ĐST 349 Doğrusal Programlama QUIZ # 4
Çözüm
1. Bir şirketin üst yönetimi gelecek dönemde iki farklı üründen kaçar birim üretmeleri gerektiğini belirlemek istemektedir. Aşağıdaki tablonun en sağdaki sütununda bu ürünlerin üretiminde payı olan üç ayrı atölyedeki iş gücünün mevcut durumu (saat olarak), aynı tablonun (AĐ, Ürün J) gözelerinde de ÜĐ den bir birim üretirken atölyelerdeki iş gücünün ne kadarının (saat olarak) kullanıldığı, ve en alt satırda da ürünlerin bir biriminin getireceği net karlar verilmiştir.
Atölye Ürün 1 Ürün 1 Mevcut Đş Gücü (saat)
A1 1 0.35 100
A2 0.3 0.2 36
A3 0.2 0.5 50
Kar/Birim 30 dolar 15 dolar
a) Bu problemi bir doğrusal programlama problemi olarak modelleyiniz.
Xi= i ürününden üretilecek miktar olsun, i=1,2 Max. Z= 30X1 + 15X2
s.t. X1 + 0.35X2≤100……. A1 iş gücü 0.30X1 + 0.20X2≤36……. A2 iş gücü 0.20X1 + 0.50X2≤50……. A3 iş gücü
b) Atölyelerin işgücü kapasiteleri fazla mesai yaptırılarak artırılabilir. Fazla mesailer için üst sınırlar A1 için 10 saat, A2 için 6 saat, A3 için ise 8 saattir. Fazla mesailerin her bir saatlik ek maliyetleri de: A1 için 18, A2 için 22.5 ve A3 için 12 dolardır. Bu bilgileri kullanarak problemi yeni bir Doğrusal programlama problemi olarak öyle modelleyiniz ki problem çözüldüğünde: A1, A2 ve A3 ün mevcut iş güçlerine kaçar saat ek (fazla mesai) yapılması gerektiği, yeni kaynakların da kullanımı ile ürünlerden kaçar birim üretileceği ve bu çözümün sonunda toplam karın kaç dolar olacağı hesaplanabilsin
Xi= i ürününden üretilecek miktar olsun, i=1,2( yeni iş gücü kapasiteleri ile) Yj= j atölyesinde iş gücüne eklenecek kapasite(saat olarak) olsun, j=1,2,3 Max. Z= 30X1 + 15X2-(18Y1+22.5Y2 +12Y3)
s.t. X1 + 0.35X2≤100 Y+ 1……. A1 yeni iş gücü 0.30X1 + 0.20X2≤36 Y+ 2……. A2 yeniiş gücü 0.20X1 + 0.50X2≤50+Y3……. A3 yeni iş gücü
0 ,
0 ,
8 ,
6 ,
10 2 3
1 ≤ ≤ ≤ ≥ ≥
j
i Y
X Y
Y Y
2. Max Z= 12 X1 + 16 X2
s.t.
4X1 ≤ 3
2X1 +4 X2 ≤ 4 8X2 ≤ 8 X1 , X2 ≥0
Probleminin simpleks metodu ile çözüm sürecinde aşağıdaki tabloya ulaşılmıştır.
a) Tablodaki eksikleri tamamlayınız. Bu tablonun verdiği çözümü yazınız. Çözüm optimum mu? Neden?
X1 X2 S1 S2 S3
Basis Cj 12 16 0 0 0 RHS Ratio
S1 0 4 0 1 0 0 3 3/4
X2 16 1/2 1 0 1/4 0 1 2
S3 0 -4 0 0 -2 1 0 -
Zj 8 16 0 4 0 16
Cj - Zj 4 0 0 -4 0
Bu tablonun verdiği çözüm optimum değil çünkü X1 için hesaplana cj-zj=4>0 dır.
Bu durumda X1 basis’e girer ve S1 çıkar. Yukarıdaki tabloda gerekli satır işlemleri yapılarak aşağıdaki çözüme ulaşılır.
b) Çözüm optimum değilse, yukarıdaki tablodan devam ederek ve aşağıdaki boş tabloyu kullanarak optimum çözümü bulunuz.
R1+R3---R3; (1/4)R1---R1; -(1/2)R1+R2---R2
X1 X2 S1 S2 S3
Basis Cj 12 16 0 0 0 RHS Ratio
X1 12 1 0 1/4 0 0 3/4
X2 16 0 1 -1/8 1/4 0 5/8
S3 0 0 0 1 -2 1 3
Zj 12 16 1 4 0 19
Cj - Zj 0 0 -1 -4 0
Optimum Çözüm:
X1=3/4 X2=5/8 S1=0 S2=0 S3=3 Z=19 c) Kaynakların marjinal değerlerini ayrı ayrı belirtip yorumlayınız.
Birinci kaynaktaki 1 birimlik artış objektif fonksiyon değerinde 1 birimlik artışa; ikinci kaynaktaki 1 birimlik artış objektif fonksiyon değerinde 4 birimlik artışa sebep olurken üçüncü kaynaktaki artışlar objektif fonksiyon değerinde herhangi bir atışa sebep olmaz.
U1=1 U2=4 U3=0
d) X2 nin objektif fonksiyondaki katsayısının değişim aralığını hesaplayıp yorumlayınız.
X1 X2 S1 S2 S3
Yeni Cj 12 16+d 0 0 0 RHS
Yeni Zj 12 16+d 1-d/8 4+d/4 0 19+5d/8
Yeni Cj - Zj
0 0 -1+d/8 -4-d/4 0
-1+d/8≤ dan d 80 ≤ ; -4-d/4 0≤ dan d≥−16 bulunur.Yani, -16≤d ≤ ve 08 ≤ c2 ≤24 olur.
Yorum: Eğer C2 0 ile 24 arasında değişen değerler alırsa (geriye kalan her şey aynı kalmak kaydı ile) mevcut çözüm optimum çözüm olarak kalır.
e) Đkinci kısıtın sağ taraf değerinin değişim aralığını hesaplayıp yorumlayınız.
=
new new new
X X X
3 2 1
≥
− +
=
+
−
−
0 0 0 2
3
4 / 8 / 5
4 / 3 8
4 3 1 2 1
0 4 / 1 8 / 1
0 0
4 / 1
d d d
Bu eşitsizliklerin d için ortak çözümü aranırsa:
5/8+d/4 0≥ dan d≥−5/2; ve 3-2d≥ dan da d0 ≤3/2 elde edilir.
Ortak çözüm aralığı: −5/2≤d ≤3/2 ve bunun sonucu olarak da 2
/ 11 2
/ 3 2 / 3 4 2
/ 5
4− ≤b2 ≤ + = ≤b2 ≤ bulunur.
Yorum: Yani ikinci kaynaktan elimizde olan miktar 3/2 ile 11/2 arasında olduğu sürece optimum çözüme dahil olacak temel değişkenler X1 , X2, ve S3 olur.
