Matematik Polinomlar

(1)

Matematik

Matematik ^Polinomlar

I. POLÝNOMLAR

n bir doðal sayý birer reel sa- yý olmak üzere,

biçimindeki ifadelere x deðiþkenine baðlý, reel kat sayýlý n. dereceden polinom(çok terimli) denir.

2 n 1 n

0 1 2 n 1 n

P( x ) a= +a x a x+ + +... a ₋ x ⁻ +a x

0 1 2 n 1 n

a , a , a , ..., a ₋ , a Sevgili öðrenciler,

Bu sayýda; Polinomlarkonusunu anlatacaðýz.

Polinomlarýn anlaþýlmasý, üslü sayýlarla yapýlan iþlemlerin ve fonksiyonlarýn iyi bilinmesine baðlýdýr; çünkü polinom, bir fonksiyondur.

A. POLÝNOMLARLA ÝLGÝLÝ TEMEL KAVRAMLAR

polinomu verilsin.

in her birine

P(x) polinomunun terimleridenir.

in her birine polinomun te-

rimlerinin kat sayýlarýdenir.

Polinomun terimleri içinde herhangi bir te- riminde x in kuvveti olan k ∈ N ye bu terimin derecesi denir.

Polinomu oluþturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin kat sayýsýna polinomun baþ kat sayýsý, bu terimin derecesine de polinomun dere cesi denir ve der[P(x)]ile gösterilir.

k k

a x

0 1 2 n 1 n

a , a , a , ..., a ₋ , a

2 n 1 n

0 1 2 n 1 n

a , a x, a x , ..., a ₋ x ⁻ , a x

2 n 1 n

0 1 2 n 1 n

P( x ) a= +a x a x+ + +... a ₋ x ⁻ +a x

Deðiþkene baðlý olmayan terime (a₀) polinomun sabit terimidenir.

ise P(x) polino-

muna sýfýr polinomu denir. Sýfýr polinomunun derecesi tanýmsýzdýr.

ise, P(x)

polinomuna sabit polinomdenir. Sabit polinomun derecesi sýfýrdýr.

1 2 n 1 n 0

a =a = =... a ₋ =a =0 ve a ≠0

0 1 2 n 1 n

a =a =a = =... a ₋ =a =0

rnek ... 4

polinomunun,

1. Terimleri:

2. Baþ kat sayýsý: 2 dir.

3. der[P(x)] = 3 tür.

4. Kat sayýlarý: 2, 0, 6, –10 dur.

5. Sabit terimi: –10 dur.

3 2

2 x , 0 x , 6 x, 10 dur.− P( x ) 2 x= 3+6 x 10−

rnek ... 1

ifadesi, x deðiþkenine baðlý, 6. dereceden bir polinomdur.

6 3 2

P( x ) 2 x= −x +x −1

rnek ... 2

ifadesi, polinom deðildir; çünkü x^–2terimindeki x in kuvveti olan –2 doðal sayý deðildir.

3 2

P( x ) x= +2 x⁻ +1

rnek ... 3

ifadesi, polinom deðildir; çünkü teriminin kuvveti olan doðal sayý deðildir.1

2

1

x x= 2

P( x ) 2 x= 3+ x – 18

(2)

rnek ... 5

baðýntýsý birinci dereceden bir polinomdur.

Buna göre, m + n nin deðerini bulalým:

P(x) ifadesi ikinci dereceden polinom olduðuna göre, m – 1 = 0 ve n + 3 = 1 olmalýdýr.

Buna göre, m = 1 ve n = –2 olur.

Buna göre, m + n = 1 + (–2) = –1 olur.

2 n 3

P( x ) (m 1)x= − +5 x ⁺ +1

B. POLÝNOMLARLA FONKSÝYONLAR ARASINDAKÝ ÝLÝÞKÝ

Polinom, üslü terimlerden oluþan özel bir fonksiyon ol- duðu için; fonksiyonlarda uyguladýðýmýz tüm iþlemleri polinomlarda da uygulayabiliriz.

rnek ... 6

olduðuna göre, P(1) i bulalým:

2 2

P( x ) 2 x 5 x 1 P(1) 2 1 5 1 1 8

= + +

= ⋅ + ⋅ + = P( x ) 2 x= 2+5 x 1+

rnek ... 7

olduðuna göre, P(x) i bulalým:

P( x 3 ) 2 x 8 P(( x 3 ) 3 ) 2 ( x 3 ) 8

P( x 3 3 ) 2 x 2 3 8 P( x ) 2 x 14

− = +

+ − = ⋅ + +

+ − = ⋅ + ⋅ +

= +

P( x 3 ) 2 x 8− = +

sabit polinom oldu- ðuna göre, (m – 2 = 0 ve n + 1 = 0) olmalýdýr.

Buna göre, m = 2 ve n = –1 dir.

Bu durumda, P(3) = –2 olur.

2 2 2

P( x ) (m 2 )x (n 1)x m n P( x ) ( 2 2 ) x ( 1 1) x 2 ( 1) P( x ) 0 x 0 x 2

P( x ) 2 olur.

= − + + + ⋅

= − ⋅ + − + ⋅ + ⋅ −

= ⋅ + ⋅ −

= −

P( x ) (m 2 )x= − 2+(n 1)x m n+ + ⋅

rnek ... 9

baðýntýsý bir polinomdur.

Buna göre, P(x) in sabit terimini bulalým:

P(x) in polinom olabilmesi için, olmalýdýr.

ise, n = 2, 3, 5 olabilir. ...

3

[(n – 4) ∈ N ve n = 2, 3, 5] ise, n = 5 tir.

Buna göre, P(x) in sabit terimi 5 tir.

4 n 1 n 4

4 5 4 5 1

4 1

4

P( x ) 2 x x n

2 x x 5

3 x 5

−

= + +

= +

4 n 1∈

− N

4 ve (n 4 )

n 1∈ − ∈

− N N

4 n 4

P( x ) 2 x= n 1⁻ +x ⁻ +n

rnek ... 8

ifadesi sabit polinom olduðuna göre, P(3) ün deðe- rini bulalým:

P( x ) (m 2 )x= − 2+(n 1)x m n+ + ⋅

P(x) polinomunun;

Sabit terimi:

P(0) dýr.

Kat sayýlar toplamý:

P(1) dir.

(3)

C. POLÝNOMLARDA EÞÝTLÝK

Ayný dereceli en az iki polinomun eþit dereceli terimlerinin, kat sayýlarý birbirine eþit ise bu polinomlara eþit polinomlardenir.

rnek ... 11

polinomlarý veriliyor.

P(x) == Q(x) olduðuna göre, m + n yi bulalým:

Çözüm

Buradan, m + n = 10 + (–6) = 4 olur.

2 2

2

n

6

P( x ) x x 1 ...

