Hölder uzayında yakınsaklık özellikleri

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ

HÖLDER UZAYINDA YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ

BAŞAR YILMAZ

ŞUBAT 2006

ÖZET

HÖLDER UZAYINDA YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ

YILMAZ, Başar Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı,Yüksek Lisans Tezi Danışman : Yrd.Doç.Dr.Ali OLGUN

Şubat 2006, 75 Sayfa

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş için ayrılmıştır. İkinci bölümde temel kavramlar ve yaklaşım teoremleri verilmiştir. Üçüncü bölümde Hölder Uzaylarında, Picard, Poisson-Cauchy ve Gauss Weierstrass singüler integralleri için yaklaşım teoremleri verilmiş ve Genelleştirilmiş Gauss Weierstrass integralleri yardımıyla Lip ve Lipα ( pα, ) sınıflarına ait olan fonksiyon sınıfının yaklaşım hızı belirlenmiştir. Dördüncü bölüm ise tartışma ve sonuç için ayrılmıştır.

Anahtar Kelimeler :Hölder Uzayı, Yaklaşım, Süreklik Modülü, Singüler Integral, Lipschitz sınıfı

ABSTRACT

APPROXIMATION PROPERTIES ON HÖLDER SPACE

YILMAZ, Başar Kırıkkale University

Graduate School Of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics, M. Sc. Thesis

Supervisor : Asst.Prof.Dr.Ali OLGUN FEBRUARY 2006, 75 pages

This thesis contains four chapters.First chapter is devoted to introduction. In the second chapter, some fundamental concepts and approxmation theorems are given.

In the third chapter approxmation theorem for Picard, Poisson-Cauchy and Gauss Weierstrass singular integrals in Hölder space are discussed, and also the approxmation rate of the class of functions belonging to Lip and )α lip α( p, are found by means of the Generalized Gauss Weierstrass Singuler Integrals.

Key Words : Hölder space, Approximations, Modulus of Continuity, Singular Integral, Lipcshitz class

TEŞEKKÜR

Bu çalışma konusunu bana vererek, çalışmalarım boyunca yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyen değerli hocalarım Sayın Yrd.Doç.Dr.Ali OLGUN’a ve Sayın Yrd.Doç.Dr.Ali ARAL’a en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca katkılarından dolayı Kırıkkale Üniversitesi Matematik bölümü akademik personeline şükranlarımı sunarım.

İÇİNDEKİLER

ÖZET………...i

ABSTRACT………ii

TEŞEKKÜR………ii

İÇİNDEKİLER………...…iv

1. GİRİŞ……….………..1

1.1. Kaynak Özetleri………...……….…1

1.2. Çalışmanın Amacı……….2

2. MATERYAL VE YÖNTEM 2.1. L_P Uzayları……….……….3

2.2. Lineer Pozitif Operatörler………5

2.2.1. Deltasal Çekirdekli Konvolüsyon Operatörleri……….7

2.3. Süreklilik Modülü ve Özellikleri………..………..11

2.4. L_P Normunda Yakınsaklık…………...……….…….15

2.5. Lipschitz Sınıfından Fonksiyonlar………..…....21

2.5.1. Lipschitz Sınıfından Fonksiyonların Özellikleri ….………...22

3. ARAŞTIRMA BULGULARI 3.1. Hölder Uzaylarında Bazı Singüler İntegraller………..………..23

3.2 Bir Fonksiyona Genelleştirilmiş Gauss Weierstrass Singüler İntegrali ile Yaklaşım Hızı………...58

4. TARTIŞMA VE SONUÇ……….………73

KAYNAKLAR..……….74

1.GİRİŞ

Yaklaşımlar teorisi fonksiyonlar teorisinin en önemli alanlarından birisidir. Bu dalda amaç; bir fonksiyon uzayının elemanlarını belirli bir noktada ya da normda, bu uzayın bir alt uzayının veya daha iyi özelliklere sahip bir uzayın elemanlarından oluşturulmuş dizilerin limiti şeklindeki bir gösterimini bulmaktır. Bu şekildeki diziler verilen uzayın elemanlarını yaklaştırır veya bu elemanlarla yaklaşır denir. Fakat bu durumda yaklaşım dizisinin elemanlarının iyi özellikleri olması gerekir. Çünkü amaç, kötü özelliklere sahip elemanları iyi özelliklere sahip elemanlarla yaklaştırmaktır. Bu tür iyi özellikleri olan elemanlara örnek olarak cebirsel polinomları, trigonometrik polinomları, tam fonksiyonları gösterebiliriz. Bu ve benzeri elemanlar yaklaşım probleminin çözümünde yer alabilirler. Fakat genelde fonksiyonları yaklaştıran en basit yapılar lineer pozitif operatörlerin yardımıyla tanımlanabildiğinden son kırk yıldır, yaklaşımlar teorisindeki çalışmalar lineer pozitif operatörler için yoğunlaşmıştır. Bu operatörler pozitif fonksiyonları pozitif fonksiyonlara dönüştürdüklerinden dolayı pozitif operatörler için önemli eşitsizlikler ispatlamaya imkan verir.

