DİPLOMA ÖĞRENCİLERİ AHİ EVRAN MESLEKİ EĞİTİM MERKEZİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 1 Dairenin Çevresi ve Alanı

Dairenin Çevre ve Alan Bağıntıları Dairenin Çevresi

ÖRNEK:

Yarıçap uzunluğu 10 cm olan bir çemberin çevresi kaç cm dir? Bulunuz.

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

Bir çemberin çevresi 360⁰ olarak kabul edilir.(Tam açının ölçüsü 360⁰ dir.) AB yayının uzunluğu |AB| = x ise,

x . 360⁰ = 2 πr . α ⇒ x =|AB| = = 2 πr ^α

360⁰ olur

Bir çember ile iç bölgesinin birleşimine daire denir.

Yandaki şekilde O merkezli r yarıçaplı daire verilmiştir. Bu dairenin çevresinin uzunluğunun çapının uzunluğuna bölümü π(pi) sabit sayısını verir.

Dairenin çevresinin uzunluğu Dairenin çapının uzunluğu = ^Ç

2r = π Ç = 2 πr olur.

π(pi) sayısı = 3,141592653589793238462643383...

biçiminde devam eder. Genel olarak, π sabit sayısı yerine yaklaşık değer π = 3,14 = ²²

7

Yandaki şekilde, O merkezli r yarıçaplı çemberde AOB merkez açısının gördüğü yayın ölçüsü kaç π dir? Bulunuz.

Yandaki şekilde, O merkezli çemberde Çemberin uzunluğu , Ç = 2 πr dir.

r = 10 cm ve π = 3,14 alınırsa,

Ç = 2 . 3,14 . 10 = 20 . 3,14 = 60,28 cm olur.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 2

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

Yukarıdaki şekilde, r = |OA| = 6 cm ve merkez açının ölçüsü m(AOB) = 60⁰ dir.

AB yayının uzunluğu |AB| = x ise,

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

Yukarıdaki şekilde, r = |OA| = 3 cm ve merkez açının ölçüsü m(AOB) = 90⁰ dir.

AB yayının uzunluğu |AB| = x ise,

Sonuç olarak; Bir dairede merkez açının gördüğü yayın uzunluğunun ölçüsü, dairenin çevresinin uzunluğunun merkez açının ölçüsü ile çarpımının 360⁰ ye

bölümüne eşittir.

Yandaki şekilde, O merkezli dairede m(AOB) = 60⁰ ve |OA| = 6 cm olduğuna göre, |AB| yayının uzunluğunu bulunuz.

Yandaki şekilde, O merkezli dairede m(AOB) = 90⁰ ve |OA| = 3 cm olduğuna göre, |AB| yayının uzunluğunu bulunuz.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 3 ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Yandaki şekilde, m(ABC) = 30⁰ ve m(BCD) = 60⁰ dir. |AC| + |BD| = 12 π olduğuna göre, dairenin yarıçapının uzunluğunu bulunuz.

Yandaki şekilde,

Bir çemberde çevre açının ölçüsü gördüğü yayın yarısı ile ölçüleceğinden,

m(AC) = 2 . m(ABC) = 2 . 30⁰ = 60⁰ dir.

m(BD) = 2 . m(BCD) = 2 . 60⁰ = 120⁰ dir.

m(AC) + m(BD) = 60⁰ + 120⁰ = 180⁰ olur.

180⁰ lik yay uzunluğu 12 π olursa, 360⁰ lik yay uzunluğu x π olur.

180⁰ . x = 360⁰ . 12 π

Yandaki şekilde, m(ABC) = 30⁰ ve O merkezli dairenin yarıçapı 4 cm olduğuna göre, AC yayının uzunluğu kaç cm dir?

Bulunuz.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 4 ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

Yandaki şekilde, m(ABC) = 30⁰ olduğundan Bir çevre açının ölçüsü aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir. Buradan , m(AOB) = 2 . m(ABC) dir.

m(AOB) = 2 . 30⁰ = 60⁰ olur.

