Durrmeyer tipli operatörlerin yakınsaklık özellikleri

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ

DURRMEYER TİPLİ OPERATÖRLERİN YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ

GÜLSÜM ULUSOY

ŞUBAT 2012

Matematik Anabilim Dalında Gülsüm ULUSOY tarafından hazırlanan DURRMEYER TİPLİ OPERATÖRLERİN YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ Adlı Yüksek Lisans Tezinin Anabilim Dalı standartlarına uygun olduğunu onaylarım.

Prof. Dr. Kerim KOCA Anabilim Dalı Başkanı

Bu tezi okuduğumu ve tezin Yüksek Lisans Tezi olarak bütün gereklilikleri yerine getirdiğini onaylarım.

Doç. Dr. Ali ARAL Danışman

Jüri Üyeleri

Başkan : Prof. Dr. Kerim KOCA ___________________

Üye (Danışman) : Doç. Dr. Ali ARAL ___________________

Üye : Yrd. Doç. Dr. Ali OLGUN ___________________

28/02/2012

Bu tez ile Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onaylamıştır.

Doç. Dr. Erdem Kamil YILDIRIM Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

ÖZET

DURRMEYER TİPLİ OPERATÖRLERİN YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ

ULUSOY, Gülsüm Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman: Doç. Dr. Ali ARAL

Şubat 2012, 84 sayfa

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş için ayrılmıştır.

İkinci bölümde bazı temel tanımlar ve kavramlar verilmiştir.

Üçüncü bölümde genelleştirilmiş Baskakov Durrmeyer operatörlerinin integrallenebilir fonksiyonlar için yakınsaklık hızı incelenmiştir.

Dördüncü bölümde Bernstein Durrmeyer operatörleri verilmiş ve bu operatörlerin düzgün yakınsaklığı incelenmiştir.

Anahtar kelimeler: Lineer pozitif operatör, Süreklilik modülü, Baskakov operatör, Bernstein operatör

ABSTRACT

THE CONVERGENCE PROPERTİES OF DURRMEYER OPERATORS

ULUSOY, Gülsüm Kırıkkale University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematic, M. Sc. Thesis

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ali ARAL February 2012, 84 pages

This thesis consist of four chapters. The first chapter is reserved for introduction.

In the second chapter, some fundamental definitions and consepts are given.

In the third chapter, rate of convergence for generalized Baskakov Durrmeyer operators of integrable functions is studied.

In the fourth chapter, Bernstein Durrmeyer operators are given and uniform convergence of these operators are also studied.

Keywords: Linear positive operators, Modulus of Continuity, Baskakov Operators, Bernstein Operators

TEŞEKKÜR

Hayatımın başlangıcından itibaren olduğu gibi eğitim hayatım boyunca da maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen aileme, yüksek lisans öğrenimimde ve tezimin hazırlanması esnasında hiçbir yardımı ve ilgisini esirgemeyen, değerli danışman hocam, Sayın Doç. Dr. Ali ARAL’a , çalışmalarım esnasında beni daima destekleyen hocam, Sayın Prof. Dr. Kerim KOCA’ya ve Kırıkkale Üniversitesi Matematik Bölümündeki değerli hocalarıma teşekkür ederim.

İÇİNDEKİLER DİZİNİ

Sayfa

ÖZET ………...i

ABSTRACT ………...ii

TEŞEKKÜR ………..iii

İÇİNDEKİLER DİZİNİ ………...iv

1. GİRİŞ ………..1

1.1. Kaynak Özetleri ………...1

1.2. Çalışmanın Amacı ………...2

2. TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER ………..3

3. DURRMEYER TİPLİ OPERATÖRLERİN YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ ………...20

4. BERNSTEİN DURRMEYER OPERATÖRÜ VE TÜREVLERİ …………...62

5. TARTIŞMA VE SONUÇ ………83

KAYNAKLAR ……….84

1. GİRİŞ

1.1. Kaynak Özetleri

Yaklaşımlar teorisindeki asıl amaç keyfi bir fonksiyonun daha basit daha kullanışlı diğer fonksiyonlar cinsinden bir gösterimini elde etmektir.

