3.1. Hölder Uzayında Bazı Singüler İntegraller
C, IR reel eksen üzerinde sınırlı ve düzgün sürekli olan reel değerli fonksiyonların bir uzayı olsun. Bu uzay üzerinde bir norm
( )
c sup
x R
f f x
∈
= (3.1.1)
şeklinde tanımlanabilir. Gerçekten de
(i) f c ≥0 dır. Çünkü . :R→R negatif olmayan fonksiyondur.
Dolayısıyla supremumu da negatif olamaz.
(ii) =0⇔sup ( ) =0
∈ f x
f
R c x
⇔∀x∈R, f(x) =0 ⇔∀x∈R, f(x)=0 ⇔ f =0
f c =0⇔ f =0 dır.
(iii) f sup( f)(x)
R
c x λ
λ
∈
=
sup f(x)
R x
λ
∈
=
sup f(x)
x∈R
= λ
= λ f c dır.
Dolayısıyla,
λf c = λ f c , λ∈R eşitliği sağlanır.
(iv) f g sup(f g)(x)
R
c = x +
+
∈
sup f(x) g(x)
R x
+
=
∈
R R x
x
x g x
f
∈ + ∈
≤sup ( ) sup ( )
= f c + g c f +g c ≤ f c + g c
elde edilirki dolayısıyla norm aksiyomları sağlanır.
Verilen bir f∈C için
( )
x f(x h) f(x)hf = + −
Δ , h∈R (3.1.2) olmak üzere,
) , ( ft
W = h c
t h
f Δ
≤
sup , t >0 (3.1.3)
şeklinde tanımlanan )W( ft, fonksiyonuna süreklilik modülü diyoruz. Ω ile süreklilik modülünün sağladığı koşullarla benzerlik gösteren fonksiyonların bir cümlesini gösterelim. Yani Ω , aşağıdaki koşullara uygun tüm w fonksiyonların bir cümlesi olsun.
a) w,
[
0,∞)
aralığında tanımlı ve sürekli, b) w, artan ve w(0)=0c) w(t)t−1, t >0 için azalandır.
Verilen bir w Ω∈ için w ile
( )
<∞=
> wh
f h f c
o w h
sup Δ (3.1.4)
şartını sağlayan tüm f∈C fonksiyonların sınıfını H ile gösterelim ve w H ’deki w
w c
H f f
f w = + (3.1.5)
ile tanımlayalım.
Ayrıca H da, w
→0+
hlim =
) (h w
f c Δh
0 (3.1.6)
şartını sağlayan f ∈Hw fonksiyonlarının sınıfını göstersin. Bu durumda H normu w da (3.1.5) şeklinde tanımlanır. (3.1.5) normu ile birlikte H ve w H ye w genelleştirilmiş Hölder uzayı denir. Eğer w,μ∈Ω ve
) (
) ) (
( t
t t w
q = μ , t >0 (3.1.7)
fonksiyonu azalmayan ise, o taktirde Hμ
Hw ⊆ ve Hw ⊆ Hμ (3.1.8) dır. Bunları gösterelim.
İlk olarak Hw ⊆Hμ olduğunu gösterelim;
Hw
f ∈ olmak üzere w,μ∈
[ ]
0,a alalım.) ( sup 1 ) sup ( ) (
) ( ) sup (
0 0
0 h q h
f h
w h h
f f
h h c h h c
w = h> = > >
μ μ Δ
μ Δ
yazılabilir. Dolayısıyla h>0 için ) (
1 h
q fonksiyonu
[ ]
0,a aralığında tanımlıdır. w ,μ fonksiyonları sürekli olduğundan) (
1 h
q da süreklidir. a R
h
q :[0, ]→ )
(
1 sürekli bir
fonksiyon olduğu için sınırlıdır. Bu fonksiyon supremumunu [0,a aralığında alır. ] Bu da
h c q
h
=
> ( ) sup 1
0
gibi bir sabittir. O halde
) ( sup 1 ) sup (
0
0 h q h
f f
h h c
w = h> >
μ
Δ =
) ( sup 1
0 q h f
h>
μ
eşitliğinde f w ve
) ( sup 1
0 q h
h> sonlu olduklarından
) sup (
0 h
f c
h
h μ
Δ
> da sonludur. Yani
∞
μ <
f dır. Buradan da f ∈Hμ elde edilir.
Şimdi Hw ⊆ Hμ olduğunu gösterelim:
Hw
f ∈ ise o halde
) 0 lim (
0 =
→ w h
f c
h h
Δ
dır.
( )
(( ))) lim lim (
0
0 h
h w h w
f h
f h c
h h c
h μ
Δ μ
Δ
+
+ →
→ =
) (
) lim ( . ) 0 (
) lim ( ) lim (
0 0
0 h
h w h
h w h
w f
h h
h c
h μ μ
Δ
+ +
+ → →
→ =
=
=0 dır. Burada f ∈Hw ve
) (
) lim (
0 h
h w
h→ + μ ifadesi sonlu olduğundan
) 0 lim (
0 Δ =
→ + h
f c
h
h μ
dır. Dolayısıyla Hw ⊆ Hμ elde edilir.