1.2 Kaynak özetleri

Bu tez hazırlanırken materyal ve yöntem kısmında H.Hilmi Hacısalihoğlu ve Akif Hacıyev’in “Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin Yakınsaklığı” kitabından ve Akif Hacıyev’in “Deltasal Çekirdekli İntegral Operatör Ailesi ve Yaklaşım Teorisi”

adlı lisans üstü ders notlarından yararlanılmıştır. Daha sonra B.Fırlej ve

L.Rempulska’nın “On Same Singular Integrals İn Spaces” adlı makalesinde [3] ve [4] te verilen notasyonları kullanarak Picard, Poisson-Cauchy ve Gauss-Weierstrass singüler integralleri için yakınsama problemleri Genelleştirilmiş Hölder uzayında incelenmiştir.

Son olarak da A Khan ve S.Umar’ın “On The Order Of Appoximation To A Function By Generalized Gauss Weierstrass Singüler Integrals” adlı makalesinden yararlanarak genelleştirilmiş Gauss Weierstrass singüler integralleri yardımıyla Hardy ve Littlewood tarafından tanımlanan Lip(α) ve Lip( pα, ) sınıflarına ait olan fonksiyonları içeren bir fonksiyon sınıfının yaklaşım hızı belirlenmiştir

1.3 Çalışmanın Amacı

Lineer Pozitif operatörlerin özel bir hali olan bazı singüler integral operatör ailelerinin farklı normlarda yakınsamaları incelenmiş ve Genelleştirilmiş Gauss Weierstrass integral operatörünün yaklaşım hızı verilmiştir.

2. MATERYAL VE YÖNTEM

2.1 L Uzayları _p

Tanım 2.1.1 : N boş olmayan bir cümle ve R , reel sayılar cismi olsun. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa N ye R üzerinde lineer uzay veya vektör uzayı denir.

)

(i N,+ işlemine göre değişmeli gruptur. Yani, A1) Her x,y∈N için x+ y∈N dir.

A2) Her x,y,z∈N için x+(y+z)=(x+y)+z dir.

A3) Her x∈N için x+θ =θ+x=x olacak şekilde θ∈N vardır.

A4) Her x∈N için x+(−x)=(−x)+x=θ olacak şekilde −x∈N vardır.

A5) Her x,y∈N için x+ y= y+x dir.

)

(ii x,y∈N ve α,β∈R olmak üzere aşağıdaki şartlar sağlanır.

B1) αx∈N dir.

B2) α(x+ )y =αx+αy dir.

B3) (α+ )β x=αx+ βx dir.

B4) (αβ)x=α(βx) dir.

B5) 1x=x dir.Burada 1, R nin birim elamanıdır.

Yukarıdaki B3 şartıntaki + sembolü birinci tarafta R deki toplamayı; ikinci tarafta ise N deki toplamayı belirtmektedir. B4 deki çarpma işlemleride aynı anlamdadır.

Tanıma dikkat edilirse lineer uzay, N cümlesi ve sırasıyla )(i ve )(ii şartlarını sağlayan toplama ve skalerle çarpma dönüşümlerinden ibarettir.

Tanım 2.1.2: N, bir lineer uzay olsun. :N →R fonksiyonun x deki değerini x ile gösterelim. Bu fonksiyon için

0 ) x ≥ i

0 0

) x = ⇔ x= ii

)

iii αx = α x y x y x

iv) + ≤ +

şartları sağlanıyorsa fonksiyonuna N üzerinde norm denir. Eğer bir Lineer uzay üzerinde norm tanımlanmışsa bu uzaya normlu uzay denir.

Tanım 2.1.3: Bir L_p uzayının elemanları olan ölçülebilir fonksiyonların modülleri;

≥1

p olmak üzere p inci mertebeden Lebesque anlamında integrallenebilen − fonksiyonlardır. Eğer integrallenme bölgesi bir (a,b) aralığı olursa (tüm reel eksende olabilir) L_p de olan fonksiyonlar için

∫

^{b <∞}

a

pdx x f( )

olur. Bu uzaylarda

∞

⎟⎟ <

⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

∫

^{b p}

a

p

p f x dx

f

1

) (

şeklinde bir norm tanımlarsak L_p normlu uzay olur.

f,g∈L_p için

p p

p f g

g

f + ≤ +

eşitsizliğine Minkowsky Eşitsizliği denir.

D₁ ve D₂ tüm reel eksenler veya onların bir alt kümesi olmak üzere

∫ ∫

∫ ∫

_⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟ ≤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

2 1 1 2

1 1

) , ( ) ( )

, ( ) (

D

p D

p p

D

p D

dy dx

y x K y f dx

dy y x K y f

eşitsizliğine Genelleştirilmiş Minkowsky eşitsizliği denir.

Tanım 2.1.4 : f ∈L_p olmak üzere

p p

L f t f x t f x dx

W p

1

) ) ( ) ( ( sup ) ,

( ^∞

∫

∞

≤ − + −

= δ

δ

integraline f in L_p-süreklilik modulü denir.

2.2. Lineer Pozitif Operatörler

X ve Y iki fonksiyon uzayı olsun. Eğer X den alınan herhangi bir f fonksiyonuna Y de bir g fonksiyonu karşılık getiren bir L kuralı varsa bu durumda

X uzayında bir operatör tanımlanmış olur ve )

; ( )

(x L f x

g =

biçiminde gösterilir. X uzayı L operatörünün tanım bölgesidir ve X =D(L) ile gösterilir. Bu durumda L(f;x)= g(x), Y uzayının bir elemanı olur ve bu şekildeki

g fonksiyonları kümesine L operatörünün değer kümesi denir. Bu küme de R(L) ile gösterilir.