Yandaki şekildeki dairenin, yarıçapı 9 cm dir.

m(ABC) = 25⁰ ve m(CDE) = 55⁰ olduğuna göre, ACE yayının uzunluğu kaç cm dir?

Bulunuz.

Yandaki şekildeki dairede , Bir çevre açının ölçüsü , aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşit olacağından m(ABC) = 25⁰⇒ m(AC) = 50⁰ ve m(CDE) = 55⁰ ⇒ m(CE) = 110⁰ olur.

m(ACE) = m(AC) + m(CE) dir.

m(ACE) = 50⁰ + 110⁰ = 160⁰ olur.

m(AOE) = 160⁰ dir.(Merkez açının ölçüsü) |ACE|= |AE| yazılabilir.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 5

Dairenin Alanı

ÖRNEK:

O merkezli r = 6 cm yarıçaplı bir dairenin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Çevresinin uzunluğu 16 π cm olan dairenin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM:

Dairenin Çevresi = Ç= 2πr ⇒ 2 πr = 16 π ⇒ r = 8 cm bulunur.

Dairenin Alanı = A = πr² = π . 8² = 64 π cm² olur.

Dairenin alanı π sayısı ile yarıçapının uzunluğunun karesine eşittir.

Dairenin Alanı = A= πr² olur.

Yandaki şekilde,

r = 6 cm ve A = πr² dir.

A = π 6² = 36 π cm² olur.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 6 Daire Diliminin Alanı

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

[OA] ⊥ [OB] olduğundan m(AOB) = α = 90⁰dir.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

Yandaki şekilde O merkezli r yarıçaplı dairenin AB yayının uç noktalarını dairenin merkezi ile birleştiren iki yarıçapın sınırladığı bölgeye daire dilimi denir.

AOB merkez açısının ölçüsü α ise, Daire diliminin alanı = ^𝛂

𝟑𝟔𝟎^𝟎 . πr² olur.

Yandaki şekilde; [OA] ⊥ [OB] dir.

O merkezli dairenin yarıçapı 5 cm olduğuna göre, daire diliminin alanı kaç cm² dir?

Bulunuz.

Yandaki şekilde; m(AOB) = 30⁰ dir.

O merkezli dairenin yarıçapı 3 cm olduğuna göre, daire diliminin alanı kaç cm² dir?

Bulunuz.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 7 ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

r = 8 cm ve m(AOB) = α = 180⁰dir.

Daire diliminin alanı = ^α

360⁰ . πr² = ¹⁸⁰

0

360⁰ . π . 8² = ¹

2 π . 64 = ⁶⁴

2 = 32 π cm² olur.

ÖRNEK:

Yandaki şekilde; m(AOB) = 120⁰ dir.

O merkezli dairenin yarıçapı 4 cm olduğuna göre, daire diliminin alanı kaç cm² dir?

Bulunuz.

Yandaki şekilde; m(AOB) = 180⁰ dir.

O merkezli dairenin yarıçapı 8 cm olduğuna göre, daire diliminin alanı kaç cm² dir?

Bulunuz.

Yandaki şekilde; [OC] ⊥ [OB] dir.

O merkezli dairenin yarıçapı 3 cm olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç cm² dir?

Bulunuz.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 8 ÇÖZÜM:

[OC] ⊥ [OB] olduğundan m(COB) = 90⁰ dir.

Taralı bölgenin alanı , 90⁰ lik daire diliminin alanından COB üçgeninin alanının farkıdır.

Taralı Bölgenin Alanı = α

360⁰ . πr² – A(COB)

ÖRNEK:

Yandaki şekilde, O merkezli daire verilmiştir. m(AOB)= 30⁰ ve |OB| = 6 cm olduğuna göre, boyalı alan kaç cm² dir?

