Örnek Olay Çalışması Problemlerinin Geliştirilmes

Örnek olay çalışmasında kullanılacak problemlerin öğrencilerin matematiksel düşünme ve bilgiyi oluşturmalarını gözlemlemeye ne kadar uygun olduğunu belirlemek istendi. Bu nedenle pilot çalışma gerçekleştirildi. Pilot çalışmaya katılan öğrenciler, gönüllü olan öğrenciler içerisinden matematik başarıları

ve cinsiyetleri dikkate alınarak seçildi. Seçime ilişkin dağılımlar Tablo 5 ve Tablo 6’da belirtilmektedir.

Tablo 5

Örnek Olay Çalışması Problemlerinin Pilot Çalışmasına Katılan Öğrencilerin Cinsiyete Göre Dağılımları

Sınıf Düzeyi Kız Erkek Toplam

6. sınıf 3 öğrenci 3 öğrenci 6 öğrenci

7. Sınıf 3 öğrenci 3 öğrenci 6 öğrenci

8. Sınıf 3 öğrenci 3 öğrenci 6 öğrenci

Toplam 9 öğrenci 9 öğrenci 18 öğrenci

Cinsiyet faktörünün etkisini azaltmak için pilot çalışmada eşit sayıda kız ve erkek öğrenci ile çalışılmıştır.

Tablo 6

Örnek Olay Çalışması Problemlerinin Pilot Çalışmasına Katılan Öğrencilerin Matematik Başarılarına Göre Dağılımları

Sınıf Düzeyi Matematik Başarısı Yüksek

Matematik Başarısı Düşük

Toplam

6. sınıf 3 öğrenci 3 öğrenci 6 öğrenci

7. Sınıf 3 öğrenci 3 öğrenci 6 öğrenci

8. Sınıf 3 öğrenci 3 öğrenci 6 öğrenci

Toplam 9 öğrenci 9 öğrenci 18 öğrenci

Pilot çalışmanın gerçekleştirilmesinin amacı, problemlerin öğrencilerin matematiksel düşünme ve bilgi oluşturma süreçlerini açığa çıkarmada etkili olup olmadığını belirlemektir. Pilot çalışma bulguları doğrultusunda yeniden düzenlenen problemlerin son halleri aşağıda belirtilmektedir. Bununla birlikte pilot çalışmada

elde edilen bulgulardan hareketle hangi noktalar üzerinde durulması planlandığı ayrıntılı olarak belirtilmektedir.

Problem 1

Bir üçgenin iç bölgesinde, üçgenin köşelerine olan uzaklıkları toplamı üçgenin çevresinden büyük olacak şekilde bir nokta bulunabilir mi?

Problemde öğrencilerin bir matematiksel ispat yapmaları beklenmemektedir. Zaten öğrencilerin bu ispatı yapabilmeleri için, henüz öğrenmedikleri üçgen eşitsizliğini bilmeleri gerekmektedir. Öğrencilerden ispat yapmak yerine, üçgende kenar uzunlukları ve çevre ilişkisini yorumlayarak, tahminde bulunarak ve bu tahminin doğruluğunu kontrol ederek, sorudaki koşulları sağlayacak bir noktanın var olup olamayacağını araştırmaları beklenmektedir. Araştırmalarında öğrencilerin çizdikleri üçgenler, üçgenin iç bölgesinde seçtikleri noktaların yerleri gibi düşünme şekilleri hakkında ipucu verebilecek çeşitli boyutlar dikkate alınacaktır.

Bu problemde öğrencilerin verilen problemi çözmeye başlamalarından, (eğer gerçekleşirse) bilgi oluşturmaya kadar olan süreç incelenecektir. Bulundukları sınıf seviyesi, problemde kullanmaları gereken bilgi yapılarına sahip olmalarını gerektirmektedir. Problem, var olan matematiksel bilgilerinden hareketle problemin cevabıyla ilgili tahminde bulunmalarını ve akıl yürüterek yorum yapabilmelerini mümkün kılmaktadır. Bu nedenle problemin, öğrencilerdeki bilgi yapılarını tanıma ve kullanmalarını gözlemlemede etkili olacağı düşünülmektedir. Problemin çözümünde (eğer isterlerse) kullanmaları için öğrencilere kareli kâğıt, iletki, gönye ve cetvel verilmiştir.