Eğer f ∈Hw ise
( )
t fW , ≤w )(t f w, t>0 (3.1.9)
eşitsizliği sağlanır. Bunu görelim:
( )
t f =W , h c
t h
f Δ
≤
sup
idi. Burada h≤t alalım. w fonksiyonu artan olduğundan )w(h)≤w(t olup 1 ) (
( ≥) h w
t
w
dır. Son eşitsizlik süreklilik modülünde kullanılırsa
( )
( )) sup (
, w h
t f w f
t
W h c
t h
Δ
≤
≤
( )
( )sup ) (
, 0
h w
f t
w f t
W h h c
Δ
≤ >
( )
t f wt f w W , ≤ ( ) elde edilir.Eğer f ∈Hw ise, o taktirde
( )
0) ( lim ,
0+ =
→ w t
f t W
t (3.1.10) dir. Bunu görmek için;
( )
t f =W , h c
t h
f Δ
≤
sup eşitliği
( )
( )) sup (
, w h
h f w f
t
W h c
t
h ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
≤ Δ
) sup ( )
( w h
t f
w h c
t h
Δ
≤
≤
( )
) sup ( )
( 0 ,
h w
f t
w f t
W h c
t h
Δ
≤
≤
≤
şeklinde yazılabilir. Her iki tarafın t → 0+ için limiti alınırsa
→0+
tlim
( )
≤) (
, t w
f t W
→0+
tlim ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≤ ( )
sup w h f c
h t h
Δ
→0+
tlim
( )
0) (
, =
t w
f t W
elde edilir. Böylece genelleştirilmiş Hölder uzayının sağladığı bazı özellikler gösterilmiş oldu.
SırasıylaP ,,QW ile gösterilen Picard, Poission-Cauchy ve Gaus-Weierstrass singuler integralleri aşağıdaki gibi tanımlanırlar.
( )
f x t e dtf r r x
P r
∫
t +∞∞
−
−
+
= ( )
2
; 1
, (3.1.11)
r dt t t
x r f f r x
Q 2 1 2
) ( )
; ,
( = +
∫
+ +− π
π π (3.1.12) dt
e t x r f f
r x
W r
t2
) 1 (
)
; , (
− +
−
∫
+= π
π π (3.1.13) Şimdi bu integrallerin f ∈C, x∈R,r∈Ι
(
0,1]
ve r → 0+ iken yakınsaklık durumlarını inceleyelim.Lemma 3.1.1: Eğer f ∈ ise C a) P
(
.,r; f)
c ≤ f c b) Q(
.,r; f)
c ≤ f c c) W(
.,r; f)
c ≤ f cdır. Yani, her r∈Ι sabiti için f ∈ olduğunda C P
(
.,r;f)
,Q(
.,r;f)
ve W(
.,r; f)
integralleri de C ye aittir.
İspat :
a) (3.1.1) , (3.1.10) ve
+∞
∫
eşitliğini kullanırsak,
( )
f x t e dtelde edilir.
b) (3.1.1) , (3.1.12) ve
eşitlikleri kullanılırsa
r dt
elde edilir.
c) e r dt r
t
= π
∞
∫
∞
−
−2
olduğunu gösterelim ve (3.1.1), (3.1.13) eşitliklerini
kullanalım.
∫ ∫
∫
∞∞
−
−
∞
∞
−
−
∞
∞
−
−
=
⇒
= e dx I e e dxdy
I r
y r x r
x2 2 2
2
e r dxdy
y
∫ ∫
x∞
∞
−
∞
∞
− +
−
= ( )
2 2
θ ρ θ
ρcos , = sin
= y
x dönüşümleri yapılırsa ρ
θ
ρ =
∂
=∂
) , (
) , ( yx
J den
θ ρ ρ dd
dxdy= olur. Bu durumda
I2 =2
∫∫
π∞ −ρ ρ ρ θ0 0
2
d d e r
r2 =u
ρ , 2ρdρ=rdudönüşümü uygulanırsa
I r e du r e u k r
k k
u
k π π
π =− =
= −
∞
→
−
∞
→
∫
00
2 lim lim
I2 =πr ⇒I = πr
elde edilir. Şimdi (3.1.1) ve (3.1.13) eşitlikleri kullanırsa
c = f r x
W( , , )
∫
−
−
∈ π +
π πf x r e dt r
r t
R x
2
) 1 (
sup
x∈R
≤ sup f x r e dt
r
r t2
)
1 ( −
∫
+π
f x t e dt
r
r t
R x
2
) 1 (
sup
−
∞
∞
∈ −
∫
+≤ π
x∈R
≤ sup e dt
y r
f r
t
R
y
∫
∞∞
−
−
∈ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ 1 2
) (
sup π
c
R y
f y
f =
≤
∈ ( )
sup
olur.