Tanım 2.2.1: f₁ ve f₂, X uzayında herhangi iki fonksiyon, a ve b keyfi iki reel sayı olmak üzere L operatörü ;

)

; ( )

; ( )

;

(af₁ bf₂ x aL f₁ x bL f₂ x

L + = +

koşulunu gerçekliyorsa L operatörüne lineer operatör denir.

Tanım 2.2.2:X⁺ =

{

f ∈X : f ≥0

}

, Y⁺ =

{

g∈Y :g ≥0

}

fonksiyon sınıflarını tanımlayalım.Eğer X uzayında tanımlanmış L lineer operatörü X⁺ kümesindeki herhangi bir f fonksiyonunu pozitif fonksiyona dönüştürüyorsa o taktirde bu lineer operatöre Lineer Pozitif Operatör denir. f ≥0olduğunda 0L(f;x)≥ dır. Özel olarak 0L(0;x)= olduğu görülür.

Lemma 2.2.1:Lineer pozitif operatörler monotondur.

İspat: Her x için g(x)≥ f(x) ise g(x)− f(x)≥0 dır. L lineer pozitif operatör olduğundan

0 )

; (g− f x ≥ L

L lineer olduğundan 0 )

; ( )

;

(g x −L f x ≥ L

dır. Dolayısıyla

)

; ( )

;

(g x L f x

L ≥

dır. Bu eşitsizlikte lineer pozitif L operatörünün monoton olduğunu gösterir. Ayrıca L operatörün monotonluğundan

f f f ≤ ≤

− ⇒ L(− f ;x)≤L(f;x)≤L( f ;x) ve L nin lineerliğinden

)

; ( )

; ( )

; ( )

; ( )

;

( f x L f x L f x L f x L f x

L ≤ ≤ ⇒ ≤

− yazılabilir.

2.2.1. Deltasal Çekirdekli Konvolüsyon Operatörler

Tanım 2.2.1.1: X ,Dkümesinde (D tüm reel eksen veya onun bir alt kümesi) tanımlı Lebesque anlamında integrallenebilen fonksiyon uzayı olsun. Bu uzaydaki bir operatör

∫

=

D

dt t x K t f f x

L( , ) ( ) ( , ) x∈ , D

şeklinde ifade edilirse bu operatörün yaklaşım özellikleri D×D’de tanımlı K(x,t) fonksiyonunun özelliğine bağlıdır. Bu fonksiyona operatörün çekirdeği denir. Her

) , (x t

K =K(x− olduğunda t)

∫

⁻

D

dt t x K t

f( ) ( )

veya f ve K 2π periyotlu ise

−

∫

−

π

π

dt t x K t

f( ) ( )

şeklindeki operatöre konvolüsyon tipli operatör denir. K çekirdeği integrallenebilir veya türevlenebilir olduğunda

∫

⁻

D

dt t x K t

f( ) ( )

operatörü x in bir fonksiyonu şeklinde düşünülebileceğinden

∫

⁻

=

D

dt t x K t f x

g( ) ( ) ( )

şeklindeki tanımı anlamlıdır. L operatörü λ parametresine bağlanırsa dt

t x K t f f x L

D

) ( ) ( ) , ,

( ^λ =

∫

^λ −

şeklinde gösterilebilir. Eğer yukarıdaki integralin düzgün yakınsaklığı gösterilirse K türevlenebilir olduğunda λ g_λ fonksiyonu da türevlenebilirdir.

Tanım 2.2.1.2:Λ indis kümesi ve λ∈Λolmak üzere, λ₀ bu kümenin yığılma noktası olsun. K_λ(t) fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlarsa K fonksiyonuna deltasal çekirdek denir.

a)K_λ(t) negatif olmayan çift fonksiyondur. Ayrıca, Λ

λ∈

∀ için K_λ(0) sonludur ve =∞

→ (0) lim

0 λ λ

λ K dur.

b) ∀λ∈Λ için ^∞

∫

∞

−

= 1 ) ( dtt

K_λ dir.

c) Her belirli σ sayısı için

0 ) ( sup lim

0

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

→ ≥ K t

t λ

λ σ

λ ve lim ( ) 0

0

∫

=

∞

→ σ

λ λ

λ K t dt

dır.

K_λ(t) deltasal çekirdek olmak üzere lineer L integral operatörü

∫

∞

∞

−

−

= f t K x t dt f

x

L( ,λ; ) ( ) _λ( )

şeklinde tanımlamıştık. O taktirde )

; , (

: f L x f

L → λ operatörü konvolüsyon operatörüdür.

Eğer yukarıdaki tanımda )K_λ(t fonksiyonu 2π periyotlu ise 2π periyotlu deltasal çekirdek denir. Bu fonksiyon (c) şıkkındaki

0 ) ( lim

0

∫

=

∞

→ σ

λ λ

λ K t dt

özelliği hariç diğer tüm özellikleri

[

^−π,π

]

aralığında sağlar.

Örnek 2.2.1.1: dt x t t

f x

f

P

∫

^∞

∞

− + −

= _{2 2}

) ( ) 1 ( )

,

( π ε

ε

ε şeklinde tanımlanan Abel-Poisson

integralinin çekirdeği olan ₂ 1 ₂ )

(x x

A = +

ε π ε

ε ifadesi deltasal çekirdektir.