Q( x ) ( 3 x 1)

( 3 x ) 2 ( 3 x ) 1 1 x x 1 ...

P( x ) Q( x ) ise (m 1 9 ve n 6 ) olur.

m 1 9 ise m 10 (m

olur 1

. )

9

= + +

= −

= − ⋅ ⋅ +

= +

= − = =

−

− = =

−

3

33

2 2

P( x ) (m 1)x nx 1 Q( x ) ( 3 x 1)

= − + +

= −

rnek ... 12

A ve B birer reel (gerçel) sayýdýr.

olduðuna göre, A⋅⋅ B nin deðerini bulalým.

Çözüm

Bu iki denklemin ortak çözümünden A = 3 ve B = –2 bulunur.

Bu durumda, A ⋅ B = 3 ⋅ (–2) = –6 dýr.

2

2 2

x 10 A B

x 2 x 2

x 4

A B

x 10

( x 2 ) ( x 2 )

x 4

A ( x 2 ) B ( x 2 ) x 10

( x 2 ) (

( x

x 2 )

x 4

x 10 A x 2 A B x 2 B ( x 2 ) ( x 2 )

x 4

x 4 x 4

x 10 ( A B ) x ( A B ) 2 ise, A

2 ( x 2 )

( x 2 )

) ( x 2

B 1 ve ( A

( A B ) x ( A B ) 2 x

2

)

B 10

)

+ = +

− +

−

⋅ ⋅

+ = +

− ⋅ + ⋅

−

⋅ + + ⋅ −

+ =

− ⋅ +

−

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅

= − ⋅ +

−

− = −

+ = +

+ ⋅ + − ⋅

+

−

⋅ + − ⋅

+ = −

+

⋅ +

10 olur.

=

2

x 10 A B

x 2 x 2

x 4

+ = +

− +

−

rnek ... 10

eþitliði veriliyor. P(x) polinomunun kat sayýlarýnýn topla- mý m ve sabit terimi n dir.

Buna göre, m + n nin deðerini bulalým.

Çözüm

P(x) polinomunun kat sayýlarýnýn toplamý P(1) dir.

P(x + 4) ifadesinden P(1) i bulmak için verilen ifadede x yerine –3 yazýlýr. Buna göre,

Bu durumda, m = 5 tir. ...

3

P(x) polinomunun sabit terimi P(0) dýr. P(x + 4) ifadesinden P(0) ý bulmak için verilen ifadede x yerine –4 yazýlýr.

Buradan, n = –11 dir. ...

33

3

ve

33

den, m + n = 5 + (–11) = –6 olur.

3 2

P(( 4 ) 4 ) ( 4 ) 3 ( 4 ) 5 P( 0 ) 64 3 16 5 P( 0 ) 11

− + = − + ⋅ − +

= − + ⋅ +

= −

3 2

P(( 3 ) 4 ) ( 3 ) 3 ( 3 ) 5 P(1) 27 3 9 5 P(1) 5

− + = − + ⋅ − +

= − + ⋅ +

=

3 2

P( x 4 ) x+ = +3 x +5

Çift dereceli terimlerinin kat sayýlarýnýn toplamý:

Tek dereceli terimlerinin kat sayýlarýnýn toplamý:

P(1) P( 1) dir.

2

− − P(1) P( 1) dir.

2 + −

(4)

D. POLÝNOMLARDA DÖRT ÝÞLEM 1. Toplama

Ýki ya da daha fazla polinomun toplamý, ayný dereceli terimler toplanarak bulunur.

n n n

a x⋅ + ⋅b x =( a b ) x+ ⋅

2. Çýkarma

Ýki ya da daha fazla polinomun farký, üslü sayýlarýn farkýnda olduðu gibi ayný dereceli terimlerin kat sayýlarý çýkarýlarak bulunur.

rnek ... 13

olduðuna göre, P(x) + Q(x) toplamýný bulalým.

Çözüm

5 4 3 2

5 4 3

2

5 3 2

P( x ) 3 x 0 x 2 x 0 x 5 x 2 Q( x ) 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 P( x ) Q( x ) ( 3 0 ) x ( 0 0 ) x ( 2 1) x

( 0 ( 2 )) x ( 5 ( 3 )) x ( 2 1) 3 x x 2 x 2 x 1

= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −

+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ +

+ = + ⋅ + + ⋅ + − + ⋅

+ + − ⋅ + + − ⋅ + − +

= − − + −

5 3

3 2

P(x) 3x 2x 5x 2 Q(x) x 2x 3x 1

= − + −

= − − +

rnek ... 14

P(x) + P(3x – 2) = –4x + 6

olduðuna göre, P(x) polinomunu bulalým.

Çözüm

P(x) + P(3x – 2) = –4x + 6 ise, P(x) = ax + b ...

3

P(3x – 2) = a(3x – 2) + b

P(3x – 2) = 3ax – 2a + b dir. ...

33

P(x) + P(3x – 2) = –4x + 6 ax + b + 3ax – 2a + b = –4x + 6

4ax – 2a + 2b=–4x + 6 dýr. Bu eþitlikten, (4a = –4 ve –2a + 2b = 6) dýr.

a = –1, b = 2 olur.

Bu durumda, P(x) = –x + 2 dir.

n n n

a x⋅ − ⋅b x =( a b ) x− ⋅

3. Çarpma

Ýki polinomunun çarpýmý, birisinin her bir teriminin di- ðerinin her bir terimi ile ayrý ayrý çarpýmlarýndan elde edilen terimlerin toplamýna eþittir.

rnek ... 16

olduðuna göre, P(x) ⋅⋅ Q(x) çarpýmýný bulalým.

Çözüm

2

4 3 3 2

4

2 2

3 3

3 2

3

( ) ( 3 x 4 )

3 x 4 3 x 4

5

5 3 x 5 4 9 x 12 x 3 x 4 x 15 x 20

9 x 15 x 4 x 15 x 20 3 x

3 x 3 x x

x

= + − ⋅ +

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅

= + + + − −

= + + − −

3 2

P( x ) 3 x x 5 Q( x ) 3 x 4

= + −

= +

rnek ... 15

olduðuna göre, P(x) – Q(x) farkýný bulalým.

Çözüm

5 4 3 2

5 4 3

2

5 3 2

P( x ) 3 x 0 x 2 x 0 x 5 x 2 Q( x ) 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 P( x ) Q( x ) ( 3 0 ) x ( 0 0 ) x ( 2 1) x

( 0 ( 2 )) x ( 5 ( 3 )) x ( 2 1) 3 x 3 x 2 x 8 x 3

= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −

= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ +

−

− = − ⋅ + − ⋅ + − − ⋅

+ − − ⋅ + − − ⋅ + − −

= − + + −

5 3

3 2

P(x) 3x 2x 5x 2 Q(x) x 2x 3x 1

= − + −

= − − +

(a + b) ⋅ (c + d) = a ⋅ (c + d) + b ⋅ (c + d) dir.

