END331 Yöneylem Araştırması 1. Dr. Özgür Kabak

END331 Yöneylem Araştırması 1

Dr. Özgür Kabak kabak@itu.edu.tr

Doç. Dr. Özgür Kabak

Ofis adresi

İşletme Fakültesi A311, Maçka, Istanbul Telefon

(212) 293 1300 /2073 sekreterlik

E-posta adresi kabak@itu.edu.tr

ozgurkabak@gmail.com Web

web.itu.edu.tr/kabak/

Doç. Dr. Özgür Kabak

} İTÜ Endüstri Mühendisliği bölümünde öğretim üyesi (2011- )

} Belgium Nuclear Research Centre (SCK.CEN)’da doktora üstü çalışma (2009-2010)

}

Nükleer koruma uygulamaları için bir çok ölçütlü karar verme yaklaşımı

} Verdiği dereler:

} Yöneylem Araştırması (Lisans)

} Operations Research 2 (Lisans)

} Grup Karar Verme (doktora)

} İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları (doktora)

} Logistics Management (Y.Lisans)

} Çalışma Alanları

}

Yöneylem Araştırması (Matematiksel programlama)

}

Karmaşık sistemlerin modellenmesi

Program

Tarih Konu

10 Şubat YA'ya Giriş, Temel Kavramlar, Doğrusal Programlamaya (DP) Giriş 17 Şubat Modelleme (devam), Grafik Çözüm

24 Şubat Simpleks Algoritması, Büyük M Yöntemi 2 Mart Yazılım paketleri; Ödev 1

9 Mart

İki Aşamalı Simpleks, Serbest (urs) Değişkenler, İndirgenmiş Maliyet, Gölge Fiyat

6 Nisan Duyarlılık Analizi (Lindo output, Grafik, %100) 13 Nisan DÖNEM PROJESİ 1

20 Nisan Dualite, Dualite ve Duyarlılık Analizi, Tümler Gevşeklik, Dual Simpleks 27 Nisan Düzeltilmiş Simpleks

4 Mayıs Simpleks kullanarak Duyarlılık; Ödev 2

11 Mayıs Ulaştırma Sorunlarının Formülasyonu, Temel Olurlu Çözümün Bulunması 18 Mayıs

Ulaştırma Sorunlarının Çözümü, Geçici Konaklama Sorunları, Atama Sorunları

25 Mayıs BAYRAM

Ders Saatleri

} Pazartesi

}

14:30 – 17:30

}

2 ders à ~15:50’da 15 dakika ara

}

3 ders à ~15:30’da ve ~16:40’da 10’ar dakika ara,

} Dersler zoom üzerinden online yapılacaktır

} Ders kayıtları 14 gün süre ile ninova üzerinde tekrar

izlenebilir.

Ders işleyişi ve iletişim

} Ders sırasında lütfen kendinizi sessiz (mute)’e alın

} Sorunuz olduğunda kendinizi sesliye (unmute) alıp sorunuzu sorabilirsiniz.

} El kaldırıp söz vermemi bekleyebilirsiniz

} Ders ile ilgili duyurular ve ödev ilanları ninova üzerinden yapılacaktır.

}

} Ders harici iletişim için lütfen email atın

}

ozgurkabak@gmail.com

END331 Yöneylem Araştırması 1

Dualite

Dualite

} Herhangi bir DP ile ilişkisi olan bir diğer DP,

}

Dual (eşters) olarak isimlendirilir.

} Dual bilgisi ekonomik ve duyarlılık analizi ile ilgili ilginç açıklamalar sağlar.

} Duali alınan DP primal olarak isimlendirilir.

} Primal model enbüyükleme sorunu ise dual enküçükleme sorunu olur.

} Primal model enküçükleme sorunu ise dual enbüyükleme

sorunu olur.

Bir DP’nin Dualini bulma

} Normal enbüyükleme sorununun duali normal enküçükleme sorunudur.

} Normal enbüyükleme sorunu

}

tüm de ğişkenlerin 0 veya 0’dan büyük olduğu

}

tüm kısıtların ≤ oldu ğu bir sorundur.

} Normal enküçükleme sorunu

}

tüm de ğişkenlerin 0 veya 0’dan büyük olduğu

}

tüm kısıtların ≥ oldu ğu bir sorundur.