Gerçekten,

(a) )A_ε(x çekirdeğinin negatif olmayan çift fonksiyon olduğu açıktır.

ε πε ) 1 0

( =

A sonlu ve =∞

→ πε

ε

lim 1

0 dır. Ayrıca x≠0 için lim ( ) 0

0 =

→ A_ε x

ε dır.

(b) ε∈Λ için dx

∫

x

∞

∞

− ² + ²

1 π ε

ε integralinde x ε= u deşişken değiştirmesi yapılırsa,

∫

^∞

∞

− +

= ₂

1 1

u du

π =1

olur.

(c) ₂ 1 ₂

)

(x x

A = +

ε π

ε

ε ifadesininx’ e göre türevi negatif olduğundan azalan bir fonksiyondur. O taktirde x≥σ için supremum değerini x=σ da alır. Dolayısıyla

0 ) ( sup

lim0 ⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

→ ≥ A x

x ε

ε σ olur.

Ayrıca σ >0 olmak üzere

∫

∫

∫

→ ^∞

∞

→

∞

→ =

= +

= +

ε ε σ ε σ

σ

ε ε π ε

ε 0

1 lim 1 lim 1

) (

lim ₂

2 0 0 2

0 du

dx u dx x

x A

Böylece )A_ε(x nın deltasal çekirdek olduğu görülür.

Lemma 2.2.1.1: 1≤ p < ∞ olmak üzere L operatörü sürekli olup_λ L_p(−∞,∞) den )

, (−∞ ∞

Lp ye dönüşüm yapan bir operatördür.

İspat: :

M f

x

L( λ, ; ) _p ≤

sınırlılığı gösterilirse operatörün sürekli olduğu söylenebilir. Bunun için

p p

p L x f dx

f x L

/ 1

)

; , ( )

; ,

( ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

∫

^∞

∞

−

λ λ

p p

dx dt t x K t f

/ 1

) ( )

( ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

= ^∞

∫ ∫

∞

−

∞

∞

− λ

yazılabilir. Genelleştirilmiş Minkowsky eşitsizliğinden

f t K x t dx dt

p p

/ 1

) ( )

( ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

≤

∫ ∫

^∞

∞

−

∞

∞

−

λ

u t

x− = denirse

f x u K u du dt

p p p

/ 1

) ( )

( ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

∫

^∞

∫

∞

−

∞

∞

− λ

K u f x u dt du

p p

/ 1

) ( )

( ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

=

∫ ∫

^∞

∞

−

∞

∞

− λ

f _p ^∞

∫

K u du

∞

−

≤ _λ( )

= f _p

L( λx, ;f) ^p ≤ f ^p<∞ olur. L_p(−∞,∞)→ L_p(−∞,∞) Ve ayrıca

) 1

; , sup (

0

≤

=

→ ≠

p p p

p

L L L f

L f

f x

L L λ

olduğundan L operatörü sınırlı ve süreklidir.

Bundan sonraki lemma ispatsız olarak verilebilir.

Lemma 2.2.1.2: 1≤ p<∞ olmak üzere 2π periyotlu deltasal çekirdekli konvolüsyon operatörü sürekli olup L_p

[

−π,π

]

uzayından L_p

[

−π,π

]

uzayına dönüşüm yapan bir operatördür.

2.3 Süreklilik Modülü ve Özellikleri

Tanım 2.3.1: f(x) ve ^g(x),

[ ]

^a,b de sürekli iki fonksiyon olsun.

) ( ) (

max f x g x d = a x b −

≤

≤

sayısına f ve g fonksiyonları arasındaki uzaklık veya f fonksiyonunun gfonksiyonundan sapması yada sapma miktarı denir.

Tanım 2.3.2: f ,

[ ]

^a,b de tanımlı bir fonksiyon olsun. ^x,y∈

[ ]

^{a,b için x− y ≤δ}

eşitsizliği sağlanacak şekilde δ >0 sayısı için f(x)− f(y) en küçük üst sınırına )

( ) ( ) (

sup δ

δ

W y f x f

y x

=

−

≤

−

dersek, W(δ) değerine f in süreklilik modülü denir. Bazen bu gösterim yerine )

f(δ

W veya W δ( f; ) gösterimleri de kullanılabilir. )W δ( f; ; değişkenler farkının en fazla δ olması durumunda iki fonksiyon değerinin en fazla ne kadar fark edeceğini belirler. W,δ’nın bir fonksiyonu durumundadır ve δ>0 için W δ( f; )negatif olmayan bir fonksiyondur.

Süreklilik modulü için aşağıdaki lemmalar verilebilir.

Lemma 2.3.1:W fonksiyonu monoton artandır.

İspat: 0<δ₁ ≤δ₂ olsun.Bu durumda x− y ≤δ₂ koşulunu sağlayan

( )

x,y sayı çiftlerinin kümesi x− y ≤δ₁ koşulunu sağlayan sayı çiftlerinin kümesinden daha kapsamlıdır. Kümelerdeki supremum kavramını düşünürsek süreklilik modülünün tanımı gereğince W(δ₁; f)≤W(δ₂; f) dır.

Lemma 2.3.2: f fonksiyonu

[ ]

a,b aralığında sürekli bir fonksiyon olsun. Bu taktirde

0 )

; (

lim0 =

→ W δ f

δ

dır.

