Çevre ve İşletme

Professora: – É o que a gente mais vai usar na aula. (...)

A introdução de recursos didáticos, especialmente na forma de objetos palpáveis ou de representação visível, pelo aluno, tem sido uma preocupação nas práticas de trabalho onde se pretende levar a uma maior compreensão da matemática. Na observação que fiz com a Professora Aurora, houve uma ação neste sentido, para se trabalhar com polinômios. Segue relato:

(26/04/99) - Turma 32D A sala está em círculo.

Há um retroprojetor armado no meio e todo o material da Professora preparado. A Professora organizou as carteiras para apresentar o novo assunto.

A Professora pede para que todos deixem sobre suas mesas o livro e o material recortado e colorido, previamente preparado para esta aula, na aula de práticas interdisciplinares.

Pega o seu caderno de anotações da turma e vai de carteira em carteira, confirmando quem trouxe e quem não trouxe. Marca no papel.

Alguns alunos chegam atrasados e a Professora mostra sua insatisfação com isso. Pede silêncio.

compromisso, responsabilidade. Coloquei no quadro o que vamos precisar. No mural também.

Há um mural, afixado em uma parede lateral, contendo:

1 cm (um centímetro) 1 cm2 (um centímetro ao quadrado)

(um traço de 1cm) (um quadrado de 1cm de lado)

1 dm (um decímetro) 1 dm2 (um decímetro ao quadrado)

(um traço de 1dm) (um quadrado de 1dm de lado)

1m (um metro) 1 m2 (um metro quadrado)

(um traço de 1m) (um quadrado de 1m de lado)

(o desenho é alaranjado, em tamanho natural)

A Professora explica o que há no mural, passo a passo. Completa com anotações no quadro.

(...)

Professora: – Ó gente, eu tô falando sério e você, abre o seu material, além de chegar atrasado e nem me pedir para entrar, ainda não abre o material! Então, 1 decímetro quadrado cabem 100 centímetros quadrados. Agora, se eu pegasse um metro quadrado, vai dar 10.000 centímetros quadrados... é muita coisa, não é? Aqui você trabalha com duas questões e cada casa são duas unidades... O que eu quero é que você tenha a noção de áreas... quando eu falo comprimento... o pedreiro que fez até terceira série primária sabe e vocês não podem sair daqui sem saber isto.

Terminada esta fase, a Professora vai ao retroprojetor e pretende explorar o uso de áreas em Polinômios. Projeta no quadro um quadrado azul, quadrado de lado x.

Explica que este quadrado tem área x2.

Em seguida, manda que todos escrevam no verso dos seus quadrados azuis x2.

Professora: – Quem não trouxe o material hoje, traz na próxima aula... eu vou avaliar.

Aluna: – Espera professora! Professora: – Vamos ao vermelho.

Professora: – Vocês já viram quando cai um ladrilho, quando sai... vocês vão ver as hachuras, é onde está faltando o ladrilho... O vermelho vai dar a idéia do negativo, do buraco que fica. Tanto que o vermelho e o azul quando juntam dá zero.

(...)

Professora: - Na verdade, a área existe, mas nós queremos dar a idéia de negativo. Ela é vermelha, vai representar como se fosse tirando aquela área, vai representar negativo.

(...)

Agora projeta y2, vermelho e mostra.

Professora: – Só que vai representar o número negativo.

Professora anota a quantidade de cada figura que cada aluno vai precisar, para quem vai trazer o material... (faz graça com a responsabilidade dos alunos).

Aluno: – Pergunta sobre y2 .

Professora explica novamente o sentido de falta, retirada e subtração (o azul no sentido de ter e o vermelho no sentido de falta).

140

Quadro Expressões algébricas ou literais – Ditado

Professora: – Vou mostrar as expressões e vou pedir para que vocês escrevam. Vou pegar um quadrado azul.

Aluno: – Peraí Professora. Professora: – Um quadrado azul Aluno: – Peraí Professora.

Professora: – Por isso eu trouxe o retroprojetor... um quadrado azul, que expressão algébrica ele representa?

