MATEMATİK POLİNOMLAR FONKSİYONLAR ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM

13

an , an–1 , an–2 , ..., a1 , a0 gerçel sayı ve n doğal sayı olmak üzere;

P(x) = anxⁿ + an–1x^n–1 + ... + a1x + a0

ifadesine polinom denir. Polinomun derecesi n ve baş katsayısı an’dir. Polinomlar P(x) , Q(x) , T(x) , R(x) , ....

şeklinde gösterilir.

P(x) = x⁷ + ^{m 1}

5 m 2

x ^



– x⁵ – 2

ifadesinin R[x] de bir polinom olabilmesi için, m kaç farklı tam sayı değeri alır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM

2 x x x ) x (

P ^{m1 5}

5 m 2

7  

 ^



ifadesinin bir polinom olabilmesi için N 1 m

5 m

2 



 olmalı-

dır.

2m – 5 m + 1 2m +2 –

–7 2

1 m 2 7 1 m

5 m 2

 

 



ifadesinin doğal sayı olabilmesi için m + 1 sayısı 7 nin bölenleri olmalıdır. Bu durumda m = {–8, –2, 6} değerle- rini alabilir. m = 0 için 2 – 7 = –5  N

Cevap C’dir.

P(x) = 2x⁴ +

9

8xy 1^ + 5x  4

İfadesi bir polinom belirttiğine göre; y’nin alabilece- ği değerler çarpımı kaçtır?

A) 0 B) 8 C) 20 D) 40 E) 80

ÇÖZÜM

Bu ifadenin bir polinom belirtmesi için üsleri birer doğal sayı olmalıdır. Buna göre; y  1’in 9’un bölenleri olmak zorundadır. Öyleyse;

y  1 = 1,3 veya 9 olabilir. Buna göre;

y  1 = 1  y = 2 y  1 = 3  y = 4

y  1 = 9  y = 10 bulunur.

Bulunan değerlerin çarpımı; 2.4.10 = 80 olur.

Cevap E’dir.

İki polinom birbirine eşitse aynı dereceli terimlerin katsayıları eşittir. Yani,

P(x) = anxⁿ + an–1x^n–1 + ... + a1x + a0 Q(x) = bnxⁿ + bn–1x^n–1 + ... + b1x + b0

P(x)  Q(x) ise,

an = bn, an–1 = bn–1, an–2 = bn–2, … a1 = b1, a0

= b0 dir.

Q(x) = 2x⁴ + 3x³  8x + 4 polinomu veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız.

a) Q(1) b) Q(2) c) Q(x + 1)

d) Q(x³)

ÇÖZÜM

Polinom sorularında her zaman bir verilen ifade vardır bir de istenen ifade. Soruları çözerken verilen polinomda

“x yerine ne yazarsak istenen ifadeyi elde ederiz?”

sorusunun cevabını aramalıyız.

a) Q(1) sorulduğundan verilen polinomda x yerine (1) yazılmalıdır.

Q(1) = 2.(1)⁴ + 3.(1)³  8.(1) + 4 Q(1) = 2  3 + 8 + 4

Q(1) = 11 olur.

b) Q(2)’yi bulabilmek için x yerine 2 yazmalıyız.

Q(2) = 32 + 24  16 + 4 Q(2) = 44 olur.

c) Q(x) polinomu verilip Q(x + 1) polinomu istendiğin- den, x yerine x + 1 yazılmalıdır.

Q(x + 1) = 2.(x + 1)⁴ + 3.(x + 1)³  8.(x + 1) + 4 d) Q(x³) polinomunu bulabilmek için x yerine x³yazıl-

malıdır.

Q(x³) = 2.(x³)⁴ + 4.(x³)³  8.(x³) + 4 Q(x³) = 2x¹² + 3x⁹  8x³ + 4

P(2x + 1) = 3x² + 5x  4

polinomu için aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız.

a) P(3) b) P(–1)

c) P(x) polinomunun katsayıları toplamı d) P(x) polinomunun sabit terimi

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK ÖRNEK

POLİNOMLAR  FONKSİYONLAR

MATEMATİK



e) P(x) polinomu

ÇÖZÜM

Bir önceki örnekte anlatıldığı gibi verilen polinomdan istenen ifadeye geçebilmek için, verilen polinomu iste- nen ifadeye eşitleyerek x yerine ne yazmamız gerektiği- ni buluruz.

a) 2x + 1 = 3  x = 1 bulunur.

Buna göre polinomda x yerine 1 yazılırsa P(3) bu- lunmuş olur.

P(2.1) + 1) = 3.1² + 5.1  5 P(3) = 4 olur.

b) 2x + 1 =  1  x = 1 bulunur.

Verilen polinomda x yerine 1 yazılmalıdır.

P(2.(1) + 1) = 3.(1)² + 5.1(1)  4 P(–1) = –3 – 5 – 4

P(1) = 12 olur.

c) Bu şıkkı bulabilmek için iki yol vardır:

1. P(x) polinomunu bularak katsayılarını toplamak 2. P(x) polinomunun katsayıları toplamı sorulurken

P(?) sorulduğunu bulmak

İlk yol karmaşık verilen polinomlar için çok zor olduğun- dan tavsiye edilen ikinci yoldur. Bunun için P(x) polinomunu tanımlayalım. P(x) = ax² + bx + c olsun Bu polinomun katsayıları a, b ve c dir. O zaman bize sorulan şey a + b + c dir. Bunu bulabilmek için x yerine 1 yazılmalıdır. O zaman P(1) = a + b + c = ? olur.

Bu sayede P(x) polinomunun katsayıları toplamı derken P(1) sorulduğunu öğrenmiş oluruz. Bunun için verileni istenene eşitlersek;

2x + 1 = 1  x = 0 olur.

