Kitabýn Adý:

(1)

Bu kitabýn tüm haklarý yazarlarýna aittir.

Kitabýn Adý : 11. Sýnýf Geometri Soru Bankasý

Yazarlar : Özkan Güner Erhan Nemutlu Tarýk Þahin Kenan Akarbulut

Baský : Kanyýlmaz Matbaasý Eylül - 2011

Kapak : Model Ajans

Dizgi : Aynur Sarýbüyük

[email protected]

ISBN : 978 - 605 - 62328 - 1 - 7

Ege Yayýncýlýk Eðitim Hizmetleri Turizm Ýnþaat San. ve Tic. Ltd. Þti.

Merkez mah. Aligalip cad. Ekþioðlu iþhaný No : 16/9 Gaziosmanpaþa / ÝSTANBUL

Tel : 0 (212) 563 95 52 web : www.egeyayincilik.com

Özkan Güner 0505 221 70 06 [email protected]

Erhan Nemutlu 0505 405 38 12 [email protected] Ali Kocabýyýk

0505 215 83 24 [email protected]

(2)

SUNU

Her eyi i ine alan ve ayn zamanda i inde olan Geometri, asl nda son derece zevkli bir derstir. Ki inin beyin g c n ve g r yetene ini, estetik ve d zen anlay n geli tiren bir aland r. ˙ocuklara verilecek e itim, iir ve geometriden ibaret olmal diyen filozof da ayn kanaati ta yor olsa gerek.

Fakat rencilerde Geometri dersine ait yersiz korku ve endi e hakimdir. Bunun temel nedeni de ki inin bilmedi inin d man olmas ndand r. te bu kitap, e itli okul ve dershanelerde al m e itimcilerin tecr be ve bilgi birikimlerinden yararlan larak haz rland . Hedefi ise bu yersiz korku ve endi eleri, ortaya koydu u yeni anlay la ortadan kald rmak, bu dersi kolay ve zevkli hale getirmektir. ncelikli hedefi geometriyi sevdirmek, sonra da geometriyi ad m ad m retmektir. te bu nedenle "Ad m Ad m Serisi (AAS)"nin 11. S n f Geometri kitab yaz ld .

Sevgili Meslekta m z,

Bu kitaplar ; Matematik kitaplar nda kulland m z H CRELEME S STEM SER S (HSS)’nin biraz daha geli tirilmi i olan ADIM ADIM SER S (AAS) dedi imiz yeni bir anlay la sunuyoruz. Buna g re;

Konular bir veya iki saatte anlat labilecek alt ba l klara b l nd . B ylelikle her dersin sonunda dev verip takibinin yap labilmesi ama land .

Bu sistemde her rencinin bir eyler rendi ini hissetmesini, kendine g veninin ve motivasyonunun artmas n sa layabilmek i in reticilik n planda tutuldu.

Ayn tip sorular kolaydan zora do ru alt alta s raland . B ylelikle zorluk basamaklar daha kolay k l r hale getirildi.

SYM sorular n n benzeri b t n sorular, testlere konularak konu b t nl n n yakalanmas ama land .

Al t rma Testleri ncesindeki k sa konu bilgileriyle konular n daha iyi renilmesi ve renilen konular n renciler taraf ndan Al t rma ve Konu Kavrama Testlerinin z lerek peki tirilmesi hedeflendi.

Alt ba l klara ayr lm testler, karma testler ile takviye edilerek rencilerin zelde renilmi olan bilgileri genelde de uygulay p ba ar l olmalar ama land .

Karma Testlerin arkas na SYM sorular eklenerek rencinin kendisini SYM sorular ile s namas ama land . Hepimizin bildi i gibi, geometri dersi retim program nda dersler; sarmal retim sistemi ile i lenecektir. Bundan dolay 11. S n f Geometri kitab m z 9. ve 10. s n fta veya ilk retimde renilen bilgileri hat rlatarak haz rlad k.

B ylece konular n daha iyi anla lmas ama land . Sevgili rencilerimiz,

Geometri m fredat tamam yla yeni bir anlay la ele al nmaktad r. Buna g re, st s n flarda geometri dersi almayacak olan renciler i in gerekli olan temel bilgi ve becerileri kazand racak; 11 ve 12. s n flarda Geometri dersi alacak renciler i in de alt yap olu turucak bi imde yap land r lm t r.

Geometri dersi retim program nda dersler; sarmal retim sistemi ile i lenecektir. Bundan dolay 11. S n f Geometri kitab m z 9.ve 10. s n fta veya ilk retimde renilen bilgileri hat rlatarak haz rlad k. B ylece konular daha iyi anla lacakt r.

Geometri ile ilgili temel kavramlar sentetik yakla mla verildikten sonra koordinat do rusu ve buna ba l olarak analitik d zlem tan mlanm t r. Noktalar n koordinatlar ndan yararlanarak da vekt r kurgusu yap lm t r.

Biz bu yap land rmay esas alarak serinin nc kitab olarak elinizdeki eseri haz rlad k. Ayn zamanda, sizleri s k c bir al ma ortam ndan kurtar p; g nl k, d zenli ve planl ders al ma ve dev yapma al kanl kazand rmak i in haz rlad k.

zellikle Al t rma Testleri Geometriye bak n z de i tirecek sizi ders al ma masas na oturtmay ba aracakt r.

De i en s nav sistemi YGS - LYS de 11. S n f Geometri dersinden soru sorulmaktad r. Ayr ca 11. S n f Geometri der- sinin 12. S n f Geometri dersine katk yapt n ak ldan kartmamak gerekir.

niversiteye giri s navlar nda kan sorular kar s nda rahat olabilmenin yolu; sistemli, d zenli al man za ve ok soru zmenize ba l d r. Bu da rencilerin konular kavrayarak renip; Al t rma, Konu Kavrama, Karma ve SYM sorular ile peki tirmesiyle m mk nd r.

Bu kitab n olu mas nda fikirleriyle bizi destekleyen, maddi ve manevi yard mlar n esirgemeyen Ali KOCABIYIK’a ve kitab n tashihinde yard mc olan retmen arkada m z Cumhur CENG Z e ve de erli rencilerimize te ekk r ediyoruz.

Kitab m z n sizlere yararl olmas dile iyle...

YAZARLAR

(3)

11. Sýnýf Geometri Dersi Öðretim Programýnda Yaklaþýmlar

11. sýnýf geometri dersi öðretim programý, 10. sýnýf geometri dersi öðretim programýnýn devamý olup, düzlemin doðal geometrisi olarak Öklid geometrisi; analitik geometri kurgusunda cebirsel yapý olarak vektörel yapý;

geometrik ispatlarda da sentetik, analitik ve vektörel yaklaþýmlar esas alýnmýþtýr.

