Süreklilik Modülü ve Özellikleri

2. MATERYAL VE YÖNTEM

2.3. Süreklilik Modülü ve Özellikleri

Tanım 2.3.1: f(x) ve ^g⁽^x^),

[ ]

^a^,^b de sürekli iki fonksiyon olsun.

) ( ) (

max f x g x d = a x b −

≤

sayısına f ve g fonksiyonları arasındaki uzaklık veya f fonksiyonunun gfonksiyonundan sapması yada sapma miktarı denir.

Tanım 2.3.2: f ,

[ ]

^a,^b de tanımlı bir fonksiyon olsun. ^x^,^y^∈

[ ]

^a^,^b ^için ^x^{− y} ^≤^δ

eşitsizliği sağlanacak şekilde δ >0 sayısı için f(x)− f(y) en küçük üst sınırına )

( ) ( ) (

sup δ

W y f x f

y x

−

≤

−

dersek, W(δ) değerine f in süreklilik modülü denir. Bazen bu gösterim yerine )

f(δ

W veya W δ( f; ) gösterimleri de kullanılabilir. )W δ( f; ; değişkenler farkının en fazla δ olması durumunda iki fonksiyon değerinin en fazla ne kadar fark edeceğini belirler. W,δ’nın bir fonksiyonu durumundadır ve δ>0 için W δ( f; )negatif olmayan bir fonksiyondur.

Süreklilik modulü için aşağıdaki lemmalar verilebilir.

Lemma 2.3.1:W fonksiyonu monoton artandır.

İspat: 0<δ₁ ≤δ₂ olsun.Bu durumda x− y ≤δ₂ koşulunu sağlayan

( )

x,y sayı çiftlerinin kümesi x− y ≤δ₁ koşulunu sağlayan sayı çiftlerinin kümesinden daha kapsamlıdır. Kümelerdeki supremum kavramını düşünürsek süreklilik modülünün tanımı gereğince W(δ₁; f)≤W(δ₂; f) dır.

Lemma 2.3.2: f fonksiyonu

[ ]

a,b aralığında sürekli bir fonksiyon olsun. Bu taktirde

0 )

; (

lim0 =

→ W δ f

dır.

İspat : f sürekli ise ∀ε>0 için bir η>0 vardır öyleki t− x <η olduğunda

<ε

− ( ) )

(t f x

f dır. Süreklilik modülünde δ< aldığımızda η W( fδ; )<ε olur. O taktirde ∀ε >0 için bir η>0 bulunur öyleki δ < olduğunda η W( fδ; )<εdır. Yani

0 )

; (

lim0 =

→ W δ f

dır.

Lemma 2.3.3: m∈N için )

; ( )

;

(m f mW f

W δ ≤ δ

dir.

İspat :

) ( ) ( sup )

;

(m f f x f y

m y x

−

≤

− δ

ifadesinde x= y+mh seçilirse

) ( ) (

sup )

;

(m f f y mh f y

− +

≤δ

) ( ) ( ...

) ) 1 ( ( ) ) 1 ( ( ) (

sup f y mh f y m h f y m h f y h f y

− + + +

− + +

− +

≤δ

∑ [ ]

≤ = + − + −

= ^m

h k

h k y f kh y f

) ) 1 ( ( ) (

sup

[ ]

∑

= ≤ + − + −

≤ ^m

k h

h k y f kh y f f

m W

) ) 1 ( ( ) (

sup )

; (

ve toplamın içindeki ifade süreklilik modülü ve toplananların sayısı m tane olduğu için

)

; (m f

W δ ≤mW δ( f; ) eşitsizliği elde edilir.

Lemma 2.3.4:λ>0 reel sayısı için )

; ( ) 1 ( )

;

( f W f

W λδ ≤ λ+ δ

dır.

İspat : m, λ nın tam kısmı olsun. O taktirde m≤λ<m+1 olur. W nin monotonluk özelliğinden ve Lemma 2.2.3 den

)

; ) 1 ((

)

;

( f W m f

W λδ ≤ + δ

)

; ) 1

((m f

W + δ ≤(m+1)W(δ; f) ≤(λ+1)W δ( ; f) olur. Dolayısıyla

)

; ( ) 1 ( )

;

( f W f

W λδ ≤ λ+ δ olarak elde edilir.

Lemma 2.3.5: δ sıfıra yakınsayan bir dizi ve _n K _f f ‘e bağlı bir sabit olmak üzere,

n f

n f K

W(δ ; )≥ δ dır.

İspat : 1 ; ) (

)

; 1

( f W f

W _n

δ δ

= olarak yazılabilir.

Lemma 2.2.4 den

) 1 ;

( f

W _n

δ δ ¹ ⁽ ^; ⁾

1 W _n f

δ ⎟⎟⎠ δ

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

≤

1 ( ; )

f W _n

n δ

δ δ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

≤⎛ +

olur. Ayrıca δ yakınsak bir dizi olduğundan _n δ_n +1≤K şeklinde bir K sabiti mevcuttur. O taktirde

)

; ( )

; 1

( KW f

W _n

δ δ

≤

olur. Eğer

K f

K_f =W(1; ) seçilirse

n f

n f K

W(δ ; )≥ δ yazılabilir.

Lemma 2.3.6: f fonksiyonu

[ ]

a,b aralığında sınırlı ise, her x,y∈

[ ]

a,b için )

; ( )

( )

(x f y W f x y

f − ≤ −

dır.

İspat : Tanım 2.3.2 yi göz önüne alırsak )

( ) ( ) (

sup δ

W y f x f

y x

−

≤

− olduğundan

)

; ( ) ( )

(x f y W f

f − ≤ δ

yazılabilir. Lemma 2.3.4 den

)

; (

) ( )

( x y f

W y f x

f δ

≤ −

−

1 x y W( ;f) δ ⎟⎟ δ

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

≤

elde edilir.

2.4.L Normunda Yaklaşım _p

D tüm reel eksen veya onun bir alt kümesi olsun. X ise bu D kümesi üzerinde tanımlı fonksiyonlardan oluşan bir lineer normlu uzayı göstersin. Y ⊂ X olacak şekilde X in bir alt uzayı olsun. Her f ∈ için X

0 ) ( ) (

lim − =

∞

→ n x

n f x φ x

olacak şekilde φ_n ∈Y bulunabiliyorsa Y cümlesine X cümlesinin yoğun alt uzayı denir. Yaklaşım teoremlerinde φ nin yapısını belirlemek bu teorinin esas _n amaçlarından biridir.

Yaklaşım teorisinin esas problemlerinden ikincisi ise yaklaşım hızının bulunması problemidir.