P(2.0 + 1) = 3.0² + 5.0  4 P(1) = 4 bulunur.

d) P(x) = ax² + bx + c olsun. Bu polinomun sabit terimi c dir. Burada yalnızca c yi bulabilmek için,

P(0) = c = ? bulunmalıdır.

Yani P(x) polinomunun sabit terimi demek P(0) demektir. Artık soru P(2x + 1) polinomu verilip P(0) soruluyor şeklinde düşünülebilir.

2x + 1 = 0  1 x 2 olur.

1 1 2 1

P 2. 1 3. 5. 4

2 2 2

        

       

 

P(0) 23

  4 bulunur.

e) P(x) polinomunu bulabilmek için verileni istenene eşitlersek,

2 x + 1 = x  x x 1 2

 

verilen polinomdaki x yuvarlak içine alınarak diğeriy- le karıştırılması önlenmiştir.

Verilen polinomda x yerine x 1 2

 yazarsak.

x 1 x 1 2 x 1

P. 2. 1 3. 5. 4

2 2 2

           

       

 

   

2

2 4

2

2

x 2x 1 5x 5 4

P(x) 3.

4 2 1

3x 6x 3 10x 10 16

P(x) 4 4 4

3x 4x 23

p(x) 4

    

   

 

  

  

 



Hangi polinomun katsayıları toplamı sorulursa sorulsun x yerine 1 yazılarak P(?) sorulduğu tespit edilir.

Aynı şekilde hangi polinomun sabit terimi soru- lursa sorulsun x yerine 0 yazılarak P(?) sorul- duğu tespit edilir.

P(x + 1) = x⁵ – 3 x³ + 2x² + 1 polinomu veriliyor.

Buna göre, P(2x – 1) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

A) 4 3 B) 3 C) 1 D) 3 E) 4

ÇÖZÜM

Katsayılar toplamı için x = 1 alınmalıdır.

P(2x – 1) = P(1)  aradığımız ifade P(1) dir.

 x = 1

Verilen polinoma göre, P(x + 1) = x⁵ – 3 . x³ + 2x² + 1

 x = 0

P(1) = 0 – 0 + 0 + 1= 1

Cevap C’dir.

POLİNOMLA RDA DÖRT İŞLEM 1. TOPLAMA ve ÇIKARMA

İki polinomun toplanması ya da çıkarılması için aynı dereceli terimlerin katsayılarının toplanması ya da çıka- rılması gerekir.

P(x) = 4x⁴ + 3x³  x² + 7 Q(x) = 2x³  7x²  5x  4

Buna göre P(x)  2Q(x) polinomunun eşiti aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) 4x⁴ + 5x³  7x² + 5x  3 B) 4x⁴  5x³  8x² + 5

ÖRNEK

ÖRNEK

C) 4x⁴ + x³  13x²  10x – 15 D) 4x⁴  x³ + 13x² + 10x + 15 E) 4x⁴ + x³ + 13x² + 10x + 15

ÇÖZÜM

Q(x) polinomu 2 ile çarpılırsa;

P(x) = 4x⁴ + 3x³  x² + 7 –2Q(x) = –4x³ + 14x² + 10x + 8 P(x) – 2Q(x) = 4x⁴ – x³ + 13x² + 10x + 15

Cevap D’dir.

2. ÇARPMA

İki polinomun çarpımında birinci polinomun her bir terimi ile ikinci polinomun tüm terimleri tek tek çarpılır, aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır.

P(x) = x² –2 x + 4 Q(x) = 2x – 5 polinomları veriliyor.

Buna göre P(x).Q(x) polinomunun eşiti aşağıdakiler- den hangisidir?

A) 2x³ + 9x² + 2x + 20 B) 2x³ – 9x² + 18x – 20 C) 2x³ – 7x²  x + 15 D) x³ – 5x² + 2x + 20 E) 3x³ – 9x² + 2x + 20

ÇÖZÜM

Birinci polinomunun her bir terimi ile ikinci polinomunun tüm terimleri tek tek çarpılırsa,

(2x 5).(x²  2x + 4) = (2x³  4x²+ 8x) + (5x²+ 10x  20)

= 2x³ – 4x² + 8x – 5x² + 10x – 20

= 2x³ – 9x² + 18x – 20

Cevap B’dir.

3. BÖLME

Derece P(x)  Derece Q(x) ve Derece K(x) < Derece Q(x) olmak üzere;

P(x) Q(x)

T(x) veya P(x) = Q(x).T(x) + K(x) K(x)

gösterimine polinomların bölümü denir.

SONUÇ:

1. Bölen ile bölümün dereceleri toplamı bölünenin derecesine eşittir.

2. Kalanın derecesi bölenin derecesinden en az bir eksiktir.

P(x) = 5x⁶ + 4x³  3x² + 5x  3 Q(x) = x³ – 2x + 4

olduğuna göre, P(x) polinomunu Q(x) polinomuna bölünüz, bölüm ve kalanı bulunuz.