Bu yaklaþýmlarla 11. Sýnýf Geometri Dersi Öðretim Programý;

a. Kavramlarýn anlaþýlmasýnýn, kullanýlmasý kadar önemli olduðunu,

b. Kavramlarýn oluþmasýndan sonra iþlem becerisinin devreye girmesi ve bunlarýn ayrýlmaz parçalar olarak devam etmesi gerektiðini,

c. Öðrencinin sadece bilgi ve beceriyi kazanmýþ olmasýnýn yanýnda bunlarý nasýl, nerede, ne zaman ve niçin uygulayacaðýna karar verebilecek duruma gelmesini,

ç. Geometri ile ilgili kavramlarý sentetik, vektörel veya analitik yaklaþýmlarla ele almayý,

d. Teoremler ispatlanmadan önce mümkün olan analitik yaklaþýmlarý kullanýp örnek çözerek motivasyon saðla- mayý,

e. Ýspatlara sentetik, vektörel veya analitik yaklaþýmlarla gitmeyi,

f. Elde edilen sonuçlarý, gerçek hayattaki modelleri yardýmýyla pekiþtirmeyi,

g. Konularýn iþlenmesinde mümkün olduðunca vektörel ve analitik yaklaþýmlarý esas almayý,

ð. Bir düzlem modelinde dik koordinat sistemi alarak düzlemsel þekillerin hareketlerini koordinatlara baðlý olarak incelemeyi,

h. Ýlköðretim Geometri Öðrenme Alaný ve Yükseköðretim Geometri Programlarý ile uyum içinde olmayý,

ý. Bir düzlem modelinde dik koordinat sistemi alarak düzlemsel þekillerin hareketler altýnda deðiþmeyen özellik- lerini koordinatlara baðlý olarak incelemeyi,

i. Düzlemin geometrik problemlerini sentetik, vektörel veya analitik yaklaþýmlarý kullanarak çözmeyi, j. Düzlem geometrideki kavramlarýn özelliklerini sorgulatmayý öngörmektedir.

Geometriye Yaklaþým Biçimleri Geometriye Sentetik (Aksiyomatik) Yaklaþým Belli postutlar kullanýlarak yapýlan geometriye sentetik (aksiyomatik) yaklaþým diyoruz.

“Ýki noktadan bir doðru geçer.”

Geometriye Vektörel Yaklaþým Vektörel cebirden yararlanarak yapýlan geometriye vektörel yaklaþým diyoruz.

A B A B A B X

O

A B A B

d

O noktasý koordinat sisteminin orijini alýnýrsa x = A + λ (B – A) yazýlabilir.

Bulunan ifade doðrunun vektörel yaklaþýmýna örnektir.

OX OAJJJG=JJJG+ λ(OB OA)JJJG JJJG−

OXJJJG OAJJJG

(4)

B(0, 0) D(e, 0) x y

Geometriye Analitik Yaklaþým

Bir koordinat sisteminden yararlanarak yapýlan geometriye analitik yaklaþým diyoruz.

A = (a₁, a₂) , B = (b₁, b₂) ve X = (x, y) olmak üzere

Bulunan ifade doðrunun analitik yaklaþýmýna örnektir. Ancak vektörel yaklaþýmda bir koordinat sistemi seçi- lerek verilen noktalarýn koordinatlarý,

X = A + λ(B – A) da yerine yazýlýr ve (x, y) = (a₁, a₂) + λ(b₁– a₁, b₂– a₂) x = a₁+ λ(b₁– a₁)

y = a₂+ λ(b₂– a₂)

denklemi bulunur. Buradan da görüldüðü gibi analitik yaklaþým, vektörel yaklaþýmdan koordinat sistemi seçilerek de elde edilebilir.

Aþaðýda bir eþkenar dörtgensel bölgenin alaný baðýntýsý üç yaklaþýmla ispatlanmýþtýr.

1 2

1 1 2 2

x a y a

b a b a

ax by c 0

− = − = λ

− −

+ + =

1 2

1 1 2 2

x a y a

b a b a

ax by c 0

− = −

− −

+ + = ^x

y b₂ a₂

a₁ b₁

B

A

Sentetik Yaklaþým Vektörel Yaklaþým Analitik Yaklaþým

ABCD eþkenar dörtgensel bölgenin alaný

|AC| = f ve |BD| = e olmak üzere e . f

S= 2

olduðundan

2 2 2

AC . BD AC, BD

S 2

AC . BD

S 2

e . f

S olur.

2

= −

=

JJJG JJJG JJJG JJJG

JJJG JJJG AC, BD =0 JJJG JJJG

AC (0,= −f), BD (e, 0)=

JJJG JJJG

olduðundan AC . BD

S olur.

= 2

JJJG JJJG AC, BD =0 JJJG JJJG

A e f, 2 2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

e f

C ,

2 2

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

A

B D

C e

f

A

B D

C

A^ý

C^ý

(5)

1. ÜNÝTE Dörtgenler

Alýþtýrma 1, 2 . . . 9

Test 1 . . . 13

Alýþtýrma 3, 4 . . . 15

Test 2 . . . 19

Alýþtýrma 5 . . . 21

Test 3 . . . 23

Test 4 . . . 27

Alýþtýrma 7, 8 . . . 29

Test 5 . . . 33

Test (Karma) 6, 7 . . . 35

Test (ÖSYM Sorularý) . . . 39

2. ÜNÝTE Özel Dörtgenler Alýþtýrma 9 . . . 43

Test 8 . . . 45

Alýþtýrma 10, 11, 12 . . . 47

Test 9, 10 . . . 53

Test 11, 12 . . . 59

Test 13 . . . 65

Test 14 . . . 69

Alýþtýrma 16, 17, 18 . . . 71

Test 15 . . . 77

Test 16 . . . 81

Test 17 . . . 85

Test (Karma) 18, 19, 20 . . . 87

Alýþtýrma 21, 22, 23 . . . 99

Test 21, 22, 23, 24 . . . 105

Alýþtýrma 24, 25 . . . 113

Test 25 . . . 117

Test 26 . . . 121

Test 27 . . . 125

Test 28 . . . 129

Test 29 . . . 133

Test (Karma) 30, 31, 32, 33, 34 . . . 137

Test 35, 36 . . . 153

Test 37 . . . 159

Test (Karma) 38 . . . 161

Test 39, 40, 41 . . . 165

Test (Karma) 42, 43 . . . 171

Alýþtýrma 34, 35 . . . 179

Test 44 . . . 183

Test (Karma) 45 . . . 185

Test 46, 47 . . . 189

Test (Karma) 48 . . . 193

Test 49 . . . 199

Test 50 . . . 203

Test (Karma) 51, 52, 53 . . . 205

Test 54, 55 . . . 213

Test 56, 57 . . . 223

Test 58 . . . 229

Test (Karma) 59, 60 . . . 231

3. ÜNÝTE Çokgenler Alýþtýrma 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 . . . 237

Test 61 . . . 253

Alýþtýrma 50, 51, 52, 53, 54 . . . 257

4. ÜNÝTE Çember Alýþtýrma 55, 56, 57 . . . 269

Test 62 . . . 275

Test 63 . . . 279

Test 64 . . . 285

Test 65 . . . 289

Test 66 . . . 295

Alýþtýrma 62, 63, 64 . . . 297

Test 67 . . . 303

Alýþtýrma 65, 66, 67 . . . 305

Test 68 . . . 311

Test 69 . . . 315

Test 69 . . . 323

Test 70 . . . 327

Test 71 . . . 331

Test 72, 73 . . . 337

Alýþtýrma 73, 74 . . . 341

Test 74 . . . 345

Test 75 . . . 349

Test 76 . . . 353

Test (Karma) 77, 78, 79, 80, 81 . . . 355

Alýþtýrma 77, 78, 79 . . . 375

Test 82 . . . 381

Alýþtýrma 80, 81, 82, 83, 84 . . . 387

5. ÜNÝTE Konikler Alýþtýrma 85, 86 . . . 399

Test 83, 84 . . . 403

Test 85, 86 . . . 409

Test 87, 88 . . . 415

Test 89, 90 . . . 421

Test (ÖSYM Sorularý) . . . 425 ÝÇÝNDEKÝLER

(6)

1 . ÜNITE

DÖRTGENLER

.