Lemma 3.1.2:Eğer f ∈Hw ise,o taktirde a) p(.,r;f)w ≤ f w
b) w
w f
f r
Q(., ; ) ≤
c) W(.,r;f) w ≤ f w
eşitsizlikleri sağlanır. Yani her r∈Ι sabiti için f ∈Hw iken P(.,r; f), )Q(.,r;f ve )W(.,r; f fonksiyonları da H ’ya aittir. w
İspat : (3.1.3) , (3.1.10) ve (3.1.12) den x∈IR,r∈Ι ve h∈IR için )
; , ( )
; ,
(x r f P x r f
P h
h Δ
Δ =
) , , ( )
; ,
(x r f Q x r f
Q h
h Δ
Δ =
) , , ( )
; ,
(x r f W x r f
W h
h Δ
Δ =
eşitlikleri sağlanır. (3.1.3) den
)
; , ( )
; , ( )
; ,
(x r f P x h r f P x r f
hP = + −
Δ
f x t e dt
dt r e h t x r f
r t r
∫
t∫
∞
∞
−
∞
∞
−
−
−
+
− +
+
= ( )
2 ) 1
2 ( 1
(
f x t h f x t)
e dt rr
−t
∞
∞
−
∫
+ + − += ( ) ( )
2 1
f x t e dt r
r t
h
∞ − +
∞
−
∫
+= ( )
2
1 Δ
=P(x,r;Δhf) olur. Benzer şekilde
) elde edilirler. Buna göre
Lemma 3.1.1 den ∀r∈I ve ∀h∈R için
h c
hW r f c Δ f
Δ (⋅ ; ) ≤ (3.1.16) olur. Şimdi (3.1.13), (3.1.14) ve (3.1.15)’ü kullanarak, (3.1.4) yardımıyla ⋅ w’yı tanımlayalım.
a) ( )
)
; , sup (
)
; , (
0 w h
f r f P
r
P h c
w h
= ⋅
⋅
>
Δ
sup ( )
0 w h
f c
h h
Δ
>
≤
= f w
b) ( )
)
; , sup (
)
; , (
0 w h
f r f Q
r
Q h c
w h
= ⋅
⋅
>
Δ
) sup (
0 w h
f c
h h
Δ
>
≤
f w
=
c) ( )
)
; , sup (
)
; , (
0 w h
f r f W
r
W h c
w h
= ⋅
⋅
>
Δ
) sup (
0 w h
f c
h h
Δ
>
≤
f w
=
olurlar.
Lemma 3.1.1 ve Lemma 3.1.2, r∈I için P(⋅,r; f), Q(⋅,r;f) ve W(⋅,r; f) fonksiyonlarının Hw’ya ait olduğunu gösterir.
Buna göre aşağıdaki sonucu yazabiliriz.
Sonuç 3.1.1: Eğer f ∈Hw ise a) P(⋅,r; f) Hw ≤ f Hw
b) Q(⋅,r;f) Hw ≤ f Hw
c) W(⋅,r; f) Hw ≤ f Hw
dır.
Lemma 3.1.3: Eğer f ∈Hw ise ∀r∈I sabiti için P(⋅,r; f),Q(⋅,r;f) ve )
; , ( r f
W ⋅ fonksiyonları H ya aittir. w İspat :
a) P(,r;f) için;h>0 , r∈ (3.1.14) eşitsizliğinden I
) ( )
( )
; , ( )
( )
; , 0 (
h w
f h
w f r P h
w f r
P c h c h c
h Δ Δ
Δ ⋅ ≤
⋅ =
≤
olur. Her iki tarafın h→ 0+ iken limiti alınırsa
) lim ( )
( )
; , lim (
0
0 w h
f h
w f r
P h c
h h c
h
Δ Δ
+
+ →
→ ⋅ ≤
dır. f ∈Hw ise
) 0 lim (
0+ =
→ w h
f c
h h
Δ
olduğundan
) 0 (
)
; , lim (
0 ⋅ =
→ + w h
f r
P c
h h
Δ
elde edilir. Dolayısıyla P(⋅,r; f)∈Hw olur.
b) Q(⋅,r;f) için; (3.1.15) eşitsizliğinden
) ( )
( )
; , ( )
( )
; , 0 (
h w
f h
w f r Q h
w f r
Q c h c h c
h Δ Δ
Δ ⋅ ≤
⋅ =
≤
yazılabilir. Her iki tarafın h→ 0+ iken limiti alınırsa
) lim ( )
( )
; , lim (
0
0 w h
f h
w f r
Q h c
h h c
h
Δ Δ
+
+ →
→ ⋅ ≤
elde edilir. Eğer f ∈Hw ise
) 0 lim (
0+ =
→ w h
f c
h h
Δ
olduğundan
) 0 (
)
; , lim (
0 ⋅ =
→ + w h
f r
Q c
h h
Δ
olur. Dolayısıyla Q(⋅,r;f)∈Hw olur.