ÇÖZÜM

5x⁶ + 4x³  3x² + 5x  3 x³ – 2x + 4 5x⁶ – 10x⁴ + 20x³ 5x³ + 10x  16 10x⁴  16x³ – 3x² + 5x  3

10x⁴ – 10x² + 40x

16x³ + 17x²  35x  3

16x³ + 32x²  64

15x²  35x – 67

Bölüm: 5x⁵ + 10x – 16 Kalan: 15x² – 35x  67

POLİNOMLARDA DERECE HESABI

Polinomlarda derece hesaplanırken aşağıdaki kurallara dikkat edilir.

der(P(x)) = a, der(Q(x)) = b ve a > b olmak üzere, 1. İki polinom toplanırsa veya çıkarılırsa derecesi,

derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir.

a )) x ( Q ) x ( P (

der  

2. Polinomların belli katsayılarla çarpılması polinomun derecesini değiştirmez.

der(2.P(x) – 5Q(x)) = a

3. Polinomların değişkenleri dereceleri aynı kalmak üzere değiştirilirse derece değişmez.

der(P(2x – 3) + Q(5x)) = a

4. Değişkenlerin dereceleri değişirse polinomun dere- cesi de değişir.

l. der(P(x³ – x) – Q(x + 3)) = 3a ll. der(P(x² + 1) + 5Q(x)) = 2a

5. Çarpım halindeki polinomların derecesi, iki polinomun dereceleri toplamına eşittir.

l. der(P(x) . Q(x)) = a + b ll. der(P(2x + 1) . Q(11x)) = a + b ll. der(P(x²) . Q(x)) = 2a + b lV. der(P(x – 2) . Q(x³ + 1)) = a + 3b

6. Bölüm halindeki polinomların derecesi, paydaki polinomun derecesinden paydadaki polinomun de- recesinin çıkarılmasına eşittir.

l. a b

) x ( Q

) x (

der P  

 





ll. 2a b

) 1 x ( Q

) x ( der P

2  













ÖRNEK ÖRNEK

ÖRNEK

– –

–

P(x) . Q(x) polinomunun derecesi 7, Q(x) P(x)

polinomunun derecesi 5 olduğuna göre, P²(x) – Q⁴(x) polinomunun derecesi kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

ÇÖZÜM

d(P(x)) = a ve d(P(x)) = b alalım.

d(P(x) . P(x)) = a + b = 7

1 b 6 a

12 a 2

5 b a ) x ( P

) x ( d P











 



 





d(P²(x)) = 2a = 12 d(Q⁴(x)) = 4b = 4

P²(x) – Q⁴(x) ifadesinde dereceler toplanmayacaktır.

Burada yapılması gereken hangi polinomun derecesi daha büyük ise ifadenin derecesi de o olur.

d(P²(x) – Q⁴(x) = max {12,4} = 12

Cevap E’dir.

BİR POLİNOMUN ax + b İLE BÖLÜMÜNDEN KALANI BU LMAK

Bir P(x) polinomunun ax + b ile bölümündeki bölüm Q(x) kalan K(x) olsun. Bu durumda

P(x) = (ax + b).Q(x) + K(x) olur.

K(x) in değerini bulmak için Q(x) in yok edilmesi bunun içinde ax + b nin sıfıra eşit olması gerekir.

ax + b = 0  x = b

a değeri polinomda yerine yazılarak kalan yani K(x) bulunmuş olur.

P(b

a) = K(x) ya eşittir.

Yani;

 Bir P(x) polinomunun ax + b ile bölümünden kalan soruluyorsa ax + b sıfıra eşitlenerek bulunan değer P(x) polinomunda yerine yazılır.

P(x) = 3x² – 4x + 6

polinomunun x – 2 bölümündeki kalan kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

ÇÖZÜM

P(x) , x – 2  P(2) = ? 

x = 2

P(x) polinomunun x – 2 ile bölümündeki kalan sorulur- ken P(3) sorulur.

Buna göre verilen polinomda x yerine 2 yazılırsa P(2) = 3.2²  4.2 + 6

P(2) = 12  8 + 6 P(2) = 10 olur.

Cevap C’dir.

P(x) polinomunun bir Q(x) polinomuna bölü- münden kalan isteniyorsa Q(x) polinomunda en yüksek dereceli bilinmeyen çekilerek polinomda yerine yazılır.

BAĞINTI

A ve B herhangi iki küme olsun. A x B nin her alt küme- sine A dan B ye bir bağıntı denir.

  A x B ise , A dan B ye bir bağıntıdır.

A = {a, b, c}

B = {d, e, f} kümeleri veriliyor.

Aşağıdakilerden hangisi A’dan B’ye bir bağıntı de- ğildir?

A) 1 = {(a, d), (b, f), (a, f)} B) 2 = {(b, e), (c, d), (c, f)}

C) 3 = {(a, e)} D) 4 = {(b, d), (b, c)}

E) 5 = {(a, f), (b, e)}

ÇÖZÜM

A’dan B’ye bir bağıntı sorulduğunda AxB’nin her alt kümesi A’dan B’ye bir bağıntıdır.

AxB = {(a, d)(, (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}

D şıkkında geçen (b, c) ikilisi AxB’nin bir elemanı olma- dığına göre, A’dan B’ye bir bağıntı değildir.

Cevap D’dir.

s(A) = n, s(B) = m

olmak üzere A dan B ye yazılabilecek bağıntı sayısı 2^m.n dir.

s(A) = n olmak üzere A kümesinde yazılabile- cek,

Yansıyan Bağıntı sayısı = 2^n2n

Simetrik Bağıntı sayısı = ²

n n²

2



FONKSİYONLAR ÖRNEK

ÖRNEK

A ve B   olmak üzere A nın her bir elemanını B nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen bağıntıya A dan B ye bir fonksiyon denir ve f:A  B şeklinde gösterilir.

a b c

A

1 2 3 B f

d

Tanım Kümesi Değer (Görüntü) kümesi A dan B ye tanımlı bir f bağıntısının fonksi- yon olması için

i) A daki her elemanın bir görüntüsü olmalı (A da açıkta eleman kalmamalı)

ii) A daki her elemanın yalnız bir tane görüntüsü olmalıdır.