} Benzer şekilde, normal enküçükleme sorununun duali de

Normal Enbüyükleme Sorununun

Dualini Bulma

Örnek

maks z = 60x

+ 30x

+ 20x

öyle ki 8x

+ 6x

+ x

≤ 48

4x

+ 2x

+ 1,5x

≤ 20

x

, x

, x

≥ 0

Normal Enküçükleme Sorununun

Dualini Bulma

Örnek

min z = 4x

+5x

+ 3x

Öyle ki; x

+ x

+ 2x

³ 20

15x

+6x

- 5x

³ 50

x

, x

, x

³ 0

Normal olmayan problemlerin dualini bulma

} Temel prensip:

}

Primal modeldeki kısıtlar Dual modeldeki karar de ğişkenleri ile

}

Primal modeldeki karar de ğişkenleri Dual modeldeki kısıtlar ile

}

İlişkilidir.

Primal model - Kısıtlar Dual model- Karar değişkenleri

Kısıt normal İlgili karar değişkeni normal

Kısıt normal değil İlgili karar değişkeni normal değil

Kısıt = İlgili karar değişkeni urs

Primal model- Karar değişkenleri Dual model- Kısıtlar Karar değişkeni normal İlgili kısıt normal

Karar değişkeni normal değil İlgili kısıt normal değil Karar değişkeni urs İlgili kısıt =

Normal olmayan problemlerin dualini bulma

} Normal kısıt?

} Enbüyükleme (Maksimizasyon) için ≤

} Enküçükleme (Minimizasyon) için ≥

} Normal karar değişkeni

} Enbükleme ve Enküçükleme için x ≥ 0

} Normal olmayan karar değişkeni

} Enbükleme ve Enküçükleme için x ≤ 0

Örnek - Enbüyükleme

maks z = 4x

+5x

+ 3x

Öyle ki; x

+ x

+ 2x

³ 20 15x

+6x

- 5x

£ 50

x

+ 3x

+5x

= 30

x

, x

³ 0 x

urs.

Örnek – En küçükleme

Amaç Fonksiyonu

Min z = 2 x

+ 3 x

Kısıtlar

0,5 x

+ 0,25 x

£ 4 (Şeker Kısıtı) x

+ 3 x

³ 20 (C vit. Kısıdı)

x

+ x

= 10 (10 oz’luk şişe kısıdı)

x

, x

³ 0 (işaret kısıtlamaları)

Dual Teoremi

}

Primal ve dualin en iyi amaç fonksiyon değerleri eşittir (eğer sorunlar için en iyi çözüm varsa).

}

Primal ve dual DP problemleri ile ilgili aşağıdaki koşullardan bir tanesi geçerlidir:

1.

Her ikisinin de en iyi çözümü vardır ve birbirine eşittir: z* = w*.

2.

Bir problemde çözüm sınırsız iken diğer problem olurlu değildir.

3.

Her iki problem de olurlu değildir.

}

Zayıf dualiteye göre;

} dual için herhangi bir olurlu çözümün w-değeri

} en az primal için herhangi bir olurlu çözümün z-değeri kadar olabilir: z ≤ w.

}

Dual için herhangi bir olurlu çözüm primal amaç fonksiyon değeri için sınır

olarak kullanılabilir.

Zayıf dualite

0

5

12

15 30

20

18

15

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

İterasyon Primal

Z Dual w

0 0 100

1 5 30

2 12 20

3 15 18

4 15

Dual Teoremi

} Dual çözüm; en iyi çözümle ilgili yorum yapabilmemizi sağlar

} Gölge fiyat

} İndirgenmiş maliyet

Dual Teoremi

} Primal modelin en iyi tablosunun sıfırıncı satırından en iyi dual çözüm nasıl okunur?

} ‘y

dual değişkeninin en iyi değeri’

}

= ‘en iyi R

’da s

’nin katsayısı’ (kısıt i ≤ ise)

}

= –‘en iyi R

’da e

’nin katsayısı’ (kısıt i ≥ ise)

}

= ‘en iyi R

’da a

’nin katsayısı’ ± M (kısıt i = ise)