c) W(⋅,r; f) için; (3.1.16) eşitsizliğinden
) ( )
( )
; , ( )
( )
; , 0 (
h w
f h
w f r W h
w f r
W c h c h c
h Δ Δ
Δ ⋅ ≤
⋅ =
≤
yazılabilir. Her iki tarafın h→ 0+ iken limiti alınırsa
) lim ( )
( )
; , lim (
0
0 w h
f h
w f r
W h c
h h c
h
Δ Δ
+
+ →
→ ⋅ ≤
olur. f ∈Hw için
) 0 lim (
0+ =
→ w h
f c
h h
Δ
olduğundan
) 0 (
)
; , lim (
0 ⋅ =
→ + w h
f r
W c
h h
Δ
elde edilir. Dolayısıyla W(⋅,r; f)∈Hw olur.
Şimdi )Lk(x,r; f operatörünü
⎪⎩ eşitsizlikleri sağlanır.
İspat :
eşitliği kullanılırsa
)
yazılabilir. Bu durumda
∫
∞=
∫
∞∞
−
−
dt e r f
r t
t c
2 Δ 1
∫
∞∞
−
−
≤
≤ f e dt
r
r t
t c t t
Δ 2 sup
1
∫
∞∞
−
−
= W t f e dt
r
r t
) , 2 (
1
dt e f t r W
r
∫
t∞ −
=
0
) , 1 (
olur.
>0
λ olmak üzere r
= t
λ seçilip W(λr,f)≤(1+λ)W(r,f) özelliği kullanılırsa
dt r e f t
r W f
r x
L r
t
c =
∫
∞ + −0
1( , ; ) ( ; ) (1 )
yazılabilir. Son integralde u
rt = denirse dt =rdu olup, du
e u f
r W f
r x
L c =
∫
∞ + −u0
1( , ; ) ( ; ) (1 )
=W r f
(
∞∫
e−udu+∞∫
ue−udu)
0 0
)
; (
=W( fr; )
(
1+1)
)
; ( 2W r f
=
olarak elde edilir. Böylece (a) gerçeklendiğini görülür.
b) (3.1.17), (3.1.12), (3.1.3) ifadeleri ve 1 1
2
2 =
∫
+∞
∞
−
r dt t r
π eşitliği kullanılırsa
)
yazılabilir.
r dt
dt
t eşitsizliği kullanılırsa
⎟⎟
olur. Yukarıdaki eşitsizlik
)
şeklinde elde edilir.
Diğer taraftan ∞
∫
+ ≤∫
∞ =t eşitsizliği kullanılırsa
∫
∞π
bulunur. Minkowsky eşitsizliğinden
c elde edilir.
c), (3.1.17), (3.1.13), (3.1.3) ifadeleri ve 1
∫
∞ 2 =1π eşitliği kullanılırsa )
yazılabilir.
(b) deki işlemler benzer şekilde kullanılırsa
∫
elde edilir. Dolayısıyla
∫
f e dt
şeklinde yazılabilir. Burada
r
yazılabilir.
∫
π −elde edilir.
dt e r
∫
t∞ −
π
2
integralinde u
rt = denirse
r re e
r du e r dt e dt
e k r
r u k k
r u k
r t r
t
<
=
−
=
=
≤ − −
∞
→
−
∞
→
∞ −
∞ −
∫
∫
∫
π ππ π π
lim lim
2
elde edilir.
Buna göre,
L r f c W r f r2 f c
1 2 1 2
1 2
1
3(⋅, ; ) ≤ ( , )(1+π− )+2π− olarak bulunur.
Sonuç 3.1.2: Eğer f ∈Hwise, o takdirde
(a) L1(.,r;f) c ≤ 2 f Hww(r) (3.1.21)
(b) 2(., ; )
[
2 2( 2 (1)) 1]
( ln( ))r r w f w
f r
L c Hw
π − π +
≤ (3.1.22)
(c) ) ( )
) 1 ( 1 2 ( 1 )
;
(., 2
1 2
1
3 f w r
f w r
L c ⎥ Hw
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ + +
≤ π− (3.1.23)
eşitsizlikleri sağlanır.
İspat :
a) (3.1.5),(3.1.9) ve (3.1.18) ifadeleri kullanılırsa )
, ( 2 )
;
1(.r f W r f
L c ≤
≤ 2w )(r f w
≤2w )(r f Hw
olur.
b) (3.1.5) , (3.1.9) ve (3.1.19) ifadeleri kullanılırsa
r f r f
r W f
r
L2(⋅, ; ) c ≤2 ( lnπ , )+2π−2 c
)) ln(
(
)) ln(
( 2
)) ln(
(
2 2
r r w
r r w r f r f
r
w Hw Hw π
π
π + π−
≤
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
)) ln(
( 2 2
)) ln(
(
2
r r w f r
r r
w Hw π
π π
yazılabilir.
Parantez içindeki ifade için
) 1 ( 2 )) ln(
( 2
2 2w
r r w
r π π π
≤ olduğunu gösterirsek
ispat tamamlanır.