Alunos: – y2

Professora: – Quantos quadrados você tem? Alunos: – Um

Quadro 1 x2 = x2

Professora: – Se eu pedir para você 3 quadrados azuis, que expressão algébrica representa?

Alunos vão falando 3 x2

Professora: – Então, escrevam na letra b

Quadro b) 3 x2

Professora: – Cada quadrado azul está escrito x2 atrás dele. (...)

Vamos à letra c); vou pedir para vocês pegarem 1 quadrado azul e 2 retângulos azuis.

Os alunos conversam uns com os outros.

Professora: – Prestem atenção e calem a boca. Olhem aqui. Quantos quadrados azuis e quantos retângulos?

Quadro c) 1 x2 + 2xy

Professora: – São duas figuras diferentes. Eu posso somar quadrado com retângulo? Não, deixo indicado e são os termos. São áreas diferentes, não são?

Quadro x2 + 2xy

Professora: – Agora, eu quero 3 retângulos azuis e 2 quadrados vermelhos. O que vão representar?

Alunos: 3xy

(vão todos escrevendo as respostas, há uma certa dispersão porque parece-me que a maioria não tem o material, mas vão compondo as respostas pelo que a Professora projeta no quadro com o retro)

Professora: – 3 azuis e 2 vermelhos

Alunos: 3xy + 2x2

Professora: - Vamos lá, gente, isso é matéria, já vai ter título e tudo mais.

Quadro 3xy – 2y2

Professora: – Tenho 2 tipos de áreas, quadrado e retângulo Aluno: – Pode ser o mais (refere-se ao uso do sinal de adição)

Professora: +3xy – 2y2

Aluno: – Não é aí

Professora: – 3xy + (– 2y2). Pode por, mas... (...)

Professora: – Ô gente, eu quero cinco retângulos vermelhos. Quanto isso aí vai dar? Cada retângulo vermelho vale quantos -xy? Então, 5 vão ser quanto?

Alunos ...

Professora no Quadro -5xy.

- Tá claro? Deu pra compreender? Que tipo de figura eu tenho aqui (volta ao quadro)?

Explica um a um e retoma os retângulos e quadrados.

Professora: – E se eu colocasse assim: 1 retângulo azul, 2 quadrados azuis e 3 quadrados vermelhos, como é que representaria?

Quadro f)

Professora: – Agora, eu tenho 3 tipos de áreas. Como representar? Alunos ....

Professora: – Pode escrever como quiser (...)

A Professora circula na sala, vai olhando a produção dos alunos, opinando. Aluno: – Comecei o ditado agora.

Professora: - Então, perdeu todo o objetivo da aula A grande maioria presta atenção.

Quadro 2x2 + xy – 3y2

Professora: – Agora eu gostaria que vocês aproveitassem este material e vamos ver

uma coisa. Quando eu tenho 3 x2 eu tenho um tipo de área, eu chamo de

monômio.... Quando eu tenho, no caso de c) e d) eu tenho binômio e, esse aqui, f), vocês acham que é o quê?

Alunos: – trinômio (...)

Professora: – O que venha a ser um monômio? Enquanto tiver multiplicado é um monômio.

Quadro 2xyz Professora: – E esse 2x + yz Aluno: – É monômio

Professora: – E este?(para a turma) Não fala (apontando para o Aluno que falou).

Quadro 2x + y + z

Alunos ... (...)

Professora: – O que vocês acham que são expressões algébricas ou literais? Aparecem letras e números. Então, complete para mim.

142

Uma expressão matemática que apresenta _________________ e ______ ou somente ___________________, é denominada expressão algébrica ou literal.

Professora: – Só para a gente fechar essa questão aqui. Lê e responde números e letras ou somente letras. Não espera que os alunos copiem ou falem, ela mesma vai falando.

Quadro 3) valor numérico

a)

Professora: – Quero que vocês escrevam cinco retângulos azuis... Não vou poder seguir o ritmo de quem está conversando na aula.