ÖRNEK:

1 2 3 A

a b c B f

fonksiyon değil. Çünkü tanım kümesindeki 3 elemanı açıkta kalmış.

ÖRNEK:

a b c A

1 2 3 B f

fonksiyon değil. Çünkü tanım kümesindeki b elemanının iki tane görün- tüsü var.

 f. IR  IR

f(x) = 3x – 5 ise f(4) 3.4 5

x



 

 f: IR²  IR

f(x,y) = x + y + xy ise f(3,4) 3 4 3.4

y x





 



 f: IR  IR

f(x) = 3x – 5 ise f(x – 2) = 3. (x – 2) – 5

f: Z⁺  Z f(3x – 4) = 2x + 5

olduğuna göre, f(2)’nin değeri kaçtır?

A) 2 B) 6 C) 9 D) 10 E) 12

ÇÖZÜM

3x  4 = 2  x = 2 olur.

f(3.2  4) = 2.2 + 5 f(2) = 9 bulunur.

Cevap C’dir.

f:IR  IR f(2x + 4) = 3x  m f(8) = 4

olduğuna göre, m değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM

2x + 4 = 8  x = 2 olur.

f(2.2 + 4) = 3.2  m

4 = 6  m  m = 2

Cevap B’dir.

FONKSİYON ÇEŞİTLERİ 1. İÇİNE FONKSİYON

f: A  B fonksiyonu için f(A)  B ise, f fonksiyonuna içine fonksiyon denir. Yani değer kümesinde açıkta eleman kalıyorsa fonksiyon içinedir.

a b c d A

1 2 3 4 B f

a b c d A

1 2 3 4 B g

2. ÖRTEN FONKSİYON

f: A  B fonksiyonu için f(A) = B ise f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Yani değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa fonksi- yon örtendir.

a b c A

1 2 3 B f

3. BİRE - BİR FONKSİYON

Tanım kümesinin her elemanı değer kümesinin yalnız bir elemanıyla eşleniyorsa bu fonksiyon bire - bir fonksi- yondur.

ÖRNEK

ÖRNEK

= 7 olur.

= 17 olur.

= 3x – 11 olur. x

a b c A

1 2 3

B f

4

a b c d A

1 2 3 4 B g

Bire-bir, içine fonksiyon Bire-bir, örten fonksiyon

4. SABİT FONKSİYON

f(x) = c şeklindeki ifadelere sabit fonksiyon denir. Yani x değeri ne olursa olsun fonksiyon aynı sonucu veriyorsa bu fonksiyona sabit fonksiyon denir.

x1

x2

x3

A B

f

c

g(x) = (2 + a)x + b – 1 fonksiyonu birim fonksiyondur.

1 x

c 4 x ) 2 x (

f  

 

fonksiyonu ise sabit fonksiyon olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

A) 1 B) 0 C)

2

1 D) –1 E) 2

3

ÇÖZÜM

Birim fonksiyon (x) = x

g(x) =

⁰

1

1 b x ) a 2

(   a + 2 = 1 ve b – 1 = 0

a = –1 ve b = 1

1 x

c 4 x ) 2 x (

f  

  sabit fonksiyon olduğundan,

2 c 1 1

c 4 1

2   



 



a + b + c =

2 1 1 1 

 2

1



Cevap C’dir.

5. BİRİM FONKSİYON

(fo)(x) = (of)(x) = f(x)

şartını sağlayan (x) fonksiyonuna birim fonksiyon denir.

(x) = x dir.

1 2 3 A



1 2 3 B

6. TERS FONKSİYON

f: A  B, y = f(x) fonksiyonu 1 – 1 ve örten ise f fonksi- yonunun tersi vardır. f fonksiyonun tersi f^–1: B  A dır.

a

A B

b

f^–1 f

Bir f(x) fonksiyonunda;

f(a) = b  f^–1(b) = a dır.

f(x) =

1 x

1 x 3 ) x ( f 2







olduğuna göre, f^–1(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) x 1 1 x 3



 B)

3 x

1 x 3



 C)

3 x

1 x





D) 3x 1 3 x



 E)

3 x

1 x





ÇÖZÜM

f(x) = y alalım

1 x

1 x 3 y y 2





 

xy + y = 2y + 3x + 1 xy – y = 3x + 1

y(x – 1) = 3x + 1  y = f(x) 1 x

1 x 3



 

3 x

1 ) x x ( f ¹



 



Cevap C’dir.

Gerçel sayılarda verilen aşağıdaki fonksiyonların terslerini bulunuz?

a) f(x) = 3x + 4

b) 2x 3

f(x) 6

 

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

c) 3x 1 f(x) 4x 2

 



ÇÖZÜM

Bir fonksiyonun tersini bulabilmek için;

1. Öncelikle f(x) yerine y yazılır.

2. Daha sonra fonksiyonda x değeri çekilir.

3. Son aşamada da x yerine f ^–1(x) ve y yerine x yazılır.

a) y = 3x + 4

y  4 = 3x  y 4

x 3

   ¹ x 4 f (x)

3

 



b) y = 2x 3

2x 3 6y 2x 6y 3

6

      

x = 6y 3 2



1 6x 3

f (x) 2

  

c) y = 3x 1 4x 2



  4xy  2y = 3x  1 4xy – 3x = 2y  1 x(4y – 3) = 2y  1

x = 2y 1 ¹ 2x 1

f (x)

4y 3 4x 3

    

 

f(x) = d cx

b ax



 fonksiyonunun tersi

f ^–1(x) = a cx

b dx





 dır.

7. BİLEŞKE FONKSİYON

f: A  B, g: B  C olmak üzere,

gof: A  C biçiminde tanımlanan gof fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir.

