TEKRARLI PERMÜTASYON. Uyarı. Örnek. Örnek. Çözüm

(1)

TEKRARLI PERMÜTASYON

n tane eleman içerisinden ; n₁ tanesi 1. çeşit ve özdeş, n₂ tanesi 2. çeşit ve özdeş, n₃ tanesi 3. çeşit ve özdeş, ...

...

n_r tanesi r. çeşit ve özdeş olmak üzere;

bu n eleman bir sıra üzerinde

! n

!...

n

!.

n

!.

n

! n

r 3 2 1

farklı sıralanabilir.

Örnek

ATA kelimesinin harflerinin yerlerini değiştirerek yazılabilecek anlamlı anlamsız kelimelerin sayısını bulalım;

A,T,A harflerinin birbirinden farklı olduğunu kabul ederek A₁,T,A₂şeklinde gösterelim.

Bütün harfler birbirinden farklı olsaydı aşağıdaki gibi 3!=6 tane farklı kelime yazılabilecekti.

Tekrarlı olan A harfinden dolayı 6 farklı kelime oluşmamaktadır.

Tekrarlı olan A harfi 2 tane olduğu için 2! farklı durum meydana gelmesini engeller.

3 farklı eleman kendi aralarında 3! kadar yer değiştirebilir fakat bunlardan 2 tanesi aynı olduğundan 2! kadar yer değişikliği farklı durum

Tüm durumdan istenmeyen durum sayısı bölme ile atılabileceğinden 3!/2!=3 farklı kelime yazılabilir.

A₁TA₂→ATA A₂TA₁→ATA A1A2T →AAT A₂A₁T →AAT TA₁A₂→TAA TA2A1→TAA

Uyarı

Bir sıraya dizilmiş n farklı eleman kendi aralarında yer değiştirerek n! farklı sıralanış meydana

getirirler.

Örnek

BURAK kelimesinin harfleri yer değiştirerek kaç farklı anlamlı anlamsız kelime oluşturulabilir?

Çözüm

e tan

! 5

BURAK

BURAK kelimesindeki 5 harf kendi aralarında 5!=120 farklı yer değiştirebilir.

Sanki hepsi farklı

Tekrarlılar 3

! 2 3 =!

=

3 farklı kelime ATA, AAT, TAA dır.

(2)

Örnek

ATATÜRK kelimesinin harfleri yer değiştirerek anlamlı anlamsız kaç farklı kelime oluşturulabilir?

Çözüm

! 2

!.

2

! 7

ATATÜRK → 210 farklı kelime oluşturulabilir.

Örnek

ATATÜRK kelimesinin harfleri kullanılarak A ile başlayıp K ile biten yedi harfli kaç kelime yazılabilir?

Çözüm

A

! 2

! 5

TATÜR K → 60 farklı kelime yazılabilir.

(sadece TATÜR kelimesindeki harflerin yer değiştirmesi yeterlidir.)

ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER

1. MATEMATIK kelimesinin harfleri kullanılarak dokuz harfli anlamlı anlamsız birbirinden farklı kelimeler yazılacaktır.

a) Kaç kelime yazılabilir?

b) M ile başlayıp K ile biten kaç kelime yazılabilir?

c) M ile başlamayan kaç kelime yazılabilir?

d) İki M harfi yan yana olmak üzere kaç farklı kelime yazılabilir?

2. 7552233333 sayısının rakamları yer değiştirerek on basamaklı birbirinden farklı sayılar yazılacaktır.

a) 3 ile başlayıp 7 ile biten kaç sayı yazılabilir?

b) 573 ile başlayan kaç tane çift sayı yazılabilir?

(3)

c) 5 ile bölünebilen kaç tane sayı yazılabilir?

d) 2 lerin yan yana olduğu kaç tane sayı yazılabilir?

3. 22233330 sayısının rakamlarının yerleri

değiştirilerek sekiz basamaklı birbirinden farklı sayılar yazılacaktır.

a) Kaç sayı yazılabilir?

b) Kaç çift sayı yazılabilir?

4. 3330054 sayısının rakamları yer değiştirerek birbirinden farklı yedi basamaklı kaç tane çift sayı yazılabilir?

5.

Özdeş karelerden oluşan yukarıdaki şekil bir iş merkezinin koridorlarını göstermektedir. G kapısından girip, Ç kapısından çıkmak isteyen birinin yalnız batı ve kuzey istikametinde yürümek koşuluyla kaç farklı seçeneği vardır?