] ,

[ ba sonlu aralığında sürekli her f fonksiyonu için f(x) e [ ba, ] aralığında düzgün yakınsayan bir {P_n(x)} polinomlar dizisinin varlığı Weierstrass tarafından ispatlanmıştır.

Bu teoremi ispat için 1912 de Bernstein sürekli fonksiyonlara yaklaşım için )

: (f x

B_n operatörünü tanımlayarak bu operatörler dizisinin [0,1] aralığında düzgün olarak f(x) e yaklaştığını ispatlamıştır.

Daha sonra Korovkin sınırlı aralıklarda lineer pozitif operatörler dizisinin yaklaşım problemini ele alarak Korovkin teoremini ispatlamıştır.

Korovkin teoremine göre eğer L_nf fonksiyonlar dizisi ^f fonksiyonuna 2

, 1 , 0 , )

(x  x i

e_i ⁱ fonksiyonları için yakınsaksa [ ba, ] aralığında tanımlı tüm sürekli f fonksiyonları için de L_nf , f fonksiyonuna düzgün olarak yakınsar.

Dzjadyk, Korovkin’in çözdüğü problemi L_p[ ba, ] uzayına taşımıştır. Bu teoreme göre f L_p[ ba, ] için

lim 0

] ,

[ 

 

 n L ab

n L f f ^p

eşitliğinin sağlanması için gerek ve yeter şart yukarıdaki eşitliğin yalnızca 2

, 1 , 0 , )

(x x i

e_i ⁱ fonksiyonları için sağlanmasıdır.

) (x

f fonksiyonunun sınırsız aralıklarda olması durumunda da yaklaşım problemleri incelenmiştir.

1950 yılında Szasz, f fonksiyonunun [ 0, ) aralığında sürekli ve bu aralığın her kapalı alt aralığında sınırlı olması durumunda Szasz operatörler dizisini oluşturmuş ve yakınsaklık özelliklerini incelemiştir.

1960 yılında Durrmeyer, [0,1] aralığında sürekli fonksiyonlar kümesini genişletmek için [0,1] aralığında sürekli fonksiyonlar yerine [0,1] aralığında Lebesque integrallenebilir fonksiyonları alarak Bernstein operatörünün integral modifikasyonu olan ve Bernstein Durrmeyer operatörleri olarak adlandırılan operatör dizisini tanımlamış ve yakınsaklık özelliklerini incelemiştir.

Biz de bu tezde, L_p yakınsaklığı [ 0, ) aralığında Durrmeyer tipli operatörlerle düzgün yakınsaklığın nasıl elde edildiğini göstereceğiz. Bunun için de

genelleştirilmiş Baskakov Durrmeyer tipli operatörleri kullanacağız.

Yaklaşımlar teorisinin bir diğer problemi de operatörlerle birim operatörlere hangi hızla yaklaşıldığının bulunması problemidir. Bu hızı bulmak için de genellikle süreklilik modülü kullanılır. Biz bu tezde yaklaşım hızını bulmak için K

fonksiyonellerini kullanacağız. Daha sonra da K fonksiyonellerinin L_p süreklilik modülüne denkliğini kullanarak yaklaşım hızını hesaplayacağız.

1.2. Çalışmanın Amacı

Genelleştirilmiş Baskakov Durrmeyer tipli operatörlerle birim operatörlere yaklaşım hızı hesaplanacak ve yine aynı operatörlerle düzgün yaklaşım problemi çözülecektir.

2. TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER

Tanım 2.1: (Operatör)

X ve Y lineer normlu iki fonksiyon uzayı olsun. Eğer X den alınan herhangi bir f fonksiyonuna Y de bir g fonksiyonu karşılık getiren bir L kuralı varsa bu durumda

X uzayında bir operatör tanımlanmış olur ve g(x)L(f,x) biçiminde gösterilir.

X uzayı L operatörünün tanım bölgesidir ve X D(L) ile gösterilir. Bu durumda,

g(x)L(f,x)

Y uzayının bir elamanı olur ve bu şekildeki g fonksiyonları kümesine L operatörünün değer kümesi denir. Bu küme de ℝ( ) ile gösterilir.