Bulunuz.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 9 ÇÖZÜM:

Yandaki şekilde, istenen taralı bölgenin alanı ,

30⁰ lik daire diliminin alanından AOB üçgeninin alanının farkıdır.

Daire diliminin alanı = α

360⁰ . π.r²

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 10 ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

|OB| = 5 cm r₁= 5 cm ve |OA|= 3 cm r₂= 3 cm olduğuna göre, Taralı bölgenin alanı = π(r₁² - r₂²) = π (5² – 3²) = π (25 – 9 ) = π (25 -9) = π (25 – 9 ) = π (25 -9) = 16 π cm² olur.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

Yandaki şekilde, O1 ve O2 merkezli çemberler iç içe teğet çemberlerdir.

|O1O2| = 1 cm ve |O2A| = 4 cm olduğuna göre , boyalı alan kaç cm² dir? Bulunuz.

Yandaki şekilde, O merkezli çemberler iç içe iki çemberdir. |OA| = 3 cm ve |OB| = 5 cm olduğuna göre , boyalı alan kaç cm² dir? Bulunuz.

Yandaki şekilde,

|O1O2| = 1 cm ve |O2A| = 4 cm olduğundan O1 merkezli dairenin yarıçapı,

|O1A| =

r

O2 merkezli dairenin yarıçapı, |O2 A| =

r

= 4

O1 merkezli dairenin alanından ,O2 merkezli dairenin alanının farkı boyalı bölgenin alanını verir.

Taralı bölgenin alanı= r₂² - πr₁² = π( r₂² - r₁²) = π(5² - 4²) = π(25 - 16) = 9π cm² olur.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 11 ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

[AB] çap olduğundan dairenin yarıçapı , çapın yarısıdır.

m(ACB) = 90⁰ ise, [AB] ACB dik üçgeninin hipotenüs uzunluğudur.

c² = a² + b² dir.(Pisagor Teoremi)

a² + b² + c² = 200 eşitliğinde a² + b² yerine , c² yazalım.

c² + c² = 200 2 c² = 200

c² = 100 = 10²⇒ c = 10 ve |AB| = 10 cm ⇒ r = 5 cm olur.

[AB] çaplı yarım dairenin alanı = ^{π r}

2

2 = ^{π 5}

2

2 = ^25π

2 cm² olur

ÖRNEK:

Yandaki şekilde, m(ACB) = 90⁰ dir.

ACB üçgeninde a² + b² + c² = 200 olduğuna göre [AB] çaplı yarım dairenin alanı kaç cm² dir? Bulunuz.

Yandaki şekilde, ABCD karesinde iç teğet çember çizilmiştir. ABCD karesinin çevresi 36 cm olduğuna göre, boyalı bölgenin alanı kaç cm² dir? Bulunuz.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 12 ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Yandaki şekilde, ABCD karesinin alanından O merkezli dairenin alanının farkı taralı bölgenin alanını verir. Ç(ABCD) = 4 .|AB| dir.

4 .|AB| = 36 ⇒ |AB| = 6 cm ve r = 3 cm olur.

A(ABCD) = |AB|² dir.

A(ABCD) = |AB|² = 6² ve A(ABCD) = 36 cm² olur.

Yandaki şekilde, ABCD karesi içinde köşeleri çemberin üzerinde olan bir çember çizilmiştir.

ABCD karesinin çevresi 16 cm olduğuna göre, boyalı bölgenin alanı kaç cm² dir?

Bulunuz.

Dairenin alanı = πr² = π. 3² = 9 π cm² bulunur.

Boyalı bölgenin alanı = 36 – 9 π = 9 (4 - π ) cm² olur.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 13 ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Yandaki şekilde, ABCD dikdörtgeninde A ve C merkezli eşit yarıçaplı çemberlerler birbirlerine teğettir. |AE| = 9 cm , |DG| = 2 cm ve |BF| = 4 cm olduğuna göre, boyalı bölgenin alanını kaç cm² dir? Bulunuz.

