que vários autores apresentam perspetivas distintas dos vários tipos de raciocínio matemático, pelo que serão analisadas algumas visões de autores distintos.

Numa perspetiva dedutiva, Alisseda (2003) defende que o raciocínio matemático se identifica com a inferência lógica, sendo esta caracterizada pela certeza e pela monocidade, ou seja, pela existência de uma relação necessária entre as premissas e a conclusão e pela irrefutabilidade das conclusões alcançadas por um raciocínio dedutivo. De forma lógica e matemática, Brousseau e Gibel (2005) definem o raciocínio matemático como sendo uma relação R entre dois elementos A e B tais que: i) A é uma condição ou um facto observável; ii) B é uma consequência, uma decisão ou um facto previsto; e iii) R é uma relação, uma regra ou algo considerado como conhecido ou aceite que leva o aluno, no caso da condição A ser satisfeita ou o facto A ocorrer, a decidir B, prever B ou constatar que B é válido.

Outros autores apontam caminhos pelo campo indutivo, tal como Lannin, Ellis e Elliot (2011), segundo os quais se generaliza a partir de determinados padrões ou características comuns a diversos casos. Estes autores consideram que o raciocínio matemático é “um processo evolutivo de conjeturar, generalizar, investigar o porquê e desenvolver e avaliar argumentos” (p. 10).

O psicólogo americano Sternberg (1999) salienta que o raciocínio matemático requer não só pensamento analítico, mas também pensamento criativo e prático. Na sua perspetiva, alguns processos metacognitivos envolvidos no raciocínio incluem: i) identificação da natureza do problema - não é possível resolver um problema sem primeiro identificar a sua natureza; ii) formulação de uma estratégia para resolver o problema; iii) representação mental da informação sobre o problema - para além da estratégia é importante que os alunos criem uma representação mental na qual a estratégia vai atuar; iv) procura de recursos que levam à solução do problema; e v) monitorização e verificação da solução - é necessário que o trabalho feito seja avaliado, pois muitas vezes os alunos cometem erros por não pensarem se as suas respostas fazem sentido. Na mesma linha, Krulik e Rudnick(1999) focam no seu artigo o pensamento crítico e criativo (critical thinking e creative thinking), fazendo a distinção entre ambos. O pensamento crítico é aquele que averigua, relata e analisa todos os aspetos da situação ou problema. Este tipo de pensamento inclui a capacidade de ler e analisar a informação de forma crítica, identificando o material supérfluo e o necessário, por forma a construir conclusões pertinentes ou determinar inconsistências ou contradições nos dados. Estes autores acrescentam ainda que este é um pensamento “analítico e reflexivo” (p. 139). Já o pensamento criativo diz respeito a um pensamento original e reflexivo, que “produz um produto complexo” (p. 139), e inclui sintetização de ideias, geração de novas ideias e determinação da sua eficácia. Assim, este é um pensamento que envolve a capacidade de tomar decisões e que, normalmente, conduz à produção de um novo produto final. Os autores referem que os professores devem encontrar regularmente oportunidades para aumentar os dois tipos de pensamento na sala de aula.

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Os matemáticos Artzt e Yaloz-Femia (1999) utilizaram os critérios propostos pelo NCTM (1989), por forma a descreverem os comportamentos dos estudantes aquando da resolução de problemas, referindo que o raciocínio matemático é utilizado pelos alunos quando: i) utilizam métodos de tentativa e erro e voltam para trás até encontrar a solução do problema; ii) fazem e testam conjeturas; iii) constroem argumentos dedutivos e indutivos; iv) usam raciocínio lógico-espacial.

Assim, raciocinar matematicamente pode dizer respeito tanto a aspetos lógicos e dedutivos como a processos indutivos. De facto, existem vários autores que distinguem o raciocío matemático em vários tipos. Oliveira (2002), ao estudar o raciocínio do ponto de vista epistemológico, ou seja, pela sua estrutura formal, identificou quatro grandes tipos de raciocínio: dedutivo, indutivo, abdutivo e transformativo. Dado que, tanto os programas de matemática do ensino básico como do ensino secundário (MEC, 2013) incidem, sobretudo, sobre os dois primeiros tipos de raciocínio, a compreensão das semelhanças e diferenças entre estes poderão constituir um ponto de partida para que uma melhor compreensão do raciocínio e dos seus processos, pelo que serão esmiuçadas as características destes dois tipos de raciocínio daqui em diante.

O raciocínio dedutivo é um tipo de raciocínio formal, baseado em demonstrações dedutivas e lógicas. O raciocínio matemático é, por excelência, o raciocínio dedutivo (Oliveira, 2002; MEC, 2013). Greenes e Findell (1999) consideram que o “processo de dedução envolve raciocinar logicamente, através de afirmações ou premissas generalizadas para conclusões acerca de casos particulares” (p. 128). Estes autores referem ainda que este tipo de raciocínio advém frequentemente da resolução dos alunos a problemas que contêm pistas, nos quais estes têm de construir as conclusões dos dados presentes nas palavras, diagramas, gráficos ou tabelas. Segundo Oliveira (2002), o raciocínio dedutivo é um raciocínio lógico, desenvolvido do geral para o particular, com uma conclusão necessária e com um papel de validação de conhecimento. No fundo, o raciocínio matemático é uma cadeia de deduções lógicas que, desde que estejam isentas de erros, produzirão conclusões necessariamente verdadeiras (Oliveira, 2008). No entanto, tal como afirma Oliveira (2008), a identificação da matemática com o raciocínio dedutivo deixa sem resposta uma questão fundamental - “O que se passa antes de se chegar à demonstração? Por outras palavras, como se chega ao conhecimento novo que posteriormente é organizado de um modo dedutivo?” (p. 4). Este autor afirma que existem muitas investigações que verificam que a atividade matemática está muito além do raciocínio dedutivo.

