Kutupsal Koordinatlarda Alan ve Yay Uzunlu˘ gu Hesabı
Bu b¨ ol¨ umde denklemleri kutupsal koordinat sisteminde verilen e˘ grilerle sınırlandırılmı¸s b¨ olgelerin alanlarını kartezyen koordinat sistemine ge¸ cmeden direkt olarak kutupsal koordi- natlarda ¸ calı¸sarak hesaplamayı inceleyece˘ giz. Ayrıca e˘ grilerin kutupsal koordinat sisteminde yay uzunluklarının hesaplanması ¨ uzerinde de duraca˘ gız.
6.1 Kutupsal Koordinatlarda Alan Hesabı
Kutupsal koordinatlarda r = f (α) ile tanımlı f fonksiyonu s¨ urekli olsun. Denklemi r = f (α) olan e˘ gri, α = a ve α = b do˘ gruları tarafından sınırlanan b¨ olgenin alanını A ile g¨ osterelim. A alanına yakla¸smak i¸cin [a, b] aralı˘ gının ∆α = b − a
n e¸sit uzunlu˘ gundaki n tane alt aralı˘ gından olu¸san a = α 0 < α 1 < α 2 < · · · < α n = b par¸ calanmasını alalım. i = 1, 2, . . . , n i¸cin i. alt aralık olan [α i−1 , α i ] aralı˘ gında bir α ∗ i noktası se¸ celim. Ayrıca α = α i−1 ve α = α i do˘ gruları ile r = f (α) e˘ grisi tarafından sınırlanan daire diliminin alanını ∆A i ile g¨ osterelim. ∆α nın k¨ u¸c¨ uk de˘ gerleri i¸cin ∆A i alanı r i ∗ = f (α ∗ i ) yarı¸ caplı ve α = α i−1 ile α = α i do˘ grularıyla sınırlı dairesel dilimin alanına yakla¸sık olarak e¸sittir. Dolayısıyla
∆A i ≈ 1
2 r ∗ i 2 ∆α = 1
2 f (α ∗ i ) 2 ∆α
yazabiliriz. i = 1, 2, . . . , n i¸ cin s¨ oz konusu dilimlerin alanlarını toplayarak
A =
n
X
i=1
∆A i ≈
n
X
i=1
1
2 f (α ∗ i ) 2 ∆α
olur. Burada
n
P
i=1
1
2 f (α ∗ i ) 2 ∆α toplamı Z b
a
1
2 f (α) 2 dα integrali i¸ cin bir Riemann toplamıdır.
f fonksiyonu s¨ urekli oldu˘ gundan bu integralin de˘ geri ∆α → 0 iken ¨ onceki toplamın limitidir.
1
2 B¨ ol¨ um 6. Kutupsal Koordinatlarda Alan ve Yay Uzunlu˘ gu Hesabı B¨ oylece
A = Z b
a
1
2 f (α) 2 dα e¸sitli˘ gini elde ederiz.
Ornek 6.1.1 ¨ Kutupsal koordinat sisteminde r = 1 + cos α denklemi ile verilen e˘ grinin sınırladı˘ gı b¨ olgenin alanını bulalım. S¨ oz konusu alan a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde g¨ or¨ ulmektedir.
Hesaplanacak alanı A ile g¨ osterirsek
A =
Z 2π 0
1 2 r 2 dα
= 1
2 Z 2π
0
(1 + cos α) 2 dα
= 1
2 Z 2π
0
(1 + 2 cos α + cos 2 α) dα
= 1
2 Z 2π
0
(1 + 2 cos α + 1 + cos 2α 2 ) dα
= 1
2 3
2 α + 2 sin α + 1
4 sin(2α)
2π 0
= 3
2 π
olarak bulunur. N
6.1.1 Kutupsal koordinatlarda e˘ griler arasındaki alan hesabı
Kutupsal koordinatlarda r = f (α) ve r = g(α) ile tanımlı f ve g fonksiyonları s¨ urekli olsun. Denklemleri sırasıyla r = f (α) ve r = g(α) olan e˘ griler, α = a ve α = b do˘ gruları tarafından sınırlanan b¨ olgenin alanını A ile g¨ osterelim. Ayrıca a ≤ α ≤ b i¸ cin g(α) ≤ f (α) oldu˘ gunu kabul edelim. A alanını i¸ c e˘ gri ile sınırlı alanı, dı¸s e˘ gri ile sınırlı alandan ¸ cıkararak bulabiliriz. B¨ oylece
A = Z b
a
1
2 f (α) 2 dα − Z b
a
1
2 g(α) 2 dα e¸sitli˘ gini elde ederiz. Dolayısıyla
A = 1 2
Z b a
f (α) 2 − g(α) 2 dα olur.
Ornek 6.1.2 ¨ Kutupsal koordinatlarda r = 2 ¸ cemberinin i¸ cinde ve r = 3 + 2 sin α e˘ grisinin dı¸sında kalan b¨ olgenin alanını bulalım. Bu alan a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde taralı olarak g¨ or¨ ulmektedir.
S¨ oz konusu alanı A ile g¨ osterelim. ¨ Oncelikle denklemleri verilen iki e˘ grinin kesim noktalarını belirleyelim. 3 + 2 sin α = 2 e¸sitli˘ ginden sin α = − 1
2 elde edilir. Bu sebeple α = 7π 6 veya α = 11π
6 olur. Alanı sınırlayan e˘ grilerden dı¸sarıda olanı r = 2 ve i¸ ceride olanı 3 + 2 sin α oldu˘ gundan
A = 1 2
Z
11π6
7π 6
