Kitabýn Adý:

(1)

Bu kitabýn tüm haklarý yazarlarýna aittir.

Kitabýn Adý : 10. Sýnýf Geometri Soru Bankasý

Yazarlar : Özkan Güner Erhan Nemutlu Tarýk Þahin Kenan Akarbulut

Baský : Kanyýlmaz Matbaasý Aðustos - 2011

Kapak : Model Ajans

Dizgi : Aynur Sarýbüyük

aynur_saribuyuk@hotmail.com

ISBN : 978 - 605 - 89824 - 0 - 0

Ege Yayýncýlýk Eðitim Hizmetleri Turizm Ýnþaat San. ve Tic. Ltd. Þti.

Merkez mah. Aligalip cad. Ekþioðlu iþhaný No : 16/9 Gaziosmanpaþa / ÝSTANBUL

Tel : 0 (212) 563 95 52 web : www.egeyayincilik.com

Özkan Güner 0505 221 70 06 ozkanguner@hotmail.com

Erhan Nemutlu 0505 405 38 12 enemutlu46@hotmail.com Ali Kocabýyýk

0505 215 83 24 alikocabiyik@hotmail.com

(2)

SUNUÞ

Her þeyi içine alan ve ayný zamanda içinde olan Geometri, aslýnda son derece zevkli bir derstir. Kiþinin beyin gücünü ve görüþ yeteneðini, estetik ve düzen anlayýþýný geliþtiren bir alandýr. “Çocuklara verilecek eðitim, þiir ve geometriden ibaret olmalý” diyen filozof da ayný kanaati taþýyor olsa gerek.

Fakat öðrencilerde Geometri dersine ait yersiz korku ve endiþe hakimdir. Bunun temel nedeni de kiþinin bilmediðinin düþmaný olmasýndandýr. Ýþte bu kitap, çeþitli okul ve dershanelerde çalýþmýþ eðitimcilerin tecrübe ve bilgi birikimlerinden yararlanýlarak hazýrlandý. Hedefi ise bu yersiz korku ve endiþeleri, ortaya koyduðu yeni anlayýþla ortadan kaldýrmak, bu dersi kolay ve zevkli hale getirmektir. Öncelikli hedefi geometriyi sevdirmek, sonra da geometriyi adým adým öðretmektir. Ýþte bu nedenle "Adým Adým Serisi (AAS)"nin 10. Sýnýf Geometri kitabý yazýldý.

Sevgili Meslektaþýmýz,

Bu kitaplarý; Matematik kitaplarýnda kullandýðýmýz HÜCRELEME SÝSTEMÝ SERÝSÝ (HSS)'nin biraz daha geliþtirilmiþi olan ADIM ADIM SERÝSÝ (AAS) dediðimiz yeni bir anlayýþla sunuyoruz. Buna göre;

• Konular bir veya iki saatte anlatýlabilecek alt baþlýklara bölündü. Böylelikle her dersin sonunda ödev verip takibinin yapýlabilmesi amaçlandý.

• Bu sistemde her öðrencinin bir þeyler öðrendiðini hissetmesini, kendine güveninin ve motivasyonunun artmasýný saðlayabilmek için öðreticilik ön planda tutuldu.

• Ayný tip sorular kolaydan zora doðru alt alta sýralandý. Böylelikle zorluk basamaklarý daha kolay çýkýlýr hale getirildi.

• ÖSS - ÖYS (YGS - LYS) sorularýnýn benzeri bütün sorular, testlere konularak konu bütünlüðünün yakalanmasý amaç- landý.

• Alýþtýrma Testleri öncesindeki kýsa konu bilgileriyle konularýn daha iyi öðrenilmesi ve öðrenilen konularýn öðrenciler tarafýndan Alýþtýrma ve Konu Kavrama Testlerinin çözülerek pekiþtirilmesi hedeflendi.

• Alt baþlýklara ayrýlmýþ testler, karma testler ile takviye edilerek öðrencilerin özelde öðrenilmiþ olan bilgileri genelde de uygulayýp baþarýlý olmalarý amaçlandý.

• Karma Testlerin arkasýna ÖSS - ÖYS (YGS - LYS) sorularý eklenerek öðrencinin kendisini ÖSS - ÖYS (YGS - LYS) sorularý ile sýnamasý amaçlandý.

• Hepimizin bildiði gibi, geometri dersi öðretim programýnda dersler; sarmal öðretim sistemi ile iþlenecektir. Bundan dolayý 10. Sýnýf Geometri kitabýmýzý 9. sýnýfta veya ilköðretimde öðrenilen bilgileri hatýrlatarak hazýrladýk. Böylece konularýn daha iyi anlaþýlmasý amaçlandý.

Sevgili Öðrencilerimiz,

Geometri müfredatý tamamýyla yeni bir anlayýþla ele alýnmaktadýr. Buna göre, üst sýnýflarda geometri dersi almayacak olan öðrenciler için gerekli olan temel bilgi ve becerileri kazandýracak; 10, 11 ve 12. sýnýflarda Geometri dersi alacak öðren- ciler için de alt yapý oluþturucak biçimde yapýlandýrýlmýþtýr.

Geometri dersi öðretim programýnda dersler; sarmal öðretim sistemi ile iþlenecektir. Bundan dolayý 10. Sýnýf Geometri kitabýmýzý 9. sýnýfta veya ilköðretimde öðrenilen bilgileri hatýrlatarak hazýrladýk. Böylece konular daha iyi anlaþýlacaktýr.

Geometri ile ilgili temel kavramlar sentetik yaklaþýmla verildikten sonra koordinat doðrusu ve buna baðlý olarak analitik düzlem tanýmlanmýþtýr. Noktalarýn koordinatlarýndan yararlanarak da vektör kurgusu yapýlmýþtýr.

Biz bu yapýlandýrmayý esas alarak serinin ikinci kitabý olarak elinizdeki eseri hazýrladýk. Ayný zamanda, sizleri sýkýcý bir çalýþma ortamýndan kurtarýp; günlük, düzenli ve planlý ders çalýþma ve ödev yapma alýþkanlýðý kazandýrmak için hazýrladýk.

Özellikle Alýþtýrma Testleri Geometriye bakýþýnýzý deðiþtirecek sizi ders çalýþma masasýna oturtmayý baþaracaktýr.

Deðiþen sýnav sistemi YGS - LYS’de 10. Sýnýf Geometri dersinden soru sorulmaktadýr. Ayrýca 10. Sýnýf Geometri der- sinin 11. Sýnýf Geometri ve 12. Sýnýf Geometri derslerinin de temelini oluþturduðunu akýldan çýkartmamak gerekir.

Üniversiteye giriþ sýnavlarýnda çýkan sorular karþýsýnda rahat olabilmenin yolu; sistemli, düzenli çalýþmanýza ve çok soru çözmenize baðlýdýr. Bu da öðrencilerin konularý kavrayarak öðrenip; Alýþtýrma, Konu Kavrama, Karma ve ÖSYM sorularý ile pekiþtirmesiyle mümkündür.

Bu kitabýn oluþmasýnda fikirleriyle bizi destekleyen, maddi ve manevi yardýmlarýný esirgemeyen Ali KOCABIYIK'a ve kitabýn tashihinde yardýmcý olan Öðretmen arkadaþýmýz Cumhur CENGÝZ’e ve deðerli öðrencilerimize teþekkür ediyoruz.

Kitabýmýzýn sizlere yararlý olmasý dileðiyle...

(3)

10. Sýnýf Geometri Dersi Öðretim Programýnda Yaklaþýmlar

Düzlemin doðal geometrisi olarak öklid geometrisi; analitik geometri kurgusunda cebirsel yapý olarak vektörel yapý; geometrik ispatlarda da sentetik, analitik ve vektörel yaklaþýmlar esas alýnmýþtýr.

Bunlar kullanýlarak 10. sýnýf Geometri Dersi Öðretim Programý;

a. Kavramlarýn anlaþýlmasýnýn, kullanýlmasý kadar önemli olduðu,

b. Kavramlarýn oluþmasýndan sonra iþlem becerisinin devreye girmesi ve bunlarýn ayrýlmaz parçalar olarak devam etmesi gerektiði,

c. Öðrencinin sadece bilgi ve beceri kazanmýþ olmasýnýn yanýnda bunlarý nasýl, nerede, ne zaman ve niçin uygulayacaðýna karar verebilecek duruma gelmesi,

ç. Geometri ile ilgili kavramlarý sentetik, vektörel veya analitik yaklaþýmlarla ele almayý

d. Teoremler ispatlanmadan önce mümkün olan analitik yaklaþýmlarý kullanýp örnek çözerek motivasyon saðla- mayý,

e. Ýspatlara sentetik, vektörel veya analitik yaklaþýmlarla gitmeyi,

f. Elde edilen sonuçlarý, gerçek hayattaki modelleri yardýmýyla pekiþtirmeyi,

g. Konularýn iþlenmesinde mümkün olduðunca vektörel ve analitik yaklaþýmlarý esas almayý,

ð. Bir düzlem modelinde dik koordinat sistemi alarak düzlemsel þekillerin hareketlerini koordinatlara baðlý olarak incelemeyi,

h. Ýlköðretim Geometri öðrenme Alaný ve Yükseköðretim Geometri Programlarý ile uyum Ýçinde olmayý,

ý. Bir düzlem modelinde dik koordinat sistemi alarak düzlemsel þekillerin hareketler altýnda deðiþmeyen özellik- lerini koordinatlara baðlý olarak incelemeyi,

i. Düzlemin geometrik problemlerini sentetik, vektörel veya analitik yaklaþýmlarý kullanarak çözmeyi, j. Düzlem geometrideki kavramlarýn özelliklerini sorgulatmayý öngörmektedir.

