ki-Yönlü ANOVA (Rasgele Blok Tasarm)

ki-Yönlü ANOVA (Rasgele Blok Tasarm)

statistiksel Deney Tasarm

Birdal “eno§lu

“ükrü Acta³

1

Giri³

2

Her Gözede Bir Gözlemin Oldu§u ve Etkile³imin Olmad§

Durum

Parametre Tahmini Hipotez Testi

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³

3

Her Gözede Birden Fazla Gözlemin Oldu§u ve Etkile³imin Olmad§ Durum

4

Her Gözede Birden Fazla Gözlemin ve Etkile³imin Oldu§u Durum

Parametre Tahmini Hipotez Testi

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³

5

Beklenen Kareler Ortalamas

6

ki-Yönlü ANOVA için Kayp Gözlemler

ki-yönlü ANOVA, bir-yönlü ANOVA ya benzer olarak, etkisi ara³trlmak istenen faktör says "bir" oldu§unda kullanlr.

Bir-yönlü ANOVA dan farkl olarak, deney birimleri arasnda sistematik farkllklar söz konusudur.

Bu sistematik farkllklarn etkisi kendi içinde homojen, kendi aralarndaheterojen olan bloklar kullanlarak giderilmeye çal³lr.

Bloklama, daha önce de belirtildi§i gibi, deneysel hatann azaltlmas

yoluyla deneyin hassasl§nn artmasn sa§lar.

ki-yönlü ANOVA, rasgele tam blok tasarm (randomized complete block design) olarak da bilinir.

Buradaki "tam" kelimesi bloklardaki deney birimi saysnn deneme saysna e³it oldu§unu ifade eder.

ki-yönlü ANOVA, blok tasarmlar içerisinde en kolay olan ve en yaygn olarak kullanlandr.

ki-yönlü ANOVA kullanmann bir ba³ka sebebi de baz deneylerde

ekonomik, ziksel veya çevresel nedenlerden dolay yeteri kadar

homojen deney birimi elde edilememesidir. Bu gibi durumlarda,

iki-yönlü ANOVA kullanmak bir tercih de§il bir zorunluluk halini alr.

ki-yönlü ANOVA da üç farkl durum söz konusudur:

1

Her gözede bir gözlemin oldu§u ve denemelerle bloklar arasnda etkile³imin olmad§ durum,

2

Her gözede birden fazla gözlemin oldu§u ve denemelerle bloklar arasnda etkile³imin olmad§ durum,

3

Her gözede birden fazla gözlemin ve denemelerle bloklar arasnda

etkile³imin oldu§u durum.

Her gözede bir gözlemin oldu§u ve etkile³imin olmad§ durum için matematiksel model

y

= µ + τ

+ γ

+ ε

, i = 1, 2, · · · , a; j = 1, 2, · · · , b (1)

³eklinde ifade edilir. Burada,

y

, j−inci bloktaki, i−inci denemeye ait gözlem de§erini, µ , genel ortalamay,

τ

, i-inci denemenin etkisini,

γ

, j−inci blo§un etkisini ve

ε

, rasgele hata terimlerini

gösterir.

(1) modeli sabit etkili bir modeldir. Bir ba³ka deyi³le, (1) modelinde

a

X

i=1

τ

= 0 ve

b

X

j=1

γ

= 0 (2)

oldu§u varsaylr.

(1) modeline ili³kin veri yaps a³a§daki gibidir;

Bloklar

Denemeler 1 2 · · · b Toplam Ortalama 1 y

y

· · · y

y

¯ y

2 y

y

· · · y

y

¯ y

... ... ... ... ··· ...

a y

y

· · · y

y

¯ y

Toplam y

y

· · · y

y

Ortalama y ¯

¯ y

· · · ¯ y

¯ y

Burada,

y

=

b

X

j=1

y

, ¯ y

= y

b , i = 1, 2, · · · , a y

=

a

X

i=1

y

, ¯ y

= y

a , j = 1, 2, · · · , b

(3)

dr. Ayrca, N = ab toplam gözlem saysn göstermek üzere

y

=

a

X

i=1 b

X

j=1

y

ve y ¯

= y

N (4)

srasyla tüm gözlemlerin toplam ve tüm gözlemlerin ortalamas olarak

tanmlanr.