A

f g

x y z

C B

gof

f fonksiyonunda x elemanının görüntüsü y olduğuna göre, y = f(x) dir.

g fonksiyonunda y elemanının görüntüsü z olduğuna göre, z = g(y) dir.

y değerini yerine yazarsak z = g(f(x)) olur.

gof fonksiyonunda x elemanının görüntüsü z olduğuna göre, (gof)(x) = z olur.

İki ifade birbirine eşitlenirse (gof)(x) = g(f(x)) olur.

Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için;

f(x) = 3x – 4 g(x) = x² – 5

olduğuna göre, aşağıdaki ifadeleri bulunuz.

a) (fog)(x) b) (gof)(x) c) (fof)(x) d) (gog)(x)

ÇÖZÜM

Bileşke fonksiyonları bulunurken sağdaki ifade soldaki x lerin yerine yazılır.

a) fog(x) = (3 x – 4) o (x² – 5) fog(x) = 3(x² – 5) – 4 = 3x² – 15 – 4

(fog)(x) = 3x² – 19 b) gof(x) = ( x ² – 5) o (3x – 4)

gof(x) = (3x  4)²  5

= 9x²  24x + 16  5

= 9x²  24x + 11 c) fof(x) = (3 x – 4) o (3x – 4)

= 3(3x – 4) – 4

= 9x  12  4

= 9x  16

d) gog(x) =( x ² – 5) o (x² – 5)

= (x² – 5)² – 5

= x⁴ – 10x² + 25  5

= x⁴  10x² + 20

FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ

1. (f ^–1of)(x) = (fof ^–1)(x) = (x)

2. (fog)^–1(x) = (g ^–1of ^–1)(x)

3. (fog)(x) = h(x)

(f ^–1ofog)(x) = (f ^–1oh)(x) (og)(x) = (f ^–1oh)(x) g(x) = (f ^–1oh)(x)

4. (gof)(x) = h(x)

(gofof ^–1)(x) = (hof ^–1)(x) (go)(x) = (hof ^–1)(x) g(x) = (hof ^–1)(x)

5. [f  g](a) = f(a)  g(a)

8. PERMÜTASYON FONKSİYON

A boş olmayan bir küme olmak üzere, A dan A ya 1 – 1 ve örten her fonksiyona A kümesinin permutasyonu denir.

A = {a,b,c,d}

f: A  A

f:{(a,d),(b,a),(c,c),(d,b)} ise

ÖRNEK



 



 b d c c a b d

f a şeklinde gösterilir.



 







 







a d c c d b b a d b c c b a a

f ¹ d olur.

f(x) = 2x + 1

olduğuna göre, f(2x) ifadesinin f(x) cinsinden eşiti nedir?

A) 2f(x) – 1 B) f(x) + 1 C) 4f(x) D) f(x) – 2 E) 3f(x) + 4

ÇÖZÜM

l. f(x) = 2x +1 f(x) – 1 = 2x

2 x 1 ) x (

f  

ll. f(x) = 2x + 1  f(2x) = 4x + 1

= 1

2 1 ) x (

4 f 



 



 

= 2(f(x) – 1) + 1

= 2f(x) – 1

Cevap A’dır.

1.

P(x) = (a – 1)x²+ (b – 2)x + c – 3

polinomunun sıfır polinomu olabilmesi için, a . b . c çarpımı kaç olmalıdır?

A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) 24

2.

P(x) = x⁴ + 3x³ – ax² + 1

polinomu x – 1 ile bölündüğünde 4 kalanını veri- yor.

Buna göre, P(x – 1) polinomu x ile bölündü- ğünde hangi kalanı verir?

A) –3 B) –2 C) 0 D) 4 E) 6

3.

2x 3

1) Q(x

1)

P(x ₃



 

 ve Q(x + 2)

polinomunun sabit terimi 5 olduğuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi aşağıdakilerden han- gisidir?

A) –8 B) –6 C) –5 D) 8 E) 14

4.

P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 7, Q(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 5 dir.

Buna göre, P(x) . Q(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 5 B) 7 C) 12 D) 35 E) 70

5.

P(x² – x) = 3x² – 3x + 5 polinomu veriliyor.

Buna göre, P(–1) aşağıdakilerden hangisidir?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

6.

P(2x – 1) = 4x² + 1

olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir?

A) x² + 2x + 2 B) x² – 1 C) 4x² + 4 D) x² + 2x + 1 E) x² – x + 1

7.

P(x + 2) = x³ – 5x² + x – 1

Buna göre, P(x + 3) polinomunun x – 1 ile bö- lümünden kalan kaçtır?

A) –15 B) –11 C) 7 D) 12 E) 17

8.

x 2

B 1 x

A 2 x x

3 x 2

2  

 







Ç Ö Z Ü M L Ü T ^{E S T}

ÖRNEK

olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

9.

P(x) = 2x³ – 5x + a + 1

polinomunun bir çarpanı x – 1 olduğuna göre, a kaçtır?

A) 11 B) 7 C) 5 D) 3 E) 2

10.

P(x) = x⁴ – 4x³ + 6x² – 4x

olduğuna göre, P(⁴41) aşağıdakilerden hangisidir?

A) –3 B) –2 C) 0 D) 2 E) 3

11.





 



 



 





3 f x x

f 3 = 8x – x³ + m – 1

olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisidir?

A) –9 B) –1 C) 3 D) 4 E) 8

12.

f(x) = 6x + 1 (fog)(x) = 2x – 3

olduğuna göre, g(x) fonksiyonu aşağıdakiler- den hangisidir?

A) x – 2 B) x + 2 C)

3 2 x

D) 3

2 x

E) 3 x 2

13.