Aþaðýda “Bir dik üçgende hipotenüsün karesi diðer kenarlarýn kareleri toplamýna eþittir.” baðýntýsý üç yaklaþým kullanýlarak ispatlanmýþtýr.

Sentetik Yaklaþýmla Ýspat

ABCD bir kare olmak üzere, A(ABCD) = A(BEFG) + A(KFLD)

c² = a² + b² bulunur.

E F C L

B G

K A

D

b

b a

a

b

C L

B

A

D

b

b a

a

c c

C B

A

b D

a c

b c

a

(4)

Vektörel Yaklaþýmla Ýspat Kosinüs teoreminden

olduðu görülür.

Analitik Yaklaþýmla Ýspat A = 0 olacak þekilde bir dik koordinat sistemi seçersek

A = (0, 0), B = (b₁, b₂), C = (c₁, c₂)

olduðuna göre

elde edilir. Buna göre

bulunur.

2 2 2

BC = AB + AC uuur uuur uuur

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2

2 2 2

1 1 2 2

(c b ) (c b ) c c b b 2b c 2b c

BC AB AC 2(b c b c )

b c b c AB, AC 0

− + − = + + + − −

= + − +

+ =< >=

uuur uuur uuur uuur uuur

q

X Y

A(0, 0)

B(b₁, b₂) C(c₁, c₂)

1 2 1 2 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

AB (b , b ) , AC (c , c ) , BC (c b , c b )

AB b b , AC c c ve BC (c b ) (c b )

= = = − −

= + = + = − + −

uuur uuur uuur

2 2 2

2 2 2 2 2 2

AB AC CB 2 AC CB cos

ACB 90 ise

AB AC CB veya c a b

= + − θ

= θ = °

= + = +

uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

é

A B

C

q

(5)

1. ÜNÝTE

Düzlem Geometride Temel Elemanlar ve Ýspat Biçimleri

Alýþtýrma 1, 2 . . . . 9

2. ÜNÝTE Düzlemde Nokta, Doðru ve Vektörler Alýþtýrma 3, 4 . . . 15

Test 1, 2 . . . 19

Alýþtýrma 5, 6, 7 . . . 23

Test 3 . . . 29

Alýþtýrma 8 . . . 31

Test 4 . . . 33

Alýþtýrma 9, 10, 11 . . . 35

Test 5 . . . 41

Test (Karma) 6 . . . 45

Test (ÖSYM Sorularý) . . . 47

3. ÜNÝTE Koordinat Sistemleri Alýþtýrma 13, 14 . . . 51

Test 7, 8 . . . 55

Test 9 . . . 61

Test 10, 11, 12 . . . 65

Test 13 . . . 73

Test (Karma) 14, 15 . . . 77

4. ÜNÝTE Doðrular Alýþtýrma 19 . . . 85

Test 16 . . . 87

Alýþtýrma 20, 21 . . . 89

Test 17 . . . 93

Test 18 . . . 97

Alýþtýrma 23, 24 . . . 99

Test 19 . . . 103

Test 20 . . . 107

Test 21 . . . 111

Alýþtýrma 27, 28 . . . 113

Test 22 . . . 117

Test (Karma) 23, 24, 25 . . . 119

5. ÜNÝTE Üçgenler Alýþtýrma 29, 30 . . . 133

Test 26 . . . 137

Alýþtýrma 31, 32 . . . 139

Test (Karma) 27 . . . 143

Alýþtýrma 33, 34, 35, 36 . . . 147

Test 28 . . . 155

Test 29 . . . 159

Test (Karma) 30, 31, 32, 33 . . . 161

Alýþtýrma 38, 39 . . . 171

Test 34 . . . 175

Test (Karma) 35 . . . 179

Alýþtýrma 41, 42 . . . 181

Test 36 . . . 185

Alýþtýrma 43, 44 . . . 187

Test 37 . . . 191

Test (Karma) 38 . . . 193

Test 39 . . . 199

Test 40 . . . 203

Test 41 . . . 207

Test (Karma) 42 . . . 209

Test 43 . . . 215

Alýþtýrma 49, 50, 51 . . . 217

Test (Karma) 44, 45 . . . 223

Alýþtýrma 52, 53, 54 . . . 227

Test 46 . . . 233

Test 47 . . . 237

Test (Karma) 48, 49 . . . 239

Alýþtýrma 56, 57 . . . 243

Test 50 . . . 253

Test 51 . . . 257

Alýþtýrma 60, 61 . . . 259

Test 52 . . . 263

Test 53 . . . 267

Test 54 . . . 271

Alýþtýrma 64, 65 . . . 273

Test (Karma) 55, 56, 57 . . . 277

6. ÜNÝTE Dönüþümlerle Geometri Alýþtýrma 66 . . . 287

Test 58 . . . 289

Test 59 . . . 293

Alýþtýrma 68, 69 . . . 295

Test 60 . . . 299

Alýþtýrma 70, 71 . . . 301

Test 61, 62 . . . 305

Test (Karma) 63 . . . 309

Alýþtýrma 72, 73, 74, 75, 76, 77 . . . 313

Test 64 . . . 325

Test 65 . . . 329

Alýþtýrma 79, 80 . . . 331

Test 66 . . . 335

Test 67 . . . 339

Test (Karma) 68, 69 . . . 341

Test 70 . . . 351

Alýþtýrma 83, 84 . . . 353 ÝÇÝNDEKÝLER

(6)

1 ^{. ÜNITE}

Düzlem GeometrIde Temel Elemanlar ve

ISPAT BIÇIMLERI .

.

. . . .

(7)

(8)

9. Sýnýf Geometri Dersinden Hatýrlayalým

* Farklý iki doðrunun bir ortak noktasý varsa, bu doðru- lara kesiþen doðrular denir.

* Farklý n doðru en çok

farklý noktada kesiþir.

C(n, 2) n!

(n 2)! . 2!

= −

1. Aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz.

a) Doðruluðu ispatsýz kabul edilen önermelere

………. denir.

b) Tanýmlar ve postulatlar yardýmýyla doðruluðu ispatlanan önermelere ………. denir.

c)

………. doðrusu veya ………. doðru- su þeklinde gösterilir.

d) , , , gibi

þekiller ………. modelleridir.

e) Ayný doðru üzerinde olan noktalara

………. denir.

f) 7 si doðrusal olan noktalardan ……….

doðru geçer.

g) Doðruda sadece uzunluk vardýr ve

………. boyutludur.

2. Aþaðýdaki öklid postulatlarýný yorumlayýnýz.

l. Ýki noktadan bir ve yalnýz bir doðru geçer.

II. Bir doðru parçasý sýnýrsýz bir þekilde uzatýla- bilir.

III. Merkezi ve yarýçapý verilen çember bir çem- ber çizilebilir.

IV. Bütün dik açýlar eþittir.

V. Bir doðruya dýþýndaki bir noktadan yalnýz bir tek paralel doðru çizilir.

* Herhangi üçü doðrusal olmayan n nokta en çok;

adet doðru oluþturur.

3. Herhangi üçü doðrusal olmayan 7 nokta en çok kaç doðru belirtir?

C : 21

n n!

C(n, 2)

(n 2)! . 2!

2

=   = −

A B

d

4. Þekildeki 8 noktanýn

birleþtirilmesiyle en çok kaç doðru çizilir?

C : 19

5. 7 farklý doðru en çok kaç noktada kesiþir?

C : 21

6. Beþi bir A noktasýndan geçen 11 doðru en çok kaç noktada kesiþir?

C : 46

7. 4 ü bir A noktasýndan geçen, 5 i paralel 12 doðru en çok kaç noktada kesiþir?

C : 51

d H

F A G

B C

D E

Düzlem Geometride Temel Elemanlar ve Ýspat Biçimleri ALIÞTIRMA : 01

Ege Yayýncýlýk

(9)

8. Aþaðýdaki ispat yöntemleri þemasýný inceleyiniz.

Tümden Gelim – Tüme Varým

Dolaylý Ýspat

Olmayana Ergi Yöntemiyle Ýspat

Çeliþki Yöntemi ile Ýspat

Deneme Yöntemi ile Ýspat

Aksine Örnek Vererek Ýspat

Doðrudan Ýspat

Ýki Kolonlu Ýspat

(Ýlk kolon; ifadeler, diðer kolon; gerekçelerdir.