}

M’in katsayısı Maks problemi için -, min problemi için +

Dual Teoremi - Örnek

Amaç Fonksiyonu

Min z = 2 x

+ 3 x

Kısıtlar

0,5 x

+ 0,25 x

£ 4 (Şeker Kısıtı) x

+ 3 x

³ 20 (C vit. Kısıdı)

x

+ x

= 10 (10 oz’luk şişe kısıdı) x

, x

³ 0 (işaret kısıtlamaları) En iyi Tablo

z x

x

s

e

a

a

ST TD

1 0 0 0 -1/2 (1-2M)/2 (3-2M)/2 25 z=25

0 0 0 1 -1/8 1/8 -5/8 1/4 s

=1/4

0 0 1 0 -1/2 1/2 -1/2 5 x

=5

0 1 0 0 1/2 -1/2 3/2 5 x =5

Dual Teoremi - Örnek

}

y

: şeker kısıtı ile ilgili dual karar de ğişkeni

}

y

: C vit. kısıtı ile ilgili dual karar de ğişkeni

}

y

: 10 oz’luk şişe kısıdı ile ilgili dual karar de ğişkeni

PRIMAL

Amaç Fonksiyonu

Min z = 2 x

+ 3 x

Kısıtlar

0,5 x

+ 0,25 x

£ 4 x

+ 3 x

³ 20 x

+ x

= 10 x

, x

³ 0

DUAL

Amaç Fonksiyonu

Maks w = 4 y

+ 20 y

+ 10 y

Kısıtlar

0,5 y

+ y

+ y

³ 2 0,25 y

+ 3y

+ y

³ 3 y

£ 0

y

³ 0

y

urs

Dual Teoremi - Örnek

Amaç Fonksiyonu

Min z = 2 x

+ 3 x

Kısıtlar

0,5 x

+ 0,25 x

£ 4 x

+ 3 x

³ 20 x

+ x

= 10 x

, x

³ 0

Amaç Fonksiyonu

Maks w = 4 y

+ 20 y

+ 10 y

Kısıtlar

0,5 y

+ y

+ y

³ 2 0,25 y

+ 3y

+ y

³ 3 y

£ 0

y

³ 0 y

urs

z x

x

s

e

a

a

ST TD

1 0 0 0 -1/2 (1-2M)/2 (3-2M)/2 25 z=25

0 0 0 1 -1/8 1/8 -5/8 1/4 s

=1/4

0 0 1 0 -1/2 1/2 -1/2 5 x

=5

0 1 0 0 1/2 -1/2 3/2 5 x

=5

Ekonomik Yorum

}

Primal normal enbüyükleme sorunu oldu ğunda, dual değişkenler karar vericiye sa ğlanabilecek kaynakların değeri ile ilgili olur.

}

Bu yüzden dual de ğişkenlerden çoğu kez kaynak gölge fiyatları olarak söz edilir.

}

Örnek: (Dakota Mobilya)

}

x

, x

, x

üretilen sıra, masa ve sandalye sayısını .

}

Haftalık kar: $z

maks z = 60x

+30x

+20x

öyle ki 8x

+ 6x

+ x

≤ 48 (Tahta kısıtı) 4x

+ 2x

+ 1,5x

≤ 20 (Montaj kısıtı)

2x

+ 1,5x

+ 0,5x

≤ 8 (Marangozluk kısıtı)

x ,x ,x ≥ 0

Ekonomik Yorum - Örnek

}

Dakota Mobilya – Dual

}

Farzedelim ki bir girişimci Dakota'nın tüm kaynaklarını (hammadde) satın almak istiyor.

}

Dual sorunda y

, y

, y

sırasıyla bir m

tahta, bir saat montaj işçiliği ve bir saat marangozluk için ödenmesi gereken ücreti gösterir.

}

w de kaynak satın alma toplam maliyetini gösterir.

}

Kaynak ücretleri Dakota'yı satışa teşvik edecek kadar yüksek; girişimciyi vazgeçirmeyecek kadar az olmalıdır.

}

Bu durumda da toplam satın alma maliyeti toplam kar kadar olur:

Min w = 48y

+20y

+8y

öyle ki 8y

+ 4y

+ 2y

³ 60 (Sıra) 6y

+ 2y

+1,5y

³ 30 (Tahta)

y

+ 1,5y

+ 0,5y

³ 20 (Masa)

y

,y

,y

≥ 0

Dakota Marangozluk

} En iyi tablo

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ ST TD

1 5 10 10 280 Z = 280

- 2 1 2 - 8 24 s₁ = 24

- 2 1 2 - 4 8 x₃ = 8

1 1,25 -0,5 1,5 2 x₁ = 2

Lindo Örnek

!Dakota Marangozluk

!x1, x2, x3 üretilen sıra, masa ve sandalye sayısını . Haftalık kar: $z Max 60x1+ 30x2 + 20x3

st

TAHTA) 8x1 + 6x2 + x3 <= 48 MONTAJ) 4x1 + 2x2 + 1.5x3 <= 20 MARANGOZ) 2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 <= 8