(7)

(8)

1. Aþaðýdaki boþluklarý uygun kelimelerle doldurunuz.

a) Herhangi üçü doðrusal olmayan dört noktayý birleþtiren dört doðru parçasýndan oluþan kapalý þekle ... denir.

b) Dörtgenin temel elemanlarý ..., ...

ve ... dýr.

2. Aþaðýda verilen þekle göre boþluklarý doldurunuz.

ABCD dörtgeninde;

a) ... noktalarýna dörtgenin köþeleri denir.

b) ... na dörtgenin kenarlarý denir.

c) ... dörtgenin açýlarý denir.

d) [AB] ile [CD] ve [AD] ile [BC] ye dörtgenin ... kenarlarý denir.

e) [AB] ile [BC] ve [BC] ile [CD] ye dörtgenin ... kenarlarý denir.

f) A ile C ve B ile D açýlarýna ... iç açýlar denir.

g) Her bir iç açýsýnýn ölçüsü 180 den küçük olan bir dörtgene ... dörtgen denir.

h) Herhangi bir iç açýsýnýn ölçüsü 180 den büyük olan dörtgene ... dörtgen denir.

D

A C

B

3. Aþaðýda verilen dörtgenlerin içbükey dýþbükey olduðunu altýndaki boþluklara yazýnýz.

a) b)

... ...

c) d)

... ...

4. Aþaðýdaki boþluklarý verilen þekillere göre uygun biçimde doldurunuz.

a) ABCD dörtgeninde A ile C ve B ile D nokta- larýný birleþtiren doðru parçalarýna dörtgenin ... denir.

b) KLMN dörtgeninde K ile M ve L ile N nokta- larýný birleþtiren doðru parçalarýna dörtgenin ... denir.

c) ... dörtgenlerde her iki köþegen dört- genin iç bölgesinde, ... dörtgenlerde ise bir ... dörtgenin dýþ bölgesindedir.

NOT : Dörtgen denilince dýþbükey dörtgen anlaþýla- caktýr.

D

A C

B

K

L N

M

Dörtgenlerin Tanýmý ve Temel Elemanlarý ALIÞTIRMA : 01

Ege Yayýncýlýk

(9)

5. A(–2, 0), B(2, –4), C(3, 2) ve D(1, 5) noktalarý ile verilen ABCD dörtgeninde

a) AB doðrusunun denklemini bulunuz.

C : y = –x – 2

b) BC doðrusunun denklemini bulunuz.

C : y = 6x – 16

c) AC doðrusunun denklemini bulunuz.

C : 5y = 2x + 4

d) Köþegenlerin kesim noktasýnýn apsisi kaçtýr?

C :

e) Dörtgenin kenarlarýný oluþturan doðru denk- lemlerini yorumlayarak dörtgenin içbükey veya dýþbükey olduðunu belirleyiniz.

66 47

6. Aþaðýdaki boþluklarý verilen þekilden yararlanarak doldurunuz.

a) Bir dörtgenin komþu olmayan iki kenarýnýn orta noktalarýný birleþtiren doðru parçasýna ... denir.

b) ABCD dörtgeninde orta taban ...dýr.

7. A(–2, 5), B(4, 3), C(1, –3) ve D(–5, –1) noktalarýn- dan oluþan ABCD dörtgeninin [AB] ve [CD] kenar- larýnýn orta noktalarý sýrasýyla E ve F noktalarýdýr.

Buna göre, EF orta taban doðrusunun denklemini bulunuz.

C : y = 2x + 2

8. Aþaðýda verilen içbükey ve dýþbükey dörtgen- lerin köþegenlerini üzerine çiziniz.

D

A

C

B

K

L N

M D

A C

B E

F

Ege Yayýncýlýk

10

(10)

dýþbükey içbükey

* [AC] ve [BD] köþegendir.

* Dýþ bükey bir dörtgenin iç açýlarýnýn ölçüleri toplamý 360° dir.

1. ABCD bir dörtgen

Verilenlere göre, x kaç derecedir?

C : 120°

Verilenlere göre, y kaç derecedir?

C : 118°

3. Þekilde verilen ABCD

dörtgeninin açýlarý ar- dýþýk tek sayýlar oldu- ðuna göre en küçük dýþ açýsý kaç derecedir?

C : 87°

A

D

B

C D

C

A B

2x + 15°

x x + 25°

x + 10°

y T

D

C

A

B x

80°

70°

A

B

C D

a

b c

d A

B

C d D

a

b

c

* Dýþ bükey çokgenin dýþ açýlarýnýn ölçüleri toplamý 360° dir.

* Dýþ bükey bir dörtgenin karþýlýklý iki iç açýsýnýn toplamý diðer iki dýþ açýnýn toplamýna eþittir.

a + c = y + t b + d = x + z

4. Konveks bir dörtgende karþýlýklý iki iç açýnýn toplamýnýn karþýlýklý iki dýþ açýnýn toplamýna oraný kaçtýr?

C : 1

C : 35°

C : 60°

A

B

C

D x

140° 130°

70°

A

D

B C

71°

70°

x + 12°

2x + 24°

A

D

C

B a

x

d t

c z b

y

Dörtgenlerde Açý Özellikleri ALIÞTIRMA : 02

Ege Yayýncýlýk

(11)

7. Konveks bir dörtgenin iç açýlarý toplamýnýn dýþ açýlarý toplamýna oraný kaçtýr?

C : 1

8. ABCD dörtgen

Þekilde verilen açý ölçülerine göre, x kaç derecedir?

C : 60°

9. ABCD dörtgen

[AB] ⊥ [AD]

[BC] ⊥ [DC]

Verilenlere göre, x ile y arasýndaki baðýntý nedir?

C : x = y

10. ABCD dörtgen

[AE], [EF] açýortay m(ëD) = 110°

m(ëC) = 100°

m(ëB) = 60°

Verilenlere göre, m(AëFE) = α kaç derecedir?

C : 37,5°

D

C E

A F B

110°

100°

60°

a A

D

B

C

x y

D

A

B C x

2x

11. ABCD dörtgen

[AE] ∩ [DF] = {C}

m(AëDF) = m(EëAF) m(DëKE) = 70°

Verilenlere göre, m(BëAD) açýsý kaç derecedir?

C : 70°

12. ABCD dörtgen

[BA] ⊥ [AD]

|AB| = |AD|

|BD| = |CD|

m(BëDC) = 60°

Verilenlere göre, m(AëCD) = α açýsý kaç derecedir?

C : 105°

13. ABCD dörtgen

|AB| = |BC| = |CD|

Verilenlere göre, α kaç derecedir?

C : 80°

A

B

C

D a

80°

60°

A

B C

D 60°

a D

E C

A F B

K 70°

Ege Yayýncýlýk

12

(12)

Þekildeki açý ölçülerine göre, m(BëAD) kaç derecedir?

A) 53 B) 63 C) 73 D) 77 E) 83

Þekildeki açý ölçülerine göre, x kaç derecedir?

