Bir-Yönlü ANOVA

Bir-Yönlü ANOVA

(Tamamen Rasgele Tasarm)

statistiksel Deney Tasarm

Birdal “eno§lu

“ükrü Acta³

çindekiler

1

Giri³

2

Matematiksel Model

3

Model Varsaymlar

4

Parametre Tahmini

LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri

5

Hipotez Testi

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³

ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m

6

ANOVA Tablosu

7

Beklenen Kareler Ortalamas

Beklenen Deneme Kareler Ortalamas

Beklenen Hata Kareler Ortalamas

8

Dengeli Olmayan Bir-Yönlü ANOVA

9

Bir-Yönlü ANOVA için Kayp Gözlemler

Varyans analizi, üç ya da daha fazla grup ortalamas arasnda istatistiksel olarak farkllk olup olmad§n test etmek amacyla kullanlan bir

yöntemdir. Grup ortalamalarnn kar³la³trlmas, deneyin sonunda ba§ml

de§i³kende meydana gelen de§i³kenli§in ne kadarnn faktör(ler)den, ne kadarnn hatadan, v.b. kaynakland§nn belirlenmesi, bir ba³ka deyi³le toplam varyansn bile³enlerine ayrlmas yardmyla yaplr.

Bir-yönlü ANOVA (one-way ANOVA), ANOVA nn özel bir halidir ve tasarmlar içinde en basit olandr. Etkisi ara³trlmak istenen yalnz "bir"

tane faktör (ba§msz de§i³ken) oldu§unda kullanld§ndan dolay,

bir-faktörlü ANOVA (one-factor ANOVA) olarak da adlandrlr.

Bir-yönlü ANOVA, deney birimleri homojen oldu§unda kullanlmas

önerilen en uygun tasarmdr. Buradaki homojen sözcü§ü "mümkün oldu§unca benzer" anlamnda kullanlmaktadr, çünkü do§ada ayn/özde³ deney birimleri bulunmaz, bkz. Hinkelmann & Kempthorne (1994).

Deney birimleri arasndaki bu küçük farkllklar "rasgele" farkllklar olarak adlandrlr. Deney birimleri homojen olarak kabul edildi§i için

rasgelele³tirme üzerinde hiçbir kst yoktur. Bu nedenle birçok kaynakta

bu tasarma tamamen rasgele tasarm (completely randomized design)

ad da verilir.

Bir-yönlü ANOVA da rasgelele³tirme i³lemi iki a³amada gerçekle³tirilir. lk a³amada parsellere 1 den 15 e kadar numara verilir, ikinci a³amada S1, S2 ve S3 denemeleri rasgele olarak bu parsellere atanr/uygulanr.

Rasgelele³tirme i³lemi sonucu a³a§daki tabloya benzer bir sonuç elde edilebilir.

S1(1) S1(2) S3(3) S2(4) S2(5) S3(6) S3(7) S2(8) S1(9) S3(10) S2(11) S2(12) S1(13) S1(14) S3(15)

Bu tablodan da anla³laca§ gibi S1 denemesi 1, 2, 9, 13, 14 numaral, S2

denemesi 4, 5, 8, 11, 12 numaral ve S3 denemesi de 3, 6, 7, 10 ve 15

numaral parsellere atanm³tr/uygulanm³tr.

Bir-yönlü ANOVA için matematiksel model

y

= µ + τ

+ ε

, i = 1, 2, · · · , a; j = 1, 2, · · · n (1)

³eklinde ifade edilir. Burada,

y

, i−inci denemedeki j−inci gözlem de§erini, µ , genel ortalamay,

τ

, i−inci denemenin etkisini ve ε

, rasgele hata terimlerini gösterir.

(1) modeli sabit etkili bir modeldir, bir ba³ka deyi³le X

i=1

τ

= 0 oldu§u

varsaylr.

Bir-Yönlü ANOVA modeli için veri yaps a³a§da gösterildi§i gibidir.

Gözlemler

Denemeler 1 2 · · · n Toplam Ortalama 1 y

y

· · · y

y

¯ y

2 y

y

· · · y

y

¯ y

... ... ... ··· ... ... ...

a y

y

· · · y

y

¯ y

y

¯ y

Burada,

y

=

n

X

j=1

y

ve ¯y

= y

n , i = 1, 2, · · · , a (2) srasyla i−inci denemedeki gözlemlerin toplamn ve ortalamasn gösterir.