(
0,1]
∈
r için ln( ) r πr
artandır. Artan olduğu için maksimum değerini 1r = de alır. Dolayısıyla
π π ln ) ln(
0< ≤
r r yazılabilir. Ayrıca t>0 için ) (t w
t artan olduğundan
) (ln ln )) ln(
( ) ln(
π π π
π
w r r
w r r
≤ (I)
dır. Diğer taraftan r π ≤ ise π
r r
r π
π ln
ln ≤ dır. Buna göre
)) ln(
( ) ln(
) ln (
ln
r r w
r r r
w r
π π
π ≤π (II) yazılabilir. (I) ve (II) den
)
elde edilir. Böylece
[
2 2( (1))]
( ln( ))Parantez içindeki ifade
) 1 ( 2 ) ( 2
2 1 2 1
r w w
r ≤ şeklinde yazılabilir. Çünkü r∈
(
0,1]
içi
) ( 2
1 2 1
r w
r ifadesi artan olduğundan maksimum değerini r=1 için alır. Böylece
f c
r
L3(., ; ) ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ + +
≤ − )
) 1 ( 1 2 ( 1 )
( 2
1 2
1
r w w
f Hw π
olarak elde edilir.
Özel olarak f ∈Hw, w(t)=tα 0< α≤1 için a) L1(.,r;f) c ≤2 f Hwrα
b) π α
π ( ln( )) )
1 ( 1 1
2 )
;
(., 2
2 r r
f w f
r
L c Hw ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ +
≤
c) 2 2
1
3 )
) 1 ( 1 2 ( 1 )
; (.,
α
π r
f w f
r
L c Hw ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ + +
≤ −
eşitlikleri geçerlidir.
Sonuç 3.1.3: Eğer f ∈Hw ise, o takdirde
(a) 0
) (
)
; lim 1(.,
0+ =
→ w r
f r
L c
r (3.1.24)
(b) 0
)) ln(
( )
; lim 2(.,
0+ =
→
r r w
f r
L c
r π (3.1.25)
(c) 0
) (
)
; lim (.,
2 1 3
0+ =
→ w r
f r
L c
r (3.1.26) olur.
İspat:
a) (3.1.10) ve (3.1.18) ifadeleri kullanılırsa
yazılabilir.
Hw
f ∈ olduğundan eşitsizliğin sağ tarafı sıfıra eşit olur. Sıkıştırma teoreminden
) 0
olarak elde edilir.
(b) (3.1.10) ve (3.1.19) ifadelerinden
yazılabilir.
))
)
yazılabilir. Bu eşitsizliğin sağ tarafı sıfıra eşit olacağından sıkıştırma teoremi gereğince
(c) (3.1.10) ve (3.1.20) ifadelerinden benzer şekilde
0
eşitliği elde edilebilir.
Teorem 3.1.2: w,μ∈Ω ve (3.1.7) ifadesi ile tanımlanan q azalmayan bir
eşitsizlikleri sağlanır.
İspat: İspat için (3.1.1)-(3.1.5) ifadelerini kullanalım.Hw ⊆Hμ olduğundan dolayı
μ (., ; ) (., ; ) μ
)
;
(.,r f L r f L r f
Lk H = k c + k
olduğunu biliyoruz. Kabul edelim ki )
; ( )
; ( )
;
(.,r f S r f T r f
Lk μ ≤ k + k (3.1.30) şeklinde tanımlansın. Burada
) (
)
; sup (.,
)
;
( 1
1 0
h f r f L
r
S h c
r
h μ
Δ
≤
<
= ve
) (
)
; sup (.,
)
;
( 1
1 h
f r f L
r
T h c
r
h μ
Δ
>
=
dır. Buna göre
(a) (3.1.21) eşitsizliğinden ) ( 2
)
;
1(.,r f f w r
L c ≤ Hw
yazılabilir.
1
0< r≤ ve μ artan olduğundan ) 1 ( ) ( ) ) (
( ) 1
1 ( μ
μ
μ w r q r
r ⇔ ≤
≤
olur. Dolayısıyla
) 1 ( ) ( 2
)
;
1(.,r f f q r μ
L c ≤ Hw (3.1.31) yazılabilir. Diğer taraftan
c hf c ≤2 f
Δ (3.1.32) eşitsizliği kullanılırsa
) (
)
; (., sup2 )
;
( 1
1 h
f r f L
r
T c
r
h> μ
≤
( )
)
; (., 2 1
r f r
L c
≤ μ (3.1.33) olur. Burada (3.1.9) ve (3.1.18) eşitsizlikleri kullanılırsa
)
;
1(r f
T ≤4 f Hwq(r) (3.1.34) elde edilir. Daha sonra (3.1.2), (3.1.14) ve Δhf c ≤2 f c eşitsizliği kullanılırsa
h c h c
c h
hL x r f P x r Δ f Δ f Δ f
Δ 1( , ; ) = ( , ; )− ≤2 (3.1.35) bulunur. (3.1.34) den ise
) ( ) (
) ( )
; sup (.,
)
;
( 1
1 0
h w h
h w f r f L
r
S h c
r
h μ
Δ
≤
<
=
( )
) ( sup 2
0 w h
f h
q h c
r h
Δ
≤
<
≤
≤2 f wq(r) (3.1.36) olur. Son olarak
(3.1.30) , (3.1.31) , (3.1.34) ve (3.1.36) eşitsizlikleri kullanılırsa
[
6 2 (1)]
( ) );
1(.,r f f q r
L Hw ≤ + μ Hw
elde edilir.
