GİRİŞ BİRİNCİ BÖLÜM

BİRİNCİ BÖLÜM

GİRİŞ

Newton, kütleçekim teorisinin gelişim sürecinin ilk adımını gündelik olayları ve gezegenlerin hareketlerini açıklamak amacıyla 17.yy’da atmıştır. Yazdığı teori,

1. İki cisim arasındaki çekim kuvveti, birinin konumu değişince sonsuz bir hızla diğerini etkilemelidir. Bu durumun 1905’de Einstein tarafından yayınlanan özel görelilik kuramına aykırılığını

2. Merkür gezegeninin perihelion hareketini

3. Büyük kütleli bir cismin yüzeyinden çıkan bir ışının kırmızıya kaymasını 4. Güneş gibi büyük kütleli cisimlerin yakınından geçen ışının yörüngesinin

eğrisel olmasını açıklayamamaktadır.

Bu tür problemleri, Einstein 1915 yılında yayınladığı kütleçekim teorisiyle çözmüştür. Bu teori genel rölativite (GR) olarak bilinir. Bu teoriye göre kütleçekimi, maddenin uzay-zamanda oluşturduğu bükülmeden kaynaklanmaktadır.GR teorisi Riemannsal uzay-zamanda yazılmış olup boşluktaki Einstein’in GR teorisi bir geometrik eylemden varyasyon ilkesiyle türetilebilmektedir. Uzay-zamanın yapısını eğrilik,burulma ve metrik gradyant terimleri oluşturur. Riemannsal uzay-zaman sadece eğriliğe sahiptir, eğrilik ise bu uzay-zamanda sadece Levi-Civita bağlantısı içerir. Riemannsal olmayan uzay-zaman ise eğrilikten daha fazla bileşen içerdiği için daha verimli olabilmektedir.

Bunun yanında GR teorisi deneylerle uyumlu olmakla beraber fizikteki gelişmeler ve GR’nin diğer üç temel etkileşim ile birleştirilmesi çabaları uzay-zamanın Riemannsal bir yapıdan daha fazlasını içermesi gerektiğini desteklemektedir (Adak, Dereli ve Ryder 2003).

 Standart alan teorisi metodlarıyla kütleçekimi kuantalama gayretleri klasik metrik kavramlarla üretilen bir geometrinin ötesine gidilebileceğinin kanıtıdır.

 Kristal yapı teorisinin 4-boyutlu uzay-zamana genellenmesi çalışmaları vardır.

 Erken evrenin, tekillik teoremleri çalışması ve bütün etkileşimlerin birleştirilmesi problemlerinin çözümü için ip uçları vermesi ve dilatonun ürettiği Weyl ko- vektörü içeren şişme modellerinde Riemannsal olmayan yapılarla karşılaşılması gibi nedenler den dolayı bu teorinin geliştirilmesi yararlı olacaktır.

 Bununla beraber Hadronik ve nükleer maddenin tarifini gelişmiş yapılarla daha verimli olarak yapabiliriz.

Riemannsal olmayan geometrik alanlar boşlukta dinamiktir. Fakat bu alanları içeren teorileri boşlukta yorumlamak çok zordur. Bunun nedeni, deneysel verinin çok az olmasıdır. Bu da GR ile rekabeti zorlaştırmaktadır. Yine de Riemannsal olmayan dinamik yapıları içeren teorik modellerin çözümü yararlı olabilir. Çünkü Riemannsal olmayan geometrik alanlar bazı astrofizik olaylarda rol oynayabilmektedir (Hehl, McCrea, Mielke ve Ne’eman 1995 ve Dereli, Önder, Schray, Tucker ve Wang 1996).

Çalışmanın ikinci bölümünden itibaren temel diferansiyel geometrik kavramlar tanıtılarak uzay-zaman geometrileri incelenmiştir. Bunun için de kolaylık olması amacıyla Dış cebir kullanılmıştır. Üçüncü bölümde en genel olarak eğrilik, burulma ve metrik gradyant içeren kütleçekim alan denklemleri Einstein-Hilbert eyleminden varyasyon ilkesiyle türetilmiş ve o uzay-zamanın yapısına göre incelenmiştir.

Dördüncü bölümde ise Dirac denklemi incelenmiştir. Dirac denklemi spinli parçacıkları incelemekte olup genel olarak Dirac Lagrange’ına varyasyon ilkesi uygulanarak Riemannsal olmayan uzay-zamanlarda tekrar oluşturulmuş daha sonradan kütleçekimine spinli ve yüklü parçacıkların nasıl etkidiğini belirlemek için Einstein-Maxwell-Dirac teorisi incelenmiştir.