Ýspat sýra numaralý olarak yapýlýr.)

Akýþ Diyagramlý Ýspat

(Kutu ve oklar kullanýlarak yapýlýr.)

Paragraf Biçimi ile Ýspat (Detaylý açýklamalara yer verilir.)

9. “Bir üçgenin iki iç açýsýnýn ölçüleri toplamý, diðer açýnýn dýþ açýsýnýn ölçüsüne eþittir.” teoremini ispat- layan aþaðýdaki ispat biçimlerindeki boþluklarý doldurunuz.

Ýspat :

AÿBC de m(ëA) + m(ëB) = m(AéCD) olduðunu ispatla- yalým.

A

B C D

Ýki Kolonlu Ýspat:

Ýfadeler : Gerekçeler

Akýþ Diyagramlý Ýspat:

Paragraf Biçimli Ýspat:

ABC üçgeninin iç açýlarý toplamý

m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = ….. dir. Komþu bütünler iki açýnýn ölçüleri toplamý m(AéCD) + ….. = 180° dir. Bu iki eþitliðin ikinci taraflarý eþit olduðundan birinci taraflarýda eþitlenerek

m(ëA) + m(ëB) + ….. = ….. + m(AéCB) bulunur.

Buradan toplama iþleminin sadeleþme özelliðine göre, m(ëA) + m(ëB) = ….. eþitliði bulunur.

ABC üçgen AéCB ve AéCD

komþu açlýar

verilen verilen

m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = 180° ...

... komþu bütünler açýlarýn toplamý

m(ëA) + m(ëB) + ... = m(AéCB) + ...

Geçiþme Özelliði

m(ëA) + ... = ...

Toplama Ýþleminin Sadeleþme Özelliði 1. Üçgenin iç açýlarý

ölçüleri toplamý 2. Komþu iki bütünler

açýnýn toplamý 3. Geçiþme özelliði

4. Toplama iþleminin sadeleþme özelliði 1. m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = …..

2. m(AéCB) + m(AéCD) = …..

3. m(ëA) + ….. + ….. = m(AéCB) + m(AéCD) = 180°

4. ….. + m(ëB) = m(AéCD)

Ege Yayýncýlýk

10

(10)

1. d₁// d₂ m(DéAC) = a m(CéBE) = b m(AéCB) = x

Ýki Kolonlu Ýspat

Ýfadeler : Gerekçeler

Akýþ Diyagramlý Ýspat

Paragraf Biçimli Ýspat

d₁ve d₂doðrularýna paralel ……….. doðrusu çizilir. Ýç ters açýlarýn eþitliðinden, m(DéAC) = ……….. = a ve m(CéBE) = ……….. = b olur.

Buradan toplama iþlemine göre x = a + b bulunur.

d₁ // ... // d₂ d₃ çizilir.

m(DéAC) = ... = a

Ýç Ters Açýlar Ýç Ters Açýlar

... = m(BéCF) = b

x = a + b ...

1. d₁ve d₂doðrularýna paralel d₃doðrusu çizilir.

2. d₁// d₃- Ýç ters açýlar 3. d₂// d₃- Ýç ters açýlar 4. Toplama iþlemi 1. d₁// d₂// d₃

2. m(DéAC) = …….. = a 3. m(CéBE) = …….. = b 4. m(AéCB) = x = ……..

d₂

B E

b

d₁

d₂ A

B C

D

E a a

b

d₃ F b

Teorem :

Yandaki verilenlere göre, x = a + b olduðunu aþaðýdaki ispat biçimlerindeki boþluklarý doldurarak ispatlayýnýz.

d₁

d₂ A

B C

D

E x a

b

Ýspat Biçimleri ALIÞTIRMA : 02

(11)

2. “Düzlemde kesiþen iki doðrunun oluþturduðu ters açýlarýn ölçüleri eþittir.” teoremini akýþ diyagramý ve paragraf biçimi ile ispatlayýnýz.

3. “Bir düzlemde paralel iki doðrudan birine dik olan bir doðru diðer doðruya da diktir.” teoremini iki kolonlu ve akýþ diyagramlý ispat biçimleri ile ispat- layýnýz.

Ege Yayýncýlýk

12

(12)

2 ^{. ÜNITE}

DüzlemDE NOKTA, DOÐRU ve VEKTÖRLER

.

(13)

(14)

1. Aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz.

a) Bir doðrunun herhangi bir parçasýna

………. denir.

b)

AB doðru parçasý ………. þeklinde gös- terilir.

c) Bir doðrunun belirli bir yerinden baþlayýp düz sürekli olarak tek yöne uzatýlabilen, uzunluðu sýnýrsýz, kalýnlýðý bulunmayan geometrik teri- me ………. ………. denir.

ç)

Baþlangýç noktasý A olan ýþýn ……….

þeklinde gösterilir.

d) Bir doðrunun belirli bir yerinden baþlayýp düz sürekli olarak tek yöne uzatýlabilen, uzunluðu sýnýrsýz, kalýnlýðý bulunmayan geometrik te- rime (baþlangýç noktasý dahil deðil) ………..

……….. ……….. denir.

e)

Baþlangýç noktasý A (A noktasý dahil deðil) olan açýk yarý doðrusu ……….. þeklinde gös- terilir.

2. Aþaðýdaki tanýmlamalardan hangisi ya da hangileri doðrudur?

I) [AB : AB ýþýný (AB kapalý yarý doðrusu) II) [AB[ : AB doðru parçasýndan B noktasý

çýkarýlmýþ.

III) ]AB : AB açýk yarý doðrusu

C : Hepsi

A B

d

A B

d

A B

3. A = {x : 2 < x, x ∈ R}

ifadesini sayý doðrusu üzerinde gösteriniz ve tanýmlayýnýz.

4. |x| ≥ 2

ifadesinin sayý doðrusu üzerindeki görüntüsünü çizip tanýmlayýnýz.

C : Ýki tane ýþýn

5. |3x – 1| ≤ 5

ifadesini sayý doðrusu üzerinde gösteriniz ve tanýmlayýnýz.

6.

Yukarýdaki þekle göre, ]BA Ç [AD ifadesinin eþi- ti nedir?

C : [AB[

7.

Yukarýdaki þekle göre, aþaðýda verilen eþitlikler- den hangisi ya da hangileri yanlýþtýr?

I) ]AC ∩ [CD[ = [CD[

II) [BC] ∪ ]BD = [BD III) ]AC] ∩ [CA = [AC]

C : III

A B C D

Düzlemde Nokta ve Doðru ALIÞTIRMA : 03

Ege Yayýncýlýk

(15)

8.

Yukarýdaki þekle göre, aþaðýda verilen eþitlikler- den hangisi veya hangileri doðrudur?

I) [AB] ∪ [BC] = [AC]

II) [AC] ∪ ]CA = [CA III) [AD ∩ ]CA = [AC[

C : Hepsi

Koordinat doðrusu üzerindeki A(a) ve B(b) noktalarý arasýndaki uzaklýk

d (A, B) = |AB| = |b – a| = |a – b| dir.

9. Koordinat doðrusu üzerindeki A(–5) ve B(7) nok- talarý arasýndaki uzaklýk kaç birimdir?

C : 12

10. Koordinat doðrusu üzerindeki A(2) ve B(x) nok- talarý arasýndaki uzaklýk 6 birim olduðuna göre, x deðerleri çarpýmý kaçtýr?

C : –32

11. Sayý doðrusu üzerindeki K(x) ve L(–4) noktalarý arasýndaki uzaklýk 7 birim olduðuna göre, x deðerleri toplamý kaçtýr?

C : –8

A(a) B(b) x

A B C D 12. Aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz.

a) Uzunluðu ve geniþliði, düz sýnýrsýz geniþle- tilebilen fakat kalýnlýðý bulunmayan geometrik terimlere ………. denir.

b) Defter yüzeyi, masa yüzeyi, yazý tahtasý gibi cisimler ………. modelidir.

c) Ayný düzlemde olan noktalara ……….

noktalar denir.

ç) Doðrusal olmayan farklý üç nokta daima

………. dir. (Düzlem belirtir.) d)

E ………. diye okunur.

e) Düzlemde uzunluk ve ....……….. olduðundan,

………... boyutludur ve R²olarak gösterilir.

f) Düzlemde alýnan bir doðru, düzlemi iki parça- ya ayýrýrsa; her bir parçaya ……….. ………..

denir.

g) Ayrýlan bu düzlem parçalarýna doðru dahil edilirse ……….. ……….. ……….., doðru dahil edilmezse ……….. ……….. ……….. denir.

h) Uzunluðu, geniþliði ve yüksekliði düz sýnýrsýz geniþletilebilen geometrik terimlere ………..

denir.

ý) Kalem, kitap, ev, araba, top gibi cisimler

……….. modelidir.

j) Uzayda ayný düzlemde olmayan doðrulara

………... ………... denir.

P

E

P

...

... ...

...