(1) modelinde parametrelerin LS tahmin edicileri,

˜

µ = y ¯

(5)

˜

τ

= y ¯

− ¯ y

(6)

˜

γ

= y ¯

− ¯ y

(7)

olarak bulunur.

Hatann varyans σ

nin (yan düzeltmesi yaplm³) LS tahmin edicisi,

˜ σ

=

a

X

i=1 b

X

j=1

( y

− ˜ µ − ˜ τ

− ˜ γ

)

N − a − b + 1 (8)

= X

X

( y

− ¯ y

− ¯ y

+ ¯ y

− ¯ y

+ ¯ y

)

N − a − b + 1 (9)

=

a

X

i=1 b

X

j=1

( y

− ¯ y

− ¯ y

+ ¯ y

)

N − a − b + 1 (10)

dir.

(1) modelinde temel amaç, denemeler arasnda ve bloklar arasnda anlaml bir farkllk olup olmad§n belirlemektir. Bu iki durum için hipotezler srasyla,

H

: τ

= τ

= · · · = τ

= 0 (11)

ve H

: γ

= γ

= · · · = γ

= 0 (12)

dr.

(1) modelinde, toplam de§i³kenlik

SS

=

a

X

i=1 b

X

j=1

( y

− ¯ y

)

(13)

olarak ifade edilir. (13) e³itli§inde, parantez içine ¯y

, ¯y

ve ¯y

ifadeleri bir eklenip bir çkartlr ve kare ifade açlp düzenlenirse

SS

= b

a

X

i=1

(¯ y

− ¯ y

)

+

a

X

i=1 b

X

j=1

(¯ y

− ¯ y

)

+ a

b

X

j=1

(¯ y

− ¯ y

)

+

a

X

i=1 b

X

j=1

( y

− ¯ y

− ¯ y

+ ¯ y

)

(14)

elde edilir.

E§er,

SS

= X

i=1

X

(¯ y

− ¯ y

)

= b X

i=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

= X

i=1

X

(¯ y

− ¯ y

)

= a X

j=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

= X

i=1

X

( y

− ¯ y

− ¯ y

+ ¯ y

)

(15)

denirse,

(13) e³itli§i,

SS

= SS

+ SS

+ SS

(16)

³eklinde deneme kareler toplam, blok kareler toplam ve hata kareler

toplam ³eklinde bile³enlerine ayrlr.

Test statistikleri

(1) modelinde, (11) hipotezini snamak için

F

=

SS

 ( a − 1) SS

( N − a − b + 1)

= MS

MS

(17)

ve (12) hipotezini snamak için de

F

=

SS

 ( b − 1) SS

( N − a − b + 1)

= MS

MS

(18)

test istatistikleri kullanlr.

Teorem

(1) modelinde, H

hipotezi altnda,

(i) F

test istatisti§i, a − 1 ve N − a − b + 1 serbestlik dereceli merkezi F da§lmna sahiptir.

(ii) F

test istatisti§i, b − 1 ve N − a − b + 1 serbestlik dereceli

merkezi F da§lmna sahiptir.

KARAR

F

test istatisti§inin de§eri, α anlam düzeyinde a − 1 ve N − a − b + 1 serbestlik dereceli F tablo de§erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le,

F

> F

ise "Denemeler arasnda anlaml bir farkllk vardr" denir.

F

test istatisti§inin de§eri, α anlam düzeyinde b − 1 ve N − a − b + 1 serbestlik dereceli F tablo de§erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le,

F

> F

ise "Bloklar arasnda anlaml bir farkllk vardr" denir. ♣

Yukarda elde edilen bilgiler ³§nda, her gözede bir gözlemin oldu§u ve etkile³imin olmad§ iki-yönlü ANOVA tablosu, a³a§da gösterildi§i gibi olu³turulur.

ANOVA Tablosu

Kaynak df SS MS F

Denemeler a − 1 SS

MS

F

Bloklar b − 1 SS

MS

F

Hata N − a − b + 1 SS

MS

Genel N − 1 SS

Her gözede birden fazla gözlemin oldu§u ve etkile³imin olmad§ durum için matematiksel model

y

= µ + τ

+ γ

+ ε

, (19) i = 1, 2, · · · , a; j = 1, 2, · · · , b; k = 1, 2, · · · , n

olup model parametreleri Bölüm 5.2 de verildi§i gibi tanmlanr.