İKİNCİ BÖLÜM

UZAY-ZAMAN GEOMETRİSİ

2.1 Temel kavramlar

Bu çalışmada uzay-zamanı



^{M g, ,}



ile göstereceğiz. Burada M, 4-boyutlu diferansiyellenebilir ve yönlendirilebilir bir manifold, g bu manifold üzerinde verilmiş (0,2)- tipi kovaryant metrik tensörü,  tensörlerin ve spinörlerin paralel taşınmasında kullanılan bağlantıdır (Thirring 1997).



^{x( p)}



^{,  0,1,2,3,}

koordinat fonksiyonları ile uzay-zamanın herhangi bir ^pM noktasındaki koordinat sistemini belirtelim. Bu koordinat sistemi











 ( p)

x^ veya kısaca ^{{ }}

şeklinde gösterilen bir koordinat referans çerçevesi oluşturur. Oluşan referans çerçevesi, T Mp

 

teğet uzayı için p noktasında bir baz vektörleri kümesidir. Bu durumda M üzerinde verilen metrik





 g

g( , ) (2.1)

bağıntısını sağlar. Aynı şekilde



^x

 

^p



koordinat fonksiyonlarının diferansiyeli olan



^dx

 

^p



kümesi, T Mp^{*( )} ko-teğet uzayının herhangi bir p noktasındaki koordinat referans ko-çerçevesini oluşturur. M manifoldu üzerinde tanımlı fonksiyonlar (0,0)-tipi tensörler; vektörler (1,0)-tipi kontravaryant tensörler; ko- vektörler ise (0,1)-tipi kovaryant tensörlerdir. Teğet uzayı ile ko-teğet uzayı birbirlerinin duali olup, teğet uzayı bazları ile ko-teğet uzayının bazlarının iç çarpımı Kronecker sembolü ile belirlenir.

dx x

 

 

   

 

  (2.2)

 

M

T_p teğet uzayında, herhangi bir lineer bağımsız vektörler kümesi ortonormal hale getirilebilir.¹ Böyle bir kümeyi

 

Xa , ^{a0,1, 2,3,} ile gösterelim ve ortonormal referans çerçevesi olarak adlandıralım. Bu durumda M manifoldu üzerinde verilen metrik



X_a X_b



_ab

g ,  (2.3)

bağıntısını sağlar. Burada ab diag^{( , , , )}    , yani; elemanları ^{   1, 1, 1, 1} olan bir matristir. Bu metriğe 4-boyutlu Minkowski metriği denir. Ortonormal referans çerçevesinin dualinin oluşturduğu baz { }e^a ile verilir:

( )

a a

b b

e X  (2.4)

eşitliğini sağlar ki bu denklem (2.1) in diğer bir ifadesidir.

Bu tezde kullanılan notasyon şöyledir: Yunan alfabesinin ilk yarısındaki harfler  , ,... 0,1, 2,3^{ˆ ˆ ˆ ˆ} , son yarısındaki harfler  , ,... 1, 2,3^{ˆ ˆ ˆ} koordinat veya holonomik indisler, Latin alfabesinin ilk yarısındaki harfler a b, ,... 0,1, 2,3 , son yarısındaki harfler i j, ,... 1, 2,3 ortonormal veya anholonomik indisleridir.

Ortonormal çerçeve ^Xa

 

^p , koordinat çerçevesi 

 

^p cinsinden vierbein veya tedrad h^a

 

p vasıtasıyla yazılabilir;

     

a a a

X p h^ p  p (2.5)

ki burada Xa nın bir anholonomik baz olabilmesi için h^a

 

p nın dejenere olmaması gerekir: ^deth^a

 

p ⁰. Benzer olarak

     

a a

e p h _ p dx^ p (2.6)

yazılabilir. Bununla beraber tetradlar

   

a a

b b

h _ p h^ p  (2.7)

eşitliğini sağlar.

1 En azından Gram-Schmidt yöntemi kullanılabilir.

2.2 Dış Cebir Uzayı

Bu çalışmada kullanılan dış cebire göre, ^T*M ko-teğet vektör demetinin bazları birer 1-form olarak adlandırılırlar. 

e p

M T M

T

ker

*

* ... ko-vektör çarpım uzayı üzerine tümüyle anti-simetrik tensör çarpımı koyarsak, oluşan çarpım uzayına p- formları uzayı denir ve ^p ^M ile gösterilir (Flanders 1963 ve Dereli 1984). ^p ^M , M manifoldu üzerinde tanımlı p-formları uzayı olmak üzere toplam uzayı üzerinden bütün p-formları

4

0 ^p( )

p M

  (2.8)

dış cebir uzayını oluşturur ve ^p M olmak üzere herhangi bir p-form koordinat çerçeveleri cinsinden

p

pdx dx

p

 





 ....

!

1 ₁

1... (2.9)

şeklinde yazılabilir. Burada dış çarpım ^ ile gösterilir ve aşağıdaki özelliklere sahiptir.

