AHİ EVRAN MESLEKİ EĞİTİM MERKEZİ 10.SINIF MATEMATİK DERSİ

ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI ELEMANLARI Üçgenin kenarları ve açıları temel elemanlardır.

Yardımcı elemanlar ise, Yükseklik, kenarortay ve açıortaylardır.

1.Açıortay

Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayı denir.

Bir üçgende üç açıortay bir noktada kesişir.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

[AD açıortay olduğundan |DB| = |DC| dir. x +3 = 19 – 3x x + 3x = 19 - 3

A açısına ait açıortay

n

n

C açısına ait açıortay

n

Açıortay üzerinde alınan bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları eşittir.

Yandaki şekilde, BAC açısının açıortayı üzerinde alınan herhangi bir D noktasından açının [AB ışınına(koluna) ve [AC ışınına (koluna) çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir.

|DB| = |DC| dir.

Yandaki şekilde, BAC açısının açıortayı [AD dir.

|DB| = x + 3 ve |DC| = 19 - 3x olduğuna göre, x değerini bulunuz.

Üçgende iç ve Dış Açıortaylar

ÖRNEK:

Yandaki şekilde, [AD] ve [DC] iç açıortaylarının kesim noktası D dir.

m(B) = 70⁰ ve m(D) = x ise , x değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

[AD] ve [DC] iç açıortaylarının kesim noktası göre,

m(D) = 90⁰ + ^m(B) 2

x = 90⁰ + ⁷⁰

0

2

Yandaki şekilde, [AD] ve [BD] iç açıortaylarının kesim noktası D dir.

m(D) = 120⁰ ve m(C) = x ise , x değerini bulunuz.

[AD] ve [BD] iç açıortaylarının kesim noktası D olduğuna göre, m(D) = 90⁰ + ^m(C)

2

120⁰ = 90⁰ + ^x 2

ÖRNEK:

Yandaki şekilde, [BD] ve [DC] dış açıortaylarının kesim noktası D dir.

m(A) = 64⁰ ve m(D) = x ise , x değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

[BD] iç açıortayı ve [DC] dış açıortaylarının kesim D olduğuna göre, m(BDC) = ^m(BAC)

2 dir.

x = ⁷⁰

0

2

[BD] ve [DC] iç açıortaylarının kesim D olduğuna göre,

m(D) = 90⁰ - ^m(A)

2

x = 90⁰ - ⁶⁴

0

2

Yandaki şekilde ABC üçgeninde;

ABC açısının iç açıortayı [BD], ve ACF açısının dış açıortayı [DC] dir.

m(A) = 70⁰ ve m(D) = x ise , x değerini bulunuz.

Açıortay Teoremleri

1. İç Açıortay Teoremi

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

[AD] iç açıortay olduğundan, ^|BD|

|DC| = ^|AB|

|AC| olur ³

x = ⁶ 8

6x = 3 . 8 6x = 24 x = ²⁴

6 = 4 cm olur.

Yandaki şekilde ABC üçgeninde; BAC açısının iç açıortayı [AD] dir.

|AB| = 6 cm , |AC| = 8 cm |BD| = 3 cm ve |DC| = x ise, x uzunluğu kaç cm dir?

Bulunuz.

2. Dış Açıortay Teoremi

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

[AD] dış açıortay olduğundan, ^|DC|

|DB| = ^|CA|

|BA| olur ^x

x+6 = ⁵

8

8x = 5x + 30 8x – 5x = 30 3x = 30 x = ³⁰

3 = 10 cm olur.

Yandaki şekilde ABC üçgeninde; BAC açısının dış açıortayı [AD] dir.

|BA| = 8 cm , |CA| = 5 cm |CB| = 6 cm ve |DC| = x ise, x uzunluğu kaç cm dir?

Bulunuz.

2. Kenarortay

Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.

Bir üçgende kenarortay bir noktada kesişir.

G kesim noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir.

Şekilde, ^|AG|

|GD| = ^|BG|

|GE| = ^|CG|

|GF| = 2 dir.

Üçgenin Kenar Orta Dikmeleri

Üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasından geçen ve bu kenara dik olan doğru parçasına kenar orta dikme denir

Üçgenin kenar orta dikmeleri bir noktada kesişir.

Bir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her nokta ,doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktadır.

a kenarına ait kenarortay

V

b kenarına ait kenarortay

V

c kenarına ait kenarortay

V

biçiminde gösterilir.

Yandaki ABC üçgeninde;

[FA] ≅ [FB] , [DB] ≅ [DC] ve [EC] ≅ [EA] dır.

[AB] kenarının orta dikmesi [FK] , [BC] kenarının orta dikmesi [DH] ve [AC] kenarının orta dikmesi [EL] dir.

Üç kenar orta dikmesi bir noktada kesişir.

P kesişim noktasıdır.

Yandaki şekilde; |AH| = |HB| dir.

C , D,ve F noktaları [HE üzerinde olduğundan |CA| = |CB| , |DA| = |DB|

ve |EA| = |EB| olur.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Yandaki şekilde [AD] orta dikmedir.

|AB| = 10 cm ve |DC| = 17 cm ise, ABDC dörtgenin çevresini bulunuz.