(observo que a turma está em silêncio – dois alunos dormem, a maioria copia e alguns estão conversando baixinho).

Aluno: – 5 x2

Professora: – Pegue aí, olhe direito Aluno: – Oh!

Professora: – Se você tivesse o material veria que é 5xy em cada um... Oh, desculpe, xy em cada um

Quadro a) 5xy

Professora: – Agora vocês peguem uma régua e meçam para mim quanto mede x e y

Alunos: – 6 e 2

Professora: – 6 cm para x e 2 cm para y. Vou pedir um favor... quem não tem material poderia pelo menos fazer silêncio, é uma questão de respeito.

(há sim um zum zum zum bem baixinho) Professora: – Vou escrever VN, valor numérico

Quadro VN = 5. (6 cm) (2 cm) =

x y Aluno: – Tem que colocar cm? Professora: – Tem

Quadro VN = 60 cm2

Professora: – Então, na hora que eu pego cinco retângulos e prendo ali no quadro

eu vou ter exemplo de quanto vale 60 cm2? É real isto.

(Tem um aluno do meu lado que nada faz e toda hora pergunta a hora. O clima da sala é de certo marasmo e distração).

Professora cola no quadro 5 retângulos: – A gente quando não tem material e não

está... tem que conversar mesmo... prestem atenção... é real,,, faz e mostra os 60 cm2.

Professora: – Vou dar a expressão 3x ao quadrado oh!, falei a expressão, são 3 quadrados grandes azuis

Aluno: 3 x2

Professora: 3 x2 Qual é o valor numérico dela? O valor de x é 6cm

Quadro VN = 3 ( ) 2

VN = 3 (6cm)2

VN = 3 (36 cm2)

VN = 109 cm2

Não é tão fácil introduzir recursos didáticos e construir coletivamente um conceito na sala de aula! Na observação, a Professora investiu em aulas anteriores para criar o recurso didático com os alunos. Na aula propriamente, onde a Professora utilizou o material para introduzir polinômios, pouquíssimos alunos estavam com o material em mãos; alguns levaram, mas estava com o colorido incompleto. Pareceu interessante produzir um material para a Álgebra, mas o trabalho de colorir, muitos e muitos quadrados e retângulos! Quem sabe o uso de papel colorido, só cortando e montando, o quadrado, o retângulo, comparando, sobrepondo, enfim, teria facilitado o processo. Também mostrou-se preocupante o fato de os meninos, já com treze/quatorze anos, realizarem a tarefa de colorir sem saber bem para quê. Faziam, já acostumados um pouco com o ritmo de fazer o que o professor manda.

Feita a definição geral, as aulas seguintes foram de trabalho com os polinômios, entrando em operações, onde foram realizados exercícios. A partir daí, percebo que matemática é linguagem, regras de operações e linguagem. A Professora volta a referir-se às áreas muitas vezes, quando queria fazer uma explicação, procurando uma articulação delas para compreensão das operações realizadas.

(10/05/99) – Turma 32D – 28 alunos presentes – uma aula curta, em função de extensão do recreio para reunião dos professores.

A Professora manda fazer exercícios do livro e passa no quadro. Classificar as expressões no quadro abaixo:

x7 -100 9 a2 b 1 + x2 y3 – y y2 – 2y + 1 8 + c3 - x4y - 2x2 – 5x - 3

144

Monômio Grau em x Grau em y Coeficiente Parte literal

2xy 1º 1º 2 xy

(...)

Entra turma 32B – 30 alunos presentes (...)

Vários alunos vão ao quadro para passar os exercícios, que eram de para casa. Professora – então vamos olhar lá. Você fez? Não? (pega seu papel e anota). Circula na sala, olha os cadernos e anota no seu papel.