E

Ege Yayýncýlýk

16

(16)

9. Sýnýf Geometri Dersinden Hatýrlayalým [AB] ve [CD] nin uzunluklarý eþit ise

[AB] =~ [CD] ⇔ |AB| = |CD| dir.

1. Koordinat doðrusu üzerinde A(–2), B(7) ve C(x) noktalarý veriliyor. (O orijindir.)

|AB| = |OC|

olduðuna göre, x deðerleri çarpýmý kaçtýr?

C : –81

2. Sayý doðrusu üzerinde A(–8), B(3), C(6) ve D(x) noktalarý veriliyor.

|AB| = |CD|

olduðuna göre, x in alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?

C : 12

3. A(3) , B(–7) , C(x – 1) ve D(2) noktalarý veriliyor.

[AB] ≅ [CD]

olduðuna göre, x kaçtýr?

C : –7 veya 13

4. |x – 2| ≤ 4

ifadesinin sayý doðrusu üzerinde belirttiði doðru parçasýnýn uzunluðu kaç birimdir?

C : 8

5. |2x + 1| ≤ 7

ifadesinin sayý doðrusu üzerinde belirttiði doðru parçasýnýn uzunluðu kaç birimdir?

C : 7

* Herhangi üçü doðrusal olmayan n nokta en çok

farklý düzlem belirtir.

6. En çok ikisi doðrusal olan 8 nokta en çok kaç düzlem belirtir?

C : 56

7. Herhangi üçü doðrusal olmayan 8 nokta ile bu düzlemin dýþýnda bulunan farklý iki nokta daha veriliyor.

Buna göre, en çok kaç düzlem oluþur?

C : 65 C(n, 3) n!

(n 3)! . 3!

= −

Düzlemde Nokta ve Doðru ALIÞTIRMA : 04

Ege Yayýncýlýk

(17)

* Bir düzlemi içindeki n farklý doðru

ayrýk bölgeye ayýrýr.

8. Kaç farklý doðru düzlemi en az 10 bölgeye ayýrýr?

C : 9

9. Ayný düzlemde bulunan 8 farklý doðru düzlemi en az ve en çok kaç ayrýk bölgeye ayýrýr?

C : 9 ve 37 en az : n 1

n(n 1)

en çok : 1

2 +

+ +

12. Aþaðýdaki boþluklarý doldunuz.

10. n farklý doðru düzlemi en çok 67 ayrýk bölgeye ayýrdýðýna göre, n kaçtýr?

C : 11

11. Kaç farklý doðru düzlemi en çok 22 bölgeye ayýrýr?

C : 6

Ege Yayýncýlýk

18

Elemanlar Doðruda Düzlemde

Ýki nokta Doðrusaldýr. Düzlemseldir.

Üç nokta

Doðrusal olabilir. Herhangi üçü doðrusal deðilse adet doðru belirtir.

3 3

2

 =

  

Doðrusal ise düzlem belirtmez.

Herhangi üçü doðrusal deðilse adet düzlem ...

3 1

3

 =

  

Dört nokta

Doðrusal olabilir. Herhangi üçü doðrusal deðilse en çok ... adet doðru belirtir.

Doðrusal ise düzlem ...

Herhangi üçü doðrusal deðilse ...

adet düzlem belirtir.

Bir A noktasý ve d doðrusu

Nokta, doðru üzerinde deðilse; 1 düz- lem belirtir.

Nokta doðrunun üzerinde ise düzlem ... A noktasýndan düzlem- deki bir doðruya dik sadece ...

doðru çizilir.

Ýki doðru

Çakýþýr, paralel veya kesiþir. Çakýþýk deðilse uzayý en az ..., en çok ... bölgeye ayýrýr.

(18)

1. Aþaðýdaki ifadelerden kaçý doðrudur?

l. Ýfadeler ve gerekçeleri karþýlýklý olarak eþlenip sýralanarak yapýlan ispat yöntemine iki kolonlu ispat yöntemi denir.

ll. Açýklamalarý kutu içine yazýlýp oklarla yön- lendirilerek yapýlan ispat yöntemine akýþ diya- gramlý ispat yöntemi denir.

lll. Her adýmdaki açýklamalarý, geniþ detaylarla açýklayarak yapýlan ispat yöntemine paragraf biçimli ispat yöntemi denir.

lV. Ýki kolonlu, akýþ diyagramlý, paragraf biçimli ispat yöntemleri doðrudan ispat biçimindeki ispat yöntemleridir.

V. Farklý iki noktadan sadece bir doðru geçer.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. Her hangi üçü doðrusal olmayan 8 nokta en çok kaç doðru oluþturur?

A) 28 B) 24 C) 21 D) 20 E) 18

3. En çok ikisi doðrusal olan n noktanýn birleþti- rilmesiyle 45 doðru çizildiðine göre, n kaçtýr?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

4. Düzlemde dördü doðrusal olan 7 noktadan kaç doðru geçer?

A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 11

5. Düzlemde ikisi paralel 8 doðru en çok kaç noktada kesiþir?

A) 17 B) 20 C) 21 D) 27 E) 29

6. Düzlemde verilen 7 doðrudan 3 ü paralel olduðuna göre, en çok kaç kesim noktasý vardýr?

A) 14 B) 15 C) 17 D) 18 E) 20

7. Düzlemde verilen 8 doðrudan 3 ü bir noktada kesiþtiðine göre, en çok kaç kesim noktasý vardýr?

A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

8. Ayný düzlem üzerindeki 12 doðrudan 3 ü paralel, 4 ü bir noktada kesiþmektedir.

Buna göre, en çok kaç kesim noktasý vardýr?

A) 56 B) 58 C) 60 D) 62 E) 64

9.

Yukarýdaki þekle göre, [ABÇ [BD[ iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir?

A) ]AB] B) ]AC] C) ]AC[ D) [BD] E) [BD[

A B C D E

Nokta, Doðru - Düzlem Ýliþkileri TEST : 01

Ege Yayýncýlýk

(19)

10.

Yukarýdaki þekle göre, AD ýþýný ile CA açýk yarý doðrusunun kesiþim kümesi nedir?

A) [AC[ B) [AC] C) ]AC[ D) ]AC] E) [AB]

11. Sayý doðrusu üzerinde verilen A(1) ve B(11) nok- talarýnýn orta noktasýnýn C(–4) ve D(2) nokta- larýnýn orta noktasýna uzaklýðý kaç birimdir?

A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

12. Kordinat doðrusu üzerindeki A(4) ve B(x) nokta- larý arasýndaki uzaklýk 6 birim olduðuna göre, x deðerleri çarpýmý kaçtýr?

A) 12 B) –15 C) –18 D) –20 E) –24

13. Kordinat doðrusu üzerindeki

A (–2), B(6), C(5) ve D(X) noktalarý veriliyor.

|AB| = |CD|

olduðuna göre, x in alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

A B C D 14. |2x – 5| ≤ 3

ifadesinin sayý doðrusu üzerinde belirttiði doðru parçasýnýn uzunluðu kaçtýr?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

15. Her üçü doðrusal olmayan 8 nokta kaç düzlem belirtir?

A) 21 B) 28 C) 35 D) 56 E) 66

16. Düzlem üzerinde herhangi üçü doðrusal olmayan 5 nokta ve düzlem dýþýnda 2 nokta veriliyor.

Bu verilenler en çok kaç düzlem belirtir?

A) 26 B) 25 C) 24 D) 23 E) 22

17. 5 doðrunun düzlemi ayýrdýðý en az bölge m ve en çok bölge n olduðuna göre, m+n kaçtýr?

A) 20 B) 21 C) 23 D) 24 E) 25

Ege Yayýncýlýk

20

1.E 2.A 3.E 4.A 5.D 6.D 7.C 8.B 9.E 10.A 11.E 12.D 13.B 14.A 15.D 16.A 17.B

(20)

1. Aþaðýdaki ifadelerden yanlýþ olanlara (Y), doðru olanlara (D) yazýnýz.

( ) Ýki yarý doðrunun birleþimi bir yarý doðru olabilir.

( ) Bir ýþýnla bir yarý doðrunun birleþimi bir doðru olabilir.

( ) Bir yarý doðruyla bir doðru parçasýnýn birleþimi ýþýn olabilir.

( ) Ýki tane yarý doðrunun birleþimi doðru olabilir.

( ) Bir ýþýnla bir doðru parçasýnýn birleþimi yarý doðru olabilir.

2. Aþaðýdaki ifadelerden; düzlemde daima doðru olan- larýna (D), daima yanlýþ olanlarýna (Y) yazýnýz.

( ) Bir doðru üzerindeki iki noktadan eþit uzaklýkta olan ve yine bu doðru üzerinde olan bir nokta vardýr.

( ) Düzlemde iki noktaya eþit uzaklýkta olan noktalar, bir doðru üzerindedir.

( ) Kesiþen iki doðruyu farklý iki noktadan kesen doðrular ayný düzlemdedir.

( ) Paralel iki doðruya uzaklýklarý ayný olan noktalar yalnýzca bir doðru belirtir.

( ) Farklý iki noktasý düzlemde olan doðru düzlemin elemanýdýr.