(b) (3.1.22) eşitsizliğinden
[ ]
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
≤ 2 2( − (1))− ln( ) )
;
(., 2 1
2 r f w f w r r
L c Hw
π π
yazılabilir. r∈
(
0,1]
için π π ln ln ≤r r dir. μ artan olduğundan ) (ln )) ln(
( )) ln(
( )) ln(
( )
1 (ln π π μ π
μ π π μ
r r r q
r w r r
≤
⇔
≤
olur. Bu durumda
( )
[
2 2 (1)]
ln( ) (ln ))
;
(., 2 1
2 π μ π
π ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
≤ −
r r q f w
f r
L c Hw (3.1.37)
yazılabilir. Diğer taraftan Δhf c ≤2 f c eşitsizliği kullanılarak
)
elde edilir. Burada da (3.1.9) ve (3.1.20) eşitsizlikleri kullanılırsa
( )
bulunur. Şimdi (3.1.35) olduğu gibi
h c
hL x r f c Δ f
Δ 2( , ; ) ≤2 eşitsizliğini elde edip (3.1.32) eşitsizliği kullanılırsa
elde edilir. Son olarak (3.1.30) , (3.1.37) , (3.1.39) ve (3.1.40) eşitsizlikleri kullanıldığında
[ ] ( )
bulunur.
(c) (3.1.23) eşitsizliğinden
)
yazılabilir. r∈
(
0,1]
için r21 ≤1ve μ artan olduğundanolup, buradan
)
yazılır. Diğer taraftan (3.1.31) eşitsizliği kullanılırsa
)
elde edilir. Burada da (3.1.9) ve (3.1.20) eşitsizlikleri kullanılırsa
)
bulunur. (3.1.35) de olduğu gibi
h c
hL x r f c Δ f
Δ 3( , ; ) ≤2 eşitsizliğini elde edip (3.1.31) eşitsizliği kullanılırsa
)
olarak bulunur. Son olarak (3.1.30) , (3.1.41) , (3.1.43) ve (3.1.44) eşitsizlikleri kullanılarak,
(
2 (1))
( )elde edilir. Böylece teorem ispatlanmış olur.
Teorem 3.1.3: w,μ∈Ω ve q azalmayan fonksiyon olsun. Eğer f ∈Hw ise, o
yazılabilir. Şimdi )(i ve )(ii yi ayrı ayrı inceleyelim.
)
yazılabilir. f ∈Hw olduğundan eşitsizliğin sağ tarafı sıfıra eşittir. Dolayısıyla
) 0
eşitsizliğini verir. Bu durumda
) olacağından sıkıştırma teoremi gereğince
) 0
Şimdi (i) ve (ii) yi birleştirirsek
)
b) (3.1.5) , (3.1.6) , (3.1.7) , (3.1.10) ve (3.1.19) ifadeleri kullanılırsa
şeklinde yazılabilir. Şimdi (i) ve (ii) yi ayrı ayrı inceleyelim.
(i)
eşitsizliği yazılabilir
)
bulunur. f ∈Hw olduğundan eşitsizliğin sağ tarafı sıfıra eşittir. Dolayısıyla
0
olarak elde edilir.
)
(ii (3.1.30) ve (3.1.38) ifadelerini göz önüne alırsak,
)
bulunur. Buradan olacağından sıkıştırma teoremi gereğince
0
olarak elde edilir.
c) (3.1.5), (3.1.6), (3.1.7), (3.1.10) ve (3.1.20) ifadeleri kullanılırsa
μ (., ; ) (., ; ) μ
yazılabilir.Bu eşitlik ayrı ayrı incelendiğinde i için a) ve b) dekine benzer şekilde )
0
olarak elde edilebilir.
)
bulunur.Buradan
) olacağından sıkıştırma teoremi gereğince
0
olarak elde edilir. Şimdi i) ve ii) yi birleştirirsek
)
olur.
Sonuç 3.1.4: w(t)=tα, μ(t)=tβ , 0< β ≤α≤1 t ≥0olmak üzere eğer f ∈ ise, H o taktirde
(a) μ α β
≤ f r −
f r
L1(., ; ) H 8 Hw
(b) β π α β
π π
μ
⎥⎦ −
⎢⎣ ⎤
⎡ + +
≤ 2 )(ln ) ( ln( ))
2 2 ( ) 13
;
(., 2
2 r f f r r
L H Hw
(c) 2 2
1
3(., ; ) (5 9 )
β α
π
μ
− −
+
≤ f r
f r
L H Hw
eşitsizlikleri geçerlidir.