Quadro x2 + y2 9a – 3 14 – 2x 2x3 + y3 x2 – 4 y2 + 3 a + 1 + - 7 + 8x + - x3 – y 3 + a2 b + a b2 + 3 5a – 7 b + 2 10 a2 b c – 9 a b c2 2a2 b + a b2 – 1 + - 9 a – b + 3 + 5 a2 b c – 9 a b c2 + x3 - 3 x2 + 3 x - 1 x3 + 3 x2 – 3x + 1 +

Passados os exercícios no quadro, a sala se prepara para a correção. A correção vai sendo feita, conversada, explicada e os alunos participam.

(...)

Professora: – É um mono... bi... tri....? Aluno: – Binômio

Professora: – O que significa - 7 . x.... às vezes não coloco o pontinho, mas tem o vezes

Quadro x + x + x + x + x + x + x = 7x

Professora: – O que é 3y? É y + y + y. Não confunda. Beleza. Então, como vou fazer o valor numérico? Eu gosto sempre de colocar os parênteses no lugar da letra, para eu não errar.

Quadro VN = - 7 (1) + 3. (-4)

VN = - 7 – 12 VN = - 19

Professora explica cada passagem com as regras de Z (números inteiros) e/ou utilizando-se da idéia de débito e dívida. São 7 fichas vermelhas e 12 vermelhas, logo vou ter 19 vermelhas. Agora vocês vão continuar fazendo... eu vou orientar no caderno.

Professora: – O que é aritmética? Aluno: – Só tem número.

Professora: – E o que é álgebra? Aluno: – Tem letra.

Professora: – Então faz.

A Professora chama a atenção para o erro muito constante em 5y3 – 5/4 que é

classificada como expressão aritmética.

A Professora circula na sala e vai olhando os cadernos, comentando – Aritmética não tem i com o t, conserte.

– Tá muito ruim. O que é aritmética? O que é álgebra?

– Pode ser numérica e algébrica; não deixe esse menos aqui, esse risco está parecendo um menos...

- Quanto é 3 – 7? Você tem 3 reais no bolso e deve 7. É só contar.

- Você não entendeu? Então eu faço de novo. Vai ao quadro, faz de novo - 7x + 3y, indica os valores, resolve, explica...

(...)

É possível perceber o forte movimento da Professora no sentido de dar a entender a “ortografia/gramática” da matemática, mesmo tendo ela partido da busca de comprimentos e áreas para situar as expressões algébricas e definir polinômios. Sua paciência é enorme em explicar, explicar, repetir.

Há muitas iniciativas da Professora no sentido de modificar as formas de abordagens dos conteúdos matemáticos, de maneira que os alunos entendam certos conceitos. Ao longo dos anos a Professora foi a fontes diversas procurando uma relação de elementos da vida social com a matemática, conferindo conceitos e estudando novas abordagens. Sempre que eu falava de um livro novo ela anotava e se interessava também em citar.

Ao final do ano, diante da expectativa do início do ano, pôde-se constatar que apesar do tempo reduzido – e até das faltas justificadas da Professora – foi possível desenvolver vários conteúdos e chegar a um resultado bastante satisfatório, a partir do próprio relato da Professora Clarice.

O que se pode detectar de sua visão sobre o ensino de matemática? Essencialmente destaca-se que o ensino caracteriza-se por:

- Transmitir conteúdos essenciais da matemática, de maneira compreensiva, utilizando recursos diversos e procurando articular com outros conhecimentos (da história, da realidade, com curiosidades etc);

146 - Ter sistematicidade no estudo diário de matemática, com os “para casas” e leituras

diversas;

- Resolver exercícios e problemas típicos, tanto para melhorar a compreensão da própria matemática, quanto para preparar o aluno para prosseguir na escolarização.