TALEP) x2 <= 5

END

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 280.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.000000 0.000000 X2 0.000000 5.000000 X3 8.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES TAHTA) 24.000000 0.000000 MONTAJ) 0.000000 10.000000 MARANGOZ) 0.000000 10.000000 TALEP) 5.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2

Primal model

çözümü Dual model çözümü

END331 Yöneylem Araştırması 1 Dualite ve Duyarlılık

Dr. Özgür Kabak kabak@itu.edu.tr

Dualite ve Duyarlılık

} Dual teoremine göre;

} Herhangibir temel olurlu çözümün en iyi olabilmesi için ilgili dual çözümün dual olurlu olması gerekir.

} Bu sonuç yardımıyla aşağıdaki duyarlılık analizleri yapılabilir:

}

Bir temel dışı de ğişkenin amaç fonksiyonu katsayısının de ğiştirilmesi

}

Temel dışı de ğişkenin sütununun değiştirilmesi

}

Yeni bir faaliyet ilave edilmesi

Dakota örneği

PRIMAL

maks z = 60x₁+30x₂+20x₃

öyle ki 8x₁ + 6x₂+ x₃ ≤ 48 (Tahta kısıtı) 4x₁ + 2x₂+ 1,5x₃ ≤ 20 (Montaj kısıtı)

2x₁ + 1,5x₂+ 0,5x₃ ≤ 8 (Marangozluk kısıtı) x₁,x₂,x₃ ≥ 0

Çözüm:

Z = 280, x₁ = 2, x₂ = 0 x₃ = 8 s₁ = 24, s₂ =s₃ = 0, DUAL

Min w = 48y₁+20y₂+8y₃

öyle ki 8y₁ + 4y₂+ 2y₃ ³ 60 (Sıra) 6y₁ + 2y₂+1,5y₃ ³ 30 (Masa)

y₁ + 1,5y₂+ 0,5y₃ ³ 20 (Sandalye) y₁,y₂,y₃ ≥ 0

Çözüm:

w= 280, y = 0, y = 10, y = 10, e = 0, e = 5, e = 0

Örnekler

}

Bir temel dışı de ğişkenin amaç fonksiyonu katsayısının de ğiştirilmesi

}

Masanın fiyatı (x

’nin amaç fonksiyonu katsayısı) hangi aralıkta değişirse mevcut temel en iyi olarak kalır?

}

Temel dışı de ğişkenin sütununun değiştirilmesi

}

Masanın fiyatı 43$ olarak değiştirilir, kullandığı tahta 5, montaj işçiliği 2 ve marangozluk saati 2 olursa mevcut temel en iyi olarak kalır mı?

}

Yeni bir faaliyet ilave edilmesi

}

Dakota sehpa üretmeyi düşünmektedir. Fiyatı 15$, – Birer birim

marangozluk, montaj ve tahta kullanacaktır. Bu ürünü üretmek

Masanın fiyatı (x2’nin amaç fonksiyonu katsayısı) hangi aralıkta değişirse mevcut temel en iyi olarak kalır?

PRIMAL

maks z = 60x₁+30x₂+20x₃

öyle ki 8x₁ + 6x₂+ x₃ ≤ 48 (Tahta) 4x₁ + 2x₂+ 1,5x₃ ≤ 20 (Montaj) 2x₁ + 1,5x₂+ 0,5x₃ ≤ 8(Marangozluk)

x₁,x₂,x₃ ≥ 0

DUAL

Min w = 48y1+20y2+8y3

öyle ki 8y₁ + 4y₂+ 2y₃ ³ 60 (Sıra) 6y₁ + 2y₂+1,5y₃ ³ 30 (Masa)

y1 + 1,5y2+ 0,5y3 ³ 20 (Sandalye) y₁,y₂,y₃ ≥ 0

Çözüm:

w= 280, y1 = 0, y2 = 10, y3 = 10, e1 = 0, e2 = 5, e3 = 0

Masanın fiyatı 43$ olarak değiştirilir, kullandığı tahta 5, montaj işçiliği 2 ve marangozluk saati 2 olursa mevcut temel en iyi olarak kalır mı?