(5)

rnek ... 17

olduðuna göre, P(x)⋅⋅ Q(x) polinomunda x³lü teri- min kat sayýsýný bulalým.

Çözüm

P(x) ⋅ Q(x) deki x³lü terim ;

(–3x³)⋅ (2) ve (+5x) ⋅ (–2x²) çarpýmlarýndan oluþur.

(–3x³)⋅ (2) + (+5x) ⋅ (–2x²) = –6x³+ (–10x³)

= –16x³ olduðuna göre, x³ ün kat sayýsý –16 dýr.

5 3

4 2

P( x ) 4 x 3 x 5 x 3 Q( x ) 3 x 2 x 3 x 2

= − + −

= − + +

k k

der[P( x ) Q( x )] m der[P( x ) Q( x )] m n der[ P( x )] m, ( 0 ) der[P ( x )] m, ( ) der[Q( x )]

der[P( x )] m der[Q( x )

m, (

c c

k k

k k )

] n m n olma

der[Q(

k üzere

x )] m, ( 0 ) der[P( x b )] m, ( 0 ) ol .

c

u c

a r

,

a

=

⋅ = +

= ≠

= ⋅ ∈

⋅ = ≠

+ = ≠

=

>

⋅

∓

N N

3 3

2 2

der[P( x ) Q( x )] 5 4 9 der[ 2 P( x )] 5

der[ 3 Q( x )] 4 der[P ( x )] 3 5 15 der[Q ( x )] 3 4 12 der[P( x )] 2 5 10 der[Q( x )] 2 4 8 der[P( 6 x 7 )] 5 olur.

⋅ = + =

⋅ =

= ⋅ =

+ =

rnek ... 18

polinomlarý veriliyor. Buna göre, der[P( x )] 5

der[Q( x )] 4 der[P( x ) Q( x )] 5 der[P( x ) Q( x )] 5

=

+ =

− =

5 3

4 2

P( x ) 4 x 3 x 5 x 3 Q( x ) 3 x 2 x 3 x 2

= − + −

= − + +

rnek ... 19

olduðuna göre, P(x) i bulalým.

Çözüm

3 2 2

5 3 3 2 2

5 3 2

P( x ) ( x 3 x 1) ( x 5 ) x 2 x 1 x 5 x 3 x 15 x x 5 x 2 x 1 x 8 x 2 x 17 x 4

= + + ⋅ + + + −

= + + + + + + + −

= + + + +

3 2 2

P( x ) x 3 x 1

x 5

x 2 x 1

+ +

− • +

+ −

der [P(x)] ≥ der [Q(x)] ve Q(x) ≠ 0 olmak üzere,

olsun. Buna göre, P(x): Bölünen polinom Q(x): Bölen polinom B(x): Bölüm polinomu K(x): Kalandýr.

1. P(x) = Q(x) ⋅ B(x) + K(x) 2. der [K(x)] < der [Q(x)]

3. K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.

4. der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]

Q( x ) P( x )

B( x ) –

K( x )

4. Bölme

Polinomlar kümesinde bölme iþlemi doðal sayýlardaki bölme iþlemine benzer yaklaþýmla yapýlýr.

(6)

Polinomlarda bölme iþlemi yapýlýrken aþaðýdaki iþ- lemler yapýlýr:

1. Adým:Hem bölünen polinom hem de bölen polinom x in azalan kuvvetlerine göre sýrala- nýr.

2. Adým:Bölünen polinomun soldan ilk terimi, bö- len polinomun soldan ilk terimine bölünür.

3. Adým:Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bü- tün terimleri ile çarpýlarak, ayný dereceli terimler alt alta gelecek biçimde, bölünen polinomun altýna yazýlýr.

4. Adým:Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çý- karýlýr. Elde edilen fark polinomuna; ikinci, üçüncü, ve dördüncü adýmda yapýlan iþ- lemler tekrarlanýr.

5. Adým:Yukarýdaki iþlemlere, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.

rnek ... 20

x⁴– 4x³+ 2x + 6 polinomunun x²+ 6 polinomuna bölünmesiyle elde edilen bölümü ve kalaný bulalým:

Bu durumda, bölüm: x²– 4x – 6 ve kalan: 26x + 42 dir.

4 2

2 3 2

2 2

x x

x

4 x 4 x x

6 x 6

x

=

− = −

2

4 3

4 2 2

3 2

3 2 2

x 6

x 4x 2x 6

x 4x 6 x 6x

4x 6x 2x 6 4x 24x 6x 26x 6 6x 36 26x 42

+

− + +

− −

− +

− − + +

− − −

− + +

− − −

+

rnek ... 21

polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalaný bulalým:

x – 2 = 0 ise, x = 2 dir. Buna göre, P(x) in x – 2 ile bölümünden kalan P(2) dir.

4 2

P( ) 4 2 3

16 4 4 2 2 3 7 o

2 2 2 2

lur.

= − ⋅ + ⋅ +

=

4 2

P(x) x= −4x +2x 3+

P(x) polinomunun ax + b ile bölümünden kalaný bulmak için; polinomda x yerine yazýlýr.

P(x) polinomunun x²+ a ile bölümünden kalaný bulmak için; polinomda x²yerine –a yazýlýr.

P(x) polinomunun xⁿ+ a ile bölümünden kalaný bulmak için; polinomda xⁿyerine –a yazýlýr.

(n ∈ N⁺) ax b 0 ise x b

a dýr.

+ = = −

b

−a

rnek ... 22

polinomunun (x²+ x) ile bölünmesiyle elde edilen kalaný bulalým:

P(x) polinomunun x²+ x ile bölünmesiyle elde edilen kalaný bulmak için polinomda x²yerine –x yazýlýr.

2 2

2 3

2 4

2 2 2

P(x) x 3x 7x 8 P(x) ( ) 3 x 7x 8 Kalan ( ) 3 ( ) x 7x 8

3 7x 8

x x

x

2 7x 8

2 ( ) 7x 8 9x 8 olur

x x

x x x

.

= + + +

= + ⋅ ⋅ + +

= − ⋅ + +

= − ⋅ +

+

− +

=

− −

4 3

P(x) x= +3x +7x 8+

rnek ... 23

polinomu (x²– 1) ile tam bölünebildiðine göre, n nin deðerini bulalým:

P(x) polinomunun (x²– 1) ile bölünmesiyle elde edilen bölüm B(x) olsun.

P( x ) ( x2 1) B( x ) ( x 1) ( x 1) B( x ) P(1) 0 ...

P( 1) 0 ... olur.

= − ⋅

= + ⋅ − ⋅

=

− = 3 33

3 2

P( x ) x= +mx +nx 3+

(7)

Elde edilen 3ve 33denklemlerinin ortak çözümün- den n = –1 bulunur.