X n n x x

f( )−φ ( ) =α ve lim =0

∞

→ n

n α

ifadeleri )φ_n(x nin f(x)’e yaklaşım hızını belirtir. Bu hızı bulmak için α ’i sıfıra _n giden başka bir dizi ile karşılaştırmak gerekir. Yani 0≤α_n ≤ β_n ve lim =0

∞

→ n

n β ise

α ’nin n β ’den daha hızlı sıfıra gittiğini gösterir. Fonksiyon uzaylarında _n β dizisi _n f fonsiyonunun süreklilik modülü ile bağlantılı olarak incelenebilir. Çünkü f in süreklilik modülü W δ( f, ) ifadesi sıfıra yakınsayan bir fonksiyondur.

Teorem 2.4.1: f ,

[ ]

a, kapalı aralığında sürekli bir fonksiyon olduğunda derecesi b n’den büyük olmayan öyle bir P_n(x) polinomlar dizisi vardır ki bu aralığın her noktasında

0 ) ( ) ( max lim ) ( ) (

lim = ≡ − =

≤

∞ ≤

→

∞

→ P x f x P_n x f x

b x n a n n

eşitliğinin sağlanması P_n(x) in f(x)’e düzgün yakınsaklığını gösterir.

Teorem 2.4.2: (Lusin Teoremi) f ∈L_p(a,b) ,p≥1 için

[ ]

a, kapalı aralığında öyle b bir sürekli ϕ fonksiyonu bulabiliriz ki ε yeterine küçük bir sayı olmak üzere

ε φ <

− x

f( ) (x) _p dır.

Bu teoremde L_p’de olan bir fonksiyonu L_p normunda bir P polinomunun _n limiti şeklinde gösterebiliriz. Yani f ∈L_p ise Lusin Teoremi gereğince öyle sürekli bir ϕ fonksiyonu bulabiliriz ki f − _p <ε olur.

Yine φ(x),

[ ]

a, kapalı aralığında sürekli olduğundan bir b P_n(x) polinomlar dizisi vardır ki

[ ]

a, kapalı aralığında b φ(x)’e düzgün yakınsar. Yani

0 ) ( ) ( max

lim − =

≤

∞

→ P_n x x

b x a

n ϕ

dır. Dolayısıyla )P_n(x polinomu f(x)e L_p normunda düzgün yakınsar.

Teorem 2.4.3: Kabul edelim ki K_λ(t), λ∈Λ, deltasal çekirdek ve f ∈L_p(−∞,∞) olsun. Bu durumda,

0 ) ( )

; , ( lim

→ L x λ f − f x p

λ λ

dır.

İspat : fonksiyon olduğu kullanılırsa,

olur. Diğer taraftan deltasal çekirdek tanımının b) şıkkından

yazabiliriz. Bu son eşitliğin her iki yanını f(x) ile çarparsak;

∞

∫

yazabiliriz. Buradan

)

yazılabilir. Genelleştirilmiş Minkowsky eşitsizliğinden

biçimine dönüşür. Yukarıdaki integralde

[ ]

⁰^,^∞ ^aralığı,

[ ]

⁰^,^δ ^ve

[ ]

^δ^,^∞ biçiminde ayrılırsa,

dt şeklinde yazılabilir.

p p

olduğundan her iki tarafın supremumu alınırsa,

)

yazabilir. Bu eşitsizliği I₁ integralinde kullanırsak

) elde edilir. I₂ de Minkowsky eşitsizliğinden

p p

yazılabilir. Buna göre,

dt t K f

I₂ ^≤4 _p^∞

∫

( )

λ dir. I₁veI₂ birleştirilirse

dt t K f f W x

f f x

L( , ; )⁻ ( ) _p ^≤2 _L_p( , )⁺4 _p

∫

^∞ ( )

δ λ

eşitsizliği elde edilir.K_λ(t) deltasal çekirdek olduğundan tanım gereğince

0 ) ( lim

∫

∞

→ K t dt

σ λ λ λ

olduğunu biliyoruz. Her iki tarafın λ→ için limiti alınırsa λ₀ )

, ( 2 ) ( )

; , ( lim

f W x

f f x

L λ p Lp δ

λ − ≤

→

olur.

0 ) , (

lim0 =

→ W f

Lp δ

olduğundan, her iki tarafın δ →0 için limiti alındığında 0

) ( )

;

; ( lim

→ L x λ f − f x p

λ λ

olarak elde edilir.

Teorem 2.4.4: Kabul edelim ki K_λ(t), λ∈Λ, 2π periyotlu deltasal çekirdek ve )

, (−π π

∈L_p

f olsun. Bu durumda

0 ) ( )

; , ( lim ₂

→ L _π x λ f − f x p

λ λ

dır.

Not : Bu teoremde ⋅ = ⋅ ₍₋_π_,_π₎

p anlamında kullanılmaktadır.

İspat :

) ( ) ( ) ( )

( )

; ,

2 (

∫

−

− +

≤

−

π x λ f f x f x t f x K t dt

olduğundan

olur. Genelleştirilmiş Minkowsky eşitsizliğinden

x p

olarak elde edilir.

−

∫

−

∫

→

→ = ^π

π λ λ λ λ λ

λlimδ lim tK (t)dt

0 0

ifadesi için, K_λ(t) çift fonksiyon olduğundan,

∫

→

→ = ^π _λ

λ λ λ λ

λ δ

) ( 2 lim lim

0 0

dt t tK

olur. α>0 keyfi sayısı için,

_λ

λ δ

lim→ ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

= →

∫ ∫

α λ α

λ λ

λlim 2 tK (t)dt 2 tK (t)dt

0 0

∫

→ _≥

−

≤ ^π

α α λ λ λ π

α Kλ t dt 2lim tsupK t dt 2

) ( )

(

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

≤ → ≥

→ 2 (2 )lim sup ( )

lim

0 0

t K_λ

λ α λ λ

λ δ β π α

olarak yazılabilir.K_λ(t) deltasal çekirdek olduğundan 0

)) ( sup ( lim

→ ≥ K t

t λ

λ α λ

ve α yı istenildiği kadar küçük seçersek 0

lim

→λ λ =

λ δ

olur ki bu δ_λ →0 iken W_Lp(δ_λ, f)→0 olduğunu gösterir ki bu da ispatı tamamlar.

2.5 Lipschitz Sınıfından Fonksiyonlar

Tanım 2.5.1:Bir f fonksiyonu bir < ba, > aralığında tanımlı ve < ba, > ifadesi

[ ]

a,b veya ( ba, ) aralıklarını yada daha özel olarak (a,b],[a,b),(−∞,∞) aralıklarından biri olarak tanımlansın. Her x,y∈< ba, > için 0< α≤1 olmak üzere

xα

y M x f y

f( )− ( ) ≤ − koşulu sağlanıyorsa, bu durumda f fonksiyonuna α mertebeli M katsayılı Lipschitz sınıfındandır denir ve f ∈lip_M^(α⁾ şeklinde gösterilir.

2.5.1 Lipschitz Sınıfından Fonksiyonların Özellikleri

Lemma 2.5.1.1: f ∈lip_M^(α⁾ ise f,< ba, > de düzgün süreklidir.

Lemma 2.5.1.2 : α>1 ise f sabittir.