Tanım 2.2: (Lineer Operatör)

Y X

L:  bir operatör olsun. Her f₁ ,f₂ X ve ₁ ,₂ ℝ olmak üzere,

L(₁f₁ ₂f₂;x)₁L(f₁;x)₂L(f₂;x)

eşitliği sağlanıyor ise L ye lineer operatör denir.

Tanım 2.3: (Normlu Uzay)

X , bir lineer uzay olsun.  :X  ℝ fonksiyonunun x X deki değerini x şeklinde gösterelim. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanırsa  fonksiyonuna X üzerinde bir norm, X e de bir normlu uzay denir:

1) x 0 xӨ

2) λℝ olmak üzere λx  λ x

3) x,yX olmak üzere xy  x  y

Tanım 2.4: (Sınırlı Operatör)

Y X

L:  bir operatör olsun. D(L) X , L nin tanım kümesi olmak üzere )

(L D f 

 için,

X

Y M f

f;x L( ) 

eşitsizliğini sağlayan ∈ ℝ varsa L ye D(L) de sınırlı operatör denir.

^L _XY ^inf



^{M : L(f;x)}_Y ^{M f} _X



sayısına L operatörünün normu denir.

Lemma 2.1:

Y

X  sınırlı lineer operatörü için,

X Y Y f

X f

f;x L L

X

) sup (

0



 

eşitliği sağlanır [2].

Tanım 2.5: (Pozitif Operatör)



^{ ( ) 0}



 

t X:f f

X , ^Y



^{gY:g( t) 0}



fonksiyon sınıflarını göz önüne alalım.

Eğer X uzayında tanımlanmış L lineer operatörü X kümesindeki her bir ^ f fonksiyonunu Y kümesindeki bir fonksiyona dönüştürüyor ise L operatörüne lineer ^ pozitif operatör denir. L lineer pozitif operatör ise L(X^) Y^ sağlanır. Yani

0 ) (t 

f olduğunda L(f;x)0 olur.

Teorem 2.1: (Korovkin Teoremi)

{ } lineer pozitif operatörler dizisi olsun. _n(x),_n(x) ve _n(x), [ ba, ] de düzgün olarak sıfıra yakınsayan diziler olmak üzere x [ ba, ] için,

L_n(1;x)1_n(x)

(2.1) L_n(t;x)x_n(x) (2.2) L_n(t²;x) x² _n(x) (2.3)

koşulları sağlanıyorsa bu durumda L_n(f;x), [ ba, ] aralığı üzerinde f(x) e düzgün olarak yakınsar. Burada f , [ ba, ] de sürekli, a da sağdan, b de soldan sürekli ve ℝ de sınırlı bir fonksiyondur.

İspat:

f fonksiyonu reel eksende sınırlı olduğundan tüm x ler için

f(x) M (2.4)

olacak şekilde M pozitif sayısı vardır. ^{f C}



^{a ,b}



olduğu için  0 sayısına karşılık öyle bir  0 sayısı vardır ki t ℝ ve x^



a^,b



^için t^x ^ olduğunda

f(t) f(x)  (2.5)

sağlanır.



,b



,t a

x  olduğunda (2.5) eşitsizliği f fonksiyonunun



a,b



aralığında düzgün sürekli olmasından dolayı gerçeklenir. x



a ,b



, t



a ,b



olduğunda ise (2.5) eşitsizliği f fonksiyonuna a noktasında soldan ve b noktasında sağdan sürekli bir fonksiyon olduğu için gerçeklenir. (2.4) ve (2.5) eşitsizliklerinden dolayı her t ℝ ve x 



a ,b



için

( ) ( ) M₂ (t x)² x

f t

f    

  (2.6)

eşitsizliği gerçeklenir. Çünkü t x  olduğunda f(t) f(x)  ayrıca

2 2 (t x)

M 

 sağlanır.





t x olduğunda ise ( ) 1

2 2

 

 x

t olacağından M t x M

2 )