3 2

P( ) m n 3

0 1 m n 3 0 m n 4 ...

P( ) m

1 1 1 1

1 1

n 3

P(

x x x x

) ( ) m ( ) n ( ) 3

0 1 m n 3

0 m n 2 . 1

..

1

= + + +

= + ⋅ + ⋅ +

= + + +

= + +

= + + +

= + ⋅ + ⋅ +

= − + − +

= −

−

+

− − −

3

33

E. ÇOK BELÝRSÝZLÝ POLÝNOMLAR

P(x), P(y), P(z) polinomlarýna sýrasýyla; x, y, z deðiþ- kenlerine baðlý bir belirsizli (deðiþkenli) polinomlar denir.

P(x, y) polinomuna x ve y deðiþkenlerine baðlý iki belirsizli (deðiþkenli) polinom denir.

P(x, y, z) polinomuna x, y ve z deðiþkenlerine baðlý üç belirsizli (deðiþkenli) polinom denir.

rnek ... 25

polinomunu inceleyelim:

P(x, y) polinomu x ve y deðiþkenine baðlý iki deðiþ- kenli bir polinomdur.

P(x, y) polinomunda beþ terim vardýr. Bu terimler;

x³y, 2x²y, 3x, y ve –2 dir.

P(x, y) polinomundaki; x³y teriminin x e göre derecesi 3, y ye göre derecesi 1, x ve y ye göre derecesi ise, 3 + 1 = 4 tür.

2x²y teriminin x e göre derecesi 2, y ye göre derecesi 1, x ve y ye göre derecesi ise, 2 + 1 = 3 tür.

3x teriminin x e göre derecesi 1, y ye göre derecesi 0, x ve y ye göre derecesi ise, 1 + 0 = 1 dir.

y teriminin x e göre derecesi 0, y ye göre derecesi 1, x ve y ye göre derecesi ise, 0 + 1 = 1 dir.

–2 teriminin x e göre derecesi 0, y ye göre derecesi 0, x ve y ye göre derecesi ise, 0 + 0 = 0 dýr. Bu terime sabit terimdenir.

P(x, y) polinomunun derecesi, x ve y ye göre her bir terimin derecesinden en büyük olan 4 tür. Bu durumda, der[P(x, y)] = 4 olur.

3 2

P( x, y ) x y 2 x y 3 x y 2= + + + −

P(x) polinomu a ⋅ (x – b) ⋅ (x – c) polinomuna tam bölünüyorsa, (x – b) ye ve (x – c) ye de tam olarak bölünür.

P(b) = 0 ve P(c) = 0 olur.

rnek ... 24

polinomunun x²– x – 2 ile bölümünden elde edilen kalan 2x + 5 olduðuna göre, a⋅⋅ b çarpýmýnýn deðe- rini bulalým:

P(x) polinomunun (x²– x – 2) ile bölünmesiyle elde edilen bölüm B(x) ve kalan (2x + 5) olsun.

x²– x – 2 = (x – 2) ⋅ (x + 1) Buna göre,

olur. Bu eþitlikte xyerine –1yazalým:

Bu eþitlikte xyerine 2yazalým:

Elde edilen 3 ve 33 denklemlerinin ortak çözümü yapýlarak,

a = –2 ve b = –3 bulunur.

3 2

x x x x x x x

2 2 2 2 2 2

a b 1 ( 1) ( 2 ) B( ) ( 2 5 ) a b 1 ( 1) ( 2 ) B( ) ( 2 5 ) 8 a 4 b 2 1 3 0 B( 2 ) ( 4 5 )

7 a 4 b 2 0 9 4 a 2b 2 ..

2

.

− + − = + ⋅ − ⋅ + +

− + − = + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

− ⋅ + ⋅ − = ⋅ ⋅ + +

− ⋅ + ⋅ = +

− + = 33

3 a 2 b 1 ( 1) ( 2 ) B( ) ( 2 5 ) 1 a 1 b 1 0 ( 3 ) B( 1) ( 2 5 )

a b 2 0 3 a b 0 3 2 a b 5 .

x x x x x x

.

x

.

− + − = + ⋅ − ⋅ + +

− − ⋅ − − = ⋅ − ⋅ − + − +

− − − = +

− − = + +

+ = − 3

3 2

x −ax +bx 1 ( x 1) ( x 2 ) B( x ) ( 2 x 5 )− = + ⋅ − ⋅ + +

3 2

P(x) x= −ax +bx 1−

Buna göre,

a ⋅ b = (–2) ⋅ (–3) = 6 olur.

(8)

1.

polinomu veriliyor.

Buna göre, P(x) polinomunun kat sayýlarýnýn toplamý kaçtýr?

D

A) 37 B) 32 C) 26 D) 15 E) 10 P( 2 x 1) x+ = 2 +6 x 15+

2.

der(P(x)) = 3 olduðuna göre, kaçtýr?

E

A) 12 B) 16 C) 20 D) 24 E) 25

5 7

der(P( x )) der( x++ ⋅⋅P( 2 x ))

4.

polinomu düzenlendiðinde elde edilen çift de- receli terimlerin kat sayýlarý toplamý kaçtýr?

A

10 10 20

20

A) 3 1 B) 3 1 C) 3 1

D) 3 1 E) 1

+ − +

−

10 10

P( x ) ( x 2 )= + +( x 2 )−

3.

polinomunun kat sayýlarý toplamý 1 olduðuna göre, m kaçtýr?

C

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

3 2

P( x ) ( 2m 1)x= − −(m 1)x+ +2 x 1−

5.

olduðuna göre, P(x) polinomu aþaðýdakiler- den hangisidir?

E

3 3 2 3 2

3 2 3 2

A) 3 x 1 B) 3 x 5 x C) 4 x x

D) x x x 1 E) 4 x x x 3

− − − + −

− + + − + +

3 2

P( x 2 ) 4( x 2 )− = − −( x 2 )− + +x 1

6.

A

2 2 2

2 2

A) 2 x x 5 B) x x 1 C) 2 x x 5 D) 2 x x 5 E) x x 3

− − − + + − +

+ − + +

3 3 2

6 x 5 x 4 x P( x ) 8 x x 4

− − − = ⋅ − + −

7.

P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 1 ve x + 1 ile bölümünden kalan 3 tür.

Buna göre, P(x) in x⋅⋅ (x + 1) çarpýmýna bölü- münden elde edilen kalan aþaðýdakilerden hangisidir?

A

A) –2x + 1 B) –2x C) 0 D) 1 E) 3

8.

olduðuna göre, P(x) – 2⋅⋅ Q(x) polinomu aþa- ðýdakilerden hangisidir?

D

3 2 3 2 3

3 2 3 2

A) 3 x 5 x B) x 5 x C) x 5

D) 3 x 3 x 4 E) x 5 x 2 x

− − − − −

− + − − +

3 2

P( x ) x x 1 Q( x ) 2 x 2 x 1

= − +

9.