Lemma 2.5.1.3:< ba, > aralığında bir f fonksiyonu için f′ )(x ≤M olacak şekilde bir f ′(x) fonksiyonu varsa o taktirde f ∈lip⁽_M¹⁾ sınıfındandır.

Lemma 2.5.1.4: < ba, > aralığı sonlu ise α< için β lipβ ⊂lipα dır.

Lemma 2.5.1.5: f ∈lip_M^(α⁾ ve W(δ)≤M.δ^α ifadeleri eşdeğerdir.

3. ARAŞTIRMA BULGULARI

3.1. Hölder Uzayında Bazı Singüler İntegraller

C, IR reel eksen üzerinde sınırlı ve düzgün sürekli olan reel değerli fonksiyonların bir uzayı olsun. Bu uzay üzerinde bir norm

( )

c sup

x R

f f x

∈

= (3.1.1)

şeklinde tanımlanabilir. Gerçekten de

(i) f _c ≥0 dır. Çünkü . :R→R negatif olmayan fonksiyondur.

Dolayısıyla supremumu da negatif olamaz.

(ii) =0⇔sup ( ) =0

∈ f x

R c x

⇔∀x∈R, f(x) =0 ⇔∀x∈R, f(x)=0 ⇔ f =0

f _c =0⇔ f =0 dır.

(iii) f sup( f)(x)

c x λ

∈

sup f(x)

R x

∈

sup f(x)

x∈R

= λ

= λ f _c dır.

Dolayısıyla,

λf _c = λ f _c , λ∈R eşitliği sağlanır.

(iv) f g sup(f g)(x)

c = x +

∈

sup f(x) g(x)

R x

∈

R R x

x g x

∈ + ∈

≤sup ( ) sup ( )

= f _c + g _c f +g _c ≤ f _c + g _c

elde edilirki dolayısıyla norm aksiyomları sağlanır.

Verilen bir f∈C için

( )

x f(x h) f(x)

hf = + −

Δ , h∈R (3.1.2) olmak üzere,

) , ( ft

W = _h _c

t h

f Δ

≤

sup , t >0 (3.1.3)

şeklinde tanımlanan )W( ft, fonksiyonuna süreklilik modülü diyoruz. Ω ile süreklilik modülünün sağladığı koşullarla benzerlik gösteren fonksiyonların bir cümlesini gösterelim. Yani Ω , aşağıdaki koşullara uygun tüm w fonksiyonların bir cümlesi olsun.

a) w,

[

0,∞

)

aralığında tanımlı ve sürekli, b) w, artan ve w(0)=0

c) w(t)t⁻¹, t >0 için azalandır.

Verilen bir w Ω∈ için w ile

( )

^<^∞

> wh

f ^h f ^c

o w h

sup Δ (3.1.4)

şartını sağlayan tüm f∈C fonksiyonların sınıfını H ile gösterelim ve ^w H ’deki ^w

w c

H f f

f w = + (3.1.5)

ile tanımlayalım.

Ayrıca H da, ^w

→0+

hlim =

) (h w

f _c Δh

0 (3.1.6)

şartını sağlayan f ∈H^w fonksiyonlarının sınıfını göstersin. Bu durumda H normu ^w da (3.1.5) şeklinde tanımlanır. (3.1.5) normu ile birlikte H ve ^w H ye ^w genelleştirilmiş Hölder uzayı denir. Eğer w,μ∈Ω ve

) (

) ) (

( t

t t w

q = μ , t >0 (3.1.7)

fonksiyonu azalmayan ise, o taktirde Hμ

H^w ⊆ ve H^w ⊆ H^μ (3.1.8) dır. Bunları gösterelim.

İlk olarak H^w ⊆H^μ olduğunu gösterelim;

f ∈ olmak üzere w,μ∈

[ ]

0,a alalım.

) ( sup 1 ) sup ( ) (

) ( ) sup (

0 0

0 h q h

f h

w h h

f f

h h c h h c

w = h> = > >

μ μ Δ

μ Δ

yazılabilir. Dolayısıyla h>0 için ) (

1 h

q fonksiyonu

[ ]

0,a aralığında tanımlıdır. w ,μ fonksiyonları sürekli olduğundan

) (

1 h

q da süreklidir. a R

q :[0, ]→ )

(

1 sürekli bir

fonksiyon olduğu için sınırlıdır. Bu fonksiyon supremumunu [0,a aralığında alır. ] Bu da

h c q

> ( ) sup 1

gibi bir sabittir. O halde

) ( sup 1 ) sup (

0 h q h

f f

h h c

w = h> >

Δ =

) ( sup 1

0 q h f

eşitliğinde f _w ve

) ( sup 1

0 q h

h> sonlu olduklarından

) sup (

0 h

f _c

h μ

> da sonludur. Yani

∞

μ <

f dır. Buradan da f ∈H^μ elde edilir.

Şimdi H^w ⊆ H^μ olduğunu gösterelim:

f ∈ ise o halde

) 0 lim (

0 =

→ w h

f _c

h h

dır.

( )

⁽⁽ ⁾⁾

) lim lim (

0 h

h w h w

f h

f _h _c

h h c

h μ

Δ μ

+ →

→ =

) (

) lim ( . ) 0 (

) lim ( ) lim (

0 0

0 h

h w h

w f

h h

h c

h μ μ

+ +

+ → →

→ =

=0 dır. Burada f ∈H^w ve

) (

) lim (

0 h

h w

h^→ ⁺ μ ifadesi sonlu olduğundan

) 0 lim (

0 Δ =

→ + h

f _c

h μ

dır. Dolayısıyla H^w ⊆ H^μ elde edilir.

Eğer f ∈H^w ise

( )

t f

W , ≤w )(t f w, t>0 (3.1.9)

eşitsizliği sağlanır. Bunu görelim:

( )

t f =

W , _h _c

t h

f Δ

≤

sup

idi. Burada h≤t alalım. w fonksiyonu artan olduğundan )w(h)≤w(t olup 1 ) (

( ≥) h w

dır. Son eşitsizlik süreklilik modülünde kullanılırsa

( )

) sup (

, w h

t f w f

W _h _c

t h

≤

( )

sup ) (

, ⁰

h w

f t

w f t

W ^h ^h ^c

≤ >

( )

t f wt f _w W , ≤ ( ) elde edilir.

Eğer f ∈H^w ise, o taktirde

( )

₀

) ( lim ,

0₊ =

→ w t

f t W

t (3.1.10) dir. Bunu görmek için;

( )

t f =

W , _h _c

t h

f Δ

≤

sup eşitliği

( )

) sup (

, w h

h f w f

W _h _c

h ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

≤ Δ

) sup ( )

( w h

t f

w ^h ^c

t h

≤

( )

) sup ( )

( 0 ,

h w

f t

w f t

W h _c

t h

≤

şeklinde yazılabilir. Her iki tarafın t → 0⁺ için limiti alınırsa

→0+

tlim

( )

_≤

) (

, t w

f t W

→0+

tlim ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

≤ ( )

sup w h f _c

h t h

→0+

tlim

( )

₀

) (

, =

t w

f t W

elde edilir. Böylece genelleştirilmiş Hölder uzayının sağladığı bazı özellikler gösterilmiş oldu.