( ) Bir noktadan eþit uzaklýktaki noktalar kümesi bir çember oluþturur.

( ) Bir doðru ve dýþýndaki bir nokta bir düzlem belirtir.

( ) Paralel iki doðrudan birini kesen doðru diðerini keser.

( ) Doðrusal olmayan üç noktadan bir tek düzlem geçer.

( ) Üç doðru ayný noktada kesiþiyorsa doðrular ayný düzlemdedir.

( ) Kesiþen üç doðru bir tek düzlem belirtir.

3. I) Bir noktadan sonsuz doðru geçer.

II) Ýki noktadan bir doðru geçer.

III) Dört noktadan en çok altý doðru geçer.

IV) Dört nokta dört farklý düzlem belirtir.

Yukarýdaki verilerden kaç tanesi hem düzlemde hem de uzayda doðrudur?

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

4. Aþaðýdaki verilerden hangisi yanlýþtýr?

A) Düzlemde iki doðrunun ortak noktasý yoksa doðrular paraleldir.

B) Düzlemde doðrularýn birden fazla ortak noktasý varsa doðrular çakýþýktýr.

C) Düzlemde iki doðrunun birtek ortak noktasý varsa doðrular kesiþmektedir.

D) Düzlemde üç doðru bir noktada kesiþebilir.

E) Düzlemde kesiþen iki doðrudan birini kesen doðru daima diðerini de keser.

5. Aþaðýdakilerden hangileri kesinlikle doðrudur?

I) Dik kesiþen iki doðrudan birine dik olan doðru diðerine de diktir.

II) Paralel iki doðrudan birine paralel olan doðru diðerine paraleldir.

III) Dört doðru düzlemi en çok on bölgeye ayýrýr.

A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) Yalnýz I E) Yalnýz II

6. R² de aþaðýda verilen önermelerden hangileri doðrudur?

I) Doðrunun dýþýnda alýnan bir noktadan geçen bir doðruya dik olan bir doðru çizilebilir.

II) Doðrunun üzerinde alýnan bir noktadan geçen doðruya dik olan sonsuz doðru çizilebilir.

III) Ýki doðru düzlemi en az üç bölgeye ayýrýr.

A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) Yalnýz I E) Yalnýz III

Nokta, Doðru ve Düzlem Ýliþkileri TEST : 02

Ege Yayýncýlýk

(21)

7. Aþaðýdaki verilen önermelerden hangisi R²de yanlýþtýr?

A) Düzlemde iki doðru paralel deðilse kesiþir.

B) Düzlemde kesiþen iki doðrudan birini kesen doðru diðerini de keser.

C) Düzlemde dik kesiþen iki doðrudan birine dik olan doðru diðerine paraleldir.

D) Bir doðruya dik olan doðrular paraleldir.

E) Bir doðruya eþit uzaklýktaki noktalarýn geometrik yeri doðruya paralel iki doðrudur.

8. Aþaðýdakilerden hangileri kesinlikle doðrudur?

I) Bir noktadan sonsuz düzlem geçer.

II) Ýki noktadan bir düzlem geçer.

III) Üç noktadan bir düzlem geçer.

A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) Yalnýz I E) Yalnýz II

9. Aþaðýdaki verilen önermelerden hangisi yada hangileri daima bir düzlem belirtir?

I) Bir doðru ve dýþýndaki bir nokta II) Üç nokta

III) Paralel iki doðru

A) I ve II B) II ve III C) I ve III D) Yalnýz I E) Yalnýz II

10. Aþaðýdaki önermelerden hangisi daima bir düzlem belirtir?

A) Aykýrý iki doðru B) Ýki nokta

C) Üç nokta D) Dört nokta

E) Kesiþen iki doðru

11. Aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?

A) Bir doðru ve bir düzlemin ortak noktasý yoksa bunlar paraleldir.

B) Bir doðru ve bir düzlem aykýrý olamaz.

C) Bir doðru ile bir düzlemin ortak noktasý varsa kesiþiyorlardýr.

D) Bir doðru düzleme paralelse üzerindeki tüm doðrulara paraleldir.

E) Bir doðru düzleme dikse düzlemdeki tüm doðrulara dik deðildir.

12. Aþaðýdakilerden hangisi yada hangileri kesinlikle doðrudur?

I) Paralel iki doðru bir düzlem belirtir.

II) Bir nokta ve bir doðru düzlem belirtir.

III) Aykýrý doðrular düzlem belirtir.

A) I ve II B) II ve III C) I ve III D) Yalnýz I E) Yalnýz II

13. I) Üç doðru paralel olabilir.

II) Dört doðru düzlemi en fazla 11 bölgeye ayýrýr.

III) Paralel iki doðrudan birini kesen doðru diðerini de keser.

R² de yukarýdaki verilen önermelerden hangisi yada hangileri doðrudur?

A) I ve II B) II ve III C) I ve III D) I, II ve III E) Yalnýz I

14. I) Ýki doðrunun birden fazla ortak noktasý varsa doðrular çakýþýktýr.

II) Üç doðru bir noktada kesiþebilir.

III) Doðrusal olarak seçilen üç noktadan bir doðru geçer.

IV) Paralel iki doðru düzlemi en az üç bölgeye ayýrýr.

R²de yukarýdaki verilen önermelerden hangileri doðrudur?

A) I, II B) II, III C) I, IV D) I, II, III E) Hepsi

Ege Yayýncýlýk

22

1.– 2.– 3.A 4.E 5.E 6.B 7.B 8.D 9.C 10.E 11.D 12.D 13.D 14.E

(22)

Doðru parçalarý ile desenler oluþturma sanatýna fi- lografi denir.

1. Aþaðýdaki basamaklarý takip ederek desen oluþ- turalým.

a) Ýki eþ doðru parçasý belirleyelim.

b) Doðru parçalarýný altý eþ parçaya ayýrýp, aralarýndaki açý, dik açý olacak þekilde uç nok- talarýný birleþtirelim.

c) Ayýrdýðýmýz noktalarý her iki doðru parçasý içinde ayný olacak þekilde adlandýralým.

d) Ayný harflere ait noktalarý birleþtirerek tasarýmý oluþturalým.

1 / 1 A

B C D E F

A B C D E F A

B C D E F

A B C D E F

2. Eksenlerin birimlerinin oraný ½ olan üzerinde 8 er noktalý iki doðru parçasý belirleyip aralarýnda- ki açý 120 olacak þekilde uç noktalarýný bir- leþtirelim. Noktalarý birleþtirerek desen oluþtu- runuz.

1 / 2

3. Aþaðýdaki doðru parçasý üzerinde belirtilen oranda iþaretlenmiþ noktalarý birleþtirerek desenler oluþturunuz.

1 / 2

A B C D E F G H HGFEDCBA

A B C D E F G H ABCDEFGH

Doðru Parçalarý Ýle Desen Oluþturma ALIÞTIRMA : 05

Ege Yayýncýlýk

(23)

4. Aþaðýda verilen eksenlerde birimler iþaretlen- miþ, birimlerin oranlarý eksenlerin altlarýnda belirtilmiþtir. Noktalarý birleþtirerek desenler oluþturunuz.

a)

1 / 2

b)

1 / 1

5. Aþaðýdaki iþaretlenmiþ noktalarý birleþtirip renk- li kalemlerle boyayarak desenler oluþturunuz.

1 / 2

6. Aþaðýdaki iþaretlenmiþ noktalarý birleþtirip renk- li kalemlerle boyayarak desenler oluþturunuz.

1 / 1

7. Aþaðýda oluþturulmuþ desenin oluþturulma basamaklarýný yazýnýz.

Ege Yayýncýlýk

24

(24)

Ege Yayýncýlýk 9. Sýnýf Geometri Dersinden Hatýrlayalým

Yönlü Doðru Parçasý :

Uç noktalarýndan biri baþlangýç noktasý, diðeri bitim noktasý olarak belirlenen doðru parçasýna yönlü doðru parçasý denir.

Baþlangýç noktasý A, bitim noktasý B olan yönlü doðru parçasý biçiminde gösterilir.

, , þeklinde ifade edilir.

Bir yönlü doðru parçasýnýn üzerinde bulunduðu doðruya o yönlü doðru parçasýnýn taþýyýcýsý yada doðrultusu (doðrultman doðrusu) denir. nin taþýyýcýsý d doðrusudur.

Baþlangýç ve bitim nok- tasý ayný A noktasý olan yönlü doðru parçasý biçiminde gösterilir.

nýn taþýyýcýsý d₁, d₂, d₃... doðrularý olabilir.

Bundan dolayý nýn taþýyýcýsý ve yönü belli deðildir.

ile gösterilir.

Bir yönlü doðru parçasýnýn baþlangýç ve bitim nok- talarý arasýndaki uzaklýða yönlü doðru parçasýnýn uzunluðu (büyüklüðü) ya da normu denir ve veya þeklinde gösterilir.

dýr.

1.

Yukarýdaki doðru parçasý için;

Baþlangýç noktasý ...