Ayrca, N = an toplam gözlem saysn göstermek üzere;

y

=

a

X

i=1 n

X

j=1

y

ve ¯y

= y

N (3)

srasyla tüm gözlemlerin toplam ve tüm gözlemlerin ortalamas olarak

tanmlanr.

ANOVA tekni§i kullanlarak yaplan analizler baz temel varsaymlara dayanr. Bu varsaymlar a³a§da açklanm³tr.

1. Varsaym ε

hata terimleri 0 ortalama ve σ

varyans ile normal da§lma sahiptir.

2. Varsaym Hata terimlerinin varyanslar homojendir.

3. Varsaym Hata terimleri birbirinden ba§mszdr.

Bu üç varsaym ksaca

ε

∼ NID(0, σ

) (4)

³eklinde gösterilir.

Bir parametrenin LS tahmin edicisi, modeldeki hata terimlerin kareleri toplamn bu parametreye göre minimum yapan de§erdir. (1) modeli için hata kareler toplam S ile gösterilsin; bir ba³ka ifade ile

S = X

i=1 n

X

j=1

ε

=

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− µ − τ

)

(5)

olsun. Bu durumda, model parametrelerinin LS tahmin edicileri

∂ S

∂µ = (− 2) X

i=1 n

X

j=1

( y

− µ − τ

) = 0,

∂ S

∂τ

= (− 2) X

j=1

( y

− µ − τ

) = 0

(6)

denklem sisteminin çözümüdür.

(1) modelinin, sabit etkili bir model oldu§u göz önüne alnarak, (6) denklem sistemi çözülürse, µ ve τ

parametrelerinin LS tahmin edicileri, srasyla

˜

µ = y ¯

(7)

˜

τ

= y ¯

− ¯ y

(8)

olur.

Hatann varyans σ

nin LS tahmin edicisi,

˜ σ

=

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ˜ µ − ˜ τ

)

N (9)

= X

i=1

X

( y

− ¯ y

− ¯ y

+ ¯ y

)

N (10)

=

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

)

N (11)

dir.

(11) denkleminde verilen LS tahmin edicisi yanldr. Gerekli yan düzeltmesi yaplrsa

˜ σ

=

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

)

N − a (12)

olur.

Not

Benzer sonuçlar en çok olabilirlik (Maximum Likelihood-ML) yöntemi kullanlarak da elde edilebilir. Bir parametrenin ML tahmin edicisi, olabilirlik fonksiyonunu bu parametreye göre maksimum yapan de§erdir.

Normallik varsaym altnda, LS ve ML tahmin edicileri ayn sonucu verdi§inden, ML tahmin edicilerine bu bölümde ayrca de§inilmemi³tir.

Ancak, belirtmek gerekir ki; σ

nin ML tahmin edicisi de yanldr ve

gerekli yan düzeltmesi yapld§nda bu tahmin edici (12) denklemindeki

gibi ifade edilir.

(1) modeli, yeniden parametrelendirme yaplarak

y

= µ

+ ε

, i = 1, 2, · · · , a; j = 1, 2, · · · n (13) olarak da ifade edilebilir. Burada µ

= µ + τ

dir. (13) modeli, ortalamalar modeli olarak isimlendirilmektedir (Montgomery, 2001).

(13) modeli için Fisher bilgi matrisi (Fisher Information matrix-I )

I =









− E  ∂

ln L

∂µ



− E  ∂

ln L

∂µ

∂σ



− E  ∂

ln L

∂σ

∂µ



− E  ∂

ln L

∂(σ

)









 (14)

olarak tanmlanr.

Gerekli i³lemler yapld§nda, (bkz. statistiksel Deney Tasarm, sayfa 15-17.)

I =



 n σ

0

0 N

2σ



 (15)

olur.

Fisher bilgi matrisinin tersi alnarak

I

=





 σ

n 0

0 2σ

N





 (16)

bulunur.

Teorem

(13) modelinde, µi = µ + τ_i olarak tanmlanan µi parametresinin LS tahmin edicisi ˜µi, µ_i nin yansz bir tahmin edicisidir.

Teorem (13) modelinde,

(i) µ_i = µ + τ_i parametresi için RCLB σ²/n dir.

(ii) σ²parametresi için RCLB 2σ⁴/N dir.