İspat : f sürekli ise ∀ε>0 için bir η>0 vardır öyleki t− x <η olduğunda

<ε

− ( ) )

(t f x

f dır. Süreklilik modülünde δ< aldığımızda η W( fδ; )<ε olur. O taktirde ∀ε >0 için bir η>0 bulunur öyleki δ < olduğunda η W( fδ; )<εdır. Yani

0 )

; (

lim0 =

→ W δ f

δ

dır.

Lemma 2.3.3: m∈N için )

; ( )

;

(m f mW f

W δ ≤ δ

dir.

İspat :

) ( ) ( sup )

;

(m f f x f y

W

m y x

−

=

≤

− δ

δ

ifadesinde x= y+mh seçilirse

) ( ) (

sup )

;

(m f f y mh f y

W

h

− +

=

≤δ

δ

) ( ) ( ...

) ) 1 ( ( ) ) 1 ( ( ) (

sup f y mh f y m h f y m h f y h f y

h

− + + +

− + +

− +

− +

=

≤δ

∑ [ ]

≤ = + − + −

= ^m

h k

h k y f kh y f

1

) ) 1 ( ( ) (

sup

δ

[ ]

∑

= ≤ + − + −

≤ ^m

k h

h k y f kh y f f

m W

1

) ) 1 ( ( ) (

sup )

; (

δ

δ

ve toplamın içindeki ifade süreklilik modülü ve toplananların sayısı m tane olduğu için

)

; (m f

W δ ≤mW δ( f; ) eşitsizliği elde edilir.

Lemma 2.3.4:λ>0 reel sayısı için )

; ( ) 1 ( )

;

( f W f

W λδ ≤ λ+ δ

dır.

İspat : m, λ nın tam kısmı olsun. O taktirde m≤λ<m+1 olur. W nin monotonluk özelliğinden ve Lemma 2.2.3 den

)

; ) 1 ((

)

;

( f W m f

W λδ ≤ + δ

)

; ) 1

((m f

W + δ ≤(m+1)W(δ; f) ≤(λ+1)W δ( ; f) olur. Dolayısıyla

)

; ( ) 1 ( )

;

( f W f

W λδ ≤ λ+ δ olarak elde edilir.

Lemma 2.3.5: δ sıfıra yakınsayan bir dizi ve _n K _f f ‘e bağlı bir sabit olmak üzere,

n f

n f K

W(δ ; )≥ δ dır.

İspat : 1 ; ) (

)

; 1

( f W f

W _n

n

δ δ

= olarak yazılabilir.

Lemma 2.2.4 den

) 1 ;

( f

W _n

n

δ δ ^{1 ( ; )}

1 W _n f

n

δ ⎟⎟⎠ δ

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

≤

1 ( ; )

f W _n

n

n δ

δ δ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

≤⎛ +

olur. Ayrıca δ yakınsak bir dizi olduğundan _n δ_n +1≤K şeklinde bir K sabiti mevcuttur. O taktirde

)

; ( )

; 1

( KW f

f

W _n

n

δ δ

≤

olur. Eğer

K f

K_f =W(1; ) seçilirse

n f

n f K

W(δ ; )≥ δ yazılabilir.

Lemma 2.3.6: f fonksiyonu

[ ]

a,b aralığında sınırlı ise, her x,y∈

[ ]

a,b için )

; ( )

( )

(x f y W f x y

f − ≤ −

dır.

İspat : Tanım 2.3.2 yi göz önüne alırsak )

( ) ( ) (

sup δ

δ

W y f x f

y x

=

−

≤

− olduğundan

)

; ( ) ( )

(x f y W f

f − ≤ δ

yazılabilir. Lemma 2.3.4 den

)

; (

) ( )

( x y f

W y f x

f δ

δ

≤ −

−

1 x y W( ;f) δ ⎟⎟ δ

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

+

≤

elde edilir.

2.4.L Normunda Yaklaşım _p

D tüm reel eksen veya onun bir alt kümesi olsun. X ise bu D kümesi üzerinde tanımlı fonksiyonlardan oluşan bir lineer normlu uzayı göstersin. Y ⊂ X olacak şekilde X in bir alt uzayı olsun. Her f ∈ için X

0 ) ( ) (

lim − =

∞

→ n x

n f x φ x

olacak şekilde φ_n ∈Y bulunabiliyorsa Y cümlesine X cümlesinin yoğun alt uzayı denir. Yaklaşım teoremlerinde φ nin yapısını belirlemek bu teorinin esas _n amaçlarından biridir.

Yaklaşım teorisinin esas problemlerinden ikincisi ise yaklaşım hızının bulunması problemidir.

X n n x x

f( )−φ ( ) =α ve lim =0

∞

→ n

n α

ifadeleri )φ_n(x nin f(x)’e yaklaşım hızını belirtir. Bu hızı bulmak için α ’i sıfıra _n giden başka bir dizi ile karşılaştırmak gerekir. Yani 0≤α_n ≤ β_n ve lim =0

∞

→ n

n β ise

α ’nin n β ’den daha hızlı sıfıra gittiğini gösterir. Fonksiyon uzaylarında _n β dizisi _n f fonsiyonunun süreklilik modülü ile bağlantılı olarak incelenebilir. Çünkü f in süreklilik modülü W δ( f, ) ifadesi sıfıra yakınsayan bir fonksiyondur.