Yandaki şekilde, O merkezli dairenin alanından ABCD karesinin alanının farkı taralı bölgenin alanını verir.

Ç(ABCD) = 4 . |AB| = 16 ⇒ |AB| = 4 cm dir.

[AC] , ABCD karesinin köşegeni olup aynı zamanda O merkezli çemberin çapıdır.

ABC dik üçgeninde; |AC|² = |AB|² + |BC|² |AC|² = 4² + 4² = 16 + 16 |AC|² = 32 = (√32 )² |AC| = 4√2 cm bulunur.

Dairenin yarıçapı r = ^|AC|

2 = ^4√2

2 = 2√2 cm oıur.

Dairenin alanı= πr² = π (2√2)² = π . 4² . 2 = 32 = π . 2² . 2 = 8 π cm² bulunur.

A(ABCD) = | AB|² = 4² = 16 cm² bulunur.

Taralı bölgenin alanı= 8π – 16 = 8(π – 2) cm² olur.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 14 ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Yandaki şekilde, O merkezli dairelerin AB ve CD yayları çizilmiştir. m(AOB) = 100⁰ , |OC| = 5 cm ve |CA| = 3 cm olduğuna göre, boyalı bölgenin alanı kaç cm² dir? Bulunuz.

Buradan taralı bölgenin alanı ABCD dikdörtgenin alanından yarın dairenin alanının farkına eşit olur. ABCD dikdörtgeninde, kenar uzunlukları

|AB| = |AE| + |EB| = 9 + 2 = 11 cm ve |BC| = |BF| + |FG| = 4 + 9 = 13 cm dir.

Taralı bölgenin alanı = A(ABCD) - ^πr

2

2 = |AB| . |BC| - ^π.9

2

2 = ( 11 . 13) - ^{π . 81}

2

4 = 286−(81 . 3,14)

4

4 = ^31,66

4 = 7,915 cm² olur.

Yandaki şekilde, ABCD dikdörtgeninde A ve C merkezli eşit yarıçaplı çemberlerlerin yarıçapları |AE| = |CF| = 9 cm dir. Bu çember parçalarının oluşturduğu toplam daire dilimi alanı yarım daire alanına eşit olup, ^πr

2

2 dir.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 15 ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Yandaki şekilde, Taralı bölge O merkezli [OA]

yarıçaplı daire diliminin alanından , [OC]

yarıçaplı daire diliminin alanının farkına eşittir.

Buradan |OA| = r1 = 8 cm ve |OC| = r2 = 5 cm alınırsa,

Taralı bölgenin alanı= ¹⁰⁰

0

360⁰ . π.r₁² - 100⁰

360⁰ . π.r₁² = ¹⁰⁰

0

360⁰ . π .( r₁² - r₁² )

Yandaki şekilde, ABCD dikdörtgeninde A ve B merkezli çemberler [AB] üzerindeki E noktasında teğettir. |AE| = 3 cm ve

|BC| = 6 cm olduğuna göre, boyalı bölgenin alanı kaç cm² dir? Bulunuz.

Zeki DOĞAN Matematik Öğretmeni Sayfa 16

ABCD dikdörtgenin kenarları |AB|= |AE| + |EB| = 3+ 6 = 9 cm dir.

Taralı bölgenin alanı = A(ABCD) – ( ⁹⁰

0

360⁰ . π.r₁² + 90⁰

360⁰ . π.r₁² ) = ( |AB| . |BC| ) - [ ⁹⁰

0

360⁰ . π . (r₁² + r₁² )]

Yandaki şekilde, ABCD dikdörtgeninde taralı bölgenin alanı, ABCD dikdörtgeni- nin alanından A merkezli daire diliminin alanı ile B merkezli daire diliminin alanı toplamının farkına eşittir.

A ve B merkezli çemberlerin yarıçapları

|AE| =

r

=

r