Teorem

(13) modelinde, µ

parametresinin LS (ML) tahmin edicisi ˜µ

nn varyans, σ

n dir.

Tanm

Varyans RCLB ye e³it olan yansz tahmin ediciye, minimum varyans snr (Minimum Variance Bound-MVB) tahmin edicisi denir.

Bu tanmn bir sonucu olarak,

Var(˜µi) =RCLB(µi) oldu§undan ˜µi bir MVB tahmin edicisidir.

Sonuç

˜

µ_i, µi ortalama ve σ²/n varyans ile normal da§lma sahiptir.

Teorem

X1,X2, · · · ,Xn, olaslk (yo§unluk) fonksiyonu f (x|θ) olan bir da§lmdan alnan örneklem ve bu örneklemin olabilirlik fonksiyonu

L(θ|x) =Yⁿ

i=1

f (xi|θ)

olsun. T (X ) tahmin edicisinin, beklenen de§eri ρ(θ) ve varyans 1

m(θ) olan bir MVB tahmin edicisi olmas için gerekli ve yeterli ko³ul; log-olabilirlik fonksiyonunun ilgili parametreye göre ksmi türevinin

∂ln L

∂θ =m(θ) (T (X ) − ρ(θ)) (17)

³eklinde yazlabilmesidir.

Teoremin kant için baknz Kendall & Stuart (1967).

Teorem

(13) modelinde, µ

parametresinin LS tahmin edicisi ˜µ

= ¯ y

, beklenen de§eri

µ

ve varyans σ

/ n olan bir MVB tahmin edicisidir.

(1) modelinde, amaç denemeler arasnda anlaml bir farkllk olup olmad§n

snamaktr. Bu durum için sfr hipotezi, üç farkl ³ekilde ifade edilebilir;

( i) H

: Denemeler arasnda anlaml bir fark yoktur ( ii) H

: τ

= τ

= · · · = τ

= 0

(iii) H

: µ

= µ

= · · · = µ

= µ.

(18)

Açktr ki, (i), (ii) ve (iii) hipotezleri birbirine denktir.

(18) hipotezini snamak için kullanlan test istatisti§i iki farkl yolla elde edilebilir:

1

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³

2

ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m

Deneme ortalamalarnn birbirine e³it oldu§unu ifade eden (18) hipotezi

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

)

(19)

genel kareler toplamnn, deneme kareler toplam ve hata kareler toplam olarak bile³enlerine ayrlmasyla elde edilen test istatisti§i yardmyla snanr.

(19) ifadesine ¯y

terimi bir eklenip bir çkartld§nda, bir ba³ka deyi³le

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

+ ¯ y

− ¯ y

)

(20)

olarak yazld§nda toplamn de§eri de§i³mez.

(20) ifadesinde parantez içi y

− ¯ y

ve ¯y

− ¯ y

olmak üzere iki gruba ayrlr ve karesel ifade açlrsa

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

)

=

a

X

i=1 n

X

j=1

(¯ y

− ¯ y

)

+

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

)

(21)

elde edilir.

E§er,

SS

=

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

)

SS

=

a

X

i=1 n

X

j=1

(¯ y

− ¯ y

)

= n X

j=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

=

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

)

(22)

denirse, (21) ifadesi ksaca

SS

= SS

+ SS

(23) olarak ifade edilir.

Dikkat edilirse, SS

, SS

ve SS

srasyla gözlemlere, denemelere

ve hata terimlerine ait varyanslarn paylarn ifade eder. SS de§erleri, ilgili

serbestlik derecelerine bölündü§ünde varyanslar elde edilir.

Test statisti§i

(1) modelinde, (18) hipotezini snamak için

F

=

SS

 ( a − 1) SS

 (N − a)

= MS

MS

(24)

test istatisti§i kullanlr.

Teorem

(1) modelinde, H

hipotezi altnda, F

test istatisti§i, a − 1 ve N − a

serbestlik dereceli merkezi F da§lmna sahiptir.

Teoremin kant a³a§da ifade edilen ve do§rusal modeller teorisinde önemli bir

yere sahip olan Cochran Teoremi yardmyla yaplr.