(19) modeline ili³kin veri yaps a³a§daki gibidir:

Bloklar

Denemeler 1 2 · · · b

1 y111,y112, · · · ,y11n y121,y122, · · · ,y12n · · · y1b1,y1b2, · · · ,y1bn

2 y211,y212, · · · ,y21n y221,y222, · · · ,y22n · · · y2b1,y2b2, · · · ,y2bn

... ... ... · · · ...

a ya11,ya12, · · · ,ya1n ya21,ya22, · · · ,ya2n · · · yab1,yab2, · · · ,yabn

y

= X

X

y

, y ¯

= y

bn , i = 1, 2, · · · , a y

=

X

X

y

, ¯ y

= y

an , j = 1, 2, · · · , b

(20)

dir. Ayrca, N = abn toplam gözlem saysn göstermek üzere,

y

= X

i=1

X

X

y

, ¯ y

= y

N (21)

srasyla tüm gözlemlerin toplam ve tüm gözlemlerin ortalamas

olarak tanmlanr.

(19) modelindeki parametrelerin LS tahmin edicileri, (1) modelindeki parametrelerin LS tahmin edicilerine benzer olarak a³a§da gösterildi§i gibi elde edilir;

˜

µ = ¯ y

(22)

˜

τ

= ¯ y

− ¯ y

(23)

˜

γ

= ¯ y

− ¯ y

. (24)

farkllk olup olmad§, bir ba³ka deyi³le, (11) ve (12) hipotezleri srasyla

Test statistikleri F

=

SS

 (a − 1) SS

( N − a − b + 1)

= MS

MS

(25) ve

F

=

SS

 (b − 1) SS

(N − a − b + 1)

= MS

MS

(26)

test istatistikleri kullanlarak snanr.

Burada,

SS

=

a

X

i=1 b

X

j=1 n

X

k=1

(¯ y

− ¯ y

)

= bn

a

X

i=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

= X

X

X

(¯ y

− ¯ y

)

= an X

j=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

=

a

X

i=1 b

X

j=1 n

X

k=1

(y

− ¯ y

− ¯ y

+ ¯ y

)

(27)

dr. Karar ksm, Bölüm 5.2 dekine benzer ³ekilde düzenlenir.

Her gözede birden fazla gözlemin oldu§u ve etkile³imin olmad§

iki-yönlü ANOVA tablosu, a³a§da gösterildi§i gibi olu³turulur.

ANOVA Tablosu

Kaynak df SS MS F

Denemeler a − 1 SS

MS

F

Bloklar b − 1 SS

MS

F

Hata N − a − b + 1 SS

MS

Genel N − 1 SS

Her gözede birden fazla gözlemin ve etkile³imin oldu§u durum için matematiksel model

y

= µ + τ

+ γ

+ τ γ

+ ε

, (28) i = 1, 2, · · · , a; j = 1, 2, · · · , b, k = 1, 2, · · · , n

³eklinde ifade edilir.

Burada, τγ

, i−inci deneme ile j−inci blok arasndaki etkile³im etkisini gösterir. Di§er parametrelerin yorumlar Bölüm 5.2 de verildi§i gibidir. (28) modeli, uygulamada en çok kullanlan modeldir.

Bu modele ili³kin veri yaps, her gözede birden fazla gözlemin

oldu§u ve etkile³imin olmad§ modele ili³kin veri yaps ile ayndr.

(28) modeli, sabit etkili bir modeldir. Bir ba³ka deyi³le, (28) modelinde

a

X

i=1

τ

= 0,

b

X

j=1

γ

= 0 ve

a

X

i=1

τ γ

=

b

X

j=1

τ γ

= 0 (29)

oldu§u varsaylr.

(28) modelinde,

y

= X

j=1

X

y

, ¯ y

= y

bn , i = 1, 2, · · · , a y

=

a

X

i=1 n

X

k=1

y

, ¯ y

= y

an , j = 1, 2, · · · , b y

=

n

X

k=1

y

, ¯ y

= y

n , i = 1, 2, · · · , a; j = 1, 2, · · · , b ve ayrca, N = abn toplam gözlem saysn göstermek üzere (30)

y

=

a

X

i=1 b

X

j=1 n

X

k=1

y

, y ¯

= y

N (31)

olarak tanmlanr.