A) 69 B) 70 C) 71 D) 72 E) 73

Þekildeki açý ölçülerine göre, α kaç derecedir?

A) 108 B) 110 C) 113 D) 117 E) 118

D C

A B

a

72°

63°

117°

x

x + 5°

2x 10°

x + 10°

B A

C D D

C

B A

2x 5°

x + 25°

x + 10°

x + 15°

[AD] ⊥ [AB]

[DC] ⊥ [CB]

Yukarýdaki verilere göre, x ile y arasýndaki baðýntý nedir?

A) x = y B) x = 180 – y C) x = 360 – y D) x = E) x = 2y

m(ëA) + m(ëC) = 190°

Yukarýdaki verilere göre, x + y toplamý kaç derecedir?

A) 110 B) 180 C) 190 D) 200 E) 210

|AB| = |BC| = |CD|

m(ëB) = 60°

m(ëD) = 70°

m(ëC) = α

Yukarýdaki verilere göre, m(ëC) = α kaç derecedir?

A) 90 B) 100 C) 110 D) 120 E) 130 A

D

a 70°

60°

C

B x

y A

D

B C y 2 D

A

B C x

y

Dörtgenlerde Açý Özellikleri TEST : 01

Ege Yayýncýlýk

(13)

7. ABCD bir dörtgen m(BëCD) = 120°

m(ëB) = 41°

m(ëD) = 33°

Yukarýdaki verilere göre, m(DëAE) = α kaç derecedir?

A) 46 B) 114 C) 124 D) 126 E) 134

[ED] ⊥ [DC]

[EB] ⊥ [BC]

m(AëBE) = 50°

m(EëDA) = 40°

m(BëCD) = α m(DëAF) = x

Yukarýdaki verilere göre, x’in α türünden deðeri nedir?

A) α B) 90 – α C) 90 + α

D) 180 – α E) 180 + α

[AB] ⊥ [AD]

|AB| = ò10 cm

|AD| = 2ñ2 cm

|DC| = |BC| = ñ6 cm

Yukarýdaki verilere göre, m(ëD) = α kaç derecedir?

A) 60 B) 90 C) 110 D) 120 E) 150 A

B D

C 2ñ2

a ñ6

ñ6 ò10

A F

B

E

D

50° 40°

C x

a A

E

B

C

D a

41° 120° 33°

|AB| = |AD| = 2|BC|

|DC| = ñ3.|BC|

m(ëB) = α

Yukarýdaki verilere göre m(ëB) = a kaç derecedir?

A) 90 B) 108 C) 120 D) 130 E) 150

|AB| = |AD| = |DC|

m(BëAD) = 60°

m(AëDC) = 112°

Yukarýdaki verilere göre, m(BëCD) = a kaç derecedir?

A) 62 B) 64 C) 72 D) 76 E) 78

m(BëAF) = m(CëBE) m(AëDC) = 75°

m(BëCE) = 105°

m(AëKE) = 110°

Yukarýdaki verilere göre, m(BëAD) kaç derecedir?

A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70 D

E

C F

B A

K 110°

75°

105°

A

D

a 112°

60°

C B

A

B

C

D

2x 2x

x xñ3

a

Ege Yayýncýlýk

14

1.C 2.C 3.A 4.B 5.C 6.B 7.E 8.C 9.D 10.C 11.B 12.E

(14)

1. Bir ABCD dörtgeninde, A ve B açýlarýnýn açýortay- larýnýn kesim noktasý P olsun.

Bu durumda

olduðunu paragraf ispat biçimini kullanarak gös- teriniz.

APB üçgeninde iç açýlarýnýn toplamýndan α + β + x = 180° yazýlýr.

Buradan x = 180° – α – β olur.

ABCD dörtgeninde dörtgenin iç açýlarý toplamýndan m(ëC) + m(ëD) + 2α + 2β = 360° olur.

O halde,

m(ëC) + m(ëD) = 360° – 2a – 2b Eþitliðin her iki tarafýný ikiye bölersek

olur.

Buradan da,

olarak bulunur.

+ =

m(C) m(D) 2 x

ë ë

+ = ° − α − β m(C) m(D)

2 180

ë ë

D

C

P

A B

x b

a b a

=m(C) m(D)+ m(APB)

2

ë ë

ë

2. 1. sorudaki teoremi akýþ diyagramlý ispat biçimini kullanarak aþaðýdaki boþluða yapýnýz.

Dörtgenlerle Ýlgili Teoremlerin Ýspatý ALIÞTIRMA : 03

Ege Yayýncýlýk

(15)

3. Bir ABCD dörtgeninde, karþýlýklý iki iç açýnýn açýor- taylarý arasýndaki dar açýnýn ölçüsünün, diðer iki açýnýn ölçüleri farkýnýn mutlak deðerinin yarýsýna eþit olduðunu yani,

iki kolonlu ispat biçimi kullanarak ispatlayýnýz.

Ýfadeler : Gerekçeler

Dörtgenin iç açýlarý toplamý 360° dir.

Eþitlik özelliðinden

Eþitliðinin ikiye bölümünden Dörtgende açý özelliklerinden Eþitlik özelliðinden

(3) ve (5) in eþitli- ðinden

Daðýlma özelliðin- den

Ýstenen

a

A C

B D

E F x

x y

y

ˆ ˆ

m(B) m(D) 2

− α =

4. 3. soruda verilen teoremi paragraf ispat biçimi kullanarak aþaðýdaki boþluða yapýnýz.

Ege Yayýncýlýk

16 1. m(ëB) + m(ëD) + 2x + 2y = 360°

2. 2(x + y) = 360° – (m(ëB) + m(ëD))

3.

4. x + y + m(ëD) = 180° – α

5. x + y = 180° – α – m(ëD)

6.

7. 2α + 2m(ëD) = m(ëB) + m(ëD)

8.

olarak bulunur.

α =

m(B) – m(D) 2

ë ë

° − α −

= ° − +

180 m(D)

m(B) m(D)

180 2

ëë ë + = ° −m(B) m(D)+ x y 180

2

ë ë

(16)

1. ABCD bir dörtgen [AP] ve [BP] açýortay

C : 100°

[AE] ve [BE] açýortay

C : 111°

[DE] ve [CE] açýortay m(ëA) + m(ëB) = 156°

C : 78°

D

C

A B

E x D

C

E

A B

x 126°

96°

D

C

P

A B

x 120°

80°

[BF], [FC], [DE] ve [AE]

açýortaylar

C : 78°

[CK] ve [AK] açýortay- lar

m(ëD) = 84°

m(ëB) = 60°

C : 12°

6. ABCD dörtgen

[AE], [CE] açýortay m(AëEF) = 44°

m(AëBC) = 55°

Verilenlere göre, m(AëDC) = a kaç derecedir?

C : 143°

D

C

A B

55°

a E 44°F D

C

A B

60°

84°

K x D

C

A B

E

x F ^102°

Dörtgenlerde Açý Özellikleri ALIÞTIRMA : 04

Ege Yayýncýlýk

(17)

7. ABCD bir dörtgen [AE] ve [CE] açýortaylar m(ëD) – m(ëB) = 54°

Verilenlere göre, m(AëEC) = a kaç derecedir?

C : 153°

[BE], [DE] açýortay m(ëC) = 140°

m(ëA) = 100°

Verilenlere göre, α kaç derecedir?