Theorem (Cochran Teoremi)

Y1,Y2, · · · ,Yniid N(0, 1) da§lmna sahip rasgele de§i³kenler olsun. Qi ler, Yi lerin do§rusal kombinasyonlarnn kareler toplamlarn göstermek üzere

Xn i=1

Y_i²=Q1+Q2+ · · · +Qk, k ≤ n

e³itli§i yazlabilsin ve ri, Qi (i = 1, 2, · · · , k) rasgele de§i³kenlerinin serbestlik derecelerini göstersin.

Bu durumda, a³a§daki ifadelerden herhangi ikisinin do§ru olmas üçüncü ifadenin de do§ru olmasn gerektir.

(i) n = r1+r2+ · · · +r_k

(ii) Q1,Q2, · · · ,Qk rasgele de§i³kenleri ba§mszdr.

(iii) Qi, (i = 1, 2, · · · , k) rasgele de§i³kenleri χ²_ri da§lmna sahiptir.

bkz. Cochran (1934).

Karar

F

test istatisti§inin de§eri, α anlam düzeyinde a − 1 ve N − a serbestlik dereceli F tablo de§erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le,

F

> F

ise "Denemeler arasnda anlaml bir farkllk vardr" denir. ♣

ndirgenmi³ Model

(18) hipotezi altnda, (1) modeli

y

= µ + ε

, i = 1, 2, · · · , a; j = 1, 2, · · · , n (25)

³eklinde ifade edilir.

(25) modeline indirgenmi³ model denir.

ndirgenmi³ modelin hata kareler toplam SS(R) ile gösterilir ve

SS(R) = (N − 1)˜σ

=

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

)

(26)

olarak ifade edilir.

Teorem

(26) de verilen SS(R), indirgenmi³ model hata kareler toplam olmak üzere, normallik varsaym altnda

( N − 1)˜σ

σ

=

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

)

σ

= SS(R)

σ

(27)

ifadesi N − 1 serbestlik dereceli ki-kare da§lmna sahiptir.

Tam Model

Tam model, (1) modelidir. Dolaysyla SS(F ) ile gösterilen tam modelin hata kareler toplam

SS(F ) = X

i=1 n

X

j=1

( y

− ˜ µ − ˜ τ

)

=

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

)

(28)

dir. Dikkat edilirse, SS(F ) ile SS

birbirine denk iki gösterimdir.

Teorem

(28) de verilen SS(F ), tam modelin hata kareler toplam olmak üzere, normallik varsaym altnda

( N − a)˜σ

σ

=

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

)

σ

= SS(F )

σ

(29)

ifadesi N − a serbestlik dereceli ki-kare da§lmna sahiptir.

Test statisti§i

(1) modelinde, (18) hipotezini snamak için

F

=

[ SS(R) − SS(F )]

 ( a − 1) SS(F ) 

( N − a)

(30)

test istatisti§i kullanlr.

Teorem

(1) modelinde, H

hipotezi altnda, F

test istatisti§i, a − 1 ve

N − a serbestlik dereceli merkezi F da§lmna sahiptir.

Yorum

Sfr hipotezinin do§rulu§u kst altnda yazlan SS(R) ifadesi ile herhangi bir kst olmakszn yazlan SS(F ) ifadesi arasndaki fark, denemeler arasnda anlaml bir farkllk olup olmad§n gösterir. SS(R) − SS(F ) fark

küçük ise denemeler arasnda anlaml bir farkllk yoktur; SS(R) − SS(F )

fark büyük ise denemeler arasnda anlaml bir farkllk vardr, denir.

Yukarda elde edilen bilgiler ³§nda bir-yönlü ANOVA tablosu, a³a§da gösterildi§i gibi olu³turulur.

Bir-yönlü ANOVA tablosu

Kaynak df SS MS F

Denemeler a − 1 SS

MS

F

Hata N − a SS

MS

Genel N − 1 SS

Deneme kareler ortalamas,

MS_Deneme=SSDeneme a − 1 =

nX^a i =1

(¯y_{i ·}− ¯y··)²

a − 1 (31)

dir. Burada, (1) modeli kullanlarak

y¯_{i ·} = Xn j=1 y_ij

n (32)

= Xn j=1

(µ + τ_i+ ε_ij)

n (33)

=

nµ + nτi+ Xn j=1 ε_ij

n (34)

= µ + τ_i+ ¯ε_{i ·} (35)

ve

¯ y

=

a

X

i=1 n

X

j=1

y

N (36)

=

a

X

i=1 n

X

j=1

(µ + τ

+ ε

)

N (37)

= µ + ¯ ε

(38)

bulunur.