2 ( ₂

2  

 sağlanır. Bu

durumda  0 için (2.4) eşitsizliğinden

f(t) f(x)  f(t)  f(x) 2M



  ^

 _{2 2}

) (

2 x t

M (2.7)

eşitsizliği gerçeklenir. Lineer pozitif operatörlerin özelliklerinden

L_n(f;x) f(x)_Ca,b  L_n(f(t) f(x);x) f(x)L_n(1;x) f(x)_Ca,b  L_n(f(t) f(x);x) _Ca,b f _Ca,b L_n(1;x)1_Ca,b

ab Cab n Cab

n f t f x x C f L x

L ( ( ) ( ); ) ,  , (1; )1 ,



eşitsizliği mevcuttur. Bu eşitsizlikteki ikinci terim (2.1) den dolayı sıfıra yakınsar.

Yani, n ,_n 0 için

f _Ca,b L_n(1;x)1_Ca,b _n

eşitsizliğini sağlayan  dizisi vardır. O halde _n

_{ }

ab ⁿ

n C b a

n f t f x x C L f t f x x

L    

, ( ( ) ( ); ,

);

( ) (

( (2.8)

eşitsizliği sağlanır. Şimdi birinci terimi hesaplayalım. (2.7) eşitsizliğinden ve lineer pozitif operatörün özelliklerinden dolayı

  



 



  



 M t x x

L x

x f t f

L _n

b a

n C 2 ( ) ;

)

; ) ( ) (

( ₂ ²

,  

^{(( ) ; )} ) 2

; 1

( M₂ L t x ² x x

L_n  _n 

 

 ^Ln^(1;x)^2M₂



^Ln^(t2;x)^2xLn^(t;x)^x2Ln^(1;x)



 

=



^Ln^(1;x)¹



 ^2M₂

 

^Ln^(t2;x)^x2



 



2x



L_n(t;x)x



x²



L_n(1;x)1

 

2 ₂



(1; ) 1



2  



 



 



 M x L x

 n





 ^M



^Ln ^{t x} ^x



4^{M x}

^

^Ln(^t;^x)^x

^

)

; 2 (

2 2 2

2 



elde edilir. ^x



^a,b



olduğundan





 



 







 



  M b x b

M x

2 2

2 2 2

2

4M 4M

, 2

2





 

 

dir. O halde

₁ 2 ₂ ² , ₂ 2 ₁ , _{3 1} ² b C C

bC C

M b

C    



eşitliklerini kabul edersek,

x x f t f

L_n( ( ) ( );

1 )

; 1 ( )

; ( )

;

( ^{2 2} _{2 3}

1     



 C L_n t x x C L_n t x x C L_n x

yazılabilir ve burada  0 istenildiği kadar küçük seçilebilen bir sayıdır. (2.1), (2.2) ve (2.3) eşitsizliklerinden dolayı n için

L_n( f(t) f(x);x 0

olur. Bu sonuç ve (2.6) eşitsizliğinden yararlanarak

L_n(f;x) f(x) 0

olduğu görülür.

Tanım 2.6: (Operatörün Sürekliliği)

Y

X ve normlu uzaylar L:X Y lineer operatör olsun. Her  0 sayısına karşılık öyle bir pozitif (, f₀) sayısı bulunabilir ki  

f X

f ₀ olduğunda





L fo Y

f

L( ) ( ) eşitsizliği sağlanırsa L operatörü f ₀ X için süreklidir denir.

Tanım 2.7: (Süreklilik Modülü)

] , [ ,y a b

x  olmak üzere x y  şartını sağlayan  0 için f(x) f(y) nin en küçük üst sınırına f nin süreklilik modülü denir.

w(f; ) sup f(x) f(y)

y x







 



veya

w(f; ) sup f(x h) f(x)

h











sembolleri ile gösterilir.

Süreklilik Modülünün bazı özellikleri;

1) w fonksiyonu monoton artandır. Yani;

₁ ₂ w(f :₁)w(f :₂)

dir.

2) m ise

w(f :m)mw(f :)

dir. Gerçekten,

w(f :m ) sup f(x h) f(x)

m h







 



sup f(x mh) f(x)

m mh







 

  

 











m

h k

h k x f kh x f

1

) ) 1 ( ( ) ( sup





 











m

k h

h k x f kh x f

1

) 1 ( ( ) ( sup



mw(f :)

bulunur.