Os alunos – quem são? Estilos e comportamentos

Os alunos eram moradores do bairro, podendo-se dizer que eram de classes populares. Adolescentes, como outros quaisquer, eram joviais, alegres, andavam em duplas ou grupos, conversando e conversando, preocupados com as aparências... Contudo, em todo contato que foi possível realizar com eles, durante as aulas de matemática, nos corredores, no pátio, na entrada e saída da Escola constatava-se serem grupos de adolescentes comuns. Observei que nas aulas de matemática manifestavam-se pouquíssimo em público; alguns aparentavam por nada se interessarem, estavam no seu universo próprio; agiam como que diante de uma escola que tinha uma rotina, um ritmo e o aluno tinha que entrar nela e entrava. No recreio ou em áreas livres, não me aproximei muito, mas pareciam conversar e conviver normalmente, alegres, jogando, brincando, namorando. Às vezes, levavam a “dureza” do dia-a-dia da escola na brincadeira, cantavam; outras vezes, ficava visível um certo sofrimento com o que não davam conta de fazer ou de responder como lhe era cobrado. O momento de reagrupamento das turmas foi vivido com muito sofrimento e um sentimento explícito de impotência diante da imposição da Escola. Choraram, corriam a rever os colegas nos intervalos... Ao final de cada aula, arrumavam-se para sair “pra outra”, ora penteando o cabelo, passando batom ou mesmo arrumando suas roupas.

A relação da Escola com os alunos sugeria que eles eram indisciplinados e os professores da Escola com quem conversei, referiram-se a esta dificuldade. Na prática, não foi possível entender tamanha preocupação dos professores. Ou quem sabe, eram “comportados” porque a escola estabelecia esta dinâmica? Os alunos pareciam cordatos e com posturas bem adequadas para a idade que tinham, no estilo esperado para esta idade e até no estilo proposto pela Escola. Às vezes, mostraram-se pouco colaborativos nas aulas de matemática, dificilmente se oferecendo para fazer coisas ou mesmo atendendo as diversas solicitações feitas pela Professora. Seria essa indiferença uma reação à forma de relacionamento estabelecida pela escola como um todo e pela professora de matemática em particular? Talvez, seja possível perceber nos relatos que no começo do ano colaboravam mais com a Professora, ficando mais “fechados” no decorrer das aulas.

matemática e alguns erros básicos cometidos confirmavam a preocupação dos professores com a falta de uma base comum. Porém, com o desenvolvimento da turma, isto pareceu ir sendo solucionado no decorrer do ano, pelo menos a grande maioria mostrou progresso, embora se possa ainda falar em níveis diferenciados. Sobre o dever de casa, se faziam ou não faziam, não deu pra saber de todos, mas aqueles que não faziam, apesar de todo o controle exercido pela Professora, não o faziam sempre. Havia também a turminha de sempre que não fazia as tarefas, não se envolvia com nada, entravam calados e saíam mudos... Havia muitos que a tudo assistiam, cumpriam o exigido e iam levando. Enfim, mediante os conhecimentos matemáticos e mediante um comportamento esperado pela Professora, havia um grupo heterogêneo em cada turma.

É bem possível que as dificuldades demonstradas pelos alunos em relação aos conteúdos das disciplinas estejam maiores mesmo do que o professor de terceiro ciclo estava acostumado a lidar com a antiga 7ª série, já que não vem havendo reprovações em massa, de maneira que prosseguem a cada ano alunos que tudo e pouco sabem mediante conteúdos ensinados. Isto tem levado a que os problemas de aprendizagem estejam sendo objeto de mais atenção e atuação dos docentes. A análise aqui feita aponta para que estes sejam os principais elementos de insatisfação na relação dos docentes com os discentes, talvez o pano de fundo da reclamação de comportamento manifeste esta dificuldade em lidar com as aprendizagens como um todo mediante a diversidade de níveis de conhecimentos e de comportamentos existentes nos agrupamentos.

Por outro lado, mesmo reconhecendo existir maior heterogeneidade nas habilidades matemáticas, não me estranhou a diferenciação no nível existente, que me pareceu familiar ao que sempre vivi, nos anos setenta e oitenta quando professora de sétima série. Levanto a hipótese de que, nesta escola, a seleção era maior e a padronização das turmas também, de maneira que o atual corpo docente pode estar sentindo mais as diferenças. A avaliação final da própria Professora Clarice mostrou um desenvolvimento bem satisfatório, a seu ver.