SırasıylaP ,,QW ile gösterilen Picard, Poission-Cauchy ve Gaus-Weierstrass singuler integralleri aşağıdaki gibi tanımlanırlar.

( )

f x t e dt

f r r x

P ^r

∫

t +∞

∞

−

= ( )

; 1

, (3.1.11)

r dt t t

x r f f r x

Q ₂ 1 ₂

) ( )

; ,

( = ⁺

∫

+ +

− π

π π (3.1.12) dt

e t x r f f

r x

W ^r

t²

) 1 (

)

; , (

− +

−

∫

⁺

= ^π

π π (3.1.13) Şimdi bu integrallerin f ∈C, x∈R,r∈Ι

(

0,1

]

ve r → 0⁺ iken yakınsaklık durumlarını inceleyelim.

Lemma 3.1.1: Eğer f ∈ ise C a) P

(

.,r; f

)

_c ≤ f _c b) Q

(

.,r; f

)

_c ≤ f _c c) W

(

.,r; f

)

_c ≤ f _c

dır. Yani, her r∈Ι sabiti için f ∈ olduğunda C P

(

.,r;f

)

(

.,r;f

)

ve W

(

.,r; f

)

integralleri de C ye aittir.

İspat :

a) (3.1.1) , (3.1.10) ve

^+∞

∫

eşitliğini kullanırsak,

( )

f x t e dt

elde edilir.

b) (3.1.1) , (3.1.12) ve

eşitlikleri kullanılırsa

r dt

elde edilir.

c) e ^r dt r

= π

∞

∫

∞

−

−²

olduğunu gösterelim ve (3.1.1), (3.1.13) eşitliklerini

kullanalım.

∫ ∫

∫

^∞

∞

−

∞

−

∞

−

⇒

= e dx I e e dxdy

I ^r

y r x r

x² ² ²

e ^r dxdy

∫ ∫

∞

−

∞

− +

−

= ⁽ ⁾

2 2

θ ρ θ

ρcos , = sin

= y

x dönüşümleri yapılırsa ρ

ρ =

∂

=∂

) , (

) , ( yx

J den

θ ρ ρ dd

dxdy= olur. Bu durumda

I² ⁼²

∫∫

^π^{∞ −}^ρ ^ρ ^ρ ^θ

0 0

d d e ^r

r² =u

ρ , 2ρdρ=rdudönüşümü uygulanırsa

I r e du r e ^u ^k r

k k

k π π

π =− =

= ⁻

∞

→

−

∞

→

∫

₀

2 lim lim

I² =πr ⇒I = πr

elde edilir. Şimdi (3.1.1) ve (3.1.13) eşitlikleri kullanırsa

c = f r x

W( , , )

∫

−

∈ ^π +

π πf x r e dt r

r t

R x

) 1 (

sup

x∈R

≤ sup f x r e dt

r t²

)

1 ( ⁻

∫

⁺

f x t e dt

r t

R x

) 1 (

sup

−

∞

∈ −

∫

⁺

≤ π

x∈R

≤ sup e dt

y r

f ^r

∫

^∞

∞

−

∈ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 ²

) (

sup π

R y

f y

f =

≤

∈ ( )

sup

olur.

Lemma 3.1.2:Eğer f ∈H^w ise,o taktirde a) p(.,r;f)_w ≤ f _w

b) _w

w f

f r

Q(., ; ) ≤

c) W(.,r;f) _w ≤ f _w

eşitsizlikleri sağlanır. Yani her r∈Ι sabiti için f ∈H^w iken P(.,r; f), )Q(.,r;f ve )W(.,r; f fonksiyonları da H ’ya aittir. ^w

İspat : (3.1.3) , (3.1.10) ve (3.1.12) den x∈IR,r∈Ι ve h∈IR için )

; , ( )

; ,

(x r f P x r f

P _h

h Δ

Δ =

) , , ( )

; ,

(x r f Q x r f

Q _h

h Δ

Δ =

) , , ( )

; ,

(x r f W x r f

W _h

h Δ

Δ =

eşitlikleri sağlanır. (3.1.3) den

)

; , ( )

; ,

(x r f P x h r f P x r f

hP = + −

f x t e dt

dt r e h t x r f

r t r

∫

∞

−

∞

−

− +

= ( )

2 ) 1

2 ( 1

(

f x t h f x t

)

e dt r

−t

∞

−

∫

⁺ ⁺ ⁻ ⁺

= ( ) ( )

2 1

f x t e dt r

r t

∞ − +

∞

−

∫

⁺

= ( )

1 Δ

=P(x,r;Δ_hf) olur. Benzer şekilde

) elde edilirler. Buna göre

Lemma 3.1.1 den ∀r∈I ve ∀h∈R için

h c

hW r f c Δ f

Δ (⋅ ; ) ≤ (3.1.16) olur. Şimdi (3.1.13), (3.1.14) ve (3.1.15)’ü kullanarak, (3.1.4) yardımıyla ⋅ _w’yı tanımlayalım.

a) ( )

)

; , sup (

)

; , (

0 w h

f r f P

P ^h ^c

w h

= ⋅

⋅

sup ( )

0 w h

f _c

h h

≤

= f _w

b) ( )

)

; , sup (

)

; , (

0 w h

f r f Q

Q ^h ^c

w h

= ⋅

⋅

) sup (

0 w h

f _c

h h

≤

f w

c) ( )

)

; , sup (

)

; , (

0 w h

f r f W

W ^h ^c

w h

= ⋅

⋅

) sup (

0 w h

f _c

h h

≤

f w

olurlar.

Lemma 3.1.1 ve Lemma 3.1.2, r∈I için P(⋅,r; f), Q(⋅,r;f) ve W(⋅,r; f) fonksiyonlarının H^w’ya ait olduğunu gösterir.

Buna göre aşağıdaki sonucu yazabiliriz.

Sonuç 3.1.1: Eğer f ∈H^w ise a) P(⋅,r; f) Hw ≤ f Hw

b) Q(⋅,r;f) Hw ≤ f Hw

c) W(⋅,r; f) Hw ≤ f Hw

dır.