P(x) polinomu Q(x) polinomunu tam bölmektedir.

olduðuna göre, P(x) polinomunun derecesi kaçtýr?

C

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2 2

der[P( x ) Q ( x )] 10 der[P ( x ): Q( x )] 5

⋅ =

=

10.

olduðuna göre, P(x + 1) polinomunun x + 3 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr?

B

A) 0 B) –1 C) –2 D) –3 E) –4

3 2

( 2 x 3 )P( x ) 2 x− = −3 x −10 x 15+

Ç Ç özümlü özümlü T T ^est ^est

(9)

14.

olduðuna göre, P(1, 8) kaçtýr?

C

A) 14 B) 72 C) 85 D) 88 E) 96 P( x 1, 2 y ) 2 x y 3 xy y 1− = 3 + − +

11.

polinomlarý veriliyor.

P(x + 1) polinomunun kat sayýlarýnýn toplamý, Q(3x) in sabit terimine eþit olduðuna göre, a kaçtýr?

B

A) –3 B) –2 C) 0 D) 2 E) 3

3 2

2

P( x 2 ) x 2 x a Q( x 2 ) 2 x 4 x 3 a 4

+ = − +

− = − + + +

12.

P(x) = 3x + 1

olduðuna göre, P(P(x – 1)) polinomu aþaðý- dakilerden hangisidir?

E

A) –x + 2 B) –6x + 6 C) x + 3 D) –6x – 6 E) 9x – 5

15.

olduðuna göre, P(x, y) polinomunun kat sa- yýlar toplamý kaçtýr?

A

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3 2

P( x, y ) 2 x y 4 xy= − +3 xy y 1− +

13.

olduðuna göre, P(1, 3) + P(3, 1) kaçtýr?

D

A) 4 B) 8 C) 13 D) 20 E) 26 P( x, y ) x y 3 x y= 2 + −

16.

P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölü- münden elde edilen bölüm x³+ 1 ve kalan –x⁴+ 1 olduðuna göre, P(x) polinomunun de- recesi en az kaçtýr?

C

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

17.

P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümün- den elde edilen bölüm x + 2 ve kalan –x + 3 tür.

Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 6 olduðuna göre, P(x) polinomunun x² + x – 2 ile bölümünden elde edilen kalan aþaðýdakilerden hangisidir?

E

A) 5x – 3 B) 5x + 3 C) 5x + 6 D) 5x + 10 E) 5x + 15

18.

P(x) polinomunun x³ + 1 polinomuna bölü- münden elde edilen kalan x²+ 3 tür.

Buna göre, P(x) polinomunun x²– x + 1 ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisi- dir?

C

A) x – 3 B) x + 1 C) x + 2 D) x + 3 E) 2x + 1

19.

P(x) polinomunun; x + 1 ile bölümünden elde edilen kalan 6, x – 3 ile bölümünden kalan –2 dir.

Buna göre, P(x) polinomunun x²– 2x – 3 ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisi- dir?

A

A) –2x + 4 B) x + 1 C) 2x + 2 D) 2x + 4 E) –2x + 2

(10)

1.

P(2x + 1) den P(1) i bulmak için verilen polinomda x yerine kaç yazmamýz gerektiðini bulalým.

2x + 1 = 1 ise x = 0 dýr.

Cevap D

2 2

P( 2 1) 6 15

P( 2 0 1) 0 6 0 15 P(1) 15 olur

x x x

.

+ = + +

⋅ + = + ⋅ +

=

2.

Ýki polinomun toplamýnýn derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesine eþittir. Bunun için,

Cevap E

5 7

der(P( x )) der( x+ ⋅P( 2 x )) 25 olur.=

7 7

der( x P( 2 x )) der( x ) der(P( 2 x )) 7 der(P( x )) der(P( x )) 7 3 3

25 ...

⋅ = +

= ⋅ +

= 33

der(P( x )) 5 der(P( x ))5

5 3 15 ...

= ⋅

= 3

3.

P(x) polinomunun kat sayýlarýnýn toplamý 1 olarak veril- diðinden, P(1) = 1 olur.

P(x) polinomunda x yerine 1 yazýlýrsa sonuç 1 olur.

Cevap C

3 2

P( x ) ( 2m 1)x (m 1)x 2 x 1 P(1) ( 2m 1) 1 (m 1) 1 2 1 1

1 2m 1 m 1 2 1 m 2 olur.

= − − + + −

= − ⋅ − + ⋅ + ⋅ −

= − − − + −

=

4.

P(x) polinomundaki çift dereceli terimlerin kat sayýlarý- nýn toplamý

Buna göre,

olur. P(x) polinomundaki çift dereceli terimlerin kat sa- yýlarýnýn toplamý:

Cevap A

10 10

10

P(1) P( 1) 3 1 1 3

2 2

2(1 3 ) 2 1 3 olur.

+ − = + + +

= +

10 10

10

10 10

10

P( x ) ( x 2 ) ( x 2 ) P(1) (1 2 ) (1 2 )

3 ( 1) 3 1 ...

P( 1) (( 1) 2 ) (( 1) 2 ) 1 ( 3 )

1 3 ...

= + + −

= + −

= +

− = − + + − −

= + −

= +

3

33 P(1) P( 1)

2 dir.

+ −

5.

P(x – 2) polinomunda, x yerine x + 2 yazýlýrsa;

Cevap E

3 2

P( x 2 ) 4( x 2 ) ( x 2 ) x 1 P(( x 2 ) 2 ) 4(( x 2 ) 2 ) (( x 2 ) 2 )

( x 2 ) 1 P( x ) 4 x x x 3 olur.

− = − − − + +

+ − = + − − + −

+ + +

= − + +

6.

Cevap A

3 3 2

3 2

2 2

6 x 5 x 4 x P( x ) 8 x x 4 6 x 5 x 4 8 x x 4 x P( x ) 2 x x 5 x x P( x )

x ( 2 x x 5 ) x P( x ) P( x ) 2 x x 5 olur.

− − − = ⋅ − + −

− − − + − + = ⋅

− − = ⋅

⋅ − − = ⋅

= − −

T T ^estin ^estin Ç Ç ^özümleri ^özümleri

(11)

10.

P(x + 1) polinomunun x + 3 ile bölümünden elde edilen kalan; P(x + 1) = P(–3 + 1) = P(–2) dir.

x = –2 için,

Cevap B

3 2

(2 ( 2) 3) P( 2) 2 ( 2) 3 ( 2) 10 ( 2) 15 ( 4 3) P( 2) 2 ( 8) 3 4 20 15

7 P( 2) 16 12 35 7 P( 2) 7

P( 2) 1 olur.