PRIMAL

maks z = 60x

+43x

+20x

öyle ki 8x

+ 5x

+ x

≤ 48 4x

+ 2x

+ 1,5x

≤ 20 2x

+ 2x

+ 0,5x

≤ 8

x

,x

,x

≥ 0

DUAL

Min w = 48y₁+20y₂+8y₃

öyle ki 8y₁ + 4y₂+ 2y₃ ³ 60 (Sıra) 6y₁ + 2y₂+1,5y₃ ³ 30 (Masa)

y₁ + 1,5y₂+ 0,5y₃ ³ 20 (Sandalye) y₁,y₂,y₃ ≥ 0

Çözüm:

PRIMAL

maks z = 60x

+30x

+20x

öyle ki 8x

+ 6x

+ x

≤ 48 (Tahta) 4x

+ 2x

+ 1,5x

≤ 20 (Montaj)

2x

+ 1,5x

+ 0,5x

≤ 8 (Marangozluk)

x

,x

,x

≥ 0

Dakota sehpa üretmeyi düşünmektedir. Fiyatı 15$, – Birer birim

marangozluk, montaj ve tahta kullanacaktır. Bu ürünü üretmek karlı mıdır?

DUAL

Min w = 48y₁+20y₂+8y₃

öyle ki 8y₁ + 4y₂+ 2y₃ ³ 60 (Sıra) 6y₁ + 2y₂+1,5y₃ ³ 30 (Masa)

y₁ + 1,5y₂+ 0,5y₃ ³ 20 (Sandalye) y₁,y₂,y₃ ≥ 0

PRIMAL

maks z = 60x

+30x

+20x

öyle ki 8x

+ 6x

+ x

≤ 48 (Tahta) 4x

+ 2x

+ 1,5x

≤ 20 (Montaj) 2x

+ 1,5x

+ 0,5x

≤ 8 (Marangozluk)

x

,x

,x

≥ 0

END331 Yöneylem Araştırması 1 Tümler Gevşeklik – Dual Simpleks

Dr. Özgür Kabak kabak@itu.edu.tr

Tümler Gevşeklik Teoremi

} EN İYİ ÇÖZÜMDEKİ DUAL-PRİMAL İLİŞKİSİ

} Primal ve Dual çözümleri birbiriyle ilişkilendiren bir teoremdir.

} PRIMAL DP’nin normal enbüyükleme olduğu varsayılırsa;

} Karar değişkenleri x₁, x₂,…, x_n

} m tane £ kısıtı ve bu kısıtlarla ilgili s₁, s₂,…, s_m gevşek değişkenleri

} DUAL DP normal enküçükleme olacaktır:

} Karar değişkenleri y1, y₂,…, y_m

} n tane ³ kısıtı ve bu kısıtlarla ilgili e₁, e₂,…, e_n gevşek değişkenleri

} ! = #_$, #_&, … , #₍ ⁾ bir primal olurlu çözüm

} * = +_$, +_&, … , +_, bir dual olurlu çözüm ise;

x ve y eniyi olurlu çözüm olabilmeleri için yalnız ve yalnız aşağıdaki koşullar sağlanmalıdır:

-_.+_. = 0 (1 = 1,2, … , 4) 6₇#₇ = 0 (8 = 1,2, … , 9)

DAKOTA ÖRNEĞİ

maks z = 60x

+ 30x

+ 20x

öyle ki 8x

+ 6x

+ x

≤ 48 4x

+ 2x

+ 1,5x

≤ 20 2x

+ 1,5x

+ 0,5x

≤ 8 x

, x

, x

≥ 0

}

Primal Çözüm: z=280; x

= 2, x

= 0, x

= 8, s

= 24, s

=0, s

= 0 Min w = 48y

+20y

+8y

öyle ki 8y

+ 4y

+ 2y

³ 60 6y

+ 2y

+1,5y

³ 30

y

+ 1,5y

+ 0,5y

³ 20

y

,y

,y

≥ 0

Max 60x1+ 30x2 + 20x3 st

TAHTA) 8x1 + 6x2 + x3 <= 48 MONTAJ) 4x1 + 2x2 + 1.5x3 <= 20 MARANGOZ) 2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 <= 8 END

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 280.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 2.000000 0.000000

X2 0.000000 5.000000

X3 8.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

TAHTA) 24.000000 0.000000

MONTAJ) 0.000000 10.000000

MARANGOZ) 0.000000 10.000000

Örnek

} min z = 3x

+2x

+ 4x

} Öyle ki; 2x

+ x

+ 3x

= 60

} 3x

+3x

+ 5x

³ 120

} x

+ x

- 3x

£ 150

} x

, x

, x

³ 0

} Çözüm: Z= 90, x

= 0, x

= 15, x

= 15.