As relações se mostraram muito distantes e/ou tensas, normalmente durante todo o tempo, entre alunos e a escola em vários momentos e com a Professora na sala de aula. Havia sim, certos momentos, em que os alunos se soltavam, participavam, iam ao quadro e agiam com mais espontaneidade. Mas não eram constantes. As regras foram estabelecidas e discutidas com os alunos, mas a maneira que se processou e os espaços coletivos criados para sua discussão, parece, vinham apenas para legitimar as posições do corpo docente. Regras em

148 torno de comportamentos e exigências que os alunos não concordavam apareciam como combinados. A reenturmação, por exemplo, processada após os primeiros dias de aulas, foi muito tensa e não havia canal de discussão, gerando nos alunos sentimentos de injustiça. Foi, portanto, um relacionamento docente-discente pautado na falta de um diálogo constante em relação ao funcionamento geral, permanecendo para os alunos regras impostas a serem obedecidas ou desobedecidas. Vejamos o relato do momento da reenturmação:

(01/03/99) – Turma 32B

Entra na sala a turma, que também tem composição diferente agora e os alunos estão igualmente agitados e insatisfeitos.

Um aluno olha para o quadro, vê a aula dada à outra turma, e diz: - A Professora vai dar aquele negócio de novo!

Professora: – Primeiramente, bom dia! ... todas as turmas são novas... nem a gente conhece. (...) Foi feita uma nova mudança geral e nem existe mais a turma de origem e tem gente que... antes de experimentar e ver o que está acontecendo... Se foi feita mudança com o bloco de oito professores, tem que ser mudada pelo bloco, e a reunião é sexta feira [refere-se à reunião de planejamento do grupo de professores, das seis turmas].

Aluno: – Mas se a gente não gostar, pode voltar?

Professora: - Não é questão de gostar, é uma questão de mudança... tem que adaptar... tem que ter um tempo. Tínhamos problemas sérios ..., alguns [grupos de alunos] vinham junto desde o primário... tinham problemas sérios e por isso foi feita a mudança.

(...)

Noto que a turma está agitada, alguns inconformados, tristes.

Um aluno fala enquanto arruma material: – Eu quero voltar para a minha classe.

(...)

Muitas vezes, pequenas coisas dos alunos podiam ser mais simplesmente encaminhadas e resolvidas e ficavam relegadas. Neste clima, certas situações tornavam-se complexas, como, por exemplo, certo dia em que uma aluna que, durante algumas aulas, pedia para eu dizer-lhe o que vinha escrito no quadro ou lia em meu caderno, já que não enxergava de trás da sala o que se anotava no quadro. Quando conseguia, esta aluna sentava-se à frente, quando não, vivia esta constante dificuldade. Por que não falava com alguém?

É sabido que a adolescência constitui-se em idade de formação muito importante e cheia de contradições, onde o jovem vive intenso desejo de desobediência às regras, de contestação do adulto até para que busque os seus espaços e para que realize as suas próprias elaborações. É, portanto, uma fase onde os combinados, mesmo quando estabelecidos

dos combinados e recombinados à prática cotidiana, o que não é fácil

Os alunos e a matemática

O desenvolvimento das aulas de matemática pressupunha, pelo que se pode inferir da proposta da Professora, um aluno atento e realizador das tarefas propostas e esta era a posição do aluno em geral. A relação principal foi de subserviência, de obediência, de cumprimento das orientações da Professora. Nem sempre compreendiam, parece, também nem sempre obedeciam, mas caminharam de maneira bastante satisfatória, considerados os propósitos explicitados pela Professora e pela Escola, o que podia ser visto no dia-a-dia e nas provas.

Em alguns momentos, destacava-se a existência de certas dúvidas (manifestas através de perguntas, principalmente) que eram respondidas pela Professora. Havia certamente muitas dúvidas não explicitadas. Na resolução de equações, por exemplo, a notação era confusa, às vezes representando mais o exercício mental do que o formal. Outras vezes, faziam confusão com a identificação do número com o seu conjunto ou, ainda, a confusão entre dobro e

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