Bitim noktasý ...

Doðrultusu ...

Taþýyýcýsý ...

A B d

AA =0 uuur

AB uuur

AB uuur AA=O

uuur ur

AA uuur AA

uuur

AA uuur d₁

d₂

d₃ A

AB uuur BA uuur

A B d

AB uuur

A B d

AB uuur

2.

Yukarýdaki þekil için;

ve doðru parçalarýna ... denir.

3.

a) yönlü doðru parçasýnda K ...

noktasý, L ... noktasýdýr.

b) yönlü doðru parçasýnda M ...

noktasý, K ... noktasýdýr.

c) d doðrusuna yönlü doðru

parçalarýnýn ... denir.

Uyarý :

Yönlü doðru parçasýnýn eþliði; uzunluklarý sýfýrdan farklý olan ve yönlü doðru parçalarý için

aþaðýdaki önermelerin üçü de doðru ise ve yönlü doðru parçalarý

eþtir, denir. þeklinde gösterilir.

i) ii)

iii) ve ayný yönlüdür.

4.

Þekilde d₁// d₂ve

|AB| = |BC| = |MN| = 2 birim

|CD| = |KL| = |NP| = 1 birim Verilenlere göre;

Ayný yönlü doðru parçalarý ...

Zýt yönlü doðru parçalarý ...

Ayný doðrultulu doðru parçalarý ...

Eþ uzunluklu doðru parçalarý ...

Eþ yönlü doðru parçalarý ...

d₁

A B C D

d₂

K L M N P

CD uuur AB uuur

AB = CD uuur uuur AB // CD uuur uuur

AB ~ CD uuur uuur CD

uuur

AB uuur CD

uuur AB

uuur

KL, KM, LM uuur uuur uuur MK

uuur KL uuur

K L M d

NM uuur KL

uuur

K L M N d

Yönlü Doðru Parçasý - Vektör ALIÞTIRMA : 06

(25)

Ege Yayýncýlýk

9. Sýnýf Geometri Dersinden Hatýrlayalým 9. Sýnýf Matematik Dersinden Hatýrlayalým 5.

x doðrusu üzerindeki noktalara göre, aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz.

6.

Þekildeki ABCDEFGH düzgün sekizgeninde ayný ve zýt yönlü, ayný doðrultulu, eþ uzunluklu ve eþ yönlü doðru parçalarýný yazýnýz.

Yönlü doðru parçalarýnýn bir paralellik baðýntýsý ile taným- lanan denklik sýnýfýna vek- tör denir. AB yönlü doðru parçalarýna eþ olan tüm yönlü doðru parçasýnýn kümesi bir vektördür.

... ayný denklik sýnýfýnda yönlü doðru parçalarýdýr. Bunlara AB vektörü denildiði gibi CD vektörü EF vektörü de denilebilir.

vektörünün uzunluðu þeklinde gösterilir.

Kolaylýk olmasý açýsýndan bu vektörler gibi küçük harflerle de gösterilebilir.

a,b,u, v r r r r AB

uuur AB

uuur

AB, CD, EF uuur uuur uuur A C E

D F B

A B

C

D

F E

H

G

A O E

–3 B –2

C –1 0

D

1 2

F 3

G 4

H

5 x

Yansýma, simetri geçiþme özelliklerini saðlayan baðýntýya denklik baðýntýsý denir.

Denklik baðýntýsý olan bir iþlemin denklik sýnýfý da olur.

7. Doðrular kümesinde tanýmlanan paralel olma baðýntýsýnýn denklik baðýntýsý olup olmadýðýný gösteriniz.

Sýfýr Vektörü:

Uzunluðu sýfýr olan yönlü doðru parçalarýnýn oluþ- turduðu denklik sýnýfýna sýfýr vektörü denir. ile gösterilir.

sýfýr vektörüdür.

dýr.

Ters (zýt) vektörler:

ve ters vektörlerdir.

dýr.

, ,

8. Aþaðýdaki birimkarelere göre verilen vektörler için ayný yönlü, zýt yönlü, ayný doðrultulu vek- törleri yazýnýz.

A

B

D

C E

F K

L

M N T

Ád

Áa

Ác Áb Áu

BA uuur

A B d

AB uuur

A B

d BAuuur= −uuuABr

BA uuur AB uuur

AA=0, AA =0 uuur r uuur AA

uuur

0 r

26 Baþlangýç

Noktasý

Bitim

Noktasý Gösterimi Uzunluðu (br)

O F OF

uuur

3

D H DK

uuur

4

F A ... ...

A C ... ...

G E ... ...

E C ... ...

H B ... ...

(26)

Koordinat doðrusu üzerinde A(a) ve B(b) noktalarý için nün uzunluðu

= |b – a| = |a – b| dir.

1. Koordinat doðrusu üzerindeki A(–5) ve B(9) nok- talarý için nün uzunluðu kaç birimdir?

C : 14

2. M(–4) , N(7)

noktalarý için nin uzunluðu kaç birimdir?

C : 11

3. K(2 + 2ñ5) , L(3 – ñ5)

noktalarý için nin uzunluðu kaç birimdir?

C : 3ñ5 – 1 KL

uuur NM uuur AB uuur AB

uuur AB uuur

A(a) B(b) x 4. Koordinat doðrusu üzerinde A(4) ve B(x) noktalarý veriliyor.

nin uzunluðu 7 olduðuna göre, x in deðer- leri çarpýmý kaçtýr?

C : –33

5. A(4) , B(x) , C(6) noktalarý veriliyor.

= olduðuna göre, x deðerleri toplamý kaçtýr? (O, orijin.)

C : 8

6. Koordinat doðrusu üzerinde A(–7), B(2), C(6) ve D(x) noktalarý veriliyor.

olduðuna göre, x in alacaðý deðerler toplamý kaç- týr?

C : 12

7. K(2) , L(–4) , M(x) , N(5) noktalarý veriliyor.

olduðuna göre, x in deðerleri çarpý- mý kaçtýr?

C : –11 KLuuur = MNuuur

AB = CD uuur uuur OC

uuur AB uuur AB uuur

Vektörler ve Vektörlerde Ýþlemler ALIÞTIRMA : 07

Ege Yayýncýlýk

(27)

9. Sýnýf Geometri Dersinden Hatýrlayalým Birim Vektör:

Sayý doðrusu üzerinde uzunluðu 1 br olan vektör- lere birim vektör denir.

A(a) ve B(b) noktalarý için birim vektör ise;

|b – a| = |a – b| = 1 dir.

8. Koordinat doðrusu üzerinde A(x) ve B(y) noktalarý veriliyor. (x, y ∈ z⁺)

3x + y = 11 ve birim vektör olduðuna göre, x + y toplamý kaçtýr?

C : 5

9.

Yukarýdaki þekile göre aþaðýdaki doðru olanlara (D), yanlýþ olanlara (Y) yazýnýz.

Koordinat düzleminde A(a, b) ve B(x, y) noktalarý için vektörü,

= B – A = (x – a, y – b) þeklinde yazýlýr.

NOT : AB ≠ A – B uuur

AB uuur AB uuur

Áa Áb

Ác

Áe C

D A

B

Áf Ád

AB uuur AB

uuur

10. A(–2, 3) ve B(5, 1) noktalarý için, nedir?

C : (7, –2)

Ýki Vektörün Eþitliði :

vektörleri verilsin.

dir.

11. vektörleri birbirine eþit ol-

duðuna göre, a + b toplamý kaçtýr?

C : 1

12. vektörleri birbirine eþit

olduðuna göre, x . y çarpýmý kaçtýr?

C : –4

13.

vektörleri birbirine eþit olduðuna göre, a + b nin deðeri kaçtýr?

C : 1

14. M(2, m – 4) ve N(n + 1, 1) noktalarý veriliyor.

olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr?

C : 8 MNuuur=(4, 2)

A=(a b, a 2) , B− + =(3, 4)

ur ur

Kur= −( 3, x+2), Lr=(y 1, 4)− A=(a, 3) , B= −( 2, b)

ur ur

A B

a x ve b y d (a,b) (x, y)

= ⇔ = =

= 

ur ur

A=(a,b) ve B=(x, y)

ur ur

AB uuur

Ege Yayýncýlýk

28 Vektör Gösterimi Uzunluðu (br)

Áa (3, 0) 3

Áb (0, 0) ...

Ác ... ...

Ád (3, 4) 5

Áe ... ...

Áf ... ...

AB uuur

... ...

CD uuur

... ...

(28)

1. Aþaðýdaki ifadelerden kaç tanesi doðrudur?

l. A ve B noktalarý arasýndaki uzaklýða nýn uzunluðu denir.

ll. dir.

lll. Taþýyýcýlarý ayný veya paralel olan yönlü doðru parçalarýna, paralel yönlü doðru parçalarý denir.

lV. yönlü doðru parçasýnýn yönü ve doðrul- tusu belirlidir.