(28) modelinde parametrelerin LS tahmin edicileri

˜

µ = ¯ y

(32)

˜

τ

= ¯ y

− ¯ y

(33)

˜

γ

= ¯ y

− ¯ y

(34)

˜

τ γ

= ¯ y

− ¯ y

− ¯ y

+ ¯ y

(35)

(36)

olarak elde edilir.

Hatann varyans σ

nin (yan düzeltmesi yaplm³) LS tahmin edicisi,

˜ σ

=

a

X

i=1 b

X

j=1 n

X

k=1

( y

− ˜ µ − ˜ τ

− ˜ γ

− ˜ τ γ

)

ab(n − 1) (37)

=

a

X

i=1 b

X

j=1 n

X

k=1

( y

− ¯ y

)

N − ab (38)

dir.

(28) modelinde denemeler arasnda, bloklar arasnda anlaml bir farkllk olup olmad§ ve deneme×blok etkile³im etkisinin anlaml olup olmad§

snanr. Her bir durum için hipotezler srasyla

H

: τ

= τ

= · · · = τ

= 0 (39) H

: γ

= γ

= · · · = γ

= 0 (40) ve H

: τ γ

= τ γ

= · · · = τ γ

= 0 (41)

dr.

(28) modelinde genel kareler toplam

SS

= SS

+ SS

+ SS

+ SS

(42)

olarak bile³enlerine ayrlr.

SS

=

a

X

i=1 b

X

j=1 n

X

k=1

(¯ y

− ¯ y

)

= bn X

i=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

=

a

X

i=1 b

X

j=1 n

X

k=1

(¯ y

− ¯ y

)

= an X

j=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

=

a

X

i=1 b

X

j=1 n

X

k=1

(¯ y

− ¯ y

− ¯ y

+ ¯ y

)

= n X

i=1 b

X

j=1

(¯ y

− ¯ y

− ¯ y

+ ¯ y

)

SS

=

a

X

i=1 b

X

j=1 n

X

k=1

( y

− ¯ y

)

(43)

dir.

Test statistikleri

(28) modelinde, (39) hipotezini snamak için

FDeneme=

SS_Deneme (a − 1) SS_Hata

(N − ab)

=MS_Deneme MSHata

, (44)

(40) hipotezini snamak için

F_Blok=

SS_Blok (b − 1) SSHata

 (N − ab)

=MS_Blok

MS_Hata (45)

ve (41) hipotezini snamak için

F_Etkilesim=

SS_Etkilesim

(a − 1)(b − 1) SSHata

 (N − ab)

=MS_Etkilesim

MS_Hata (46)

test istatistikleri kullanlr.

Teorem

(28) modelinde, H

hipotezi altnda,

(i) F

test istatisti§i, a − 1 ve N − ab serbestlik dereceli merkezi F da§lmna sahiptir.

(ii) F

test istatisti§i, b − 1 ve N − ab serbestlik dereceli merkezi F da§lmna sahiptir.

(iii) F

test istatisti§i, (a − 1)(b − 1) ve N − ab serbestlik dereceli

merkezi F da§lmna sahiptir.

KARAR

FDenemetest istatisti§inin de§eri, α anlam düzeyinde, a − 1 ve N − ab serbestlik dereceli F tablo de§erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le,

FDeneme>Fα;a−1;N−ab

ise "Denemeler arasnda anlaml bir farkllk vardr" denir.

FBloktest istatisti§inin de§eri, α anlam düzeyinde, b − 1 ve N − ab serbestlik dereceli F tablo de§erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le,

FBlok>Fα;b−1;N−ab

ise "Bloklar arasnda anlaml bir farkllk vardr" denir.

FEtkilesimtest istatisti§inin de§eri, α anlam düzeyinde, (a − 1)(b − 1) ve N − ab serbestlik dereceli F tablo de§erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le,

FEtkilesim>Fα;(a−1)(b−1);N−ab

ise "Deneme×Blok etkile³imi istatistiksel olarak anlamldr" denir. ♣

Yukarda elde edilen bilgiler ³§nda, her gözede birden fazla gözlemin ve etkile³imin oldu§u iki-yönlü ANOVA tablosu, a³a§da gösterildi§i gibi olu³turulur.