(35) ve (38) e³itlikleri (31) de yerlerine yazlarak

MS

= n

a − 1

a

X

i=1

(¯ y

− ¯ y

)

= n

a − 1

a

X

i=1

(µ + τ

+ ¯ ε

− µ − ¯ ε

)

= n

a − 1

a

X

i=1

[τ

+ (¯ ε

− ¯ ε

)]

= n

a − 1

"

X

i=1

τ

+

a

X

i=1

(¯ ε

− ¯ ε

)

+ 2 X

i=1

τ

(¯ ε

− ¯ ε

)

#

elde edilir.

Son ifadede beklenen de§er alnrsa,

E(MS

) = n a − 1







a

X

i=1

τ

+

a

X

i=1

E(¯ε

− ¯ ε

)

| {z }

Var(¯ε_{i ·}− ¯ε··)

+ 2

a

X

i=1

τ

E(¯ε

− ¯ ε

)

| {z }

0





 (39)

olur. Burada,

ε

∼ N(0, σ

) (40)

¯

ε

∼ N(0, σ

/n) (41)

¯

ε

∼ N(0, σ

/ N) (42)

(43)

dir.

Bunlarn bir sonucu olarak,

E(¯ε

− ¯ ε

) = 0 (44)

ve

Var(¯ε

− ¯ ε

) = Var(¯ε

) + Var(¯ε

) − 2cov(¯ε

, ¯ ε

) (45)

= σ

n + σ

N − 2

a Var(¯ε

) (46)

= σ

n + σ

N − 2 a

σ

n (47)

= ( a − 1)σ

N (48)

bulunur.

Böylece,

E(MS

) = n

a − 1

"

X

i=1

τ

+

a

X

i=1

( a − 1)σ

N

#

(49)

= n

a − 1

a

X

i=1

τ

+ n

a − 1 a (a − 1)σ

N (50)

= σ

+ n

a

X

i=1

τ

a − 1 (51)

elde edilir.

(51) denkleminden görülmektedir ki, sfr hipotezinin do§ru olmas halinde

MS

, σ

nin yansz bir tahmin edicisidir.

Hata kareler ortalamas,

MS

= SS

N − a =

a

X

i=1 n

X

j=1

( y

− ¯ y

)

N − a (52)

ifadesinde, y

= µ + τ

+ ε

ve ¯y

= µ + τ

+ ¯ ε

ifadeleri yerlerine yazld§nda

MS

= 1

N − a

a

X

i=1 n

X

j=1

(µ + τ

+ ε

− µ − τ

− ¯ ε

)

(53)

= 1

N − a

a

X

i=1 n

X

j=1

(ε

− ¯ ε

)

(54)

olur.

Beklenen de§er alnd§nda,

E(MSHata) = 1 N − a

a

X

i=1 n

X

j=1

E(εij− ¯ε_i·)²

| {z }

Var(ε_ij− ¯ε_{i ·})

(55)

dir. Burada,

ε_ij ∼ N(0, σ²)

¯

ε_i· ∼ N(0, σ²/n) oldu§u hatrlanrsa

Var(εij− ¯ε_i·) = Var(εij) +Var(¯εi·) −2cov(εij, ¯ε_i·) (56)

= σ²+σ² n −2

nVar(εij) (57)

= σ²+σ² n −2σ²

n (58)

= (n − 1)σ²

n (59)

bulunur.

Dolaysyla,

E(MS

) = 1 N − a

a

X

i=1 n

X

j=1

( n − 1)σ

n (60)

= 1

N − a N (n − 1)σ

n (61)

= 1

a(n − 1) an ( n − 1)σ

n (62)

= σ

(63)

elde edilir.

(63) e³itli§inden görülmektedir ki, MS

, σ

nin yansz bir tahmin edicisidir.

En az bir denemedeki gözlem says di§erlerinden farkl ise bu tasarma dengeli olmayan tasarm denir. Bu tanma göre dengeli olmayan bir-yönlü ANOVA nn matematiksel modeli,

y

= µ + τ

+ ε

, i = 1, 2, · · · , a; j = 1, 2, · · · , n

(64)

³eklinde ifade edilir. Parametrelerin yorumlar (1) modelinde oldu§u gibidir. Bu modelde tek fark, i−inci denemede n

gözlem olmasdr. (64)

modelinde

X

i=1

n

τ

= 0 (65)

oldu§u varsaylr.