 

M

p 1

 , ₂^q

 

M , ₃^r

 

M ve



reel sabit olmak üzere

(i)

 

₁ ₂ ₁ 



₂

 

 ₁ ₂



(2.6) (ii)



₁₂



₃ ₁₃ ₂ ₃ (2.7) (iii) ₁



₂₃

 

 ₁₂



₃ (2.8) (iv) ₁₂ 

 

1 ^p.q₂₁ (2.9) eşitlikleri sağlanır. Bu uzay dış çarpım altında kapalıdır, yani; ₁^p

 

M ve

 

M

q 2

 verilirse  1 2 ^{p q} ( )M .

Dış cebirdeki dış türev operatörü d, bir tam türev işlemcisidir ve herhangi bir p- formu (p+1)- forma gönderir:

 M  M d:^p ^p1

ve ₁^p

 

^M ve₂^q

 

^M olmak üzere aşağıdaki özellikleri sağlar.

(i) d



₁₂



d₁d₂ (2.10)

(ii) d 1 ¹dx x





 

 (2.11)

(iii) d



 1 2



d 1 2 

 

1 ^p1d2 (2.12)

(iv) d d



1



0 (2.13)

a

U  X Ua , V  X Vb ^b , W  X Wc ^c , … vektörleri verilmişse bir vektörün herhangi bir p-formuyla iç çarpımını tanımlayabiliriz ki bu aynı zamanda bir anti-türev operatörüdür. X_a a ile gösterilen bu işlem herhangi bir p- formu (p-1)-forma gönderir:

 

¹

 

: ^p M ^p M

    ^

0( )

f   M , 1

 

p M

   ve 2 ^q( )M olmak üzere iç çarpımın temel özelliklerini aşağıdaki gibi sıralayabiliriz.

(i) a^{f 0} (2.14)

(ii)  fa  f a (2.15)

(iii) 1 1

a

e  a  p (2.16)

(iv) _a_b _b_a (2.17)

(v)   _a



1 2



( _a 1)2 

 

1 ^p1( _a 2) (2.18)

Cebirdeki diğer bir önemli operatör, Hodge star operatörüdür ve * ile gösterilir.

Bu operatör herhangi bir p-formu (4-p)-forma gönderir ve lineer bir operatördür:

 

⁴

 

* : ^p M   ^p M

Ayrıca bu operatör sadece metriğin olması halinde tanımlanabilir. Yönlendirilmiş hacim 4-formu

* 1

1 4!

a b c d

abcde e e e



    (2.19)

olarak tanımlanır. Bu tezde tam anti-simetrik Levi-Civita tensörü 0123 ¹ olarak seçilmiştir. Genel olarak ortonormal formların Hodge starını vermek Hodge starın herhangi bir p-form üzerine etkisini açıklamak için yeterlidir;

* 1

3!

*( ) 1 2!

*( ) 1 1!

*( ) 1

0!

a a b c d

bcd

a b ab c d

cd

a b c abc d

d

a b c d abcd

e e e e

e e e e

e e e e

e e e e









  

  

  

   

(2.20)

Bazı temel özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir

(i) ^{* *} (2.21)

(ii) ^*



^ ea



^a^* (2.22)

(iii) ^**  ( 1)^{p(4 p) Ind g( )} (2.23) burada ,^p ^M ve ^{Ind g( )} metrikteki (-) işaretlerinin sayısıdır ve indeks olarak isimlendirilir.

2.3 Lorentz Dönüşümü

M manifoldu üzerindeki her bir gözlemci kendi referans çerçevesine göre gözlem yapar. Örneğin ^pM noktasında O gözlemcisi

 

^X_a ortonormal çerçevesini, O gözlemcisi ise '



X^'b



ortonormal çerçevesini kursunlar, bu durumda L^1a_b( )p yerel Lorentz dönüşüm matrisi, bu iki gözlemcinin çerçevelerini

   

¹

 

'_{b a} ^a_b

X p  X p L^ p (2.24)

şeklinde birbirine dönüştürür. Eğer Lorentz dönüşümü koordinatlardan bağımsız ise bu dönüşüm genel veya sabit bir dönüşümdür. Ortonormal ko-çerçevelerin dönüşümü ise

     

'^{a a}_b ^b

e p L p e p (2.25) ile verilir. Burada aşağıdaki ifade denklem (2.4) ün bir sonucudur.