⋅ − − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − +

− − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ + +

− ⋅ − = − − +

− ⋅ − =

− = −

11.

P(x + 1) polinomunun kat sayýlarýnýn toplamý, P(1 + 1) = P(2) dir. Buna göre,

Q(3x) polinomunun sabit terimi, Q(3 ⋅ 0) = Q(0) dýr.

P(x + 1) polinomunun kat sayýlarýnýn toplamý, Q(3x) in sabit terimine eþit olduðuna göre

Cevap B P( 0 2 ) Q( 2 2 )

P( 2 ) Q( 0 ) a 3 a 4 a 2 olur.

+ = −

=

= +

= −

2

x 2 için,

Q( 2 2 ) 2 2 4 2 3 a 4 Q( 0 ) 3 a 4 ... olur.

=

− = − ⋅ + ⋅ + +

= + 33

3 2

x 0 için,

P( 0 2 ) 0 2 0 a P( 2 ) a ... olur.

=

+ = − ⋅ +

= 3

12.

P(x) = 3x + 1 ise;

P(x – 1) = 3(x – 1) + 1 P(x – 1)=3x – 2 ...

3

P(x) = 3x + 1 P(P(x – 1)) = 3x + 1 P(3x – 2) = 3(3x – 2) + 1 P(3x – 2) = 9x – 5 tir.

Cevap E

7.

P(x) in x ile bölümünden kalan 1 ise, P(0) = 1 dir.

P(x) in x + 1 ile bölümünden kalan 3 ise, P(–1) = 3 tür.

x ⋅ (x + 1) ifadesi ikinci dereceden bir polinom olduðu için, P(x) in x ⋅ (x + 1) ile bölümünden kalan ax + b þeklinde birinci dereceden bir polinomdur. P(x) in x ⋅ (x + 1) ile bölünmesiyle elde edilen bölüm B(x) ise, P(x) = x ⋅ (x + 1) ⋅ B(x) + ax + b ...

3

olur.

P(0) = 0 ⋅ (0 + 1) ⋅ B(0) + a ⋅ 0 + b 1 = b ...

3

P(–1) = (–1) ⋅ (–1 + 1) ⋅ B(–1) + a ⋅ (–1) + b 3 = –a + b ...

33

3

ve

33

denklemlerinin ortak çözümünden a = –2 bulunur. Buna göre kalan: –2x + 1 olur.

Cevap A

8.

Cevap D

3 2

Q( x ) 2 x 2 x 1 ise, 2 Q( x ) 4 x 4 x 2 ...

P( x ) x x 2 2 Q( x ) 4 x 4 x 2

P( x ) 2 Q( x ) (1 4 ) x ( 1 ( 4 )) x ( 2 2 ) 3 x 3 x 4 olur.

= − +

⋅ = − +

= − −

⋅ = ⋅ − ⋅ +

−

− ⋅ = − ⋅ + − − − ⋅ + − −

= − + −

3

9.

3

ile

33

denklemlerinin ortak çözümünden; m = 4 ve n = 3 olur. Buradan, der[P(x)] = m = 4 tür.

Cevap C

2 2

der[P( x )] m, der[Q( x )] n olsun.

der[P( x ) Q ( x )] 10 ise, der[P( x )] der[Q ( x )] 10 der[P( x )] 2 der[Q( x )] 10 m 2 n 10 ...

der[P ( x ): Q( x )] 5 ise, der[P ( x )] der[Q( x )] 5 2 der[P( x )] der[Q( x )] 5 2 m n 5 ...

= =

⋅ =

+ =

+ ⋅ =

=

− =

⋅ − =

3

33

(12)

14.

P(x – 1, 2y) polinomundan P(1, 8) i bulmak için x yerine 2, y yerine de 4 yazýlýr.

Buna göre,

Cevap C

3 3

P( 1, 2 ) 2 3 1

P(1, 8 ) 2 8 4 24

y y y y

4

x x

4

4 1 P(1, 8 ) 64 24 3 P(1, 8 ) 85

4 4

olur x

2 2

. 2

− = + − +

− ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − +

= ⋅ ⋅ + − +

= + −

=

15.

P(x, y) polinomunun kat sayýlar toplamý P(1, 1) dir.

P(x, y) polinomundan P(1, 1) i bulmak için x yerine 1, y yerine de 1 yazýlýr.

Buna göre,

Cevap A

3 2

P( , ) 2 4 3 1

P(1,1) 2 4 3 1 1 P(1,1) 1 ol

x y x y xy xy y

1 1

ur.

11 11 1

1 1

= − + − +

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − +

= − + − +

=

13.

P(x, y) polinomundan P(1, 3) ü elde etmek için, x yerine 1 ve y yerine 3 yazýlýr.

P(x, y) polinomundan P(3, 1) i elde etmek için, x yerine 3 ve y yerine 1 yazýlýr.

Cevap D

2 2

P( , ) 3

P(1, 3 ) 1 3 3 3 P(1, 3 ) 3 P( , )

x x x

1 1 1

x x x

3 3

3

P( , ) 3

P( 3,1) 9 1 9 1 P( 3,1) 17

P(1, 3 ) P( 3,1) 3 17 20 ol

y y y

3 3 3

y y y

1 1 1

ur.

3

= + −

= ⋅ + ⋅ −

= ⋅ + −

=

= + −

= ⋅ + ⋅ −

= ⋅ + −

=

+ = + =

16.

Polinomlardaki bölme iþleminde kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçüktür.

P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümünden elde edilen kalan –x⁴+ 1 olduðuna göre, kalan polinomun derecesi 4 tür.

Bu durumda bölen polinomun (Q(x) in) derecesi 4 ten büyük olmalýdýr.

P(x) polinomunun derecesinin en az olmasý iste- nildiðinden Q(x) polinomunun derecesi 5 olmalýdýr.

Bu durumda Q(x) = x⁵ alýnabilir. ... (

+

)

P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümünden elde edilen bölüm x³+ 1 ve kalan –x⁴+ 1 olduðuna göre,

P(x) = Q(x) ⋅ (x³+ 1) – x⁴+ 1

= x⁵⋅ (x³+ 1) – x⁴+ 1

= x⁸+ x⁵– x⁴+ 1 olur.

Buna göre, P(x) polinomunun derecesi en az 8 olur.

Cevap C

17.

P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümünden elde edilen bölüm x + 2 ve kalan –x + 3 olduðuna göre,

P(x) = Q(x) ⋅ (x + 2) – x + 3 tür. ... (

+

)

Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) olsun.

Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden bölüm B(x) kalan 6 olduðuna göre,

Q(x) = (x – 1) ⋅ B(x) + 6 dýr. ... (

++

)

(

++

) daki Q(x) in deðeri (

+

) eþitliðinde yerine yazýlýrsa,

P(x) = Q(x) ⋅ (x + 2) – x + 3

= [(x – 1) ⋅ B(x) + 6] ⋅ (x + 2) – x + 3

= (x – 1) ⋅ (x + 2) ⋅ B(x) + 6x + 12 – x + 3

= (x²+ x – 2) ⋅ B(x) + 5x + 15 olur.