R  R ye tanımlanan f ve g fonksiyonları için, f(x) = 2x + 5

(fog)(x) = 3f(x)

olduğuna göre, g(0) fonksiyonunun eşiti kaç- tır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

14.

f ve g : R  R f(x) = 2x + 3 g(x) = 4x – 5 (fog) (a) = 17

olduğuna göre a reel sayısı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

15.

f, g (1 – 1) ve örten iki fonksiyon olmak üzere;

(f^–1og) (x) = 3x + 1 g^–1(–3) = 4

olduğuna göre, f(13) kaçtır?

A) –12 B) –7 C) –3 D) 1 E) 4

16.



 



 



 





x f 4 4 4

f x = 1

olduğuna göre, f(4) kaçtır?

A) 1 B) 4

5 C) 3

1 D) 7

2 E) 3

8

17.

f ve g: IR  IR olmak üzere, g(x) = 3x + 1

(gof)(x) = 4x – 2

olduğuna göre, f^–1(2) fonksiyonunun değeri kaçtır?

A) 2 4

1 B) 2

3

1 C) 5 D) 6 E) 10

18.

f(x) = x – a (fof)(x) = x + 4

olduğuna göre, f(2) kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

19.

y = f(x) doğrusal bir fonksiyondur.

f(x) + f^–1 (x) = 4 – 2x

olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

A) x B) x + 1 C) –x + 1

D) –x + 2 E) 2x – 4

20.

–2 2 –2

6

6 x

y

f(x)

Yukarıda [–2, +) kümesinde tanımlı f(x) fonksiyo- nunun grafiği verilmiştir.

Buna göre,

(fof)(2) 2) ( f f(2) ^1

kaçtır?

A) 6 B) 3 C) –1 D) –3 E) –6

1.

P(x) = (a – 1)x² + (b – 2).x + c – 3

polinomunun sıfır polinomu olabilmesi için tüm x li terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.

a – 1 = 0  a = 1 b – 2 = 0  b = 2 c – 3 = 0  c = 3

Cevap A’dır.

2.

P(x) = (x – 1).A(x) + 4

 x = 1 P(1) = 4

P(1) = 1⁴ + 3 . 1³ – a . 1² + 1 = 4 5 – a = 4  a = 1

P(x) = x⁴ + 3x³ – x² + 1 P(x – 1) = x . B(x) + k

 x = 0

P(–1) = k  P(–1) = (–1⁴) + 3 . (–1)² + 1 = k –2 = k

Cevap B’dir.

3.

Q(x + 2) = Q(2) = 5

 x = 0

ve P(x) polinomunun sabit terimi P(0), 3

x ) 2 1 x ( Q

) 1 x (

P  ₃



 ifadesinde x = 1 alınırsa

) 2 ( Q ) 0 ( P ) 1

2 ( Q

) 0 (

P   

= – 5

Cevap C’dir.

4.

P(x) = (x – 2) A(x) + 7  P(2) = 7

 x = 2

Q(x) = (x – 2) . B(x) + 5  Q(2) = 5

 x = 2

P(x) . Q(x) = (x – 2) . C(x) + k

 x = 2 P(2) . Q(2) = k 5 . 7 = k 35 = k

Cevap D’dir.

5.

P(x² – x) = 3x² – 3x + 5 P(x² – x) = 3(x² – x) + 5

x x

P(x) = 3x + 5  P(–1) = –3 + 5 = 2

Cevap E’dir.

6.

P(2x – 1) = 4x² + 1

aradığımız P(x) polinomunun katsayılar toplamı P(1) i bulalım.

P(2x – 1) = 4x² + 1

 x = 1 P(1) = 4 + 1

= 5

seçeneklerde katsayılar toplamı 5 yapan polinom x² + 2x + 2 polinomudur.

Cevap A’dır.

7.

P(x + 3) = (x – 1). A(x) + k

 x = 1

P(4) = k, aradığımız P(4) ifadesini verilen P(x + 2) polinomunda bulalım.

P(x + 2) = x³ – 5x² + x – 1



Ç Ö Z Ü M L E R

a . b . c = 1. 2 . 3 = 6

x = 2

P(4) = 2³ – 5 . 2² + 2 – 1

= –11

Cevap B’dir.

8.

) 1 x ( ) 2 x (

2 x 2

B 1 x

A 2 x x

3 x 2



  

 







2 x x

B Bx A 2 Ax 2 x x

3 x 2

2

2  





 







B A 2 Bx Ax 3 x

2     

B A 2 x ) B A ( 3 x

2     

A + B = 2

Cevap D’dir.

9.

P(x) polinomunun çarpanlarından birisinin x – 1 olması, P(x) in x – 1 ile kalansız bölünebilmesini gösterir.

P(1) = 0

P(x) = 2x³ – 5x + a + 1

 x = 1

0 = 2 – 5 + a + 1 2 = a

Cevap E’dir.

10.

P(x) = x⁴ – 4x³ + 6x² – 4x + 1 – 1 P(x) = (x – 1)⁴ – 1

1 ) 1 1 4 ( ) 1 4 (

P⁴   ⁴   ⁴ = 4 – 1 = 3

Cevap E’dir.

11.

8x x m 1

3 f x x

f 3   ³ 



 



 



 





x = 3 için,

1 m 3 3 . 3 8 f 3 3

f 3   ³ 



 



 



 





0 = 24 – 27 + m – 1  4 = m

Cevap D’dir.

12.

f(x) = 6x + 1

(fog)(x) = f(g(x)) = 2x – 3 6.g(x) + 1 = 2x – 3 6.g(x) = 2x – 4

3 2 x 6

4 x ) 2 x (

g    

Cevap D’dir.