6. Aşağıdaki grafik bir şehirdeki caddelerin krokisini göstermektedir. Yalnız doğu ve kuzey istikametinde yürünerek O dan A ya gidilecektir.

G

Ç

Kuzey

Batı

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Doğu Kuzey

1 2 3 4

5 A

D

B C

(4)

b) B den geçmek şartıyla kaç farklı şekilde gidebilir?

c) B ile C arasındaki yolu kullanmadan kaç farklı gidebilir?

d) B veya C den geçmek şartıyla kaç farklı gidebilir?

e) B ve D den geçmek şartıyla kaç farklı gidebilir?

ÇÖZÜMLER

1. a)

! 2

!.

2

!.

2

! 9

MATEMATIK → 45360 tane

b) M

! 2

!.

2

! 7

ATEMATI K → 1260 tane

2. yol

c)

! 2

!.

2

!.

2

! 9

MATEMATIK durum sayısından M

! 2

!.

2

! 8

ATEMATIK atılır.

! 2

!.

2

! 8

! 2

!.

2

!.

2

!

9 −

=45360-10080

=35280 tanedir.

d)

! 2

!.

2

! 8

MMATEATIK → Birbirinden ayrılmayacak MM tek harf düşünülür.

2.7.6.5.4.3.2.1

M1M2 K

2!.2!.2!

MM AA TT

Sanki hepsi farklı

Tekrarlılar

! 2

!.

2

!.

2

! 7 .

2

=1260 tane

M

(5)

2. a) 3

! 4

!.

2

!.

2

! 8

55223333 7 →420 tane

b) 573

! 4

! 6

533332 2 → 30 tane

c)

! 5

!.

2

! 9

722333335 5→ 1512 tane

d)

! 5

!.

2

! 9

2275533333 →1512 tane

3. a) Sıfırın da başa gelebileceği tüm durumdan, sadece sıfırın başta bulunduğu sayılar atılır.

2

Tüm durum – istenmeyen durum

! 4

!.

3

! 8

22233330 0

! 4

!.

3

! 7

2223333

=245 tane

b) 0 veya 2 ile bitmeli;

0 ile bitenlerin sayısı + 2 ile bitenlerin sayısı (x__0) (2__2) veya (3__2)

! 4

!.

3

! 7

2223333 0 + 2

! 4

! 6

233330 2 + 3

! 3

!.

2

! 6

333022 2

=125 tane

4. (3__4) veya (5__4) veya (3__0) veya (5__0) veya (4__0) durum dikkate alınırsa;

! 140 3 51

! 3

! 5

! 2

! 5

! 3

!.

2

! 5

! 2

!.

2

!

5 + + + + = tane

(6)

5. Yalnız batı ve kuzey istikametinde yürüyeceği için, hangi yolu kullanırsa kullansın 5 birim batı, 3 birim kuzey istika-metinde yürümesi gerekir.

Şekil üzerinde BBKBKKBB biçiminde örnek bir yol verilmiştir. Diğer yollar da 5 tane B ile 3 tane G harfinin yerlerinin değiştirilebileceği kadar olacağından;

! 280 3

!.

5

!

8 =

6.

G

Ç

Kuzey

Batı

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Doğu Kuzey

1 2 3 4

5 A

D

B C

a) O → A (5K,8D) : 1287

! 8

!.

5

! 13 =

b) O → B (2K,3D) →A (3K,5D) : 560

! 5

!.

3

! . 8

! 3

!.

2

!

5 =

c) Tüm durum – İstenmeyen durum (O → A) ( O→B→C→A)

! 1077 5

!.

2

! . 7

! 3

!.

2

! 5

! 8

!.

5

!

13 − =

d) B veya C den geçmek ≡ B∪C s(B∪C) = s(B) + s(C) - s(B∩C)

= 



 



−



 

 +



 





! 5

!.

2

! . 7

! 3

!.

2

! 5

!.

2

! . 7

! 3

!.

3

! 6

! 5

!.

3

! . 8

! 3

!.

2

! 5

=560+420-210

=770

e) B ve D den geçmek ≡ B∩D ⇒ O→B→D→A

! 300 1

!.

2

! . 3

! 3

!.

2

! . 5

! 3

!.

2

!

5 =