1. ARAŞTIRMA HAKKINDA
2.1. Aileyle İlgili Nedenler
2.1.1. Ailenin Ekonomik Durumu
Alguns problemas do mundo real apresentam um conjunto de objetivos a serem otimiza- dos, muitas vezes, conflitantes entre si, ou seja, a melhoria de um tem como consequência a degeneração do outro. Assim, não existe uma solução ótima única e sim um conjunto de soluções. Diz-se que as soluções são ótimas quando não existem outras soluções no espaço de busca melhores do que elas considerando simultaneamente todos os objetivos. Um problema multiobjetivo tem a forma (Deb, 2011):
M ax ou Min fm(x), m = 1, 2, ..., M, restrita a gj(x) ≥ 0, j = 1, 2, ..., J, hk(x) = 0, k = 1, 2, ..., K, x(L)i 6xi 6 x (U ) i , i= 1, 2, ..., n,
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
em que x é o vetor de n variáveis de decisão x = (x1, x2, ..., xn)T, x (L) i e x
(U )
i , representam
o valor mínimo e máximo que xi pode assumir, gj e hk são denominadas funções de
restrição.
As funções de restrição e de limite caracterizam a região factível na qual deve es- tar inserida a solução factível x. A solução será não factível se não pertencer à região factível. Na otimização multiobjetivo as funções objetivos constituem um espaço multi- dimensional denominado espaço de objetivos, Z ⊂ RM, além do espaço de variáveis de
decisão da otimização mono-objetivo. Existe um ponto z ∈ RM no espaço de objetivos,
f(x) = z = (z1, z2, ..., zM)T para cada solução x no espaço de variáveis de decisão.
Em otimização multiobjetivo, as soluções ótimas podem ser definidas a partir do conceito matemático de ordenação parcial, chamado dominação. Diz-se que solução x1
domina a solução x2 (representado por x1 x2), se ambas as condições a seguir são
verdadeiras:
• A solução x1 é não pior que x2 em todos os objetivos. Ainda, as soluções são
comparadas baseando-se nos valores de sua função objetivo (ou local dos pontos correspondentes no espaço objetivo z1 e z2).
• A solução x1 é estritamente melhor que x2 em ao menos um objetivo.
Figura 3.4: Fronteira de Pareto. Modificado de (Deb, 2011).
Utilizando essa definição, pode-se estabelecer se um ponto domina outro ou não em conjunto de dados como o representado na Figura 3.4. Se um ponto não é dominado por nenhum outro ponto do conjunto, ele é chamado de não dominado. Os pontos 3, 5 e 6 da Figura 3.4 são não dominados e formam o conjunto solução do problema. É importante
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
ressaltar que a melhora de um objetivo tem como consequência alguma perda em outro objetivo, então, o que se busca é um equilíbrio entre os pontos não dominados, não sendo possível definir uma solução ótima única. Este conjunto de soluções, quando vi- sualizado, forma uma fronteira denominada fronteira de não dominação. Considerando todos os pontos pertencentes ao espaço de busca, aqueles pontos que formam a fron-
teira de não dominação, são denominados soluções ótimas de Pareto. Tomando-se por
base um problema de minimização, formalmente, pode-se definir um conjunto ótimo de Pareto (Ehrgott, 2005):
Definição Uma solução factível ˆx ∈ X é chamada eficiente ou ótima de Pareto, se não há outro x ∈ X tal que f(x) ≤ f(ˆx). Se ˆx é eficiente, f(ˆx) é chamado ponto não dominado. Se x1, x2 ∈ X e f(x2) 6 f(x1) diz-se que x1 domina , x2 e f(x1)
domina f(x2). O conjunto de todas as soluções eficientes ˆx ∈ X é denotada por
XE e é chamado conjunto eficiente. O conjunto de todos pontos não dominados
ˆy = f(ˆx) ∈ Y , em que ˆx ∈ XE, é denotado por YN chamado de conjunto não
dominado.
As propriedades da relação de dominância são (Ehrgott, 2005):
1 Não é reflexiva. Uma solução não pode ser dominada por si mesma; 2 Não é simétrica, ou seja, x y não implica que y x;
3 Transitiva, dado que se x y e y z então x z.
Como exemplo do emprego das definições apresentadas, pode ser citado um pro- blema de otimização multiobjetivo proposto por (Schaffer, 1985), denominado fun-
ção f2. Consta de duas funções g e h que devem ser simultaneamente minimizadas:
f2 = (g(x), h(x)) sendo g(x) = x2 e h(x) = (x − 2)2.
A representação gráfica das funções objetivo g e h pode ser vista na Figura 3.5, na qual pode-se identificar, no intervalo [0, 2], o espaço das soluções ótimas de Pareto. Dentro do intervalo [0, 2] verifica-se que as funções objetivo g e h são conflitantes entre si, ou seja, enquanto uma cresce a outra diminui de valor. A Figura 3.6, mostra as soluções ótimas de Pareto, em um gráfico construído no espaço das funções objetivo.