3)  0 için,

w(f :)(1)w(f :)

dir. Gerçekten,

w⁽f ^:)w



f ^:

  

^{ 1}



^







1

 





w



f :



(1)w(f :)

yazılabilir.

4) f , [ ba, ] de sürekli ise,

f(t) f(x) w



f : tx



olup,

^w



^{f :t x}



^{sup f(t) f(x)}

x t x t













) ( ) ( sup

] , [ ,

x f t f

b a x t







 f(t) f(x)

sağlanır.

5) Süreklilik modülünün tanımından,

f(x) f(y) w



f : xy



_^









 

 

 x y f

w :



^



 ^:

1 x y w f











 





yazılabilir.

Tanım 2.8: (Newton İnterpolasyon Polinomu)

Verilen f fonksiyonu ve (x₁,y₁),...,(x_n,y_n),y_n  f(x_n) şeklindeki n tane nokta için,

k j

k n

k j k j

j x x

x Y x

P ^

Π

^_



1

olmak üzere,

( ) ( )

1

x P x

P _j

n



j





şeklinde tanımlanan polinoma Newton İnterpolasyon Polinomu denir.

Tanım 2.9 : (Lineer Fonksiyonel)

= ℝ veya F=ℂ olmak üzere X , F cismi üzerinde bir lineer uzay olsun.

F X

T :  operatörüne fonksiyonel denir. Eğer T lineer ise T ye lineer fonksiyonel adı verilir.

Tanım 2.10 :

Her pozitif  için,

/p p p t

L f: f x t f x dx

W

σ

1

) ( ) ( sup

)

( 









  









 



ifadesine f nin L uzayındaki süreklilik modülü denir. _P

Tanım 2.11: (Taylor Serileri)

Bir noktada aldığı değer ve türevleri f fonksiyonununkilerle aynı olan p polinomuna f ile uyumlu polinom adı verilir. Eğer,

p(x)a₀ a₁xa₂x² ...a_nxⁿ

polinomu x0 noktasında n inci mertebeden türevlenebilen f fonksiyonu ile uyumlu ise,

p(0) f(0)a₀  f(0) p'(0) f'(0)a₁  f'(0) p''(0) f ''(0)2a₂  f ''(0) p' ''(0) f' ''(0)23a₃  f '''(0) p⁽⁴⁾(0) f⁽⁴⁾(0)234a₄  f⁽⁴⁾(0)

olup bu şekilde devam edilirse,

p^(k)(0) f^(k)(0) 23...ka_k  f^(k)(0)

olur. Yani k 0,1,2,...,n için,

! ) 0

)(

(

k a f

k

k 

bulunur. Böylece x a noktasında f fonksiyonu tarafından üretilen Taylor polinomunun,

^k

n k

k

a k x

a x f

p ( )

! ) ) (

(

) (

0









olduğu elde edilir.

( ) ( )

! ) ) (

(

) (

0

x K a k x

a x f

f ^k _n

n k

k











denirse,

( ) ( )

! ) ) (

(

) (

0

x K a k x

a x f

f ^k _n

n k

k











kalan terimli Taylor formülü elde edilir.

Lemma 2.2: (Cauchy Schwartz Eşitsizliği)

,..., ve

,..., ₁

1 an b bn

a herhangi 2 reel sayıysa, n

   

1^{2 2}



2 2

1 2 1

1b ... anbn a ... an b ... bn

a       

dir [3].

İspat :

P⁽x⁾



a₁xb₁



² ....



a_nxb_n



²

olsun. Eğer,

Aa₁² ...a₁² Bb₁² ...b₁² Ca₁b₁...a_nb_n

ise,

p(x) Ax² 2CxB

elde ederiz. Her x ℝ için, p(x) karelerinin toplamı olduğundan p(x)0 çıkar.

Yani her x ℝ için,

Ax² 2CxB p(x)0

bulunur. Her reel sayı için geçerli olan böyle bir eşitsizlik ancak

2 0



 AB

C ise mümkündür. Bu durumda

   

1^{2 2}



2 2 1 2 1

1b ... anbn a ...an b ... bn

a      

olur.