Lemma 3.1.3: Eğer f ∈H^w ise ∀r∈I sabiti için P(⋅,r; f),Q(⋅,r;f) ve )

; , ( r f

W ⋅ fonksiyonları H ya aittir. ^w İspat :

a) P(,r;f) için;h>0 , r∈ (3.1.14) eşitsizliğinden I

) ( )

( )

; , ( )

( )

; , 0 (

h w

f h

w f r P h

w f r

P _c _h _c _h _c

h Δ Δ

Δ ⋅ ≤

⋅ =

≤

olur. Her iki tarafın h→ 0⁺ iken limiti alınırsa

) lim ( )

( )

; , lim (

0 w h

f h

w f r

P _h _c

h h c

Δ Δ

+ →

→ ⋅ ≤

dır. f ∈H^w ise

) 0 lim (

0₊ =

→ w h

f _c

h h

olduğundan

) 0 (

)

; , lim (

0 ⋅ =

→ + w h

f r

P _c

h h

elde edilir. Dolayısıyla P(⋅,r; f)∈H^w olur.

b) Q(⋅,r;f) için; (3.1.15) eşitsizliğinden

) ( )

( )

; , ( )

( )

; , 0 (

h w

f h

w f r Q h

w f r

Q _c _h _c _h _c

h Δ Δ

Δ ⋅ ≤

⋅ =

≤

yazılabilir. Her iki tarafın h→ 0⁺ iken limiti alınırsa

) lim ( )

( )

; , lim (

0 w h

f h

w f r

Q _h _c

h h c

Δ Δ

+ →

→ ⋅ ≤

elde edilir. Eğer f ∈H^w ise

) 0 lim (

0₊ =

→ w h

f _c

h h

olduğundan

) 0 (

)

; , lim (

0 ⋅ =

→ + w h

f r

Q _c

h h

olur. Dolayısıyla Q(⋅,r;f)∈H^w olur.

c) W(⋅,r; f) için; (3.1.16) eşitsizliğinden

) ( )

( )

; , ( )

( )

; , 0 (

h w

f h

w f r W h

w f r

W _c _h _c _h _c

h Δ Δ

Δ ⋅ ≤

⋅ =

≤

yazılabilir. Her iki tarafın h→ 0⁺ iken limiti alınırsa

) lim ( )

( )

; , lim (

0 w h

f h

w f r

W _h _c

h h c

Δ Δ

+ →

→ ⋅ ≤

olur. f ∈H^w için

) 0 lim (

0₊ =

→ w h

f _c

h h

olduğundan

) 0 (

)

; , lim (

0 ⋅ =

→ + w h

f r

W _c

h h

elde edilir. Dolayısıyla W(⋅,r; f)∈H^w olur.

Şimdi )L_k(x,r; f operatörünü

⎪⎩ eşitsizlikleri sağlanır.

İspat :

eşitliği kullanılırsa

)

yazılabilir. Bu durumda

∫

^∞

∫

^∞

∞

−

dt e r f

r t

t c

2 Δ 1

∫

∞

−

≤

≤ f e dt

r t

t c t t

Δ 2 sup

∫

∞

−

= W t f e dt

r t

) , 2 (

dt e f t r W

∫

∞ −

) , 1 (

olur.

λ olmak üzere r

= t

λ seçilip W(λr,f)≤(1+λ)W(r,f) özelliği kullanılırsa

dt r e f t

r W f

r x

L ^r

c ⁼

∫

^∞ ⁺ ⁻

1( , ; ) ( ; ) (1 )

yazılabilir. Son integralde u

rt = denirse dt =rdu olup, du

e u f

r W f

r x

L _c ⁼

∫

^∞ ⁺ ⁻^u

1( , ; ) ( ; ) (1 )

=W r f

(

^∞

∫

e⁻^udu⁺^∞

∫

ue⁻^udu

)

0 0

)

; (

=W( fr; )

(

1+1

)

; ( 2W r f

olarak elde edilir. Böylece (a) gerçeklendiğini görülür.

b) (3.1.17), (3.1.12), (3.1.3) ifadeleri ve 1 1

2 =

∫

∞

−

r dt t r

π eşitliği kullanılırsa

)

yazılabilir.

r dt

t eşitsizliği kullanılırsa

⎟⎟

olur. Yukarıdaki eşitsizlik

)

şeklinde elde edilir.

Diğer taraftan ^∞

∫

₊ ^≤

∫

^∞ ⁼

t eşitsizliği kullanılırsa

∫

∞

bulunur. Minkowsky eşitsizliğinden

c elde edilir.

c), (3.1.17), (3.1.13), (3.1.3) ifadeleri ve 1

∫

^∞ ² =1

π eşitliği kullanılırsa )

yazılabilir.

(b) deki işlemler benzer şekilde kullanılırsa

∫

elde edilir. Dolayısıyla

∫

f e dt

şeklinde yazılabilir. Burada

yazılabilir.

∫

^π ⁻

elde edilir.

dt e ^r

∫

∞ −

integralinde u

rt = denirse

r re e

r du e r dt e dt

e ^k ^r

r u k k

r u k

r t r

−

≤ ⁻ ⁻

∞

→

−

∞

→

∞ −

∫

^π ^π

π π π

lim lim

elde edilir.

Buna göre,

L r f _c W r f r² f _c

1 2 1 2

1 2

3(⋅, ; ) ≤ ( , )(1+π⁻ )+2π⁻ olarak bulunur.

Sonuç 3.1.2: Eğer f ∈H^wise, o takdirde

(a) L₁(.,r;f) _c ≤ 2 f Hww(r) (3.1.21)

(b) 2^(., ^; ⁾

[

² ²⁽ ² ⁽¹⁾⁾ ¹

]

⁽ ^ln( ⁾⁾

r r w f w

f r

L c Hw

π ⁻ π +

≤ (3.1.22)

(c) ) ( )

) 1 ( 1 2 ( 1 )

;

(., ²

1 2

3 f w r

f w r

L c ⎥ Hw

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + +

≤ π⁻ (3.1.23)

eşitsizlikleri sağlanır.

İspat :

a) (3.1.5),(3.1.9) ve (3.1.18) ifadeleri kullanılırsa )

, ( 2 )

;

1(.r f W r f

L _c ≤

≤ 2w )(r f _w

≤2w )(r f Hw

olur.

b) (3.1.5) , (3.1.9) ve (3.1.19) ifadeleri kullanılırsa

r f r f

r W f

L₂(⋅, ; ) _c ≤2 ( lnπ , )+2π⁻² _c

)) ln(

(

)) ln(

( 2

)) ln(

(

2 ²

r r w

r r w r f r f

w Hw Hw π

π + π−

≤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

)) ln(

( 2 2

)) ln(

(

r r w f r

r r

w Hw π

π π

yazılabilir.

Parantez içindeki ifade için

) 1 ( 2 )) ln(

( 2

2 2w

r r w

r π π π

≤ olduğunu gösterirsek

ispat tamamlanır.

(

0,1

]

∈

r için ln( ) r πr

artandır. Artan olduğu için maksimum değerini 1r = de alır. Dolayısıyla

π π ln ) ln(

0< ≤

r r yazılabilir. Ayrıca t>0 için ) (t w

t artan olduğundan

) (ln ln )) ln(

( ) ln(

π π π

w r r

≤ (I)

dır. Diğer taraftan r π ≤ ise π

r r

r π

π ln

ln ≤ dır. Buna göre

)) ln(

( ) ln(

) ln (

r r w

r r r

w r

π π

π ≤π (II) yazılabilir. (I) ve (II) den

)

elde edilir. Böylece

[

² ²⁽ ⁽¹⁾⁾

]

⁽ ^ln( ⁾⁾

Parantez içindeki ifade

) 1 ( 2 ) ( 2

2 1 2 1

r w w

r ≤ şeklinde yazılabilir. Çünkü r∈

(

0,1

]

içi

) ( ²

1 2 1

r w

r ifadesi artan olduğundan maksimum değerini r=1 için alır. Böylece

f c

L₃(., ; ) ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + +

≤ ⁻ )

) 1 ( 1 2 ( 1 )

( ²

1 2

r w w

f Hw π

olarak elde edilir.