Buna göre, P(x) polinomunun x²+ x – 2 ile bölümün- den elde edilen kalan 5x + 15 tir.

Cevap E

(13)

1.

P(x + 1) = 2x + 1

olduðuna göre, P(4) kaçtýr?

A

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

2.

çarpýmý yapýlýp düzenlendiðinde x⁶ lý terimin kat sayýsý kaçtýr?

B

A) –22 B) –20 C) –19 D) –2 E) –1

5 3 4 3

( 3 x +2 x −6 ) ( 4 x⋅ −7 x −2 x 3 )+

4.

A ve B birer reel (gerçel) sayýdýr.

olduðuna göre, A – B kaçtýr?

D

A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4 A B

x( x 2 )=x 2+ x

− −

5.

P(2x + 2) = 3x³– 5x + 5

olduðuna göre, P(x + 1) polinomunun kat sa- yýlarýnýn toplamý kaçtýr?

E

A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3.

polinomlarý eþit olduðuna göre, a + b + c kaçtýr?

C

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

3 2

2

P( x ) x ax bx 2 x c 5 Q( x ) ( x 2 ) ( x 2 )

= − + − + −

= + ⋅ −

C C ^evaplý ^evaplý T T ^{est .. 1} ^{est .. 1}

18.

P(x) polinomunun x³+ 1 polinomuna bölümünden elde edilen bölüm B(x) kalan x²+ 3 olduðuna göre, P(x) = B(x) ⋅ (x³+ 1) + x²+ 3

P(x) = B(x) ⋅ (x + 1) ⋅ (x²– x + 1) + x²+ 3 ... (

+

) P(x) polinomunun x²– x + 1 ile bölümünden kalan, x²– x + 1 = 0 ise

x²= x – 1 yazýlarak bulunur. ... (

++

) Buna göre,

P(x) = B(x) ⋅ (x + 1) ⋅ (x²– x + 1) + x²+ 3 Kalan = B(x) ⋅ (x + 1) ⋅ (x – 1 – x + 1) + x – 1 + 3

= B(x) ⋅ (x + 1) ⋅ (0) + x + 2

= 0 + x + 2

= x + 2 olur.

Cevap C

19.

P(x) polinomunun; x + 1 ile bölümünden elde edilen kalan 6 olduðuna göre,

P(–1) = 6 dýr. ... (1)

P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan –2 olduðuna göre,

P(3) = –2 dir. ... (2)

P(x) polinomunun x²– 2x – 3 ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ve kalan ax + b olsun. Buna göre, P(x) = (x²– 2x – 3) ⋅ B(x) + ax + b dir.

P(–1) = 6 ise

P(x) = ((–1)²– 2 ⋅ (–1) – 3) ⋅ B(–1) + a ⋅ (–1) + b P(–1) = 0 ⋅ B(–1) – a + b

6 = b – a ... (

+

) P(3) = –2 ise

P(3) = ((3)²– 2 ⋅ (3) – 3) ⋅ B(3) + a ⋅ (3) + b P(3) = 0 ⋅ B(3) + 3a + b

–2 = 3a + b ... (

++

)

(

+

) ve (

++

) eþitlikleri ortak çözülürse, a = –2 ve b = 4 bulunur.

Buna göre, P(x) polinomunun x²– 2x – 3 ile bölümün- den kalan –2x + 4 olur.

Cevap A

(14)

13.

P(x) ve Q(x) polinomlarý için,

P(x + 2) = (x³– 2x – 3) ⋅ Q(x) + x²+ x + 1 baðýntýsý saðlanmaktadýr.

Q(x) in sabit terimi 5 olduðuna göre, P(2x) polinomu (x – 1) ile bölündüðünde kalan kaç- týr?

C

A) –16 B) –15 C) –14 D) 0 E) 1

12.

P(x) bir polinom olmak üzere, x³+ ax – 8 = (x – 2) ⋅ P(x)

olduðuna göre, P(x + 1) in kat sayýlarýnýn toplamý kaçtýr?

C

A) 0 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

14.

polinomu veriliyor.

P(x) in x + 9 ile bölümünden kalan kaçtýr?

B

A) 0 B) 3 C) 5 D) 10 E) 18

3 2

P( 9 x ) x= −10 x + +x 15

15.

P(x) polinomunun x³– 4x ile bölümünden kalan x²+ x + 4 tür.

P(x) in x + 2 ile bölümünden kalan kaçtýr?

A

A) 6 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

7.

P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölünme- siyle elde edilen bölüm B(x) ve kalan da K(x) tir.

olduðuna göre, der[P(3x)] kaçtýr?

D

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4 2

3 2

Q( x ) x 2 x 2 x 2 B( x ) x 2 x 1 K( x ) 3 x 2

= − + +

= − +

= +

8.

P(x) = 2x⁸– 8x⁶+ ax – 4

polinomu (x – 2) ile tam bölünebiliyor.

Buna göre, a kaçtýr?

C

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

9.

P(2x) + P(–x) = 7x³+ 4

olduðuna göre, P(x – 1) polinomunun kat sa- yýlarýnýn toplamý kaçtýr?

C

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

10.

Kat sayýlarýnýn toplamý –2 olan bir P(x) polinomunun (x + 3) ile bölümünden kalan –10 dur.

Buna göre, P(x) polinomunun (x + 3)⋅⋅ (x – 1) ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangi- sidir?

A

A) 2x – 4 B) 2x – 1 C) 3x + 1 D) 20 E) – 12

11.

olduðuna göre, P(x) polinomunun sabit teri- mi kaçtýr?

A

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

2 3 2

P( x 1) x P( x 1) x 3 x x 1 P( 2 ) 4

− + ⋅ + = + + +

=

6.

P(3x – 6) = x²– 5x + 8

olduðuna göre, P(x + 12) polinomunun sabit terimi kaçtýr?

E

A) 5 B) 8 C) 9 D) 10 E) 14

(15)

19.

P(x) = x⁴+ x²+ mx + n

polinomu (x – 2)² ile tam olarak bölünebildi- ðine göre, m kaçtýr?

A

A) –36 B) –15 C) –14 D) 0 E) 1

20.

P(x, y) = (2x – y)⁴+ (2x – y)³+ 2x – y + 3 polinomunun (2x – y) ile bölündüðünde elde edilen kalan kaçtýr?

D

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

18.

Bir polinomun x²+ 3x + 2 ile bölümünden kalan 5x + 12 dir.

Buna göre, bu polinomun x + 2 ile bölünme- siyle elde edilen kalan kaçtýr?