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

2. Aþaðýdaki ifadelerden kaç tanesi doðrudur?

l. Baþlangýç ve bitim noktasý ayný olan vektör- lere birim vektör denir.

ll. vektörünün normu veya ile gösterilir.

lll. Doðrultularý ayný, yönleri zýt olan vektörlere eþ vektörler denir.

lV. A ve B noktalarý için vektörü birim vektör ise, vektörüde birim vektördür.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

3.

Yukarýdaki þekle göre, aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz.

a) A aracý ile B aracý ……….. doðrultudadýr.

b) C aracý ile F aracý ……….. doðrultudadýr.

c) D aracý ile E aracý ……….. doðrultudadýr.

ç) A aracý ile E aracýnýn I. kavþaða kadar ki aldýk- larý yollar ……….. .

d) D ile G araçlarýnýn Doðu - Batý boyunca aldýk- larý yollar ……….. .

e) H ile K araçlarýnýn Kuzey - Güney boyunca aldýklarý doðru parçalarý ……….. .

f) B ile F araçlarýnýn doðrultularý ……….. .

l ll

lll lV

A B

C

D G

E F

H K

Güney Kuzey

Batý Doðu

BA uuur

AB uuur

AB uuur AB

uuur AB

uuur AA uuur

AA =1 uuur

AB uuur

4. Ýzometrik kâðýtta verilen vektörler için aþaðýdaki ifadelerden kaç tanesi doðrudur?

l. // ll. ~

lll. ~ lV. ~

V. ~ Vl. =

Vll. =

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

5. Koordinat doðrusu üzerindeki A(–4) ve B(–7) noktalarý için nün uzunluðu kaç birimdir?

A) 11 B) 7 C) 4 D) 3 E) 1

6.

noktalarý için nün uzunluðu kaç birimdir?

A) B) C) D) E) 16

19 11

15 17

12 3

4 1

4

AB uuur

2

A 3 ve B

4 3

 

  −

   

   

AB uuur 0 r V ur

EF uuur CD uuur EF

uuur CD uuur

ST uuur PR uuur GH

uuur AB uuur

MN uuur KL uuur GH

uuur AB uuur

T

S M

N H G

V

A B K

L E F

P

R D

C

Yönlü Doðru Parçalarý ve Vektörler TEST : 03

Ege Yayýncýlýk

(29)

7. Koordinat doðrusu üzerindeki A(2 + ñ3) ve B(5 + ñ3) noktalarý için nün uzunluðu kaç birimdir?

A) 0 B) ñ3 C) 2 D) 3 E) 4

8. Koordinat doðrusu üzerindeki farklý A(–3), B(8) ve C(x) noktalarý için

olduðuna göre, x in deðeri kaçtýr?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 19

9. Koordinat doðrusu üzerindeki A(–3), B(5), C(2) ve D(x) noktalarý veriliyor.

olduðuna göre, x in deðerleri toplamý kaçtýr?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

10. Koordinat doðrusu üzerindeki K(a) ve L(b) noktalarý veriliyor. (a, b∈ Z⁺)

a + b = 7 ve birim vektör olduðuna göre, a . b kaçtýr?

A) 12 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

11. A(2, –4) ve B(3, 2) noktalarý için, nedir?

A) (–1, 6) B) (–1, –6) C) (1, 6) D) (2, 4) E) (1, –6)

AB uuur KL

uuur

AB = CD uuur uuur AB = BC uuur uuur AB uuur

12. Birim kâðýtta verilen vektörler için, aþaðýdaki tabloda verilenlerde hangisi yanlýþtýr?

A) l B) ll C) lll D) E) V

13. ÁA = (2, a – 4) ve ÁB = (b + 1, –6)

vektörleri birbirine eþit olduðuna göre, a + b kaçtýr?

A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

14. ÁA = (x + y, –5) ve ÁB = (–1, x – y) vektörleri birbirine eþit olduðuna göre, x . y kaç- týr?

A) 0 B) –2 C) –4 D) –6 E) –8

15. ÁK = (x . y, 4) ve ÁL = (3, x + y)

vektörleri birbirine eþit olduðuna göre, x – y farkýnýn mutlak deðeri kaçtýr?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 KLuuur = EFuuur

A B

C

D

F

E

G

K H

L

Ege Yayýncýlýk

30

1.C 2.D 3.– 4.D 5.D 6.C 7.D 8.E 9.A 10.A 11.C 12.E 13.A 14.D 15.C

Vektör Gösterimi Uzunluðu (br)

l AB

uuur

(4, 0) 4

ll CD

uuur

(3, 3) 3ñ2

lll EF

uuur

(–3, –2) ò13

lV KL

uuur

(2, –3) ò13

V GH

uuur

(–3, 0) 2

(30)

Ýki Vektörün Toplamý ve Farký :

Düzlemde vektörleri verilsin.

1.

vektörleri verilsin. Buna göre, vektörünü bulunuz.

C : (2, 5)

2. ÁA = (–2, y) ve ÁB = (x, 5) vektörleri verilsin.

ÁA + ÁB = (3, 4) olduðuna göre, x . y çarpýmý kaçtýr?

C : –5

3. ÁK = (x – 1, 3) ve ÁL = (2, y + 2) vektörleri verilsin.

ÁK – ÁL = (4, –2) olduðuna göre, x + y toplamý kaç- týr?

C : 10

4. ÁA = (x², a) ve ÁB = (y², 23) vektörleri verilsin.

ÁA – ÁB = (a, 0) olduðuna göre, x doðal sayýsý kaçtýr?

C : 12 A+B

ur ur A= −( 2, 4) ve B=(4, 1)

ur ur

A B (a x, b y) A B (a x, b y) dir.

+ = + +

− = − −

ur ur ur ur

A=(a,b) , B=(x, y)

ur ur

Bir Vektörün Bir Reel Sayý Ýle Çarpýmý : ve k∈ R olmak üzere;

þeklinde tanýmlanýyor.

* vektörü ile k . vektörünün

doðrultularý aynýdýr.

* k = 0 ise orijin noktasýdýr.

* k > 0 ise vektörü ile k . vektörü ayný yönlüdür.

* k < 0 ise vektörü ile k . vektörü zýt (ters) yönlüdür.

5. Aþaðýdaki boþluklarý uygun þekilde doldurunuz.

a) Vektörlerde toplama iþleminin ……….,

………., ………. özellikleri vardýr.

b) Vektörlerde toplama iþleminin birim elemaný

………. vektörüdür.

c) ÁU + ÁV = ÁO verilsin. ÁU, ÁV nün toplamaya göre

………. vektörüdür.

6. vektörü veriliyor. vektörü nedir?

C : (–6, 12)

7. vektörü veriliyor. vektörü nedir?

C : (–12, 24)

−4Bur Bur=(3, 6)−

3A ur A= −( 2,4)

ur

A ur A

ur

A ur A

ur

( k . Aur=(0,0) ) A ur k≠0 ise Aur

kAur=k(a,b)=(ka,kb) A=(a,b)

ur

Vektörlerde Ýþlemler ALIÞTIRMA : 08

Ege Yayýncýlýk

(31)

8. A(2, 4) ve B(–1, 3) noktalarý veriliyor. vektörü nedir?

C : (–9, –3)

9. vektörleri verildiðine göre

vektörünü bulunuz.

C : (0, 16)

10. A(1, –4) ve B(3, –2) noktalarý, vektörü veriliyor. vektörünü bulunuz.

C : (0, 3)

11. K(1, 2) ve L(2, –4) noktalarý ile vektörü veriliyor. vektörünü bulunuz.

C : (7, –10) KLuuur+2Vur

V=(3, 2)− ur AB U+

uuur ur

Uur= −( 2,1) 3Kur−2Lr

Kur=(2, 4) ve Lr=(3,−2)

3AB

uuur 12. K(2, 1), L(3, 4), M(–3, 2) ve N(–4, 0) noktalarý veriliyor.

Buna göre, vektörü nedir?

C : (0, 1)

13. A(4, –2), B(–5, –3), C(2, 3), D(3, –1) noktalarý veriliyor.

Buna göre, iþleminin sonucunu bulunuz.

C : (–19, 2)

14. vektörleri veriliyor.

eþitliðini doðrulayan vektörü nedir?

C : (3, –1)

15. vektörleri ve-

rilsin. ise, x ve y reel sayýlarýný bulunuz.

C : x = 5 y = –3

16.

olduðuna göre, vektörü nedir?

C : (–1, 2) K

ur

K L ( 2, 0) 2K L ( 1, 6)

+ = −

− = − ur r

ur r

+ =

ur r ur xK y L M

Kur=(0, 4) , Lr= −( 2, 3) ve Mur=(6, 11) C ur 2a br− =r 3Cur

ar=(3, 2) ve b− r= − −( 3, 1) 2 . AB CDuuur−uuur KL MNuuur+uuur

Ege Yayýncýlýk

32

(32)

1.

olduðuna göre, toplamý nedir?

A) (5, 9) B) (2, 5) C) (1, 10) D) (9, –1) E) (–1, 9)

2.

vektörünün 4 katý aþaðýdakilerden hangisidir?