Sonuç 3.1.5: w(t)=tα, μ(t)=tβ ,0< β ≤α≤1 t ≥0 olmak üzere, f ∈Hwise o taktirde
(a) (., ; ) 0
lim 1
0 − =
→ + α β
μ
r f r
L H
r
(b) 0
) ln(
)
; lim 2(.,
0 =
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
→ + α β
π
μ
r r f r
L H
r
(c) (., ; ) 0
lim
2 3
0 − =
→ + α β
μ
r f r
L H
r
eşitlikleri geçerlidir.
3.2. Bir Fonksiyona Genelleştirilmiş Gauss Weierstrass Singüler İntegrali İle Yaklaşım Hızı
f(x), L1(−∞,∞) uzayına ait integrallenebilir bir fonksiyon olsun. Aşağıdaki gibi tanımlanan )f(x ’in genelleştirilmiş Gauss Weierstrass tek katlı integralinin yaklaşım hızını belirleyelim.
>0
s için
0 ,
) ( 1)
( 2 )
; ,
( = 1 ∞ + + →
∞
−
−
∫
ξξ Γ
ξ f x t e ξ dt
s s s
x L
ts
s
(3.2.1)
) ( 2 ) ( ) ( )
(t f x t f x t f x
x = + + − −
φ (3.2.2) ve
∫
= t x v dv t
0
) ( )
( φ
Φ (3.2.3)
olsun.
Tanım 3.2.1: İntegrallenebilir bir f fonksiyonunun, k(t) pozitif artan ve t
t k )(
azalan olmak üzere k(t) sınıfına ait olabilmesi için aşağıdaki şartları sağlaması gerekir.
(a) k(xy)=k(x)k(y)
(b) f(x+t)− f(x) =Ο
( )
k(t) Eğer,(i) k(t)=tα 0<α<1 ise sınıfımız lip ’ya indirgenir. α
(ii) k t t p
1
)
( = α− ve f(x)∈Lp (p>1) ise sınıfımız lip α( ,p)’ya indirgenir.
(iii) ( ) ψ( ) , ψ
1
t p
t t
k = − pozitif artan fonksiyon ve f(x)∈Lp ise sınıfımız
(
ψ(t),p)
sınıfına indirgenir.Buradaki amacımız, daha genel sınıftan olan k(t)’yi dikkate alarak f(x)’in genelleştirilmiş Gauss Weierstrass tek katlı integrallerinin yaklaşım hızını belirlemektir. Şimdi aşağıdaki teoremleri ispatlayalım.
Teorem 3.2.1 : f(x)∈ L1(−∞,∞) olsun. u→0 için
[
( ) ( ) 2 ( )] (
2 ( ))
0
u k u dt x f t x f t x f
u
=Ο
−
− +
∫
+ ve k(t)) ( e
) ( k
) t ( k t
s
s
t
s s
1
1 0
1 0 2
1
0 ο
ξ ξ
ξ =
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
ve (t2k(t)) (tk(t)) dt
d =Ο (3.2.4)
özelliklerini sağlasın. O taktirde (0,∞ aralığı ) (0,t0) ve (t0,∞) olarak ayrılırsa
)) ( ( ) ( )
;
; (
1 1
s sk x
f s x
L ξ − =Ο ξ ξ , ξ→ 0+ olur.
İspat 1
1) ( 2
1
∫
∞ =∞
−
−
dt e s
s
ts
s ξ
ξ Γ
dir. Gerçekten bu integralde
ts =u
ξ ⇒ t u s
1
)
=(ξ ⇒ u du
dt s s s 1
1
1 1 −
= ξ değişken değiştirmesi yapılırsa
1 1)
(
1 1 1
0
− =
∞ −
∫
e u dus
u s
Γ
elde edilir.
Şimdi )L(x;ξ;s)− f(x farkını hesaplayalım.
dt
yazabiliriz. Bu eşitlikteki f x t e dt
ts
ve (3.2.2) den gerekli düzenlemeler yapılırsa
)
bulunur. Daha sonra her iki taraf ( )
1
şeklinde yazılabilir.
Şimdi I1 inceleyelim.
))
integralinde
u dönüşümleri yapılırsa
bulunur. (3.2.4) ifadesinden
)
integralinde kısmi integrasyon kuralı uygulanırsa u
olur. (3.2.4) den
şeklinde yazılabilir. Eğer yukarıdaki integralin yakınsak olduğu gösterilirse sınırlı olduğu gösterilmiş olur. Şimdi bu integralin yakınsak olduğunu gösterelim.
)
şeklinde yazılabilir.
Toplamdaki birinci integral Reimann anlamında integrallenebilirdir.