Özel olarak f ∈H^w, w(t)=t^α 0< α≤1 için a) L₁(.,r;f) c ≤2 f Hwr^α

b) ^π ^α

π ( ln( )) )

1 ( 1 1

2 )

;

(., ₂

2 r r

f w f

L c Hw ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

≤

c) ² ²

3 )

) 1 ( 1 2 ( 1 )

; (.,

π r

f w f

L c Hw ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + +

≤ ⁻

eşitlikleri geçerlidir.

Sonuç 3.1.3: Eğer f ∈H^w ise, o takdirde

(a) 0

) (

)

; lim ¹(.,

0₊ =

→ w r

f r

L _c

r (3.1.24)

(b) 0

)) ln(

( )

; lim ²(.,

0₊ =

→

r r w

f r

L _c

r π (3.1.25)

(c) 0

) (

)

; lim (.,

2 1 3

0₊ =

→ w r

f r

L _c

r (3.1.26) olur.

İspat:

a) (3.1.10) ve (3.1.18) ifadeleri kullanılırsa

yazılabilir.

f ∈ olduğundan eşitsizliğin sağ tarafı sıfıra eşit olur. Sıkıştırma teoreminden

) 0

olarak elde edilir.

(b) (3.1.10) ve (3.1.19) ifadelerinden

yazılabilir.

))

)

yazılabilir. Bu eşitsizliğin sağ tarafı sıfıra eşit olacağından sıkıştırma teoremi gereğince

eşitliği elde edilebilir.

Teorem 3.1.2: w,μ∈Ω ve (3.1.7) ifadesi ile tanımlanan q azalmayan bir

eşitsizlikleri sağlanır.

İspat: İspat için (3.1.1)-(3.1.5) ifadelerini kullanalım.H^w ⊆H^μ olduğundan dolayı

μ (., ; ) (., ; ) μ

)

;

(.,r f L r f L r f

L_k _H = _k _c + _k

olduğunu biliyoruz. Kabul edelim ki )

; ( )

;

(.,r f S r f T r f

L_k _μ ≤ _k + _k (3.1.30) şeklinde tanımlansın. Burada

) (

)

; sup (.,

)

;

( ¹

1 0

h f r f L

S ^h ^c

h μ

≤

= ve

) (

)

; sup (.,

)

;

( ¹

1 h

f r f L

T ^h ^c

h μ

dır. Buna göre

(a) (3.1.21) eşitsizliğinden ) ( 2

)

;

1(.,r f f w r

L c ≤ Hw

yazılabilir.

0< r≤ ve μ artan olduğundan ) 1 ( ) ( ) ) (

( ) 1

1 ( μ

μ w r q r

r ⇔ ≤

≤

olur. Dolayısıyla

) 1 ( ) ( 2

)

;

1(.,r f f q r μ

L c ≤ Hw (3.1.31) yazılabilir. Diğer taraftan

c hf c ≤2 f

Δ (3.1.32) eşitsizliği kullanılırsa

) (

)

; (., sup2 )

;

( ¹

1 h

f r f L

T ^c

h> μ

≤

( )

)

; (., 2 ₁

r f r

L _c

≤ μ (3.1.33) olur. Burada (3.1.9) ve (3.1.18) eşitsizlikleri kullanılırsa

)

;

1(r f

T ≤4 f Hwq(r) (3.1.34) elde edilir. Daha sonra (3.1.2), (3.1.14) ve Δ_hf _c ≤2 f _c eşitsizliği kullanılırsa

h c h c

c h

hL x r f P x r Δ f Δ f Δ f

Δ ₁( , ; ) = ( , ; )− ≤2 (3.1.35) bulunur. (3.1.34) den ise

) ( ) (

) ( )

; sup (.,

)

;

( ¹

1 0

h w h

h w f r f L

S ^h ^c

h μ

≤

( )

) ( sup 2

0 w h

f h

q _h _c

r h

≤

≤2 f _wq(r) (3.1.36) olur. Son olarak

(3.1.30) , (3.1.31) , (3.1.34) ve (3.1.36) eşitsizlikleri kullanılırsa

[

6 2 (1)

]

( ) )

;

1(.,r f f q r

L Hw ≤ + μ Hw

elde edilir.

(b) (3.1.22) eşitsizliğinden

[ ]

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

≤ 2 2( ⁻ (1))⁻ ln( ) )

;

(., ² ¹

2 r f w f w r r

L c Hw

π π

yazılabilir. r∈

(

0,1

]

için π π ln ln ≤

r r dir. μ artan olduğundan ) (ln )) ln(

( )) ln(

( )

1 (ln π π μ π

μ π π μ

r r r q

r w r r

≤

⇔

≤

olur. Bu durumda

( )

[

² ² ⁽¹⁾

]

^ln( ⁾ ^(ln ⁾

)

;

(., ² ¹

2 π μ π

π ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

≤ ⁻

r r q f w

f r

L c Hw (3.1.37)

yazılabilir. Diğer taraftan Δ_hf _c ≤2 f _c eşitsizliği kullanılarak

)

elde edilir. Burada da (3.1.9) ve (3.1.20) eşitsizlikleri kullanılırsa

( )

bulunur. Şimdi (3.1.35) olduğu gibi

h c

hL x r f c Δ f

Δ ₂( , ; ) ≤2 eşitsizliğini elde edip (3.1.32) eşitsizliği kullanılırsa

elde edilir. Son olarak (3.1.30) , (3.1.37) , (3.1.39) ve (3.1.40) eşitsizlikleri kullanıldığında

[ ] ( )

bulunur.

(c) (3.1.23) eşitsizliğinden

)

yazılabilir. ^r^∈

(

⁰^,¹

]

^için^r²¹ ^≤¹ve μ artan olduğundan

olup, buradan

)

yazılır. Diğer taraftan (3.1.31) eşitsizliği kullanılırsa

)

elde edilir. Burada da (3.1.9) ve (3.1.20) eşitsizlikleri kullanılırsa

)

bulunur. (3.1.35) de olduğu gibi

h c

hL x r f c Δ f

Δ ₃( , ; ) ≤2 eşitsizliğini elde edip (3.1.31) eşitsizliği kullanılırsa

)

olarak bulunur. Son olarak (3.1.30) , (3.1.41) , (3.1.43) ve (3.1.44) eşitsizlikleri kullanılarak,

(

2 (1)

)

( )

elde edilir. Böylece teorem ispatlanmış olur.