Problem 2

Problem 2’deki ilk soru, üçgenin kenar uzunlukları ile üçgen oluşturma arasındaki ilişkinin keşfedilmesine yönelik olarak yapılandırılmıştır. İlköğretim matematik öğretim programına göre öğrenciler yedinci sınıfa gelene kadar üçgenin nasıl oluştuğunu öğrenmiştir. Bununla birlikte bir üçgen oluşturmak için kenarlar arasında nasıl bir ilişki olması gerektiği kendileri için yeni bir problemdir. Bu bilginin doğruluğu derslerine giren matematik öğretmenleri tarafından da doğrulanmıştır. Problem çözümünde kullanması için öğrenciye uzunlukları 5 cm. ile 25 cm. arasında değişen çubuklar ve çalışma kâğıtları verilmiştir.

Problem dört ana bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde;

öğrencilerden üçgen oluşturacak şekilde üç çubuk seçmeleri istendiğinde seçimlerinin hangi uzunluktaki çubuklar olduğu,

üçgen oluşturmayacak şekilde üç çubuk seçmeleri istendiğinde seçimlerinin hangi uzunluktaki çubuklar olduğu,

1. Bir üçgenin oluşabilmesi için kenar uzunlukları arasında nasıl bir ilişki olması gerekir?

o Üçgen oluşturacak şekilde üç çubuk seçmeniz istense hangi uzunluktaki çubukları seçersiniz?

o Üçgen oluşturmayacak şekilde üç çubuk seçmeniz istense hangi uzunluktaki çubukları seçersiniz?

2. Uzunlukları 3, 5, a birim (a>0 için) olan çubuklarla bir üçgen oluşturabilmek için kenar uzunlukları ve a arasındaki ilişki nasıl olmalıdır?

3. Uzunlukları 3, a, 2a birim (a>0 için) olan çubuklarla bir üçgen oluşturabilmek için kenar uzunlukları ve a arasındaki ilişki nasıl olmalıdır?

4. Uzunlukları 1, a2, 2a birim (a>0 için) olan çubuklarla bir üçgen oluşturabilmek için kenar uzunlukları ve a arasındaki ilişki nasıl olmalıdır?

yaptıkları denemeler sonucunda konuyla ilişkili oluşan yapıların neler olduğu

araştırılmıştır. Problemin verilerinin tartışılmasında bu bölüm merkez alınacaktır.

İkinci ve üçüncü bölümde oluşturulan kuraldan hareketle, uzunluklarından bazıları bilinmeyen olarak verilen[(3,5,a) ve (3,a,2a)] bir şeklin üçgen belirtip belirtmediğinin araştırılması istenmektedir. Bu bölümdeki sorular ilk bakışta oluşturulan yeni yapının soru üzerinde kullanılması gibi görülmektedir. Ancak soru öğrencinin bu soruları cevaplarken pekiştirme surecini gerçekleştirmesini ya da yeni bir yapı oluşturmasını gerektirebilir. Bunun nedeni sorunun, verilen üç kenar uzunluğunun bir üçgen oluşturup oluşturmayacağına karar vermekten öte, değerleri bilinmeyen uzunluklar üzerine yorum yapmayı gerektirmesidir.

Dördüncü bölümde uzunlukları 1, a2 ve 2a birim (a>0) olan çubuklarla bir üçgen oluşturabilmek için kenar uzunlukları ve a arasında nasıl bir ilişkinin olması gerektiği sorulmaktadır. Bu soru ile yeni oluşturulan matematiksel yapının karmaşık durumlarda nasıl kullanılabildiğini belirlemek amaçlanmaktadır.

Problem 3

Problem 3’teki ilk soru, öğrencilerin üçgenin elemanlarından olan dikme ve yükseklik arasındaki ilişkiyi, verilen problem durumunda araştırırken, gerekli bilgileri tanıma, kullanma ve problemin amaçladığı yapıyı oluşturma süreçlerini

1. Bir ikizkenar üçgen üzerinde öyle bir nokta bulun ki, bu noktadan ikizkenarlara inilen dikmelerin uzunlukları toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliklerin uzunluklarına eşit olsun

2. İkizkenar üçgenin tabanının uzantısı üzerinde bir nokta alınsaydı, bu noktadan ikizkenarlara inilen dikmelerin uzunlukları toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliklerin uzunluklarına eşit olur muydu? 3. Yukarıdaki iki soruda sözü edilen üçgenler ikizkenar değil de eşkenar

gözlemlemeyi amaçlamaktadır. Genel anlamda bakıldığında problemde öğrencilerin istenen şekli oluşturduktan sonra, zihinlerinde var olan yapıları tanıyarak ve kullanarak problemin çözümüne ulaşmaları söz konusudur. Bu nedenle ilk problemde öğrencilerin özellikle tanıma ve kullanma eylemleri üzerinde odaklanıldığı söylenebilir.

