A dan B ye ¨orten olmayan fonksiyonları sayalım

Sonlu Bir K¨umeden Sonlu Bir K¨umeye ¨Orten Fonksiyonların Sayısı

|A| = m, |B| = n olsun. A dan B ye ¨orten olmayan fonksiyonları sayalım. B = {1, 2, . . . , n}

varsayabiliriz. (1≤ k ≤ n olmak ¨uzere) Bk = B\ {k} olsun. X, Y iki k¨ume ise, Y^X, X ten Y ye t¨um fonksiyonları g¨ostersin. A dan B ye ¨orten olmayan t¨um fonksiyonların k¨umesinin

∪n i=1

(Bi)^A=

∪n i=1

Ci, (

Ci= (Bi)^A) oldu˘gu a¸sikardır. Ayrıca:

∪n i=1

C_i  =

∑n i=1

|Ci| − ∑

1≤i<j≤n

|Ci∩ Cj| + ∑

1≤i<j<k≤n

|Ci∩ Cj∩ Ck| − · · · + (−1)ⁿ⁻¹ 

∩n i=1

C_i   (1)

olur.

Ci1∩ Ci2∩ · · · Ci_k= (Bi1)^A∩ (Bi2)^A· · · ∩(

Bi_k)^A= (Bi1∩ Bi2· · · Bi_k

)A

oldu˘gundan ve (\, fark k¨umesini g¨ostermek ¨uzere)

B_i1∩ Bi2· · · ∩ Bik = B\ {i1, i₂, . . . , i_k} oldu˘gundan (i₁, i₂, . . . , i_k nin hepsi farklı ise)

|Ci₁∩ Ci₂∩ · · · ∩ Ci_k| = | (Bi₁∩ Bi₂· · · ∩ Bi_k)^A| = (n − k)^m bulunur. E¸sitlik 1 de her bir toplamdaki terimler e¸sittir ve terim sayıları sırasıyla(_n

1

),(_n

2

),(_n

3

), . . . ,(_n

n

) olur. Dolayısıyla A dan B ye ¨orten fonksiyonların sayısı:

n^m− ((n

1 )

(n− 1)^m− (n

2 )

(n− 2)^m+· · · (−1)ⁿ⁻¹ (n

n )

0^m )

= n^m− (n

1 )

(n− 1)^m+ (n

2 )

(n− 2)^m− · · · (−1)ⁿ (n

n )

0^m

= n^m+

∑n i=1

(−1)ⁱ (n

i )

(n− i)^m

=

∑n i=0

(−1)ⁱ ( n

n− i )

(n− i)^m

olur (m = 0 ise, bu toplamın son terimindeki 0⁰= 1 kabul edilecektir)

1