No que diz respeito ao raciocínio indutivo, os autores Greenes e Findell (1999) referem que este começa a partir da análise de casos particulares, sendo que depois é feita a identificação de relações entre os vários casos e, ainda, a generalização dessas relações. Tipicamente, os problemas que requerem um raciocínio deste tipo pedem aos alunos que determinem “o que vem a seguir?”, por exemplo numa sequência de números ou formas (Greenes & Findell, p. 128). Cañadas e Castro (2007), ao realizarem uma investigação com doze alunos do ensino secundário num contexto de resolução de problemas, propõem uma categorização do raciocínio indutivo dos alunos em sete fases: i) observação de casos particulares; ii) organização de casos particulares; iii) procura de padrões e regularidades; iv) formulação

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de conjeturas; v) validação das conjeturas; vi) generalização das conjeturas; e vii) justificação das conjeturas generalizadas. Estes autores puderam verificar que todos os alunos tinham revelado, explicita ou implicitamente, um raciocínio indutivo, pelo que é percetível a tendência dos alunos raciocinarem de forma mais intuitiva.

George Pólya (1954) defende que os processos de indução começam, muitas das vezes, através da observação, sendo a partir desta que se desenvolvem conjeturas que devem necessariamente ser testadas. O autor faz ainda referência a outros processos relevantes no raciocínio indutivo, nomeadamente a generalização, a especialização e a analogia. A analogia, de acordo com Pólya (1954) e Oliveira (2002), encontra-se intimamente relacionada com a indução. English (1999) diz mesmo que as crianças raciocinam por analogia por forma a compreenderem o mundo à sua volta - por exemplo, as crianças percebem que “as plantas, tal como as pessoas, precisam de comida e água de forma adequada para se manterem vivas” (p. 22), fazendo, então, a analogia com uma situação similar conhecida pelas crianças e adquirida já como verdadeira. Desta forma, a analogia trata-se de uma ferramenta essencial ao raciocínio indutivo. Pólya (1954) defende também que este tipo de raciocínio é essencial para a resolução de problemas, uma vez que permite aos alunos modelarem novos problemas com base em problemas previamente existentes, dando-lhes um caminho para a sua resolução. English (1999) refere que os alunos raciocinam por analogia quando os professores, ou até eles próprios, utilizam representações matemáticas, sejam elas auxiliares, ilustrações, diagramas ou analogias mais abstratas.

Na verdade, embora o raciocínio indutivo possa ser um motor para desencadear descobertas, encontrar padrões e formular conjeturas, é necessário ter em atenção que este não tem, tal como já foi abordado, um caráter formal e de dedução como apresenta o raciocínio dedutivo. Logo no primeiro volume do famoso livro de Pólya (1954, p. 3), Matemática e raciocínio plausível (título original

Mathematics and Plausible Reasoning), é colocado em epígrafe uma citação de Euler que vale a pena

reproduzir:

(…) o tipo de conhecimento que se apoia apenas na observação e que ainda não está demonstrado deve ser cuidadosamente distinguido da verdade; é adquirido pela indução, como dizemos habitualmente. No entanto, já encontrámos casos em que a mera indução conduz ao erro. Por isso, devemos ter muito cuidado em não aceitar como verdade aquelas propriedades dos números que descobrimos pela observação e que apenas se apoiam na indução. Sem dúvida, devemos usar tal descoberta como uma oportunidade para investigar mais exatamente as propriedades descobertas e para as demonstrar ou refutar; em ambos os casos podemos aprender qualquer coisa de útil. (Euler, Opera Omnia)

A complementaridade entre os raciocínio dedutivo e indutivo também é evidenciada por De Villiers (1999, p.33) :

A falta de êxito na rejeição empírica de conjecturas desempenha, na procura da convicção, um papel tão importante como o processo da justificação dedutiva. Tudo leva a crer que existe uma dimensão lógica, a par de uma psicológica, na obtenção da certeza. Logicamente, exigimos alguma forma de demonstração dedutiva, mas psicologicamente parece que precisamos ao mesmo tempo de alguma experimentação exploratória ou compreensão intuitiva.

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Assim, tal como Pólya (1954) reflete na sua obra, embora o raciocínio dedutivo seja fundamental em matemática, o raciocínio indutivo ocupa também um lugar importante, o que justifica a importância da presença de ambos na sala de aula. Para que os alunos se tornem competentes, tanto na utilização do raciocínio dedutivo, como do raciocínio indutivo, o professor deve promover a discussão de conjeturas e afirmações matemáticas na turma (NCTM, 2007).