Teorem 3.1.3: w,μ∈Ω ve q azalmayan fonksiyon olsun. Eğer f ∈H^w ise, o

yazılabilir. Şimdi )(i ve )(ii yi ayrı ayrı inceleyelim.

)

yazılabilir. f ∈H^w olduğundan eşitsizliğin sağ tarafı sıfıra eşittir. Dolayısıyla

) 0

eşitsizliğini verir. Bu durumda

) olacağından sıkıştırma teoremi gereğince

) 0

Şimdi (i) ve (ii) yi birleştirirsek

)

b) (3.1.5) , (3.1.6) , (3.1.7) , (3.1.10) ve (3.1.19) ifadeleri kullanılırsa

şeklinde yazılabilir. Şimdi (i) ve (ii) yi ayrı ayrı inceleyelim.

(i)

eşitsizliği yazılabilir

)

bulunur. f ∈H^w olduğundan eşitsizliğin sağ tarafı sıfıra eşittir. Dolayısıyla

olarak elde edilir.

)

(ii (3.1.30) ve (3.1.38) ifadelerini göz önüne alırsak,

)

bulunur. Buradan olacağından sıkıştırma teoremi gereğince

olarak elde edilir.

c) (3.1.5), (3.1.6), (3.1.7), (3.1.10) ve (3.1.20) ifadeleri kullanılırsa

μ (., ; ) (., ; ) μ

yazılabilir.Bu eşitlik ayrı ayrı incelendiğinde i için a) ve b) dekine benzer şekilde )

olarak elde edilebilir.

)

bulunur.Buradan

) olacağından sıkıştırma teoremi gereğince

olarak elde edilir. Şimdi i) ve ii) yi birleştirirsek

)

olur.

Sonuç 3.1.4: w(t)=t^α, μ(t)=t^β , 0< β ≤α≤1 t ≥0olmak üzere eğer f ∈ ise, H o taktirde

(a) μ ^α ^β

≤ f r −

f r

L₁(., ; ) H 8 Hw

(b) ^β π ^α ^β

π π

⎥⎦ −

⎢⎣ ⎤

⎡ + +

≤ 2 )(ln ) ( ln( ))

2 2 ( ) 13

;

(., ₂

2 r f f r r

L H Hw

(c) ² ²

3(., ; ) (5 9 )

β α

− −

≤ f r

f r

L H Hw

eşitsizlikleri geçerlidir.

Sonuç 3.1.5: w(t)=t^α, μ(t)=t^β ,0< β ≤α≤1 t ≥0 olmak üzere, f ∈H^wise o taktirde

(a) (., ; ) 0

lim ¹

0 ₋ =

→ ⁺ α β

r f r

L _H

(b) 0

) ln(

)

; lim ²(.,

0 =

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⁻

→ ⁺ α β

r r f r

L _H

(c) (., ; ) 0

lim

2 3

0 ₋ =

→ ⁺ α β

r f r

L _H

eşitlikleri geçerlidir.

3.2. Bir Fonksiyona Genelleştirilmiş Gauss Weierstrass Singüler İntegrali İle Yaklaşım Hızı

f(x), L₁(−∞,∞) uzayına ait integrallenebilir bir fonksiyon olsun. Aşağıdaki gibi tanımlanan )f(x ’in genelleştirilmiş Gauss Weierstrass tek katlı integralinin yaklaşım hızını belirleyelim.

s için

0 ,

) ( 1)

( 2 )

; ,

( = ₁ ^∞ + ⁺ →

∞

−

∫

^ξ

ξ Γ

ξ f x t e ^ξ dt

s s s

x L

(3.2.1)

) ( 2 ) ( ) ( )

(t f x t f x t f x

x = + + − −

φ (3.2.2) ve

∫

= ^t _x v dv t

) ( )

( φ

Φ (3.2.3)

olsun.

Tanım 3.2.1: İntegrallenebilir bir f fonksiyonunun, k(t) pozitif artan ve t

t k )(

azalan olmak üzere k(t) sınıfına ait olabilmesi için aşağıdaki şartları sağlaması gerekir.

(a) k(xy)=k(x)k(y)

(b) f(x+t)− f(x) =Ο

( )

k(t) Eğer,

(i) k(t)=t^α 0<α<1 ise sınıfımız lip ’ya indirgenir. α

(ii) k t t ^p

)

( = ^α⁻ ve f(x)∈L_p (p>1) ise sınıfımız lip α( ,p)’ya indirgenir.

(iii) ( ) ψ( ) , ψ

t p

t t

k = ⁻ pozitif artan fonksiyon ve f(x)∈L^p ise sınıfımız

(

ψ(t),p

)

sınıfına indirgenir.

Buradaki amacımız, daha genel sınıftan olan k(t)’yi dikkate alarak f(x)’in genelleştirilmiş Gauss Weierstrass tek katlı integrallerinin yaklaşım hızını belirlemektir. Şimdi aşağıdaki teoremleri ispatlayalım.

Teorem 3.2.1 : f(x)∈ L₁(−∞,∞) olsun. u→0 için

[

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ² ⁽ ⁾

] (

² ⁽ ⁾

)

u k u dt x f t x f t x f

=Ο

−

− +

∫

+ ve k(t)

) ( e

) ( k

) t ( k t

s s

1 0

1 0 2

0 ο

ξ ξ

ξ =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

ve (t²k(t)) (tk(t)) dt

d =Ο (3.2.4)

özelliklerini sağlasın. O taktirde (0,∞ aralığı ) (0,t₀) ve (t₀,∞) olarak ayrılırsa

)) ( ( ) ( )

;

; (

1 1

s sk x

f s x

L ξ − =Ο ξ ξ , ξ→ 0⁺ olur.

İspat 1

1) ( 2

∫

^∞ =

∞

−

dt e s

s ξ

ξ Γ

dir. Gerçekten bu integralde

t^s =u

ξ ⇒ t u ^s

)

=(ξ ⇒ u du

dt ^s s ^s ¹

1 1 ⁻

= ξ değişken değiştirmesi yapılırsa

1 1)

(

1 ¹ ¹

− =

∞ −

∫

^e ^u ^du

u s

elde edilir.

Şimdi )L(x;ξ;s)− f(x farkını hesaplayalım.

yazabiliriz. Bu eşitlikteki f x t e dt

ve (3.2.2) den gerekli düzenlemeler yapılırsa

)

bulunur. Daha sonra her iki taraf ( )

şeklinde yazılabilir.

Şimdi I₁ inceleyelim.

))

integralinde

u dönüşümleri yapılırsa

bulunur. (3.2.4) ifadesinden

)

integralinde kısmi integrasyon kuralı uygulanırsa u

olur. (3.2.4) den

şeklinde yazılabilir. Eğer yukarıdaki integralin yakınsak olduğu gösterilirse sınırlı olduğu gösterilmiş olur. Şimdi bu integralin yakınsak olduğunu gösterelim.