(64) modelinde, parametrelerin LS tahmin edicileri ve denemeler arasnda anlaml bir farkllk olup olmad§ hipotezini snamak için gerekli test istatisti§i dengeli tasarmda oldu§u gibi bulunur.

Formüller tamamen ayn olup gözlem saylarnn n

olmasndan

dolay küçük nüans farklar vardr.

LS tahmin edicileri

˜

µ = y ¯

˜

τ

= y ¯

− ¯ y

olup, burada y

=

ni

X

j=1

y

, ¯ y

= y

n

, i = 1, 2, · · · , a

ve N =

a

X

i=1

n

toplam gözlem saysn göstermek üzere

y

=

a

X

i=1 ni

X

j=1

y

, ¯ y

= y

N

dir.

Denemeler arasnda anlaml bir farkllk olup olmad§n snamak için FDeneme=

SSDeneme

 (a − 1) SSHata

 (N − a)

= MSDeneme

MSHata

test istati§i kullanlr. Burada, SSToplam =

a

X

i=1 ni

X

j=1

(yij− ¯y^··)² SSDeneme =

Xa i=1

n_i

X

j=1

(¯yi·− ¯y^··)² = Xa i=1

ni(¯yi·− ¯y^··)² SSHata =

a

X

i=1 n_i

X

j=1

(yij− ¯yi·)²

dir.Dengeli tasarm için verilen di§er notasyonlar, yukardakine benzer ³ekilde dengeli olmayan tasarm için de yazlabilir.

(1) modelinde, çe³itli nedenlerden dolay bir ya da birden fazla gözlem, kaybolmu³ olabilir veya gözlemlenemeyebilir. Böyle bir durumda deneme etkilerinin toplam, bir ba³ka deyi³le,

a

X

i=1

τ

toplam sfra e³it olmayaca§ndan genel kareler toplam, deneme kareler toplam

ve hata kareler toplam olarak bile³enlerine ayrlamaz (Hicks & Turner, 1999).

(1) modelinde, i−inci denemedeki, j−inci gözlemin (y

) kayp oldu§unu varsayalm. Bu kayp gözlem m ile gösterilsin. Bu durumda veri yaps, a³a§da gösterilen tablodaki gibi olur.

Gözlemler

Denemeler 1 2 · · · j · · · n Toplam

1 y

y

· · · · · · · · · y

y

2 y

y

· · · · · · · · · y

y

.. . .. . .. . · · · · · · · · · .. . .. .

i .. . .. . · · · m · · · .. . y

+ m

.. . .. . .. . · · · · · · · · · .. . .. .

a y

y

· · · · · · · · · y

y

(1) modelinde, kayp gözlem(ler) oldu§unda öncelikle bu kayp gözlem(ler) LS yöntemi ile tahmin edilir, daha sonra bu tahmin edici(ler)den yararlanlarak denemelerin anlamll§ snanr.

Kayp gözlem m nin LS tahmin edicisi, gerekli i³lemler yapld§nda m = y ˜

n − 1 (66)

bulunur. Burada,

y

, m d³ndaki di§er gözlemleri

y

, i−inci denemedeki m d³ndaki di§er gözlemlerin toplamn

gösterir.

Bilinmeyen y

gözleminin yerine ˜ m tahmin edicisi yazlr ve (22) e³itliklerinde verilen kareler toplamlar hesaplanr.

Daha sonra kareler ortalamalar da bulunarak ANOVA tamamlanr.

Burada dikkat edilmesi gereken en önemli husus, hatann serbestlik derecesinin N − a − 1 oldu§udur; çünkü bir tane bilinmeyen gözlem vardr.

Belirtmek gerekir ki, k tane kayp gözlem oldu§unda bir-yönlü ANOVA

tablosunda hataya ait serbestlik derecesi df = N − a − k olur.

Bu durumda ANOVA tablosu, a³a§da gösterildi§i gibi olu³turulur.

Bir tane kayp gözlem oldu§unda bir-yönlü ANOVA tablosu.

Kaynak df SS MS F

Denemeler a − 1 SS

MS

F

Hata N − a − 1 SS

MS

Genel N − 2 SS