13.

f(x) = 2x + 5 f(g(x)) = 3.f(x) 2.g(x) + 5 = 3(2x + 5)

2g(x) = 6x + 15 – 5 g(x) = 3x + 5 g(0) = 5

Cevap C’dir.

14.

f(g(0)) = 17

f(x) = 2x + 3  f(g(a)) = 2g(a) + 3 = 17  g(a) = 7 g(x) = 4x – 5  g(a) = 3a – 5 = 7  a = 3

Cevap B’dir.

15.

g^–1(–3) = 4  g(4) = –3

f^–1(g(x)) = 3x + 1  f(3x + 1) = g(x) x = 4 için, f(3.4 + 1) = g(4)  f(13) = –3

Cevap C’dir.

16.

1

x f 4 . 4 4

f x 



 



 



 





,

x = 1 için, 4.f

 

4 1 4

f 1 



 





x = 16 için,

 

1 4 f 1 . 4 4

f 



 



 

4/ 4.f

 

4 1 4

f 1 



 





 

1

4 f 1 . 4 4

f 



 



 

 

4 4 f . 4 16 f 1

4  



 





 

1

4 f 1 . 4 4

f 



 



 

–15.f(4) = 5  f(4) = 3

1

Cevap C’dir.

17.

g(x) = 3x + 1

(gof)(x) = g(f(x)) = 4x – 2 3f(x) + 1 = 4x – 2 3.f(x) = 4x – 3

3 3 x ) 4 x (

f  

4 3 x ) 3 x (

f^1  

4 21 4 ) 9 2 ( f^1  

Cevap A’dır.

18.

f(x) = x – a

(fof)(x) = f(f(x) = x + 4 (x – a) – a = x + 4 x – 2a = x + 4

–2a = 4  a = –2 f(x) = x –(–2) = x + 2

f(2) = 4

Cevap E’dir.

19.

a

b ) x x ( f b ax ) x (

f    ^1  

f(x) + f^–1(x) = 4 – 2x x 2 a 4

b b x

ax   





x 2 a 4 b a b x

ax    

+

x 2 a 4 b b a a 1

x    



 

  a 2

a1 ve 4

a bb

a² + 2a + 1 = 0 ve ab – b = 4a (a + 1)² = 0 ve b(a –1) = 4a a = –1 ve –2b = –4 b = 2 f(x) = ax + b = –x + 2

Cevap D’dir.

20.

A(2,6)

B(6,–2) –2

–2 2

f(x) 6

6

A(2,6); f(2) = 6 ve f^–1(6) = 2 olur.

B(6,–2); f(6) = –2 ve f^–1(–2) = 6 olur.

2 6 12 ) 6 ( f

12 )) 2 ( f ( f

6 6 ) 2 )(

fof (

) 2 ( f ) 2 (

f ¹ 

 

 

 ^ 

Cevap E’dir.

1.

P(x) = x² + 5mx – 4

polinomu için P(4) + P(–3) = 2 olduğuna göre, m kaçtır?

A) –5 B) –4 C) –3 D) –2 E) –1

2.

P(x) bir polinom olmak üzere, P(x) + P(x + 1) = 2x + 5

olduğuna göre, P(5) aşağıdakilerden hangisi- dir?

A) 7 B) 5 C) 3 D) –2 E) –4

3.

P(x – 1) = x² + 2x – 3

olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

A) 14 B) 12 C) 10 D) 5 E) 3

4.

Her x reel sayısı için,

x³ + ax² + bx + c = x(x – 2)² + 3x – 1 eşitliği sağlandığına göre, a + b + c toplamı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5.

P(3x – 5) + P(2x – 4) = x² + 4x – 5

P(x) polinomunun sabit terimi 4 olduğuna göre, katsayılar toplamı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6.

3.P(x²) = P(2x).x + 6

olduğuna göre, P(0) + P(4) toplamı kaçtır?

A) –2 B) 3 C) 5 D) 8 E) 12

7.

P(x) + P(–2x) = 5x² – 3x +4

olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2x² – 3x + 4 B) 2x² + 3x + 2 C) x² – 3x + 2 D) x² + 3x + 2 E) x² – 3x – 2

8.

(3x³ – 2x² – x – 2) . (2x³ + 5x² + 4)

K O N U T E K R A R T E S T İ

1

çarpımı sonucunda x³lü terimin katsayısı kaç olur?

A) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) 10

9.

P(2x–1) = x² – 2x + 3 polinomu veriliyor.

P(x+2) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

10.

P(x) = (x – 7)^2a+1 + (x – 1)^a + (3x + 1)^b–1 polinomunun x – 5 ile kalansız bölünebilmesi için a ile b arasında nasıl bir bağıntı olmalıdır?

A) a = b + 1 B) a = 2(b – 1) C) a = 3b D) a = 3b – 1 E) a = 4b

11.

P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, P(x) = x³ – 2x – 3

Q(x) = 2x – 3

olduğuna göre, P(Q(x)) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 18 B) 15 C) 12 D) 9 E) 6

12.

P² (x) – Q(x) polinomun derecesi a + 7 3P(x²) + 2Q(x) polinomunun derecesi 3a – 5 olduğuna göre, a değeri kaçtır?

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

13.

P(x) = x⁵ – 3ax + 3

polinomunun x² + 1 ile bölümünden kalan 4x + b olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır?

A) –6 B) –4 C) –3 D) 1 E) 2

14.

P(x) polinomunun x²– 4x – 5 ile bölümünden kalan 2x + 3 olduğuna göre, P(x) in x + 1 ile bö- lümünden kalan kaçtır?