ANOVA Tablosu

Kaynak df SS MS F

Denemeler a − 1 SS

MS

F

Bloklar b − 1 SS

MS

F

Etkile³im ( a − 1)(b − 1) SS

MS

F

Hata N − ab SS

MS

Genel N − 1 SS

(28) modelinde, beklenen deneme kareler ortalamas

E(MS

) = σ

+ bn a − 1

a

X

i=1

τ

(47)

dir.

(47) e³itli§inden görülmektedir ki, MS

, sfr hipotezinin do§ru

olmas durumunda, σ

nin yansz bir tahmin edicisidir.

(28) modelinde, beklenen blok kareler ortalamas,

E(MS

) = σ

+ an b − 1

a

X

i=1

γ

(48)

dir.

(48) e³itli§inden görülmektedir ki, MS

, sfr hipotezinin do§ru

olmas durumunda, σ

nin yansz bir tahmin edicisidir.

(28) modelinde, beklenen etkile³im kareler ortalamas,

E(MS

) = σ

+ n ( a − 1)(b − 1)

a

X

i=1 b

X

j=1

τ γ

(49)

dir.

(49) e³itli§inden de görülmektedir ki, MS

, sfr hipotezinin

do§ru olmas durumunda, σ

nin yansz bir tahmin edicisidir.

(28) modelinde, beklenen hata kareler ortalamas,

E(MS

) = E

 SS

N − ab



= σ

(50)

dir.

(50) e³itli§inden görülmektedir ki, MS

, σ

nin her zaman yansz

bir tahmin edicisidir.

(1) modelinde, baz gözlemler çe³itli nedenlerden dolay bilinemeyebilir ya da kaybolabilir. Böyle bir durumda, deneme etkilerinin ve blok etkilerinin toplamlar sfra e³it olamaz, bir ba³ka deyi³le,

a

X

i=1

τ

6= 0 ve X

j=1

γ

6= 0

dr. Bunun bir sonucu olarak genel kareler toplam, deneme kareler

toplam, blok kareler toplam ve hata kareler toplam olarak bile³enlerine

ayrlamaz (Hicks & Turner, 1999).

(1) modelinde, i−inci deneme, j−inci bloktaki y

gözleminin kayp oldu§unu varsayalm. Bu kayp gözlem m ile gösterilsin. Bu durumda veri yaps, a³a§da gösterilen tablodaki gibi olur.

Bloklar

Denemeler 1 2 · · · j · · · b Toplam

1 y

y

· · · · · · · · · y

y

2 y

y

· · · · · · · · · y

y

... ... ... ··· · · · · · · · · · ...

i ... ... ··· m · · · · · · y

+ m ... ... ... ··· · · · · · · · · · ...

a y

y

· · · · · · · · · y

y

Toplam y

y

· · · y

+ m · · · y

y

+ m

m nin LS tahmin edicisi,

m = ˜ ay

+ by

− y

N − a − b + 1 (51)

dir. Burada,

y

, i−inci denemede m d³ndaki di§er terimlerin toplamn, y

, j−inci blokta m d³ndaki di§er terimlerin toplamn, y

, m d³ndaki di§er gözlemleri ve

y

, m d³ndaki di§er gözlemlerin toplamn

gösterir.

Bilinmeyen y

gözleminin yerine ˜ m tahmin edicisi yazlarak, (15) de verilen kareler toplamlar hesaplanr.

Daha sonra kareler ortalamalar da bulunarak ANOVA tablosu a³a§da gösterildi§i gibi olu³turulur:

ANOVA Tablosu

Kaynak df SS MS F

Denemeler a − 1 SS

MS

F

Bloklar b − 1 SS

MS

F

Hata ( N − a − b + 1) − 1 SS

MS

Genel N − 2 SS

Burada dikkat edilmesi gereken bir önemli husus da hatann serbestlik derecesinin N − a − b − 1 oldu§udur; buradaki (-1) kayp gözlem saysn

ifade etmektedir. Benzer ³ekilde kayp gözlem says birden fazla ise

hatann serbestlik derecesi, kayp gözlem says kadar azaltlr.