Dolayısıyla yakınsaktır. İkinci integralde karşılaştırma testinin limit formu kullanılırsa
0 lim
4 =
∞
→ σ
σ
σ
e , p=2>1
olduğundan yakınsak olduğu görülür. O taktirde
∫
∞−
0
)
(σ σ
σk e σsd
integrali de yakınsaktır. Dolayısıyla sınırlı olduğundan
∫
∞− =
0
) 1 ( )
(σ σ Ο
σk e σsd (3.2.6)
şeklinde yazılabilir. O taktirde I de '' )
1 ( ) 1 (
''1 =ο +Ο
I
) 1 (
''1 =Ο I
şeklinde yazılabilir.
'' 1 1 '
1 I I
I = + olduğundan =ο(1)+Ο(1)
=Ο(1) , ξ→ 0+ olur. Şimdi I2 yi inceleyelim.
dt e t x f s k
I s
o
s
t
t
s
s
∫
∞ + −= ξ
ξ ξ Γ
) ( ) ( 1) ( 2
1 2 2
Her iki tarafın mutlak değeri alınırsa
∫
∞yazılabilir. Daha sonra bu integralde
s s
t =v
ξ ⇒ . dt sdv
1
=ξ
değişken değiştirmesi yapılırsa
=
∫
∞ −∞ elde edilir. Böylece
)) gerçekleşir.
Teorem 3.2.2: f(x)∈ L1(−∞,∞) olsun. u→ 0+ için
ise k(t)’nin (3.2.4) şartlarını sağlaması durumunda
))
İspat (3.2.5) ifadesinden dolayı
dt
yazılabilir. Daha sonra her iki taraf ( )
1 1
s sk ξ
ξ ile bölünürse
)
elde edilir. Teorem 3.2.1 ispatındaki gibi
) şeklinde yazılabilir.
I1 için
olduğu önceki teoremden görülebilir. I2 ise
dt
elde edilir. Böylece
))
eşitliği gerçeklenmiş olur.
Teorem 3.2.3 : f(x)∈ L1(−∞,∞) u→0 için
özelliklerini sağlasın. O taktirde (0,∞ aralığını ) (0,t ve 0) (t0,∞) olarak ayırdığımızda
))
İspat : (3.2.5) ifadesinden aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
dt
şeklinde yazılabilir.I1 için
))
integralinde
u
dv t
d(Φ( ))= Φ(t)=v dönüşümleri yapılırsa
I1 elde edilir.
)
olduğu (3.2.7) ifadesinden
görülür. Daha sonra Φ(t)=Ο
(
tk(t))
olduğu içinintegralinde u
dönüşümleri yapılırsa
∫
−bulunur. Eğer yukarıdaki integralin yakınsak olduğu gösterilirse sınırlı olduğu gösterilmiş olur. Şimdi bu integralin yakınsak olduğunu gösterelim.
) ( ) (
) ( 1)
( 2
0
0
1
1 d t
k t k e s B s
t
s s
ts
∫
−
=
ξ Γ ξ
ξ
integralinde σ ξ
=
s
t
1 değişken değiştirmesi
yapılırsa,
σ σ σ
ξ
d e k
B s
s
t
∫
−=
1 0
0
) (
elde edilir. ξ → 0+ için
∫ ∫
∫
− ∞ −∞
− = 1 +
0 1
0
) ( )
( )
(σ e σ dσ k σ e σ dσ k σ e σ dσ
k s s s
şeklinde yazabiliriz. k(σ) pozitif artan, σ
σ) (
k azalan olduğundan eşitliğin sağındaki
∫
∞−
1
) (σ e σ dσ
k s
integrali σile çarpılıp bölünürse
∫
∞−
0
) (σ e σ dσ
k s k e σsdσ k σe−σsdσ
− ∞
∫
∫
+=
1 1
0
) 1 ( )
1 (
şeklinde yazılabilir.
Birinci integral Reimann anlamında integrallenebilirdir. Dolayısıyla yakınsaktır. İkinci integralde karşılaştırma testinin limit formu kullanılırsa
0 lim
3 =
∞
→ σ
σ
σ
e , p=2>1
olduğundan yakınsak olduğu görülür. O taktirde
∫
∞) −
(σ e σ dσ
k s
integrali de yakınsaktır. Dolayısıyla sınırlıdır. Buna göre
=ξ değişken değiştirmesi yapılırsa
(3.2.6) ifadesinden
)
olduğu görülür. Sonuç olarak
)
elde edilir. Böylece
))
gerçeklenir.
Teorem 3.2.4 : f(x)∈L1(−∞,∞), u→0 için ( ) ( ( )) gösterilebilir.
Sonuç: k(t) ye farklı değerler verilerek aşağıdaki sonuçlar elde edilebilir.
tα elde edilir.
t p
elde edilir.
t p
t t k iii
1
) ( ) ( )
( = ψ − ise o taktirde ( ; ; ) ( ) ( ( ))
1 1 1
sp s
x s
f s x
L ξ − =Ο ξ − ψ ξ elde edilir.