C : 20°

[AE] ve [BE] açý- ortaylar

C : 43°

D

C

E

A B

140°

126°

x A

B D

C

E a 100°

140°

D C

A B

a E

[AE] ve [DE] açýortay- lar

C : 46°

11. ABCD dörtgen

[DE], [CE], [AF] ve [BF]

açýortay m(CéED) = 130°

C : 130°

[AE] ve [CE] açýortay

C : 46°

A

B

C

D E

x

114° 26°

A

B C

F E D x 130°

A

B C

D E

x 74°

120°

Ege Yayýncýlýk

18

(18)

1. ABCD bir dörtgen [CE], [BE] açýortay m(BëAD) = x m(AëDC) = y x + y = 234°

Yukarýdaki verilere göre, m(BëEC) = α kaç derecedir?

A) 107 B) 117 C) 127 D) 128 E) 137

[AE], [BE] açýortay m(BëCD) = 98°

m(AëDF) = 44°

Yukarýdaki verilere göre m(AëEB) = α kaç derecedir?

A) 107 B) 117 C) 119 D) 132 E) 142

[AE], [BE] açýortay m(AëDC) = x – 15°

m(DëCB) = 2x – 29°

m(AëEB) = x Yukarýdaki verilere göre, x kaç derecedir?

A) 42 B) 43 C) 44 D) 45 E) 46 D

A

B C E

x F D

C

A

B E

44°

98°

a

D C

A B

E

x y

a

[AF], [BE] açýortay m(BëKF) = 112°

m(AëDC) = α m(BëCD) = θ 2θ – α = 92°

Yukarýdaki verilere göre m(BëCD) = θ kaç derecedir?

A) 76 B) 82 C) 96 D) 114 E) 136

[AE], [BE] açýortay [DC] ⊥ [CB]

m(AëDC) = 102°

Yukarýdaki verilere göre, m(BëEA) = α kaç derecedir?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 12

[BD], [CD] açýortay m(BëAC) = 56°

m(BëDC) = α

Yukarýdaki verilere göre, m(BëAC) = α kaç derecedir?

A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 A

B

C E D

a 56°

D C

E

B A

102° a

D E C

F

B A

K 112°

a q

Dörtgenlerde Açý Özellikleri TEST : 02

Ege Yayýncýlýk

(19)

7. ABCD bir dörtgen [AE], [EB] açýortay m(AëEB) = 44°

Yukarýdaki verilere göre, m(ëC) + m(ëD) toplamý kaç derecedir?

A) 134 B) 156 C) 184 D) 244 E) 268

[DE], [CE], [AF], [BF]

açýortay m(DëEC) = 66°

Yukarýdaki verilere göre, m(AëFB) = α kaç derecedir ?

A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 34

[CM], [DM], [BK], [AK] açýortay m(BëNM) = 84°

m(KëLM) = α

Yukarýdaki verilere göre, m(KëLM) = α kaç derecedir?

A) 72 B) 76 C) 84 D) 86 E) 96 D

C

A B

M L

K N 84°

a D

C

F

A B

E 66°

a

E D

C

A B

44°

[AE], [CE] açýortay m(AëDC) = 115°

m(AëBC) = 65°

Yukarýdaki verilere göre, m(AëEC) = a kaç derecedir?

A) 25 B) 45 C) 55 D) 65 E) 75

[CE], [AE], [BF] açýortay m(CëEA) = 135°

m(BëFK) = 70°

Yukarýdaki verilere göre, m(DëAB) + m(AëBC) toplamý kaç derecedir?

A) 130 B) 150 C) 180 D) 230 E) 235

[AE], [BE], [BF], [AF]

açýortay m(BëEK) = y m(AëFB) = x

Yukarýdaki verilere göre, x ile y arasýndki iliþki nedir?

A) x + y = 180 B) x + y = 360 C) x – y = 180 D) x = y E) x = 2y

D

C

A

F B K E

x y

D C

A

B E

F K

135°

70°

D

A E

C

a 115°

65°

B

Ege Yayýncýlýk

20

1.B 2.B 3.C 4.A 5.C 6.C 7.E 8.B 9.C 10.D 11.A 12.D

(20)

1. ABCD bir dörtgen m(ëD) = m(ëB) = 90°

|AD| = 2 cm

|DC| = 3 cm

|BC| = 1 cm

|AB| = x kaç cm dir?

C : 2ñ3

|BC| = |CD| = 4ñ5 cm m(ëA) = 90°

m(ëC) = 60°

|AD| = x kaç cm dir?

C : 8

m(ëA) = m(ëD) = 60°

m(ëB) = 90°

|BC| = 4ñ3 cm

|CD| = 5 cm

C : 9 C

B A

D

4ñ3

5 60°

60°

x A

B

D

C x 4

4ñ5

4ñ5 60°

D

A

B C 3

x 2

1

* ABCD dýþbükey dört- geninde [AC] ⊥ [BD]

olduðunda, karþýlýklý ke- narlarýn kareleri toplamý eþittir.

[AC] ⊥ [BD]

|AD| = 2 cm

|DC| = 3 cm

|BC| = 4 cm

C : ò11

[AC] ⊥ [BD]

|AB| = ñ7 cm

|AD| = ò13 cm

|BD| = ò22 cm

|BC| = x cm olduðuna göre, |BC| = x kaç cm dir?

C : 4 C

A

B D

x

ò13

ò22 ñ7

B

A

D

C x

2

3 4

2 2 2 2

a +c =b +d A

B

C E D a

d

b c

Dörtgenlerde Uzunluk Özellikleri ALIÞTIRMA : 05

Ege Yayýncýlýk

(21)

6. ABCD bir dörtgen [AC] ⊥ [BD]

[DA] ⊥ [AB]

m(AëDB) = 30°

|DC| = 8 cm

|AB| = 4 cm

|BC| = x kaç cm dir?

C : 4ñ2

[AC] ⊥ [BD]

[BC] ⊥ [CD]

m(AëDB) = 60°

m(CëBD) = 30°

|AE| = 6 cm

|DC| = 3ñ3 cm olduðuna göre, |AB| kaç cm dir?

C : ó102

[AC] ⊥ [BD]

[KE], [KF] kenarortaylar

|EK|²+ |KF|²= 11 cm

|DC|²+ |AB|²toplamý kaçtýr?

C : 44 B

A E

F D

C

K C A

B D

6

3ñ3 E

30°

60°

C A

B D

6

3ñ3 E

30°

60°

B D

A C

4 x

8 30°

* ABCD içbükey dörtgeninde; C nok- tasýnýn simetriði olan C^ý noktasýna göre

bulunur.

9. ABCD konkav dört-

gen [AH] ⊥ [BD]

A, C, H doðrusal

|BC| = 2 cm

|AB| = 4 cm

|CD| = 6 cm

C : 4ñ3

10. ABC bir üçgen

[AD] ⊥ [BC]

|AB| = 4ñ3 cm

|AC| = 12 cm

|BE| = 5 cm

olduðuna göre, |EC| = x kaç cm dir?

C : 11 E

A

B D C

x 12

5 4ñ3 B

A

D H

C

4 x

2 6

2 2 2 2

a +c =b +d B

C

D A

a d

b

c

Cý E

c b

Ege Yayýncýlýk

22

(22)

1. ABCD bir dörtgen [AD] ⊥ [DC]

[CB] ⊥ [AB]

|CB| = 2 cm

|CD| = ñ3 cm

|AB| = 2ñ2 cm

Yukarýdaki verilere göre, |AD| = x kaç cm dir?