Teorem 2.2: (Fubini Teoremi)

: ℝ = [ , ] × [ , ] → ℝ sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda,

a) g x f x,y dy

d

c

) ( )

( ^



fonksiyonu [ ba, ] üzerinde integrallenebilir ve

f x,y dydx g x dx f x,y dydx

d

c b

a b

a R

) ( )

( )

(

  



^{ }

dir.

b)

g y f x,y dx

b

a

) ( )

( ^



fonksiyonu [ dc, ] üzerinde integrallenebilir ve

f x,y dxdy g y dy f x,y dydx

b

a d

c d

c R

) ( )

( )

(

  



^{ }

dir [1].

Teorem 2.3 :

, ℝ = [ , ] × [ , ] kümesi üzerinde integrallenebilen bir fonksyion olsun.

(a) Her x [ ba, ] için h(y) f(x,y) şeklinde tanımlı, h:[c,d] ℝ fonksiyonu ]

,

[ dc üzerinde integrallenebilir olsun. Bu durumda,

g x h y dy f x,y dy

d

c d

c

) ( )

( )

( ^



^



şeklinde tanımlı g:[a,b] ℝ fonksiyonu [ ba, ] üzerinde integrallenebilir ise

f x,y dxdy f x,y dy dx

d

c b

a R





















^{( ) ( )}

dir.

(b) Her y [ dc, ] için h(x) f(x,y) şeklinde tanımlı h:[a,b] ℝ fonksiyonu ]

,

[ ba üzerinde integrallenebilir olsun. Bu durumda,

g y f x,y dx

b

a

) ( )

( ^



şeklinde tanımlı g:[c,d] ℝ fonksiyonu [ dc, ] üzerinde integrallenebilir ise,

f x,y dydx f x,y dx dy

b

a d

c

R 



















^{( ) ( )}

dir [1].

Tanım 2.12: (Tam Uzay)

) ,

(X d bir metrik uzay ve (x_n) bu uzayda bir dizi olsun.  0için m,nn₀ olduğunda d(x_m,x_n) olacak şekilde n sayısı varsa ₀ (x_n) dizisine Cauchy dizisi denir. Eğer X deki her Cauchy dizisi yakınsaksa yani x_n xX ise X uzayına tam uzay denir.

Tanım 2.13: (Banach Uzay)



X,^



bir normlu uzay olsun. Eğer X norm metriğine göre tam ise X e bir Banach uzayı denir.

Teorem 2.4: (Banach – Steinhaus Teoremi)

)

(A_n , bir X Banach uzayından bir Y normlu uzayı içine olan sınırlı lineer operatörlerin bir dizisi ve X üzerinde,

limsup A_n(x) 

n

olsun. Bu taktirde,

sup A_n(x) 

n

dir. Yani,



An



normlar dizisi sınırlıdır.

Tanım 2.14: (Limit)

 

^s_n reel terimli bir dizi olsun.

 

^s_n dizisinin sonlu adetteki terimleri hariç diğer tüm terimleri bir s sayısının keyfi  0 komşuluğunda kalıyorsa

 

^s_n dizisinin limiti s dir denir ve

 

^s_n  ile veya ^s s_n s

n 



lim ile gösterilir.

Tanım 2.15:

 A

f : ℝ bir fonksiyon olsun. a ,A kümesinin bir yığılma noktası olsun. Eğer terimleri A\

 

a kümesinden seçilen ve a noktasına yakınsayan her

 

x dizisi için _n

 



^{f x}_n



görüntü dizisi aynı L sayısına yakınsıyorsa x değişkeni a noktasına yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti L dir denir ve

f x L

a

x 

 ( )

lim

şeklinde gösterilir.

Tanım 2.16: ( Baskakov Operatörü)

) , 0 [ 

 C

f ve n N olmak üzere,

 

   

^k

k

k n n

x k x

n n f k x x

f

B k  



 



  



 





 



^

 1 1

1

; 1

0









 



 

0

, ( )

k k

n n

f k x P

ifadesine Baskakov operatörü denir.