A) (12, 8) B) (9, 9) C) (16, 10) D) (16, 2) E) (12, 2)

3. A(2, 4) ve B(–1, 3) noktalarý veriliyor. vek- törü nedir?

A) (12, 20) B) (–4, –12) C) (6, 2) D) (12, 28) E) (16, 20)

4.

vektörünün 2 katý olduðuna göre, x + y kaçtýr?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 br=(y+2,y 6)−

ar=(2, x 1)−

−2ABuuur K=(3,2)

ur ur+vr

u=(2,4) , v= −( 3,5)

r r

5. vektörleri için vek-

törü nedir?

A) (0, 11) B) (11, 0) C) (0, 12) D) (12, 0) E) (11, 12)

6. ise toplamý ne-

dir?

A) (1, 12) B) (–1, 3) C) (3, 7) D) (1, 2) E) (–1, 12)

7.

vektörleri veriliyor. Buna göre, toplamý nedir?

A) (1, 10) B) (–1, 10) C) (0, 12) D) (8, 15) E) (7, 18)

8.

vektörleri için olduðuna göre, a + b toplamý nedir?

A) –11 B) –10 C) –9 D) –7 E) –5 2Kur+3Lr=Mur

Kur=(3,a), Lr= −( 4,2) ve Mur=(b 1, 2)+ − 3Kur+2Lr Kur=(3,4) ve Lr= −( 1,3)

2Aur+Bur A= −( 2,5) ve B=(3,2)

ur ur

2u vr−r ur=(4,1) ve vr= −( 3,2)

Vektörlerde Ýþlemler TEST : 04

Ege Yayýncýlýk

(33)

9. vektörleri veriliyor.

olduðuna göre, a . b kaçtýr?

A) –5 B) 0 C) 1 D) 5 E) 7

10. A(1, 3), B(–2, 2), C(0, –1) noktalarý veriliyor.

toplam vektörünün bileþenleri nedir?

A) (2, 5) B) (3, 4) C) (1, –5) D) (1, –7) E) (2, –7)

11.

vektörleri veriliyor.

olduðuna göre, x + y kaçtýr?

A) –2 B) –1 C) 2 D) 3 E) 4

12. vektörleri verili-

yor. olduðuna göre, x . y çarpýmý kaçtýr?

A) –8 B) –6 C) –4 D) –2 E) –1 A=x.B y .C+

ur ur ur

A=(1, 1) , B− =(4, 2) , C=(3, 1)

ur ur ur

Kur=x.Lr+y.Mur

Kur= −( 1, 9) , Lr=(2, 4) , Mur= −( 3, 5) AC BC+

uuur uuur

A−2B=(1, 6) ur

A=(2 a, 4) , B− =(1, 4 b)+

ur ur

13.

olduðuna göre, vektörü nedir?

A) (2, 3) B) (3, –1) C) (4, –1) D) (–2, 3) E) (–3, 1)

14.

2ÁA – 3ÁB = x . ÁC olduðuna göre, x kaçtýr?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

15. A(2, 0) ve B(3, –5) noktalarý,

olduðuna göre, x . y kaçtýr?

A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

16. vektörleri ve-

riliyor. ÁC vektörünün ÁA ve ÁB vektörleri cinsinden ifadesi nedir?

A) 2ÁA – 3ÁB B) 2ÁA – 2ÁB C) 3ÁB – 3ÁA D) 3ÁA – 2ÁB E) 2ÁA + 3ÁB

A= −( 4, 3) , B=(2, 1) , C− =(6,−6)

ur ur ur

AB=x.C+y.D uuur ur ur Cur=(1, 4) ve Dur= −( 2, 1)

A=(2,−4) , B= −( 2, 0) , C=(5,−4)

ur ur ur

A ur

A 2B ( 2, 5) 2A B ( 4, 5)

− = − + = − ur ur

ur ur

Ege Yayýncýlýk

34

1.E 2.A 3.C 4.E 5.B 6.E 7.E 8.A 9.D 10.D 11.C 12.B 13.D 14.C 15.A 16.C

(34)

Vektörlerde Toplama

Doðrultularý ve yönleri ayný olan iki vektörün toplamýnýn uzunluðu; doðrultusu ve yönü deðiþmek- sizin uzunluklarý toplamýdýr.

Doðrultularý ayný ve yönleri farklý olan iki vektörün toplamýnýn uzunluðu; uzunluklarý farkýna eþit olup, yönü, büyük olan yöndedir.

1. Yandaki þekle

göre,

a) Áa + Áb toplamýný analitik olarak bulunuz.

C : (2, 0)

b) Áa + Áb toplamýný vektörel olarak soru üzerin- de gösteriniz.

Áa Áb

Áv

Áu Áu + Áv

Áv Áu

Áu + Áv Áu Áv

2. Yandaki þekle göre,

a) + toplamýný analitik olarak bulunuz.

C : (–1, 1)

b) + toplamýný vektörel olarak göste- riniz.

3.

Þekildeki bisikletlinin saatteki hýzý, yönü, þiddeti Áa = (8, 0) dýr. Rüzgârýn saatteki hýzý, yönü, þiddeti Áb = (1, 0) dir.

a) Bisikletlinin bir saat sonraki toplam vektörü analitik olarak nedir?

C : Áa + Áb = (9, 0) b) Bisikletlinin bir saat sonraki toplam vektö-

rünü soru üzerinde gösteriniz.

4.

Þekildeki yüzücünün saatteki hýzý, yönü, þiddeti Áu = (7, 0) dýr. Nehrin akýntýsýnýn hýzý, yönü, þiddeti Áv = (–2, 0) dýr.

a) Yüzücünün bir saat sonraki toplam vektörü analitik çözümü nedir?

C : Áa + Áb = (5, 0) b) Yüzücünün bir saat sonraki toplam vektö-

rününü soru üzerinde gösteriniz.

CD uuur AB uuur

B

A D

C

Ege Yayýncýlýk

(35)

Bir Vektörün Bir Reel Sayý Ýle Çarpýmý

* k > 1 için;

* 0 < k < 1 için;

* –1 < k < 0 için;

* k < –1 için;

* k = 0 için; k . Áu = Á0

* k = 1 için;

* k = –1 için;

5.

Yukarýda birim kaðýt üzerinde verilen Áa vek- törünün 2Áa ve –3Áa vektörlerini gösteriniz.

Áa

(yönü deðiþti) k . Áu

(ayný) k . Áu

(yönü deðiþti, uzunluk büyüdü) k . Áu

(yönü deðiþti, uzunluk küçüldü) k . Áu

(uzunluk küçüldü) k . Áu

(uzunluk büyüdü) k . Áu

vektör ve k reel sayýdýr.

Áu

6.

Yukarýda birim kaðýt üzerinde verilen vektörlere göre aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz.

I. Áa = ... . Áb II. Áa = ... . Ác III. Ác = ... . Áb IV. Ác = ... . Áf V. Áe = ... . Ád VI. Ág = ... . Ád VII. Áv = ... . Áu VIII. Ág = ... . Áe

7.

vektörlerinin bileþen- lerini yazýnýz.

− −

r r r r

r r

2a b c 3f

, , , 2d, 3e,

3 3 4 2

Áb

Ác

Áe

Áa Ád

Áf Áa

Áb

Ác Ád Áe

Áv Ág

Áf Áu

Ege Yayýncýlýk

36

(36)

Doðrultularý farklý olan iki vektörün toplamý çokgen yöntemi veya paralelkenar yöntemi ile bulunur.

Çokgen Yöntemi :

Ýki vektör çokgen yöntemi ile toplanýrken birinin baþlangýç noktasý diðerinin bitim noktasýna taþýnýr.

Ýlk vektörün baþlangýç noktasý diðer vektörün bitim noktasý ile birleþtirildiðinde oluþan vektör toplam vektörüdür.

1. Yandaki þekilde veri-

lenlere göre,

a) oranýný analitik olarak bulunuz.

C : –1

b) oranýný vektörel olarak soru üzerinde gös- teriniz.

AB BC CD DA

+ + uuur uuur uuur uuur

D C

B A

Áa

Áb

Áa Áb

Áa + Áb

Áa Áb

2. Aþaðýdaki Áu ve Áv vektörleri için, Áu vektörünün baþlangýcýný A noktasýna taþýyarak 3Áu + 2Áv toplamýný

a) analitik olarak bulunuz.

b) vektörel olarak þekil üzerinde gösteriniz.

3. Áa, Áb, Ác vetörlerine göre, (Áa + Áb) + Ác toplamýný bulunuz. (Birleþme özelliði olduðunu ispatlayýnýz.)

Áb Áa

Ác Áu Áv

A

Ege Yayýncýlýk

Kitabýn Adý:

SUNUÞ

1 . ÜNITE

Düzlem GeometrIde Temel Elemanlar ve

ISPAT BIÇIMLERI .

.

. . . .

2 . ÜNITE

DüzlemDE NOKTA, DOÐRU ve VEKTÖRLER

.

1 ^{. ÜNITE}

2 ^{. ÜNITE}