} Dual modelin çözümünü bulunuz.

}

Gölge fiyatları bulunuz.

}

İndirgenmiş maliyetleri bulunuz.

min z = 3x₁ +2x₂ + 4x₃

Öyle ki; 2x₁ + x₂ + 3x₃ = 60 3x₁ +3x₂ + 5x₃ ³ 120

x₁ + x₂ - 3x₃ £ 150 x₁ , x₂, x₃ ³ 0

maks w = 60y₁ + 120y₂ + 150y₃ Öyle ki; 2y₁ + 3y₂ + y₃ £ 3

y₁ +3y₂ + y₃ £ 2 3y₁+5y₂ – 3y₃ £ 4 y₁ urs, y₂ ³ 0, y₃ £ 0

min z = 3x₁ +2x₂ + 4x₃

Öyle ki; 2x₁ + x₂ + 3x₃ + a1 = 60 3x₁ +3x₂ + 5x₃ – e2 =120

x₁ + x₂ - 3x₃ + s3 = 150 x₁ , x₂, x₃, a1, e2, s3 ³ 0

maks w = 60y₁ + 120y₂ + 150y₃ Öyle ki; 2y₁ + 3y₂ + y₃ + sd1 = 3

y₁ +3y₂ + y₃ + sd2 = 2 3y₁+5y₂ – 3y₃ + sd3 = 4

y₁ urs, y₂ ³ 0, y₃ £ 0, sd1, sd2, sd3 ³ 0

Çözüm: Z= 90, x₁ = 0, x₂ = 15, x₃ = 15.

a1 = 0, e2 = 0, s3= 180

PRIMAL DUAL

STANDART BİÇİM - PRIMAL STANDART BİÇİM - DUAL

min z = 3x₁ +2x₂ + 4x₃

Öyle ki; 2x₁ + x₂ + 3x₃ + a1 = 60 3x₁ +3x₂ + 5x₃ – e2 =120

x₁ + x₂ - 3x₃ + s3 = 150 x₁ , x₂, x₃, a1, e2, s3 ³ 0

maks w = 60y₁ + 120y₂ + 150y₃ Öyle ki; 2y₁ + 3y₂ + y₃ + sd1 = 3

y₁ +3y₂ + y₃ + sd2 = 2 3y₁+5y₂ – 3y₃ + sd3 = 4

y₁ urs, y₂ ³ 0, y₃ £ 0, sd1, sd2, sd3 ³ 0 Çözüm: Z= 90, x₁ = 0, x₂ = 15, x₃ = 15.

a1 = 0, e2 = 0, s3= 180

STANDART BİÇİM - PRIMAL STANDART BİÇİM - DUAL

Tümler gevşeklik koşulları

x1*sd1 = 0 x2*sd2 = 0 x3*sd3 = 0 a1*y1 = 0 e2*y2 = 0

sd1 ³ 0 sd2 = 0 sd3 = 0 y1 urs

2y

+ 3y

+ sd1 = 3 y

+3y

= 2

3y

+5y

= 4 y

= ½

y

= ½

Dual Simpleks Yöntemi

} Kısıt sağ taraf değerlerinden en az biri negatif ise dual simpleks yöntemi kullanılabilir.

} Dual Simpleks Yöntemi üç durumda kullanılabilir.

1. Bir DP modeline yeni bir kısıt eklendiğinde,

2. Bir DP modelinde sağ taraf değeri değiştiğinde, (duyarlılık analizinde anlatılacaktır)

3. Başlangıçta optimallik koşullarını sağlayan (AMA

OLURLU OLMAYAN) problemlerin çözümü.

Dual Simpleks Yöntemi

} Dual Simpleks yönteminde;

} Önce Çözümden çıkacak Temel Değişken belirlenir

}

Sa ğ taraf değerleri arasında en küçük (negatif) katsayılı de ğişken

} Sonra Çözüme girecek temel dışı değişken belirlenir

}

İlgili satırda; negatif katsayılılar arasında negatiflik dikkate

alınmadan oran testi yapılır, en küçük olan seçilir.