Tanım 2.17: (Szasz Operatörü)

) , 0 [ ve ) , 0

[   

C x

f olmak üzere,

   







 



 



 

0 !

;

k

k nx

n k

nx n f k e

x f S

ifadesine Szasz operatörü denir.

Tanım 2.18: (Mutlak Süreklilik)

f fonksiyonu [ ba, ] üzerinde mutlak süreklidir gerek ve yeter şart  0 için bir 0

  vardır öyleki









n

k

k

k a

b

1

)

( 

şartını sağlayan her sonlu ve ikişerli ayrık

{(a_k,b_k)[a,b]:k 1,2,...,n}

aralık ailesi için









n

k

k

k f a

b f

1

) ( )

( 

sağlanır. Bu tanıma göre mutlak sürekli her fonksiyon süreklidir fakat bunun karşıtı doğru değildir.

Tanım 2.19:

) , ,

(X U  bir ölçü uzayı olsun. 0 p olmak üzere,

^{Lp }



^{f M(X,U): f p L(X,U,)}



kümesine p.kuvvetten integrallenebilen fonksiyonlar sınıfı denir.

Tanım 2.20: (L_p Yakınsaklık)

f ve n f fonksiyonları L_p uzayının elemanları olsun. (f_n) dizisi f fonksiyonuna p-inci mertebeden ortalama yakınsaktır 0için n₀Nöylekinn₀ için

f_n  f _p .

Bu yakınsaklık çeşidine L_p de yakınsaklık da denir. Burada p1 olup

p

X

p p n

n f f f d

f

1











 







^

dir.

Buna göre (f_n)dizisi f fonksiyonuna L_p de yakınsaktır lim  0.



 n p

n f f

3. DURRMEYER TİPLİ OPERATÖRLERİN YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ

 

_{n nN}, b0 olmak üzere,



0,b



aralığında tanımlı her n N, k N₀ için,



0,b



n C

 

 ve n

 

^{0 1} olsun. (3.1)

 tam monoton, yani n

 

^1k_n^{ k 0} ve  _n, nmax



0,c



olmak üzere, c Z için,

_n^k1 n_nc^(k) (3.2)

eşitliği sağlansın.

Yukarıdaki şartları sağlayan

 

 dizileri için aşağıdaki örnekleri verebiliriz: _n

  

¹



ⁿ

n x  x

 , x

 

0,1 aralığında , c1

 

^nx

n x e^

 , x 0,







aralığında , c0

  

¹



^nc

n x  cx ^

 , x 0,







aralığında , c0 .

Tanım 3.1:

N

n  , c N₀, f L_p



0,



, x ,



0 



, n  ve c

   

^{ }

 

^x

k x x

P _n ^k

k k

n,k 

1 !





olmak üzere,

 

 







0 0

) ( ) ( ) )(

( )

)(

(M f x P x n c P_n,k t f t dt

k n,k

n (3.3)

şeklinde tanımlanan operatöre Baskakov Durrmeyer operatörü denir.

Tanım 3.2: (Süreklilik Modülü ve K-fonksiyoneli)

Yaklaşım hızı verilirken L_p



0,



uzayında tanımlı süreklilik modülünü,

 

p

r h r h p

r f,t Δ f

W_ 







0

sup , f L_p



0,



, 1 p, 

 

x  x



1cx



,

  











r

k

k r

H r k H

x f f(x)

Δ ^r_k

0

) 2 )

( ( ) 1

( , _^



^









   r H ,

x r H

x 0

, 2 2

şeklinde tanımlayacağız. Diğer durumlarda ise, Δ_H^r f(x)0 alacağız.

Burada süreklilik modülü

)}

, 0 [ );

, 0 ( :

) , 0 [ {

)) , 0 [ ,

(    _p  ^(r1) _loc  ^{r (r)} _p 

r

p g L g AC g L

W  

)}

, 0 [ );

, 0 ( :

) , 0 [ {

)) , 0 [ ,

(    _p  ^(r1) _loc  ^{r (r)} _p 

r

p g L g AC g L

W  

olmak üzere,

} {

inf )

,

( ^{( )}

)) , 0 [ ,

( ^p

r r r p p

r

r f t f g t g

K r

wp

g 

    





} {

inf )

,

( ^{() ()}

)) , 0 [ ,

( ^p

r r p r r r p p

r r

g t g

t g f t

f

K _r

wp g

  















şeklinde tanımlı - fonksiyoneli W_^r(f,t)_p ile verilen süreklilik modülüne denktir [8].