Teorem 2.4.1: f ,

[ ]

a, kapalı aralığında sürekli bir fonksiyon olduğunda derecesi b n’den büyük olmayan öyle bir P_n(x) polinomlar dizisi vardır ki bu aralığın her noktasında

0 ) ( ) ( max lim ) ( ) (

lim = ≡ − =

≤

∞ ≤

→

∞

→ P x f x P_n x f x

b x n a n n

eşitliğinin sağlanması P_n(x) in f(x)’e düzgün yakınsaklığını gösterir.

Teorem 2.4.2: (Lusin Teoremi) f ∈L_p(a,b) ,p≥1 için

[ ]

a, kapalı aralığında öyle b bir sürekli ϕ fonksiyonu bulabiliriz ki ε yeterine küçük bir sayı olmak üzere

ε φ <

− x

f( ) (x) _p dır.

Bu teoremde L_p’de olan bir fonksiyonu L_p normunda bir P polinomunun _n limiti şeklinde gösterebiliriz. Yani f ∈L_p ise Lusin Teoremi gereğince öyle sürekli bir ϕ fonksiyonu bulabiliriz ki f − _p <ε olur.

Yine φ(x),

[ ]

a, kapalı aralığında sürekli olduğundan bir b P_n(x) polinomlar dizisi vardır ki

[ ]

a, kapalı aralığında b φ(x)’e düzgün yakınsar. Yani

0 ) ( ) ( max

lim − =

≤

≤

∞

→ P_n x x

b x a

n ϕ

dır. Dolayısıyla )P_n(x polinomu f(x)e L_p normunda düzgün yakınsar.

Teorem 2.4.3: Kabul edelim ki K_λ(t), λ∈Λ, deltasal çekirdek ve f ∈L_p(−∞,∞) olsun. Bu durumda,

0 ) ( )

; , ( lim

0

=

→ L x λ f − f x p

λ λ

dır.

İspat :

L x f

∫

f x t K t dt

∫

f x t K t dt

∫

^∞ f x t K t dt

∞

−

∞

∞

−

+ +

+

= +

=

0 0

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

; ,

( λ _{λ λ λ}

toplamındaki ilk integralde değişken değiştirmesi yapılırsa ve nın çift fonksiyon olduğu kullanılırsa,

dt t K t x f t x f f

x

L ⁼

∫

^{∞ − + +}

0

) ( )]

( ) ( [ )

; ,

( λ _λ

olur. Diğer taraftan deltasal çekirdek tanımının b) şıkkından

1 )

( 2 )

( )

( )

(

0

0 0

∫ ∫ ∫ ∫

∞

∞

− −∞

∞ ∞

=

= +

= K t dt K t dt K t dt

dt t

K_{λ λ λ λ}

yazabiliriz. Bu son eşitliğin her iki yanını f(x) ile çarparsak;

∞

∫

=

0

) ( ) ( 2 )

(x f x K t dt

f _λ

olur. O taktirde

) ( ) ( 2 - ) ( )]

( ) ( [ ) ( )

; , (

0

0

∫

∫

^∞

∞ + + −

=

− f x f x t f x t K t dt f x K t dt

f x

L λ _{λ λ}

yazabiliriz. Buradan

) ( )]

( 2 ) ( ) ( [ ) ( )

; , (

∫

0

∞

−

− + +

=

− f x f x t f x t f x K t dt

f x

L λ _λ

) , (−∞ ∞ x∈

olup

p p

p f x t f x t f x K t dt dx

x f f x L

1

0

) ( )]

( 2 ) ( ) ( [ )

( )

; ,

( ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ + + − −

≤

−

∫ ∫

^∞

∞

−

∞

λ λ

yazılabilir. Genelleştirilmiş Minkowsky eşitsizliğinden

dt t K dx x f t x f t x f x

f f x

L( , ; ) ( ) _p ( ) ( ) 2 ( ) ^{p p} ( )

1

0

λ

∫ ∫

^{∞ ∞} λ

∞

− ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + + − −

≤

−

t

t=− K_λ

biçimine dönüşür. Yukarıdaki integralde

[ ]

^{0,∞ aralığı,}

[ ]

^{0,δ ve}

[ ]

^δ,∞ biçiminde ayrılırsa,

dt t K dx x f t x f t x f x

f f x

L( , ; ) ( ) _p ( ) ( ) 2 ( )^{p p} ( )

1

0

λ σ

λ

∫ ∫

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ + + − −

≤

− ^∞

∞

−

dt t K dx x f t x f t x

f( ) ( ) 2 ( )^{p p} ( )

1

λ σ

∫ ∫

^{∞ ∞}

∞

− ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ + + − −

+

x p

f f x

L( ,λ; )− ( ) ≤I₁ +I₂ şeklinde yazılabilir.

p p p p

p p

dx x f t x f dx

x f t x f dx

x f t x f t x f

1 1

1

) ( ) ( )

( ) ( )

( 2 ) ( )

( ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

⎟⎟ ≤

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∫

+ + − −

∫ ∫

^∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

olduğundan her iki tarafın supremumu alınırsa,

) , ( 2 )