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Figura 3.5: Representação gráfica de um problema multiobjetivo função
f2 (Schaffer, 1985).
Cap´ıtulo 4
Metodologia
Com a finalidade de se obter combinações de classificadores mais eficientes (menores) mantendo-se a eficácia (acurácia) foi desenvolvido um AGM baseado na Fronteira de Pareto. Além disso, é proposta uma combinação linear ponderada utilizando Progra- mação Linear para gerar combinações de classificadores, visando tornar o processo de otimização multiobjetivo mais rápido. Neste capítulo serão apresentados em detalhes os dois métodos propostos bem como as abordagens de classificação base que formam a combinação de classificadores.
4.1
Conjunto de Abordagens de Classificação Base
Foram construídas doze abordagens de classificação base utilizando-se três representa- ções de características e quatro algoritmos de aprendizagem diferentes.
Pixelwise é a representação de características mais simples. Ela utiliza todos os
dados originais, ou seja, cada banda da imagem hiperespectral é uma característica. Uma abordagem de classificação que se baseia neste tipo de representação não leva em consideração informação espacial, mas somente a informação espectral de cada banda da imagem.
Uma das desvantagens de dados de alta dimensionalidade é a chamada “maldição” da alta dimensionalidade ou fenômeno de Hughes (Hughes, 1968). Esse fenômeno acon- tece quando o número de dimensões dos dados é muito maior que o número de amostras de treinamento disponíveis, o que pode levar a uma pior generalização do classifica-
4. METODOLOGIA
dor (Bishop, 2006; Duda et al., 1995; Hughes, 1968; Mitchell, 1997; Theodoridis and Koutroumbas, 2003). Outra desvantagem é a maior complexidade computacional o que, por exemplo, para uma RN implicaria em mais pesos sinápticos a serem ajusta- dos (Bishop, 2006). Existem duas formas de reduzir o número de características de um dado: extração e seleção. Na extração, os dados são processados de forma que novos valores, mais representativos, são encontrados. Na seleção, dentro do conjunto de carac- terísticas, o objetivo é escolher aquelas que melhor representam os dados de forma que a informação discriminativa seja mantida (Bishop, 2006).
A segunda representação de características aplicada no presente trabalho, é o método de seleção FEGA (Santos et al., 2012c). Nesta abordagem, cada individuo (cromossomo) é representado por um bit string de tamanho igual ao número de B bandas espectrais existentes na imagem hiperespectral. Cada gene representa a presença (bit 1 ) ou a ausência (bit 0 ) de uma banda específica. A função fitness é caracterizada pelo índice de
Dunn (Dunn’s Index) uma métrica de validação de agrupamentos que fornece informação
sobre a qualidade do agrupamento formado. Mais detalhes sobre este método pode ser visto em (Santos et al., 2012c).
A terceira representação se baseia na informação espectral-espacial e é denominada de EMP. Operações morfológicas são aplicadas em cada uma das bandas da imagem hiperespectral separadamente, gerando um grande volume de dados. Para construir o EMP é preciso antes diminuir o número de bandas espectrais. (Benediktsson et al., 2005) propõe uma abordagem que utiliza PCA para extração de características. Sobre cada Principal Component (PC) é aplicado uma série de transformações morfológicas: sucessivas aberturas e fechamentos por reconstrução com EE de tamanho variável. Com a finalidade de conectar/separar estruturas maiores, o tamanho do EE é aumentado a cada aplicação de abertura/fechamento, em um determinado passo de crescimento.
Para cada representação dos dados a tarefa de classificação foi realizada pelos algo- ritmos de aprendizagem SVM (Melgani and Bruzzone, 2004), KNN (Cover and Hart, 1967), MLP (Benediktsson et al., 2005), descritos na Seção 3.1, resultando nas aborda- gens mostradas na Tabela 4.1. Os algoritmos escolhidos são métodos tradicionalmente utilizados na literatura de Reconhecimento de Padrões e também bastante aplicados em dados de sensoriamento remoto.
É importante ressaltar que, nesta fase, o interesse principal não é construir uma abordagem ótima, isto é, com uma alta acurácia. Pretende-se, antes, obter um conjunto
4. METODOLOGIA
Tabela 4.1: Abordagens de Classificação. Abordagens de Classificação 1 emp svm 2 pixelwise svm 3 f ega svm 4 emp mlp 5 pixelwise mlp 6 f ega mlp 7 emp knn 8 pixelwise knn 9 f ega knn 10 emp linear svm 11 pixelwise linear svm 12 f ega linear svm
de classificadores diversos (Polikar, 2006).