Şimdi P_n,k ağırlık fonksiyonunun sağladığı bazı özellikleri verelim.

 

^ _n

fonksiyonlar dizisinin sağladığı özellikler dikkate alınırsa aşağıdaki eşitlikler kolayca elde edilir.

Lemma 3.1: Her nN , nc , kN₀ , x[0,) için,

1)









0

1 ) (

k

n,k x

P , (3.4)

2) lim ^{( 1)}( )lim ^{1 ( 2)}( )...lim ( )0

















 x x x x _n x

n k

n k n k

n k

n    için,





 

0

) 1

(t dt n c

P_n,k , (3.5)

3) P_, (x) xP _{, 1}(x) n

k

k c n k

n    , (3.6)

4) ( )² P (x) (k nx)P (x) dx

x d _n,k   _n,k

 , (3.7)

5)



1^{( ) ( )}



P ⁽x⁾

dx x d P x P

n _nc,k  _nc,k  _n,k , (3.8)

dir. Eğer k 0 ise P_n,k(x)0 dır.

İspat:

1)

 

 türevlenebilir fonksiyonlar dizisi olduğundan, _n











0 ) (

)

! ( ) ) (

(

k

k k

n

n x t

k x  t



ile x  noktasında, t _n(x) fonksiyonu tarafından üretilen Taylor polinomunu gösterelim. Fonksiyonda x0 alınırsa, _n(x)in tanımında _n(0) 1 olduğundan,

 

















0 0

) (

) ( )

1

! ( ) 1 (

) 0 (

k n,k k

k k k

n

n t P t

k

 t



elde edilir.

Özel olarak , _n(x)e^nx seçilirse ,

_n^(k)(x)=( )1 ^kn^ke^nx

olur. Bu durumda,

   

^{ }

 

^x

k x x

P _n ^k

k k k

n 

1 !

,  

 

^{k k}

 

^{knke nx}

k

x _





 1

1 ! ^{k nx}

k

e k n

x _

 !

bulunur. _n(x) in x  noktasındaki Taylor polinomundan faydalanarak, t

^k

k k n

n x t

k

x t ( )

! ) ) (

(

0 ) (











 

=

 

k k

nt k k

t k x

e

n ( )

! 1

0

 









olduğu görülür. x0 alınırsa,

 









 





0

) 1

! ( 1 1

) 0 (

k

k k nt k k

n t

k e

 n

=

 









 

0 0

)

! _k ^n,k(

k

nt k k

t P e

k n t

elde edilir. Bu da ( )1 n

f k için Szasz operatörüdür.

Şimdi n

  

x  1x



^n seçilirse ,

n^{ k}

    

x  1^kn n1



...



n



k1

 

1x



^{nk}

olup,

   

^{ }

 

^x

k x x

P _n ^k

k k k

n 

1 !

,  





 



  



 ^{ }

kk n x

x^k(1 ) ^{(n k)} 1

bulunur. Bu durumda,

^k

k k n

n x t

k

x t ( )

! ) ) (

(

0 ) (











 









 



 



  









0

)

( ( ) 1

) 1 ( ) 1 (

k

k k

n k

kk n t x x

ve

    

^{ }







 



 



  











0

1 )

1 ( 1

1 1

) 0 (

k

k k k

n k

n x t n kk



=

  

^{ }







 



 



  



0 k

1

1 x n kk

t^{k n k}

=





0

) (

k

n,k t P

elde edilir. Bu da ( )1 n

f k için klasik Baskakov operatörüdür.

2) Şimdi

c dt n

t P_n,k

 



 1

) (

0

olduğunu gösterelim. x^k u, _n^(k)(x)dxdv olmak üzere,





0

) ( ( dxx)

x^k_n ^k integraline k kez kısmi integrasyon uygularsak,