( 2 ) ( ) ( sup

1

f W dx

x f t x f t x

f ^{p p} _Lp

t

δ

δ ⎟⎟⎠ ≤

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∫

^∞ + + − −

∞

≤ −

yazabilir. Bu eşitsizliği I₁ integralinde kullanırsak

) , ( 2 ) ( ) , ( 2

0

1 W f K t dt W f

I ≤ _Lp δ ^σ

∫

_λ ≤ _Lp δ elde edilir. I₂ de Minkowsky eşitsizliğinden

p p p p

p p

dx t x f dx

t x f dx

x f t x f t x f

1 1

1

) ( )

( )

( 2 ) ( )

( ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟ ≤

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∫

+ + − −

∫ ∫

^∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

p p

dx x f

1

) ( 2

2 ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝ + ⎛

∫

^∞

∞

− ≤4 f p

yazılabilir. Buna göre,

dt t K f

I₂ ^≤4 _p^∞

∫

( )

σ

λ dir. I₁veI₂ birleştirilirse

dt t K f f W x

f f x

L( , ; )⁻ ( ) _p ^≤2 _Lp( , )⁺4 _p

∫

^∞ ( )

σ

δ λ

λ

eşitsizliği elde edilir.K_λ(t) deltasal çekirdek olduğundan tanım gereğince

0 ) ( lim

0

∫

=

∞

→ K t dt

σ λ λ λ

olduğunu biliyoruz. Her iki tarafın λ→ için limiti alınırsa λ₀ )

, ( 2 ) ( )

; , ( lim

0

f W x

f f x

L λ p Lp δ

λ

λ − ≤

→

olur.

0 ) , (

lim0 =

→ W f

Lp δ

δ

olduğundan, her iki tarafın δ →0 için limiti alındığında 0

) ( )

;

; ( lim

0

=

→ L x λ f − f x p

λ λ

olarak elde edilir.

Teorem 2.4.4: Kabul edelim ki K_λ(t), λ∈Λ, 2π periyotlu deltasal çekirdek ve )

, (−π π

∈L_p

f olsun. Bu durumda

0 ) ( )

; , ( lim ₂

0

=

→ L _π x λ f − f x p

λ λ

dır.

Not : Bu teoremde ⋅ = ⋅ _(−π,π)

Lp

p anlamında kullanılmaktadır.

İspat :

) ( ) ( ) ( )

( )

; ,

2 (

∫

−

− +

≤

−

π

π

λ

π x λ f f x f x t f x K t dt

L

olduğundan

dx dt t K x f t x f x

f f x L

p p

p

1

2 ( , ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

≤

−

∫ ∫

− −

π

π π

π

λ

π λ

olur. Genelleştirilmiş Minkowsky eşitsizliğinden

x p

f f x

L_2π( ,λ; )− ( ) f x t f x ^pK t dx ^pdt

1

) ( ) ( )

∫ ∫

(

− − ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ + −

≤ ^π

π π

π

λ

dt t K dx x f t x

f( ) ( )^{p p} ( )

1

λ π

π π

∫ ∫

π

− − ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ + −

≤

olup Tanım 2.1.4 ve Lemma 2.3.4 den

∫

−

≤

− ^π

π

λ

π x λ f f x W t f K t dt

L₂ ( , ; ) ( ) p Lp( , ) ( )

dt t K t f

W_Lp

−

∫

= ^π

π

λ λ λ

δ δ ^{, ) ( )} (

∫

−

+

≤ ^π

π

λ λ λ

δ ^{1) (}δ ^{, ) ( )}

( t W f K t

Lp

₂ ( , ; ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

≤

−

∫ ∫

−

−

π

π λ π

π λ λ λ

π λ δ δt K t dt K t dt

f W

x f f x

L _{p Lp}

1 ( ) 1

) ,

( ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

=

∫

− π

π λ λ

λ δ

δ f tK t dt

W_Lp

olarak elde edilir.

−

∫

= ^π

π λ

δλ tK (t)dt şeklinde seçersek

^L2π(x,λ^;f)− ^{f(x) p} ≤^2WLp(δ^{λ, f )} olur.

−

∫

→

→ = ^π

π λ λ λ λ λ

λlimδ lim tK (t)dt

0 0

ifadesi için, K_λ(t) çift fonksiyon olduğundan,

∫

→

→ = ^π _λ

λ λ λ λ

λ δ

0

) ( 2 lim lim

0 0

dt t tK

olur. α>0 keyfi sayısı için,

_λ

λ

λ δ

0

lim→ ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

= →

∫ ∫

π

α λ α

λ λ

λlim 2 tK (t)dt 2 tK (t)dt

0 0

∫

∫

→ _≥

−

+

≤ ^π

α α λ λ λ π

π

α Kλ t dt 2lim tsupK t dt 2

t

0

) ( )

(

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

≤ → ≥

→ 2 (2 )lim sup ( )

lim

t

0 0

t K_λ

λ α λ λ

λ

λ δ β π α

olarak yazılabilir.K_λ(t) deltasal çekirdek olduğundan 0

)) ( sup ( lim

0

=

→ ≥ K t

t λ

λ α λ

ve α yı istenildiği kadar küçük seçersek 0

lim

0

→λ λ =

λ δ

olur ki bu δ_λ →0 iken W_Lp(δ_λ, f)→0 olduğunu gösterir ki bu da ispatı tamamlar.