A) –3 B) –2 C) 1 D) 3 E) 5

15.

P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 2, x + 2 ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre, x² + x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) x – 1 B) 2x + 1 C) –2x – 1 D) –2x + 3 E) –2x + 4

16.

P(x) ve Q(x) polinomları için, ) 1 x 2 ( Q 1 x

4 ) 2 x ( P

2  





 bağıntısı sağlanmaktadır.

Q(x) in x – 5 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?

A) 14 B) 12 C) 10 D) 8 E) 6

17.

(6x³ – 6x), (4x²– 4x), (2x³ – 6x² + 4x) ifadelerinin OBEB leri aşağıdakilerden hangisidir?

A) x³ – x B) 2(x² + x) C) x² – 1 D) 2(x² – x) E) 2(x² + 1)

18.

P(x + 2) + P(3x – 2) = 5x⁴ – 3x³ + 4x² – 2 olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 1 ve x + 5 ile bölümünden kalanlar toplamı kaçtır?

1–C 2–A 3–D 4–B 5–C 6–D 7–D 8–B 9–A 10–B 11–A 12–C 13–C 14–C 15–E 16–E 17–D 18–D 19–B 20–D

A) 4 B) 7 C) 8 D) 10 E) 13

19.

P(x + 2) = Q(x² – 1) + x –3 polinomu veriliyor.

P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, P(x – 2) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

20.

P(x) polinomunun x – k ile bölümünden kalan 3, x – p ile bölümünden kalan –1 dir.

P(x) polinomunun (x – k)(x – p) ile bölümünden kalan x – 5 olduğuna göre, k – p farkı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1.

(2a – 1, 3b + 1) = (a + 1, b – 1)

ikilileri eşit olduğuna göre, a + b toplamı kaç- tır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

2.

Aşağıdakilerden hangisi bir fonksiyondur?

A) f : N  Z⁺ , f(x) = 3x – 1 B) f : R  Z , f(x) = x C) f : R Z⁺ , f(x) =

2 x

1 x



 D) f : N  Z⁺ , f(x) = 3^x E) f : Z  Z , f(x) = 4^x

3.

f(2x – 1) = ax + b f(1) = 8

a – b = 2

olduğuna göre, f(3) ün değeri kaçtır?

A) 9 B) 13 C) 15 D) 18 E) 21

4.

f(a) =

2 af(a – 1)

f(3) = 5

olduğuna göre, f(1) fonksiyonunun değeri kaçtır?

A) 5 B) 3 10 C)

2

3 D)

5

3 E)

10 3

5.

f(2x² – 4x – 1) = x² – 2x – 1

olduğuna göre, f(5) aşağıdakilerden hangisi- dir?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

6.

f(x) =

1 x

1 x





olduğuna göre, 



 



 x

f 1 in f(x) türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3f(x) B)

2 ) x (

f C) –f(x)

D) –2f(x) E) –3f(x)

7.

f(x) = (b – 1)x + a + b

birim fonksiyon olduğuna göre, a kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

8.

f:R  R⁺ tanımlı

K O N U T E K R A R T E S T İ

2

f(x + 1) = 2^x–1

olduğuna göre, f(5) + f^–1(1) toplamı kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

9.

f^1(x3)2x3

3 1 ) x x (

g  

olduğuna göre, (gofog)(2) değeri kaçtır?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 E) 1

10.

f(x) = x² – 2x (fog)(x) = x² + 4x + 3

olduğuna göre, g(x) fonksiyonu aşağıdakiler- den hangisidir?

A) x – 1 B) x + 1 C) x + 2 D) x + 3 E) x + 4

11.

f ve g bir fonksiyon olmak üzere,

2 x

1 x ) 2 3 x )(

gof

( 

 

 ve g^–1(1) = 8 olduğuna göre, f^–1(8) değeri kaçtır?

A) –4 B) –2 C) 0 D) 1 E) 4

12.

f(x) lineer (doğrusal) fonksiyonu için, f(4) = 5



 



2 f 1 = –4

olduğuna göre, 

 



 2

f 3 ifadesinin eşiti kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 1 D) 0 E) –1

13.

f(x) = 3x + 1

2 5 ) x x ( ) of g

( ^{1 1}  

olduğuna göre, g(7) değeri kaçtır?

A) 5 B) 8 C) 17 D) 19 E) 23

14.

f(x): R –{1}  R – {2}

x = f(x) 2 3 ) x ( f





olduğuna göre, f^–1(x) aşağıdakilerden hangisi- dir?

A) x 1 3 x 2



 B)

3 x

1 x 2



 C)

2 x

3 x





D) x 3 2 x



 E)

2 x

1 x





15.

f(x) = 2 mx

1 x 2





f(x) fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, m nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) –5 B) –4 C) 1 D) 3 E) 7

16.

f,g: R  R birer fonksiyon, f(x) = 4x – 1

(fof)(x +1) = –5

eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 E) 1

17.

Aşağıdaki R  R tanımlı fonksiyon grafiklerin- den hangisi bire–bir fonksiyonuna aittir?

1–E 2–D 3–B 4–B 5–D 6–C 7–A 8–D 9–C 10–D 11–B 12–D 13–D 14–C 15–B 16–C 17–A 18–A

A) ^y

x

B) ^y

x

C) ^y

x

D) ^y

x

E) ^y

x

18.

A = {x x – 1 < 1, x  R}

B = {–1, 0, 1}

olduğuna göre, A x B nin grafiği aşağıdakiler- den hangisidir?

A) 1

–1

0 2 x

y B)

1

–1

0 2 x

y

C) 1

–1

0 2 x

y D)

1

–1

0 2 x

y

E) 1

–1

0 2 x

y A)

B)