Yandaki şekilde [AD] orta dikmedir.

|AB| = |CA| = 10 cm ve |DC| = |BD| = 17 cm dir.

ABC üçgeni ve DBC üçgenleri ikizkenardır.

Ç(ABDC) = |AB| + |BD| + |DC| + |CA|

= 10 + 10 + 17 + 17 = 54 cm olur.

Yandaki şekilde G noktası, ABC üçgeninin ağırlık merkezi olmak üzere ,

|BE| + |AD| = 24 ise,

|BG| + |AG| değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Yandaki şekilde P noktası ,kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır.

|PC| = 10 cm ve |BE| = 8 cm olduğuna göre |EP| uzunluğunu bulunuz.

Yandaki şekilde G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezi ise,

^|BG|

|GE| = ^|AG|

|GD| = 2 olacağından , |GE| = x ve |BG| = 2x,

|GD| = y ve |AG| = 2y olur.

|BE| + |AD| = 24 dir.

2x + x + 2y + y = 24 3x + 3y = 24 3(x + y ) = 24 x + y = 8 2(x + y ) = 2 . 8 2x + 2y = 16 |BG| + |AG| = 16 olur.

ÇÖZÜM:

Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

ÖRNEK:

Yandaki şekilde P noktası ,kenar orta dikmelerinin kesim noktası olduğundan |AP| = |BP| = |PC| = 10 cm dir.

|EB| = 8 cm ise, BEP dik üçgeninde;

|BE|² + |EP|² = |BP|² (Pisagor Teoremi) 8² + |EP|² = 10²

64 + |EP|² = 100 64 + |EP|² = 100 - 64 |EP|² = 36 = 6² |EP| = 6 cm olur.

Yandaki şekilde ABC dik üçgendir..

m(A) = 90⁰ ve D noktası [BC]

kenarının orta noktasıdır. |AB| = 6 cm ,

|AD| = 5 CM ve |AC| = 8 cm olduğuna göre ,|BC| uzunluğunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

Yandaki şekilde D noktası [BC] doğru parçasını iki eş parçaya böler.

|AP| = |BP| = |PC| = 10 cm dir.

Buradan,

|AD| = ^|BC|

2 olur.

|BC| = 2 . |AD|

|BC| = 2 . 5 |BC| = 10 cm olur.

Yandaki şekilde;

m(BAC) = 90⁰ , [AB] ⊥ [AC] ve

|AB| = |BD| = |DC| = |AE| ise, m(BDE) ölçüsünü bulunuz.

ÇÖZÜM:

3. Yükseklik

Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.

a kenarına ait yükseklik ha, b kenarına ait yükseklik hb,

c kenarına ait yükseklik hc biçiminde gösterilir.

Yandaki şekilde ,[AD] doğru parçasını çizelim . [AB] ⊥ [AC] ve

|AB| = |BD| = |AD| = |DC| = |AE|

olduğundan, |AD| = ^|BC|

2 olur.

ABD üçgeni eşkenardır.

|AB| = |BD| = |AD| dir. Eşkenar üçgenin iç açılarını her bir 60⁰ dir.

m(ABD) = m(BAD) = m(BDA) = 60⁰ olur.

ADE üçgeni ikizkenardır.

|AD| = |AE| dir İkizkenar üçgenin taban

açıları birbirine eşittir. m(ADE) = m(DEA) ve m(DAE) = 90⁰ - 60⁰ = 30⁰ olur.

m(ADE) + m(DEA) + m(DAE) = 180⁰ 2m(ADE) + 30⁰ = 180⁰ 2m(ADE) = 180⁰ – 30⁰ 2m(ADE) = 150⁰

m(ADE) = 75⁰ bulunur.

m(BDE) = 75⁰ + 60⁰ m(BDE) = 135⁰ olur.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

Yandaki şekilde ABC üçgeninin diklik merkezi A köşesidir.

|AB| = 3 cm ve |AC| = 5 cm olduğuna göre |BC| uzunluğunu bulunuz.

Yandaki şekilde diklik merkezi A köşesi olduğundan ABC üçgeni dik üçgen ve m(A) = 90⁰ olur.

|BC|² = |AB|² + |AC|² (Pisagor Teoremi) |BC|² = 3² + 5²

|BC|² = 9 + 25 |BC|² = 34

|BC| = √34 cm olur.

Yandaki şekilde, ABC üçgeninde [BC]

kenarına ait dikme ayağı D olduğundan [AD]⊥ [BC] olur.

ADC dik üçgeninde;

m(ACD) + m(DCA) = 90⁰ dir.

m(ACD) = 90⁰ – 45⁰ = 45⁰ ADB dik üçgeninde;

m(BAD) + m(ABD) = 90⁰ dir.

m(BAD) = 90⁰ – 70⁰ = 20⁰ m(DAC) – m(BAD) = 45⁰ – 20⁰ = 25⁰ olur.

Yandaki şekilde ABC üçgeninde [BC]

kenarına ait dikme ayağı D noktasıdır.

m(ABD) = 70⁰ ve m(DAC) = 45⁰ olduğuna göre,

m(DAC) – m(BAD) değerini bulunuz.