¸ seklinde yaz¬labilir. ¸ Simdi ise pay¬n¬n derecesi paydas¬ndan küçük olan K(x) Q(x) ras- yonel fonksiyonunun integrali b

4. Basit Kesirlere Ay¬rma Yöntemi Z P (x)

Q(x) dx integrali hesaplan¬rken, P (x) ve Q(x) iki polinom olmak üzere P (x) poli- nomunun derecesi Q(x) polinomunun derecesinden büyük ise

P (x)

Q(x) = R(x) + K(x) Q(x)

¸ seklinde yaz¬labilir. ¸ Simdi ise pay¬n¬n derecesi paydas¬ndan küçük olan K(x) Q(x) ras- yonel fonksiyonunun integrali b

4ac < 0 ve n > 1 olmak üzere basit kesir denilen

A

ax + b ; B

(ax + b)

; Ax + B

ax

+ bx + c ; Ax + B (ax

+ bx + c)

biçimindeki integrallerin toplam¬ ¸ seklinde yaz¬larak daha kolay hesaplan¬r.Örnek 3.

Z x + 4

x

+ x dx integralini hesaplayal¬m. Öncelikle rasyonel ifadeyi basit kesirlerine ay¬ral¬m.

x + 4

x

+ x = x + 4

x(x + 1) = A

x + B

x + 1 = ) x + 4 = A(x + 1) + Bx

oldu¼ gundan x = 0 için A = 4 ve x = 1 için B = 3 bulunur. A ve B sabit say¬lar¬

integralde yerine yaz¬l¬rsa Z x + 4

x

+ x dx = 4 Z 1

x dx 3

Z 1

x + 1 dx = 4 ln jxj 3 ln jx + 1j + c elde edilir.

Örnek 4.

Z x

(x 1) (x + 1)

dx integralini hesaplayal¬m. Öncelikle rasyonel ifadeyi basit kesirlerine ay¬ral¬m.

x

(x 1) (x + 1)

= A

x 1 + B

x + 1 + C (x + 1)

e¸ sitli¼ ginde payda e¸ sitlendikten sonra A = 1

4 ; B = 1

4 ve C = 1

2 olarak bulunur.

1

A; B ve C sabitleri integralde yerine yaz¬l¬rsa

Z x

(x 1) (x + 1)

dx = 1 4

Z 1

x 1 dx 1 4

Z 1

x + 1 dx + 1 2

Z 1

(x + 1)

dx

= 1

4 ln jx 1 j 1

4 ln jx + 1j 1

2(x + 1) + c elde edilir.

5. Trigonometrik · Integraller

Integrant¬trigonometrik fonksiyonlar¬n cebirsel kombinasyonu olan integrallerdir. ·

a) a ve b reel say¬olmak üzere, Z

sin ax sin bxdx;

Z

sin ax cos bxdx;

Z

cos ax cos bxdx;

tipindeki integraller:

sin ax sin bx = 1

2 [cos(a b)x cos(a + b)x]

sin ax cos bx = 1

2 [sin(a + b)x + sin(a b)x]

cos ax cos bx = 1

2 [cos(a + b)x + cos(a b)x]

formülleri kullan¬larak hesaplan¬r.

b) m ve n pozitif tam say¬lar olmak üzere Z

sin

x cos

xdx

tipindeki integralleri hesaplamak için m tek say¬ise t = cos x; n tek say¬ise t = sin x de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi yap¬l¬r.

2

E¼ ger, m ve n say¬lar¬çift ise

cos

x = 1

2 (1 + cos 2x) , sin

x = 1

2 (1 cos 2x) özde¸ slikleri yard¬m¬yla kuvvetler azalt¬l¬r.

c) m ve n pozitif tam say¬lar olmak üzere Z

tan

x sec

xdx

tipindeki integraller m tek say¬ ise t = sec x, n çift say¬ ise t = tan x de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi yap¬larak hesaplan¬r.

Ayr¬ca Z

cot

x csc

xdx tipindeki integraller de benzer ¸ sekilde hesaplan¬r.

Örnek 5. A¸ sa¼ g¬da verilen integralleri hesaplay¬n¬z.

a) Z

sin 7x sin 3xdx integralini hesaplamak için

sin 7x sin 3x = 1

2 [cos 4x cos 10x]

e¸ sitli¼ ginden yararlan¬l¬r. Böylece, Z

sin 7x sin 3xdx = 1 2 Z

[cos 4x cos 10x] dx

= 1 2

sin 4x 4

sin 10x 10 + c elde edilir.

b) Z

sin

x cos

xdx integralini hesaplamak için cos x = u seçilirse ( sin x) dx = du

3

oldu¼ gundan Z

sin

x cos

xdx = Z

sin x sin

x cos

xdx

= Z

sin x(1 cos

x) cos

xdx

= Z

1 u

u

du

= Z

u

u

du

= u

5 + u

7 + c

= cos

x

5 + cos

x

7 + c

bulunur.

c) Z

cos

xdx integralini hesaplamak için indirgeme formülü kullan¬labilir ya da

cos

x = 1

2 (1 + cos 2x) e¸ sitli¼ ginden yararlan¬larak

Z

cos

xdx = 1 2 Z

(1 + cos 2x) dx = 1

2 x + sin 2x

2 + c

elde edilir.

4