A) 2ñ3 B) 3ñ3 C) 3 D) 6 E) ò13

m(AëDC) = 135°

|AB| = |BC|

|DC| = 2 cm

|AD| = 6ñ2 cm Yukarýdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir?

A) 5 B) 5ñ2 C) 5ñ3 D) 5ñ5 E) 2ñ5

[AB] ⊥ [BC]

m(BëAD) = 60°

|AB| = 8 cm

|BC| = 2ñ3 cm

|AD| = 10 cm Yukarýdaki verilere göre, |CD| = x kaç cm dir?

A) 3ñ3 B) 6 C) 4ñ3 D) 8 E) 3ñ5

B C

D A

10

x

2ñ3 8

60°

A

B

C D

6ñ2 2

x 135°

D

A B

C

2 x

ñ3

2ñ2

|AB| = |AD|

m(ëC) = 90°

m(ëA) = 120°

|BC| = 2ñ7 cm

|DC| = ñ5 cm

A) ñ5 B) ñ3 C) ò11 D) 2ñ3 E) ò15

m(AëBC) = 90°

m(DëAB) = m(AëDC) = 60°

|AD| = 8 cm

|DC| = 2 cm

|AB| = x

Yukarýdaki verilere göre, |AB| = x kaç cm dir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

[AD] ⊥ [AB]

m(AëDC) = 30°

|DC| = |AC| = 8 cm

|BC| = 7 cm

Yukarýdaki verilere göre, |AB| = x kaç cm dir?

A) 3 B) 3ñ2 C) 2 D) 2ñ3 E) 1 D

A B

C

x

7 30° 8

A B

C D

2

8

x 60°

60°

120°

x

2ñ7 ñ5

C

B D

A

Dörtgenlerde Uzunluk Özellikleri TEST : 03

Ege Yayýncýlýk

(23)

7. ABCD bir dörtgen [AC] ⊥ [BD]

a²+ c²= 66 cm²

|BC| = 4ñ3 cm

|AD| = x

Yukarýdaki verilere göre |AD| = x kaç cm dir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 3ñ2 E) 3ñ3

[AB] ⊥ [AD]

[AC] ⊥ [BD]

m(AëBD) = 60°

|AD| = 4ñ3 cm

|BC| = 5 cm

|ED| = n

|EC| = m

Yukarýdaki verilere göre m²+ n²toplamý kaç cm dir?

A) 33 B) 43 C) 48 D) 54 E) 57

[AC] ⊥ [BD]

|DE| = |EC| = |AB|

|AD| = 9 cm

|BC| = 12 cm

Yukarýdaki verilere göre, |AB| kaç cm dir?

A) 5 B) 3ñ5 C) 5ñ3 D) 5ñ2 E) 15 D

A

B

C

12 9

E C A

B

D E

m n

5 60°

4ñ3 C D

B A

4ñ3 x

c

a

10. ABD bir üçgen

A, C, H doðrusal [AH] ⊥ [BD]

|AD| = 7 cm

|CD| = 6 cm

|AB| = 5 cm

|BC| = x Yukarýdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) ñ2 E) 2ñ3

11. ABC bir üçgen

A, D, E doðrusal [AE] ⊥ [BC]

|AB| = 8 cm

|AC| = 11 cm

|BD| = ñ7 cm

|DC| = x cm Yukarýdaki verilere göre, |DC| = x kaç cm dir?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

12. ABD bir üçgen

[AH] ⊥ [BD]

|AB| = 5 cm

|BC| = 2 cm

|AD| = 6 cm

|HD| = 2ñ3 cm

|BH| = x

|CD| = y Yukarýdaki verilere göre, oraný kaçtýr?

A) ñ3 B) ñ5 C) 2ñ3 D) 15 E) ò15 2

y x

B H _2ñ3 D

x 2

5 C 6

y A

D A

B E C

8

ñ7 x

11 C

A

B H D

5

x 6

7

Ege Yayýncýlýk

24

1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D 8.E 9.C 10.E 11.C 12.E

(24)

ile bulunur.

1.

Yukarýda verilen ABCD dörtgenin çevresi 33 cm olduðuna göre, x kaç cm dir?

C : 8

|BC| = |DC|

m(BëAD) = 120°

m(BëCD) = 60°

|AB| = 4 cm

|AD| = 6 cm

Verilenlere göre, ABCD dörtgeninin çevresi kaç cm dir?

C : 4ò19 + 10 60°

120°

A

B

C

D A

B

D

C 5

12

8

x

= + + +

Ç(ABCD) AB BC CD AD D

A C

B

* Herhangi bir dört- genin kenarlarýnýn orta noktalarý paralelkena- rýn köþeleridir.

KLMN paralelkenardýr.

bulunur.

* ABCD dörtgeninde köþegen uzunluklarý eþit ise;

KLMN eþkenar dörtgendir.

* ABCD dörtgeninde köþegenler birbirini dik keserse, KLMN dikdörtgendir.

* ABCD dörtgeninde köþegenler birbirini dik keser ve uzunluklarýda eþit ise, KLMN karedir.

E, F, K, L orta noktalar

|AC| = 8 cm

|BD| = 11 cm

Ç(EFKL) kaç cm dir?

C : 19

[AC], [BD] köþegenler E, F, K orta noktalar

|EF| = 4 cm

|FK| = 6 cm

|AC| + |BD| toplamý kaç cm dir?

C : 20

A F B

D

C

E

K C D

B A

E

F

L

K

Ç(KLMN)=AC+BD A

B

C D

M L

K

N

Dörtgenlerde Çevre Uzunluðu ALIÞTIRMA : 06

Ege Yayýncýlýk

(25)

5. Köþelerinin koordinatlarý A(–3, 2), B(3, 1), C(0, –4) ve D(–4, –3) olan ABCD dörtgeninde;

a) DC doðrusunun eðimini bulunuz.

Hatýrlatma: D(–4, –3) ve C(0, –4) noktalarý için eðim,

olarak bulunur.

b) AB, BC ve AD doðrularýnýn eðimlerini de siz bulunuz.

m_AB=

m_BC=

m_AD=

c) ABCD dörtgenin çevresini daha önceki bilgileri kullanarak bulunuz.

− − − −

= = = −

− − −

2 1 DC

2 1

y y 4 ( 3) 1

m x x 0 ( 4) 4

6. Köþelerinin koordinatlarý þekil üzerinde verilen arazinin üzerine hýz deneme pisti yapýlacaktýr.

Ayrýca arazinin tamamý güvenlik nedeniyle tel örgülerle çevrilecektir.

a) Bu arazi için ne kadar tel örgü kullanýlacaðýný bulunuz.

C : 15 + ò73 + 2ò65

b) Arazinin kenar orta noktalarý birleþtirilerek hýz deneme pistinin yapýlacaðý alan belirlenmek isteniyor. Bu oluþan bölgenin özelliklerini kendi aranýzda tartýþýnýz.

c) Bu hýz deneme pistinin etrafýna güvenlik nedeniyle eski lastikler konularak güvenli bir alan oluþturulmak isteniyor. Lastik konulmasý gereken uzunluðu hesaplayýnýz. Bulduðunuz deðeri arazinin çevre uzunluðu ile karþýlaþtý- rýnýz.

x y

D(4, 12)

C(2, 4)

B(2, 1)

B(6, 4)

Ege Yayýncýlýk

26

(26)

1. ABCD bir dörtgen m(BëAD) = 60°

|AB| = |AD|

|BC| = 12 cm

|CD| = 9 cm

Yukarýdaki verilere göre, ABCD dörtgeninin çevresi kaç cm dir?