Dual Simpleks Yöntemi

} Elementer satı işlemleri sonrası yeni tablo:

} Sağ taraf değerlerinde negatif değer olmadığı için en iyi

çözüme ulaşılmıştır.

Bir DP modeline yeni bir kısıt eklenmesi

} Dakota Örneği

maks z = 60x

+30x

+20x

öyle ki 8x

+ 6x

+ x

≤ 48 4x

+ 2x

+ 1,5x

≤ 20 2x

+ 1,5x

+ 0,5x

≤ 8 x

, x

, x

≥ 0

} Eniyi tablo

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ ST TD

1 5 10 10 280 Z = 280

- 2 1 2 - 8 24 s₁ = 24

- 2 1 2 - 4 8 x = 8

Bir DP modeline yeni bir kısıt eklenmesi Dakota örneği Yeni kısıt : x ₂ ³1

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ e₄ ST TD

1 5 10 10 280 Z = 280

- 2 1 2 - 8 24 s₁ = 24

- 2 1 2 - 4 8 x = 8

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ ST TD

1 5 10 10 280 Z = 280

- 2 1 2 - 8 24 s₁ = 24

- 2 1 2 - 4 8 x₃ = 8

1 1,25 -0,5 1,5 2 x₁ = 2

x₂ ³1 à x₂ – e₄ = -1 – x₂ + e₄ = -1

Yeni kısıt : x ₂ ³1 (Devam)

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ e₄ ST TD

1 5 10 10 280 Z = 280

- 2 1 2 - 8 24 s₁ = 24

- 2 1 2 - 4 8 x₃ = 8

1 1,25 -0,5 1,5 2 x₁ = 2

-1 1 -1 e₄ = -1

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ e₄ ST TD

1 10 10 5 275 Z = 275

1 2 - 8 - 2 26 s₁ = 26

1 2 - 4 - 2 10 x₃ = 10

1 -0,5 1,5 1,25 0,75 x₁ = 0,75

Bir DP modeline yeni bir kısıt eklenmesi Dakota örneği Yeni kısıt : x ₁ +x ₂ ³12

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ ST TD

1 5 10 10 280 Z = 280

- 2 1 2 - 8 24 s₁ = 24

- 2 1 2 - 4 8 x₃ = 8

1 1,25 -0,5 1,5 2 x₁ = 2

x₁+x₂ ³12

x₁+x₂ – e₄ = 12 – x₁ – x₂ + e₄ = -12

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ e₄ ST TD

1 5 10 10 280 Z = 280

- 2 1 2 - 8 24 s₁ = 24

- 2 1 2 - 4 8 x₃ = 8

Ek örnek!

Yeni kısıt ekle: x

+x

³12 (Devam)

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ e₄ ST TD

1 5 10 10 280 Z = 280

- 2 1 2 - 8 24 s₁ = 24

- 2 1 2 - 4 8 x₃ = 8

1 1,25 -0,5 1,5 2 x₁ = 2

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ e₄ ST TD

1 5 10 10 280 Z = 280

- 2 1 2 - 8 24 s₁ = 24

- 2 1 2 - 4 8 x₃ = 8

1 1,25 -0,5 1,5 2 x₁ = 2

-1 -1 1 -12

R4’ = R4 + R3

Yeni kısıt ekle: x ₁ +x ₂ ³12 ^(Devam)

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ e₄ ST TD

1 5 10 10 280 Z = 280

- 2 1 2 - 8 24 s₁ = 24

- 2 1 2 - 4 8 x₃ = 8

1 1,25 -0,5 1,5 2 x₁ = 2

0,25 -0,5 1,5 1 -10 e₄=-10

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ e₄ ST TD

1 10 400 20 80 Z = 80

-1 1 - 2 4 -16 s₁ = -16

-1 1 2 4 -32 x₃ = -32

1 1 -1 12 x₁ = 12

Yeni kısıt ekle: x

+x

³12 (Devam)

z x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ e₄ ST TD

1 10 60 60 -240 Z = -240

-1 1 -4 16 s₁ = 16

1 -1 -2 -4 32 x₂ = 32

1 1 +2 +3 -20 x₁ = -20

-0,5 1 -4 -4 36 s₂ = 36

x₁’in temel değişken olduğu satır negatif katsayılı olduğu için çözüme girmelidir.

Fakat oran testi yapacak sütun yoktur. Bu yüzden yeni kısıtın eklenmesi ile problemde olurlu bölge kalmamıştır. Çözüm olurlu değildir.