)

şeklinde yazılabilir.

Toplamdaki birinci integral Reimann anlamında integrallenebilirdir.

Dolayısıyla yakınsaktır. İkinci integralde karşılaştırma testinin limit formu kullanılırsa

0 lim

4 =

∞

→ σ

e , p=2>1

olduğundan yakınsak olduğu görülür. O taktirde

∫

∞

−

)

(σ σ

σk e ^σ^sd

integrali de yakınsaktır. Dolayısıyla sınırlı olduğundan

∫

∞

− =

) 1 ( )

(σ σ Ο

σk e ^σ^sd (3.2.6)

şeklinde yazılabilir. O taktirde I de ^'' )

1 ( ) 1 (

''1 =ο +Ο

) 1 (

''1 =Ο I

şeklinde yazılabilir.

'' 1 1 '

1 I I

I = + olduğundan =ο(1)+Ο(1)

=Ο(1) , ξ→ 0⁺ olur. Şimdi I₂ yi inceleyelim.

dt e t x f s k

I s

∫

^∞ ⁺ ⁻

= ^ξ

ξ ξ Γ

) ( ) ( 1) ( 2

1 2 2

Her iki tarafın mutlak değeri alınırsa

∫

∞

yazılabilir. Daha sonra bu integralde

s s

t =v

ξ ⇒ . dt ^sdv

=ξ

değişken değiştirmesi yapılırsa

⁼

∫

^∞ ⁻

∞ elde edilir. Böylece

)) gerçekleşir.

Teorem 3.2.2: f(x)∈ L₁(−∞,∞) olsun. u→ 0⁺ için

ise k(t)’nin (3.2.4) şartlarını sağlaması durumunda

))

İspat (3.2.5) ifadesinden dolayı

yazılabilir. Daha sonra her iki taraf ( )

1 1

s sk ξ

ξ ile bölünürse

)

elde edilir. Teorem 3.2.1 ispatındaki gibi

) şeklinde yazılabilir.

I1 için

olduğu önceki teoremden görülebilir. I₂ ise

dt

elde edilir. Böylece

))

eşitliği gerçeklenmiş olur.

Teorem 3.2.3 : f(x)∈ L₁(−∞,∞) u→0 için

özelliklerini sağlasın. O taktirde (0,∞ aralığını ) (0,t ve ₀) (t₀,∞) olarak ayırdığımızda

))

İspat : (3.2.5) ifadesinden aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

şeklinde yazılabilir.I₁ için

))

integralinde

dv t

d(Φ( ))= Φ(t)=v dönüşümleri yapılırsa

I1 elde edilir.

)

olduğu (3.2.7) ifadesinden

görülür. Daha sonra Φ(t)=Ο

(

tk(t)

)

olduğu için

integralinde u

dönüşümleri yapılırsa

∫

⁻

bulunur. Eğer yukarıdaki integralin yakınsak olduğu gösterilirse sınırlı olduğu gösterilmiş olur. Şimdi bu integralin yakınsak olduğunu gösterelim.

) ( ) (

) ( 1)

( 2

1 d t

k t k e s B s

s s

t^s

∫

−

ξ Γ ξ

integralinde σ ξ

1 değişken değiştirmesi

yapılırsa,

σ σ ^σ

d e k

B ^s

∫

−

1 0

) (

elde edilir. ξ → 0⁺ için

∫ ∫

∫

⁻ ^∞ ⁻

∞

− = ¹ +

0 1

) ( )

( )

(σ e ^σ dσ k σ e ^σ dσ k σ e ^σ dσ

k ^s ^s ^s

şeklinde yazabiliriz. k(σ) pozitif artan, σ

σ) (

k azalan olduğundan eşitliğin sağındaki

∫

∞

−

) (σ e ^σ dσ

k ^s

integrali σile çarpılıp bölünürse

∫

∞

−

) (σ e ^σ dσ

k ^s k e ^σ^sdσ k σe⁻^σ^sdσ

− ∞

∫

⁺

1 1

) 1 ( )

1 (

şeklinde yazılabilir.

Birinci integral Reimann anlamında integrallenebilirdir. Dolayısıyla yakınsaktır. İkinci integralde karşılaştırma testinin limit formu kullanılırsa

0 lim

3 =

∞

→ σ

e , p=2>1

olduğundan yakınsak olduğu görülür. O taktirde

∫

∞

) −

(σ e ^σ dσ

k ^s

integrali de yakınsaktır. Dolayısıyla sınırlıdır. Buna göre

=ξ değişken değiştirmesi yapılırsa

(3.2.6) ifadesinden

)

olduğu görülür. Sonuç olarak

)

elde edilir. Böylece

))

gerçeklenir.

Teorem 3.2.4 : f(x)∈L₁(−∞,∞), u→0 için ( ) ( ( )) gösterilebilir.

Sonuç: k(t) ye farklı değerler verilerek aşağıdaki sonuçlar elde edilebilir.

tα elde edilir.

t p

elde edilir.

t p

t t k iii

) ( ) ( )

( = ψ ⁻ ise o taktirde ( ; ; ) ( ) ( ( ))

1 1 1

sp s

x s

f s x

L ξ − =Ο ξ ⁻ ψ ξ elde edilir.

4.TARTIŞMA VE SONUÇ

Bu çalışmada önce L uzayında Deltasal Çekirdekli lineer integral operatörünün _p yaklaşım özellikleri verilmiştir. Daha sonra normlu uzaylarda Picard, Poisson-Cauchy ve Gauss-Weierstrass singüler integralleri için yakınsama problemleri farklı normlarda incelenmiş ve Genelleştirilmiş Gauss-Weierstrass singüler integralinin yaklaşım hızı belirlenmiştir..

KAYNAKLAR

1. P. L. Butzer, R. J. Nessel, Fourier Analysis and Appoximation Volume 1, Technological University of Aachen, Newyork and London 1971

2. R. N. Mohapatra, R. S. Rodrigues, On the Rate of Convergence of Singular Integrals for Hölder continuous Functions, Math. Nachr.,149,117 (1990)

3. A. Khan, S.Umar, On the Order Of Approximation To A Function By Generalized Gauss Weierstrass Singular Integrals, 30, 55, (1981)

4. J. Prestin, S. Prössdorf, Error Estimates in Generalized Trigonometric Hölder-Zygmund Norms, Z. Anal. und Anwend.,9,343 (1990)

5. B. Fırlej and L. Rempulska, On some Singülar İntegrals in Hölder spaces, Math.

Nachr., 170, 100, (1994)

6. H. H. Hacısalihoğlu, A. D. Hacıyev, Lineer Pozitif Operatörler Dizilerin Yakınsaklığı, Ankara 1995

7. A. D. Hacıyev, Deltasal Çekirdekli İntegral Operatörler Ailesi ve Yaklaşım Teorisi, Lisans üstü ders notları, Ankara Üniversitesi, Ankara 1999

Belgede Hölder uzayında yakınsaklık özellikleri (sayfa 16-0)