A) 42 B) 47 C) 49 D) 51 E) 53

2. ABCD dörtgeninin kenarlarýnýn orta noktalarý birleþtirilerek elde edilen dörtgenin çevresi 25 cm olduðuna göre, bu dörtgenin köþegen uzun- luklarý toplamý kaç cm dir?

A) 12,5 B) 25 C) 30 D) 40 E) 50

E, F, K, L orta noktalar [AC] ∩ [BD] = {M}

|AD| + |BC| = 12 cm

Yukarýdaki verilere göre, Ç(EFKL) kaç cm dir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24 D

E C

A K B

F M L

12 A

B

D

C 60°

9

|AC| = 12 cm

|BD|= 9 cm

Yukarýdaki verilere göre, Ç(EFKL) kaç cm dir?

A) 11 B) 17 C) 19 D) 22 E) 24

5. ABCD dörtgeninin köþegen uzunluklarý 8 cm ve 11 cm dir.

Bu dörtgenin kenarlarýnýn orta noktalarý bir- leþtirilerek elde edilen dörtgenin çevresi kaç cm dir?

A) 10 B) 14 C) 17 D) 19 E) 21

[EF] ⊥ [FK]

E, F, K ve M orta noktalar

|EF| = 4 cm

|FK| = 6 cm

Yukarýdaki verilere göre, |FM| = x kaç cm dir?

A) 4 B) 4ñ2 C) 5 D) 6 E) 2ò13

D C

E

A

F

B x K 4

6 M

BF DE DL BK

FC = EC = LA = KA =2 D

E C

L

A

K

B F

Dörtgenlerde Çevre Uzunluðu TEST : 04

Ege Yayýncýlýk

(27)

7. ABCD dörtgeninin kö- þegenleri dik kesiþ- mektedir.

E, F, K orta noktalar

|EF| = 3 cm

|FK| = 4 cm

Yukarýdaki verilere göre, |EK| = x kaç cm dir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 3ñ2 E) 4ñ3

8. Köþelerinin koordinatlarý A(0, 8), B(6, 0), C(0, –3) ve D(–4, 0) noktalarý olan ABCD dörtgenin çevre uzunluðu nedir?

A) 10 + 5ñ5 B) 5 + 6ñ5 C) 22 D) 7 + 15ñ5 E) 15 + 7ñ5

9.

Yukarýda verilen dörtgenin BC kenarýna ait doðrunun eðimi kaçtýr?

A) 2 B) C) 1 D) – E) – 1

3 1

2 1

2

x y

O C(2, 0)

D(3, 2) A(3, 3)

B(4, 3)

A F B

E K

D C

3 4

x

10. ABCD dörtgen

[AC] ⊥ [BD]

|ED| = |EA|

|KC| = |KB|

|AC| = 16 cm

|BD| = 12 cm

|EK| kaç cm dir?

A) 18 B) 14 C) 10 D) 8 E) 6

3|AE| = 2|EC|

[DE], [BE] açýortay

|DC| + |BC| = 15 cm

Yukarýdaki verilere göre, Ç(ABCD) kaç cm dir?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

12. ABCD köþegenleri dik

kesiþen bir dörtgen K, L, M ve N orta noktalar

A(ABCD) = 100 cm²

|LM| = 2|KL|

Verilenlere göre, |NL| kaç cm dir?

A) 3ñ3 B) 3ñ5 C) 4ñ3 D) 5ñ5 E) 6ñ3 D

C

A B

N

M K

L

5 10

A B

E

C D

A B

E K

C D

Ege Yayýncýlýk

28

1.D 2.B 3.D 4.D 5.D 6.E 7.C 8.E 9.B 10.C 11.B 12.D

(28)

* m(CëED) = α için dýþbükey bir dörtgenin alaný

dýr.

[AC] ∩ [BD] = {K}

|AC| = 6ñ3 cm

|BD| = 5ñ3 cm m(DëKC) = 120°

Verilenlere göre, Alan(ABCD) kaç cm²dir?

C :

m(CëAB) = 26°

m(DëBA) = 34°

|AC| = 10 cm

|BD| = 8ñ2 cm

C : 20ñ6 C

D

A B

26° 34°

45 3 2 A

D

B C

K ^120°

A(ABCD) 1 AC . BD . Sin

=2 α

A

D

B C

E ^a

* m(AëEB) = α için Ýçbükey bir dörtgenin alaný

dýr.

3. ABC bir üçgen

m(AëDB) = 45°

|AE| = 2ñ3 cm

|BC| = 6ñ2 cm

Verilenlere göre, Alan(ABEC) kaç cm²dir?

C : 6ñ3

4. ABC bir üçgen

[AH] ⊥ [BC]

|BC| = 12 cm

Alan(ABDC) = 48 cm²

Verilenlere göre, |AD| kaç cm dir?

C : 8

B C

A

H D

A

B C

E

D 45°

2ñ3

A(ABCD) 1 AC . BD .Sin

=2 α

A

B D

C

E a

Dörtgenlerde Alan Özellikleri ALIÞTIRMA : 07

Ege Yayýncýlýk

(29)

* ABCD dýþbükey dörtgeninde; köþegenler arasýnda- ki karþýlýklý alanlarýn çarpýmý eþittir.

A(ABE) = 6 cm² A(AED) = 12 cm² A(ECD) = 8 cm²

Yukarýdaki verilere göre, A(BEC) kaç cm²dir?

C : 4

[BA] ⊥ [AD]

|AB| = 4 cm

|BE| = 2 cm

|ED| = 6 cm 2|EC| = |AE|

Yukarýdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm²dir?

C :12ñ3 C

A

B

D 2 E

6 4

C A

B E D

1 3 2 4

S .S =S .S D A

B C

S₁ E S₂

S₃ S₄

* ABCD içbükey dörtgeninde; köþegenler arasýndaki karþýlýklý alanlarýn çarpýmý eþittir.

7. ABC bir üçgen

A, E ve D doðrusal A(AEC) = 12 cm² A(EDC) = 15 cm² A(EDB) = 10 cm²

Verilenlere göre, Alan(ABE) kaç cm²dir?

C : 8

8. ABC bir üçgen

A, E ve D doðrusal A(ABE) = 3A + 1 A(BED) = A + 1 A(DEC) = 2A A(AEC) = 4A + 3 Verilere göre, Alan(DEC) kaç cm²dir?

C : 6 A

B C

E

D A

B C

E

D

1 3 2 4

S .S =S .S A

B D

C

E S₁

S₂ S₃ S₄

Ege Yayýncýlýk

30

(30)

* Bir dörtgenin kenarlarý- nýn orta noktalarý birleþ- tirildiðinde oluþan dört- gen paralelkenardýr.

Oluþan paralelkenarýn alaný

dýr.

[AC] ⊥ [BD]

|AC| = 16 cm

|BD| = 10 cm

Verilenlere göre, Alan(KLMN) kaç cm²dir?