Problem iki bölümde ele alınabilir. İlk iki soru ile öğrencilerin taban ve taban uzantısı üzerinde alınan noktalardan ikizkenarlara inilen dikmelerin uzunlukları ile ikizkenarlara ait yüksekliklerin arasındaki ilişkiyi araştırmaları beklenmektedir. Problemin ikinci bölümünde ise öğrencilerin ilk bölümdeki sorularda sözü geçen üçgenler ikizkenar değil de eşkenar üçgen olsaydı sonucun nasıl değişeceğini yorumlamaları beklenmektedir. Bu bölüm her ne kadar ilk bölüme gönderme yapsa da, öğrenciler ilk bölümden bağımsız olarak; ikizkenar ve eşkenar üçgen arasındaki ilişkiden yararlanarak yorum yapabilirler.

Problem 4

Ali Bey saçlarının sürekli olarak dökülüyor olmasına çok üzülmektedir. Bu nedenle bir doktora gider ve yapılan saç analizleri sonrasında günde 150 adet saçının döküldüğünü öğrenir. Doktorlar tedaviye başlarlar. Bu tedaviye göre Ali Bey 30 gün boyunca kendisine verilen ilacı kullanırsa, 31. günden itibaren yeni saçları çıkacak ve saç dökülmesi azalacaktır. Ancak ilacı kullandığı 30 gün boyunca saç dökülmesi aynı miktarda devam edecektir. Ali Bey söylenenleri uygular ve 31. günden itibaren günde 70 yeni saç kökü çıkmaya başlar. Bununla birlikte günlük saç kaybı günde 10’a iner. Ali Bey kaç gün sonra tedavinin başladığı gün sahip olduğu kadar saça sahip olur?

Araştırmada kullanılan problemlerden dördüncüsü basit bir matematiksel problemdir. Öğrencilerin matematiksel düşünme şekilleri, bu matematiksel problemi çözme sürecinde incelenecektir. Problemde tedavinin başladığı gün sahip olunan saç miktarının verilmeyerek, öğrenciler için çelişkili bir problem durumu oluşturulmuştur. Bu bilgi kullanılmadan problemi çözmeye devam edip etmemeleri süreç ile ilgili gözlemlenecek davranışlardan bir tanesidir.

Problem 5

Araştırmada kullanılan beşinci problem öğrencilerin bir problemi çözme sürecindeki matematiksel düşünmelerini gözlemlemeyi amaçlamaktadır. Problemde

Esin ve Onur bir sayı bulmacası oynarlar. Bu oyunda Esin aklından dört basamaklı bir sayı tutar. Bu sayının rakamları birbirinden farklıdır. Onur bu sayının ne olduğu ile ilgili tahminlerde bulunur. Esin, Onur’un tahminlerine karşılık ipuçları vermektedir. Esin ve Onur’un oynadığı bu oyundan bazı bölümler aşağıda verilmektedir.

Onur’un tahmini Esin’in ipuçları

2345 Söylediğin sayının rakamlarından ikisi benim tuttuğum sayıda da var ancak yerleri farklı.

2000 Söylediğin sayının rakamları benim tuttuğum sayıda yok.

3000 Söylediğin sayının rakamlarından biri benim tuttuğum sayıda var ve aynı yerde yer alıyor.

3400 Söylediğin sayının rakamlarından ikisi benim tuttuğum sayıda da var. Bu rakamlardan biri benim tuttuğum sayıdaki ile aynı yerde, biri farklı yerde.

3140 Söylediğin sayının rakamlarından ikisi benim tuttuğum sayıda da var. Bu rakamlardan biri benim tuttuğum sayıdaki ile aynı yerde, biri farklı yerde.