2.5 Lipschitz Sınıfından Fonksiyonlar

Tanım 2.5.1:Bir f fonksiyonu bir < ba, > aralığında tanımlı ve < ba, > ifadesi

[ ]

a,b veya ( ba, ) aralıklarını yada daha özel olarak (a,b],[a,b),(−∞,∞) aralıklarından biri olarak tanımlansın. Her x,y∈< ba, > için 0< α≤1 olmak üzere

xα

y M x f y

f( )− ( ) ≤ − koşulu sağlanıyorsa, bu durumda f fonksiyonuna α mertebeli M katsayılı Lipschitz sınıfındandır denir ve f ∈lip_M^(α) şeklinde gösterilir.

2.5.1 Lipschitz Sınıfından Fonksiyonların Özellikleri

Lemma 2.5.1.1: f ∈lip_M^(α) ise f,< ba, > de düzgün süreklidir.

Lemma 2.5.1.2 : α>1 ise f sabittir.

Lemma 2.5.1.3:< ba, > aralığında bir f fonksiyonu için f′ )(x ≤M olacak şekilde bir f ′(x) fonksiyonu varsa o taktirde f ∈lip⁽_M¹⁾ sınıfındandır.

Lemma 2.5.1.4: < ba, > aralığı sonlu ise α< için β lipβ ⊂lipα dır.

Lemma 2.5.1.5: f ∈lip_M^(α) ve W(δ)≤M.δ^α ifadeleri eşdeğerdir.

3. ARAŞTIRMA BULGULARI

3.1. Hölder Uzayında Bazı Singüler İntegraller

C, IR reel eksen üzerinde sınırlı ve düzgün sürekli olan reel değerli fonksiyonların bir uzayı olsun. Bu uzay üzerinde bir norm

( )

c sup

x R

f f x

∈

= (3.1.1)

şeklinde tanımlanabilir. Gerçekten de

(i) f _c ≥0 dır. Çünkü . :R→R negatif olmayan fonksiyondur.

Dolayısıyla supremumu da negatif olamaz.

(ii) =0⇔sup ( ) =0

∈ f x

f

R c x

⇔∀x∈R, f(x) =0 ⇔∀x∈R, f(x)=0 ⇔ f =0

f _c =0⇔ f =0 dır.

(iii) f sup( f)(x)

R

c x λ

λ

∈

=

sup f(x)

R x

λ

∈

=

sup f(x)

x∈R

= λ

= λ f _c dır.

Dolayısıyla,

λf _c = λ f _c , λ∈R eşitliği sağlanır.

(iv) f g sup(f g)(x)

R

c = x +

+

∈

sup f(x) g(x)

R x

+

=

∈

R R x

x

x g x

f

∈ + ∈

≤sup ( ) sup ( )

= f _c + g _c f +g _c ≤ f _c + g _c

elde edilirki dolayısıyla norm aksiyomları sağlanır.

Verilen bir f∈C için

( )

x f(x h) f(x)

hf = + −

Δ , h∈R (3.1.2) olmak üzere,

) , ( ft

W = _{h c}

t h

f Δ

≤

sup , t >0 (3.1.3)

şeklinde tanımlanan )W( ft, fonksiyonuna süreklilik modülü diyoruz. Ω ile süreklilik modülünün sağladığı koşullarla benzerlik gösteren fonksiyonların bir cümlesini gösterelim. Yani Ω , aşağıdaki koşullara uygun tüm w fonksiyonların bir cümlesi olsun.

a) w,

[

0,∞

)

aralığında tanımlı ve sürekli, b) w, artan ve w(0)=0

c) w(t)t⁻¹, t >0 için azalandır.

Verilen bir w Ω∈ için w ile

( )

^<∞

=

> wh

f ^h f ^c

o w h

sup Δ (3.1.4)

şartını sağlayan tüm f∈C fonksiyonların sınıfını H ile gösterelim ve ^w H ’deki ^w

w c

H f f

f w = + (3.1.5)

ile tanımlayalım.

Ayrıca H da, ^w

→0+

hlim =

) (h w

f _c Δh

0 (3.1.6)

şartını sağlayan f ∈H^w fonksiyonlarının sınıfını göstersin. Bu durumda H normu ^w da (3.1.5) şeklinde tanımlanır. (3.1.5) normu ile birlikte H ve ^w H ye ^w genelleştirilmiş Hölder uzayı denir. Eğer w,μ∈Ω ve

) (

) ) (

( t

t t w

q = μ , t >0 (3.1.7)

fonksiyonu azalmayan ise, o taktirde Hμ

H^w ⊆ ve H^w ⊆ H^μ (3.1.8) dır. Bunları gösterelim.

İlk olarak H^w ⊆H^μ olduğunu gösterelim;

Hw

f ∈ olmak üzere w,μ∈

[ ]

0,a alalım.

) ( sup 1 ) sup ( ) (

) ( ) sup (

0 0

0 h q h

f h

w h h

f f

h h c h h c

w = h> = > >

μ μ Δ

μ Δ

yazılabilir. Dolayısıyla h>0 için ) (

1 h

q fonksiyonu

[ ]

0,a aralığında tanımlıdır. w ,μ fonksiyonları sürekli olduğundan

) (

1 h

q da süreklidir. a R

h

q :[0, ]→ )

(

1 sürekli bir

fonksiyon olduğu için sınırlıdır. Bu fonksiyon supremumunu [0,a aralığında alır. ] Bu da