C : 40

K, L, M, N orta noktalar

|KM| = 4ñ3 cm

|LN| = 5ñ3 cm m(MëEN) = 60°

C : 30ñ3 D

C

A B

K

N L

M E 60°

D

C

A B

K

N L

M

A(ABCD) A(KLMN)

= 2 D A

B C

N

M

L K

K, L, M orta noktalar

|KM| = 5 cm

|KL| = 6 cm

|LM| = 7 cm

Verilenlere göre, A(ABCD) kaç cm²dir?

C : 24ñ6

K, L, M,N orta noktalar Taralý alanlar toplamý 12 cm²

olduðuna göre, A(ABCD) kaç cm²dir?

C : 48

K, L ve M orta noktalar 3|LT| = |LM|

Verilere göre, oraný kaçtýr?

C : 1 12 A(KLT)

A(ABCD) A

D

B C

L K

T M

C A

B

D

M N

K

L A

D

B

C M K

L 5

6 7

Dörtgenlerde Alan Özellikleri ALIÞTIRMA : 08

Ege Yayýncýlýk

(31)

* Ýçbükey bir dörtge- nin kenarlarýnýn orta noktalarý birleþtirildi- ðinde oluþan þekil paralelkenardýr.

* Dýþbükey dörtgendeki orta nokta kurallarý aynen geçerlidir.

6. ADBC bir iç bükey dört-

gen

|CD| + |AB| = 17 cm K, N, M ve L orta noktalar

Verilenlere göre, Ç(KNML) kaç cm dir?

C : 17

7. ABC bir üçgen

K, L orta noktalar [AD ⊥ [BC]

|AD| = 8 cm

|BC| = 12 cm

Verilenlere göre, |KL| kaç cm dir?

C :2ò13 A

B C

D

12 8

K

L C

A B

D

N M

L K

A

B D

C

E

L M

K N

* Áp ve Áq dörtgeninin köþegen vektörleri olmak üzere bu dörtgensel bölgenin alanýnýn vektörel ifadesi

þeklindedir.

8. = 12 br

= 8 br m(BëEC) = 60°

olduðuna göre, A(ABCD) kaç br²dir?

C : 24ñ3

9. Köþelerinin koordinatlarý A(–2, 4), B(–2, –4), C(2, –4) ve D(4, 2) olan dörtgenin alanýný hesaplayýnýz.

Yol Gösterme :

ve konum vektörlerini elde ederek iþleme devam edebilirsiniz.

C : 36 uuur

BD uuur

AC

uuur BD uuur AC

C A

B

D E

60°

− < >

=

r ₂ r ₂ r r p . q p, q 2

A(ABCD)

2

C A

B

D

Áa Áb

Áq

Áp Ác Ád

Ege Yayýncýlýk

32

(32)

|AC| = 8 cm

|BD| = 6 cm

A(ABCD) = 12ñ3 cm²

Yukarýdaki verilere göre, α geniþ açýsý kaç derecedir?

A) 150 B) 135 C) 120 D) 105 E) 90

[AC] açýortay

|AB| = 6 cm

|AD| = 9 cm

Yukarýdaki verilere göre, oraný kaçtýr?

A) B) C) D) E)

3. Çevresi 32 cm olan dörtgenin alaný en çok kaç cm²dir?

A) 32 B) 48 C) 64 D) 72 E) 144 6 5 3

5 3

2 2

5 2

3

A(ABC) A(ABCD) C

A

B

D 6

9 C A

B

a D

|BD| = 3|BE|

|AC| = 3|AE|

A(ABE) = 3 cm²

A) 28 B) 27 C) 26 D) 25 E) 24

5. ABCD bir içbükey dört-

gen

m(AëED) = 60°

|AC| = 4ñ3 cm

|BD| = 8 cm

A) 24 B) 24ñ3 C) 12 D) 12ñ3 E) 8

[AB] ⊥ [BC]

A) 12 B) 20 C) 24 D) 28 E) 30 BD 5

ED =3 A

B C

D

E 4

6 A

B E D

C

60°

C A

B

D E

Dörtgenlerde Alan Özellikleri TEST : 05

Ege Yayýncýlýk

(33)

7. ABCD bir dörtgen [AC] ve [BD] köþegenler 2|AE| = 3|EC|

m(BëDC) = 45°

|CD| = 4ñ2 cm

|BD| = 6 cm

A) 42 B) 30 C) 30ñ2 D) 24 E) 24ñ2

8.

ABDC içbükey dörtgen olduðuna göre A(ABDC) kaç cm²dir?

A) 14 B) 15 C) D) E)

[AB] ⊥ [AD]

|AD| = 5 cm

|AB| = 12 cm

|DC| = 13 cm

|BC| = 24 cm

A) 45 B) 64 C) 76 D) 88 E) 90 A

B B

D 13 12

24 5

63 2 49

2 35

2 A

B C

D

7 7

45° 45°

4ñ2 3ñ2

C A

B

D E

4ñ2 45°

E, F, K, L orta noktalar A(AEF) = 6 cm² A(BKE) = 4 cm² A(FLD) = 7 cm²

Yukarýdaki verilere göre, A(KCL) kaç cm²dir?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

11. ABCD bir içbükey dört-

gen [AH] ⊥ [BD]

|AC| = 4 cm

|BD| = 7 cm

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 21

12. Köþegenleri eþit ve dik kesiþen bir dörtgenin ardýþýk iki kenarýnýn orta noktalarýný birleþtiren doðru parçasýnýn uzunluðu 5 cm dir.

Bu dörtgenin alaný kaç cm²dir?

A) 50 B) 45 C) 40 D) 35 E) 25 A

B H D

C A

B D

C

E F

K L

Ege Yayýncýlýk

34

1.C 2.B 3.C 4.B 5.A 6.E 7.B 8.D 9.E 10.B 11.B 12.A

(34)

1. ABCD bir dörtgen Þekilde verilen açý-lara göre, α kaç derecedir?

A) 36 B) 48 C) 52 D) 72 E) 144

[CE] ve [DE] açýortaylar m(DëEC) = x + 10°

m(DëAB) = x

Yukarýdaki þekilde, m(CëBA) = 2x ise x kaç derecedir?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

|AB| = |AD| = |BC|

m(BëAD) = 60°

m(AëBC) = 100°

m(DëAB) = α

Yukarýdaki verilere göre, α kaç derecedir?

A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100 A

B

C

D 60°

100°

a

A B

D

C

E

x 2x

x+10°

A D

B C x

2x 3x

4x a

Yukarýdaki þekilde, m(ëD) = 2m(ëC) = 150° ise m(AéEB) kaç derecedir?

A) 15 B) 17,5 C) 20 D) 22,5 E) 30

[BC] ⊥ [CD]

m(BëAD) = m(AëDC) m(AëBC) = 150°

|AB| = 2 cm

|AD| = 8 cm Yukarýdaki verilere göre, |CD| kaç cm dir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

[AB] ⊥ [BC]

[AD] ⊥ DC]

|DC| = 1 cm,

|AB| = x cm

|BC| = 5 cm,

|AD| = (x+2) cm Yukarýdaki verilere göre, Ç(ABCD) kaç cm dir?

A) 20 B) 19 C) 18 D) 17 E) 16 A

B D

C 5 1

x x + 2

B

C D

A

8 2

150°

D

C

E

A B

Dörtgenler TEST (KARMA) : 06

Ege Yayýncýlýk