D

A) –4 B) –2 C) 0 D) 2 E) 4

21.

polinomunun çarpanlarýndan biri x + 4 tür.

Buna göre, m kaçtýr?

B

A) –3 B) –2 C) 0 D) 1 E) 2

204 203 2

P(x) x= +4x +mx +32

22.

polinomu (x + 1)² ile tam bölünebiliyor.

Buna göre, a – 2b kaçtýr?

A

A) –4 B) –3 C) 0 D) 1 E) 4

4 3 2

P( x ) x= −2 x +x +ax b+

23.

polinomu (x – 3)² ile tam bölünebiliyor.

Buna göre, a kaçtýr?

A

A) –4 B) –2 C) 1 D) 2 E) 4

3 2

P( x ) x= −3 x +ax 12+

C.T. – 1 1-A 2-B 3-C 4-D 5-E 6-E 7-D 8-C 9-C 10-A 11-A 12-C 13-C 14-B 15-A 16-C 17-D 18-D 19-A 20-D 21-B 22-A 23-A 24-A

17.

polinomunun x³+ 1 ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir?

D

A) x² B) 4x – 3 C) 6x + 1

D) 2x + 4 E) 2

6 5 3 2

P( x ) x= +x −4 x +x +2 x 1−

16.

Bir polinomun (x + 2)² ile bölümünden kalan 2x + 3 tür.

Buna göre, bu polinomun x + 2 ile bölünme- siyle elde edilen kalan kaçtýr?

C

A) –4 B) –3 C) –1 D) 0 E) 4

24.

(x – 2) ⋅ P(x) = x³+ x²+ nx – 15 – n eþitliði veriliyor.

Buna göre, P(x) polinomu aþaðýdakilerden hangisidir?

A

A) x²+ 3x + 9 B) x²+ 3x + 3 C) x²+ 3x – 3 D) x²+ 3x – 6

E) x²+ 3x + 6

(16)

C C evaplý evaplý T T ^{est .. 2} ^{est .. 2}

1.

olduðuna göre, x⁴⋅⋅ P³(x) polinomunun dere- cesi kaçtýr?

E

A) 16 B) 18 C) 20 D) 21 E) 22

3 2 2

P( x ) ( x= +x −1)

2.

olduðuna göre, P(x)⋅⋅ Q(x) polinomunun derecesi 12 olduðuna göre, n aþaðýdakiler- den hangisi olamaz?

A

A) 8 B) 7 C) 4 D) 3 E) 0

5 3

n 7

P( x ) x 2 x 3 Q( x ) x 2 x x

= − + +

= − +

3.

olmak üzere, P(x) in polinom olmasý için n nin alabileceði deðerler kaç tanedir?

B

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

5 n n 3 n2

P( x ) x= ⁻ +x ⁺ +x

4.

Her x reel sayýsý için,

olduðuna göre, A + B + C kaçtýr?

B

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

3 2 3 2

Ax +6 x − =8 C( x −2 x + −1) B

5.

C

2 2

2

A) 2x 3x 9 B) 2x 6x 6

C) 2x 3x 12 D) 2x 3x 12

E) 2x 3x 12

− − − −

− − + −

− − −

P( 3 x ) P( 2 x ) 26 x+ = 2 −15 x 24−

6.

olmak üzere, P(x + 1) polinomunun kat sayý- lar toplamý –7 olduðuna göre, P(x – 1) polino- munun sabit terimi kaçtýr?

D

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 P( x )= −x2 −6 x m+

7.

olduðuna göre, P(x) polinomunun sabit teri- mi kaçtýr?

E

A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) 25 P( 5 x 4 ) (10 x 3 )− = − 2

8.

olduðuna göre, P(–x) polinomu aþaðýdakiler- den hangisidir?

B

3 2 2 3

3 2

A) x x B) x x

C) x x D) x x

E) (x 2) (x 2)

+ −

− − −

+ − −

2 3

P( x 2 ) ( x 2 )− + = − +( 2 x )−

(17)

9.

olmak üzere, P(x) polinomunun x – 2 ile bö- lümünden kalan –8 olduðuna göre, m kaç- týr?

A

A) –12 B) –10 C) –8 D) –6 E) –4 P(1 x ) x− = 2−3 x m+

10.

P(x) ve Q(x) polinomlarýnýn x ile bölümünden elde edilen kalan sýrasýyla 3 ve –4 tür.

Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi –x ile tam bölünür?

C

A) P(x) Q(x) B) P(x) Q(x) 7

C) P(x) Q(x) 12 D) P(x) Q(x) 1 E) P(x) Q(x) 12

+ − +

⋅ + + −

⋅ −

11.

a ve b birer reel sayý olmak üzere,

olmak üzere, P(x) polinomunun; x + 1 ile bö- lümünden kalan –27, x – 1 ile bölümünden kalan 125 olduðuna göre, a kaçtýr?

E

A) –4 B) –2 C) 2 D) 3 E) 4 P( x ) ( ax b )= − 3

13.

olduðuna göre, P(x) polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr?

A

A) 17 B) 15 3− − C) 12 D) 6 3− − E) 6 x3 ++ 3

9 6 3

P( x )= 3 x⋅ −2 x + 3 x⋅ +1

12.

P(x) polinomunun; x – 3 ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x), kalan –5 tir. Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 1 dir.

Buna göre, P(x) in x²– 4x + 3 ile bölümün- den kalan aþaðýdakilerden hangisidir?

A

A) x – 8 B) x – 6 C) x – 2 D) x + 2 E) x + 4

14.

olmak üzere, P(3x) polinomu x²– 9 ile tam bölündüðüne göre, m kaçtýr?

C

1 2 1 1 1

A) B) C) D) E)

2 3 3 2 6

− − −

P( x )= −mx2+nx 27−

15.

eþitliðinde P(x) bir polinom olduðuna göre, P(x) in x + 1 ile bölümünden kalan kaçtýr?

D

A) 4 B) 7 C) 9 D) 11 E) 12

2 4 2

( x + ⋅1) P( x )= −x +ax +12

16.

Üçüncü dereceden bir P(x) polinomu x³– x + 6 ile tam bölünüyor.

P(x) in; sabit terimi –18 olduðuna göre, kat sayýlar toplamý kaçtýr?

A

A) –18 B) –15 C) –12 D) 6 E) 8

17.

P(x – 1) polinomunun (x + 3)² ile bölümünden kalan mx – 3 tür.

P(x) polinomunun; x + 4 ile bölümünden ka- lan 12 olduðuna göre, m kaçtýr?

B

A) –6 B) –5 C) –3 D) 4 E) 5

C.T. – 2 ^1-E ^2-A ^3-B ^4-B ^5-C ^6-D ^7-E ^8-B ^9-A ^10-C ^11-E ^12-A ^13-A ^14-C ^15-D ^16-A ^17-B

Matematik Polinomlar

Matematik