Bu bilgilere göre,

- Esin’in ipuçlarına göre tuttuğu sayı bulunabilir mi?

o Yanıtınız evet ise, nasıl bulunabileceğini ayrıntıları ile açıklayınız. o Yanıtınız hayır ise, Esin’in tutmuş olabileceği sayıları listeleyiniz.

Her biri için düşünme biçiminizi ayrıntıları ile açıklayınız. - Onur neden ikinci ve üçüncü tahminleri yapmış olabilir? - Onur neden dördüncü ve beşinci tahminleri yapmış olabilir?

- Siz olsaydınız Esin’in verdiği ilk ipucundan sonra hangi tahmini yapardınız? Neden?

öğrencilere dört soru yöneltilmektedir. Bu sorular üç bölümde ele alınabilir. İlk bölümde öğrencilerin verilenleri kullanarak tutulan sayının ne olduğunu tahmin etmeleri istenmektedir. Bu tahminin yapılabilmesi, yapılan beş tahmine verilen ipuçlarını yorumlama ve anlamlandırmalarına bağlıdır. İpuçlarından sayıda bulunacak ve bulunmayacak rakamları belirlemeleri beklenmektedir. Burada olası on iki sayının yazılabilme durumu söz konusudur. Öğrencilerin bu sayıları listeleyebilmeleri esnek düşünmeleri hakkında ipucu olacaktır.

İkinci bölümde öğrencilerin Onur tarafından yapılan tahminlerin ne amaçla yapılmış olabileceğini yorumlamaları beklenmektedir. Burada verilen cevaplar, öğrencilerin verileri anlamlandırmadaki becerileri ve akıl yürütme şekilleri hakkında bilgi verecektir.

Son bölümde ise, öğrencinin verilen ilk ipucuna eleştirel gözle baktığında nasıl bir tahminde bulunmasının doğru olacağını düşündüğü sorulmaktadır. Problem direkt matematikle ilgili değildir. Matematik öğrenerek oluşturması beklenen bir takım becerilerin, verilen bir durumda kullanım şeklini belirlemek hedeflenmektedir.

Problem 6

Metin Bey, kızı Ezgi ile birlikte ormana kamp yapmaya gider. Gece olunca sivrisinekler çoğalır. Metin Bey sivrisineklerden korunmak için yanında bir cihaz getirmiştir. Bu cihaz etrafa elektromanyetik dalgalar yayarak sivrisineklerin gelmesini engellemektedir. Cihaz, konulduğu noktadan her yöne doğru 2,5 metrelik alanda dalgalar yaymakta ve bu bölgenin içinde etkili olmaktadır. Metin Bey’in de, Ezgi’nin de çadırı kare prizma şeklindedir. Çadırların boyu 1,5 metre, hacimleri ise 6 m3’tür. Her ikisi de bu cihazdan yararlanmak istemektedir.

1. Metin Bey ile Ezgi çadırlarını en fazla mesafe aralığı ile kurmak için cihazı nereye yerleştirmelidir?

Araştırmada kullanılan altıncı problem öğrencilerin, prizmalar ve küre ile ilgili bilgilerden yararlanmalarını gerektirmektedir. Örneğin öğrencinin cihazın konulduğu noktadan her yöne doğru 2,5 metrelik alanda dalgalar yayarak etkili olduğunu okuduğunda manyetik dalgaların bir küre olarak düşünmesi gerekmektedir. Problemi çözmek için bu konulara ait bilgilerin kullanılmasının yanı sıra, akıl yürüterek yorum yapmaları da dikkate alınmaktadır.

Problemde iki soru öğrenciye yöneltilmektedir. İlk soru adı geçen iki kişinin çadırlarını en fazla mesafe aralığı ile kurmaları için cihazı nereye yerleştirmeleri gerektiğidir. Bunun için öğrencinin kare prizma ve küre ile ilgili bilgilerini ilişkilendirmesi beklenmektedir. İkinci soru ise, en fazla mesafe aralığı ile kurulduğunda iki çadır arasındaki uzunluğun ne olduğudur. Bu soru, ilk soruya verilen cevaptan hareketle akıl yürütülerek bulunabilecek bir sorudur.

3.4. Prosedür

Matematiksel güç ölçeğinin uygulanması ve örnek olay çalışmasının gerçekleştirilmesi prosedürleri bu kısımda belirtilmektedir.