1a c a

c b b

L^ L  (2.26)

2.3.1 Bağlantı

Bir e^a bazının dış türevinin yerel Lorentz dönüşümüne bakarsak;

 

'^{a a}_b ^{b a}_b ^{b a}_b ^b

de d L e dL e L de (2.27)

buluruz ki burada

dL

^a_b

e

^b terimi Lorentz invaryantlığı bozar. Bu terimden kurtulmak için  bağlantısıyla ilintili bağlantı 1-formları ^a_b tanımlarız. Bağlantının yerel Lorentz dönüşümü de

1 1

'^a_b L^a_c ^c_fL^{ f}_b L dL^a_c ^c_b

    (2.28)

şeklinde verilir. L dL^a_c ^1c_b terimi tam bağlantı 1-formlarının en genelde tensör nicelikler olmadıklarını gösterir.

2.3.2 Kovaryant Dış Türev Operatörü

En genelde bir A tensörünün bağlantı 1-formları cinsinden kovaryant dış türev operatörü



d



A

DA:  (2.29)

şeklinde tanımlanır. Bu tanıma göre ko-çerçeve e^a nın kovaryant dış türevini

a a a b

De de  be (2.30)

olarak açıkça yazarsak bunu yerel Lorentz dönüşümü aşağıdaki gibi olur.

   

 

1 1

1 1

' = = = = =

f c

f c

a a b a c a b k

b c f b c b k

a b a b a c b k a b k

b b c f b k c b k

a b a b a c k a k

b b c k k

a b b k

b k

a b

b

De d L e L L L dL L e

dL e L de L L L e L dL L e

dL e L de L e dL e

L de e

L De









 

 

  

     

     

 

(2.30)

Denklem (2.30) ile (0,1)-tipi bir tensörün kovaryant dış türevi tanımlanmıştır. Genel olarak (p,q)-tipi bir tensörün kovaryant dış türevi

q p

q p

p q q

p q

p q

p

b b c a a a b c

b a a ca

c

c b a c a b b

cb a c a b b

b a a b

b a a

R R

R R

dR DR

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

1 2 1 1

1 2

1 1 2

1 1 1

1 1

1

...

...























(2.31) şeklinde tanımlanır. Bu genel tanımdan sonra  metriğinin, ab e^a ortonormal baz 1- formlarının ve



^a_b bağlantı 1-formlarının dış türevleri incelenebilir.

2.4 Metrik Gradyantı Tensörü

ab



bağlantısına göre  metriğinin kovaryant dış türevi, ab  metriğininab

gradyantıdır. Denklem (2.31) e göre

( )

2

c c

ab ab a cb b ac

ab ba

ab

D d    

 



  

  

 

(2.32)

olarak hesap edilir, burada reel bir sabit olduğu için ab dab ^0 olur ve

( )

1( )

ab 2 ab ba

    (2.33)

şeklinde tam bağlantı 1-formlarının simetrik kısmını gösterir. Bu sonuçtan

ab

ab D

Q 

2

1

 (2.34)

şeklinde metrik gradyantı (nonmetricity) tensörünü tanımlarız ve bu ifadeye 1. Cartan yapı denklemi denir. Metrik gradyant tensörü Qab simetrik olup, (1,2)-tipi tensördür.

Bununla birlikte Qab 1-formları, tam bağlantı _ab nin simetrik kısmını oluşturur.

Bunlara ilaveten eğer Qab 0 olursa tam bağlantıya metrik uyumlu bağlantı denir.

2.5 Burulma Tensörü

ea ortonormal baz 1-formlarının kovaryant dış türevi T^a burulma tensörünü verir. Bu ifadeye 2. Cartan yapı denklemi denir ve

a: a a a b

T  De de  be (2.35)

şeklinde tanımlanır. T^a 2-formları, (1,2)-tipi burulma tensörü olarak tanımlanır. En genelde herhangi bir 2-form genel bir 1-formdan türetilebilir. Bu nedenle burulma 2- formu, ko-burulma 1-formundan şu şekilde türetilebilir.

a b a

a

e T

K  

^(2.36)

Bağlantı kavramını daha iyi anlamak için, ab Levi-Civita bağlantısı, Kab ko- burulma tensörü, qab anti-simetrik bağlantı Qabmetrik gradyantı tensörü olmak üzere, tam bağlantı 1-formlarını simetrik ve anti-simetrik kısımların toplamı şeklinde bileşenlerine ayırabiliriz (Dereli ve Tucker 1987 ve Dereli, Önder ve Tucker 1995).

ab ab ab ab

ab  K q Q

  (2.37)

Burada simetrik kısım;

 ab Qab

 (2.38)

anti-simetrik kısım ;

  ab Kab qab

ab   

  (2.39)

şeklinde verilir. Burada anti-simetrik tensör bağlantı 1-formu qab b c

a b c bc b a

a

Q e Q e

q       

^(2.40)

olarak yazılır. En genelde uzay-zamanda Qab 0 olursa bağlantının metrik uyumlu olduğunu söylemiştik. Şimdi metrik uyumlu bağlantıda T^a 0 olursa bağlantı Levi- Civita bağlantı 1-formuna dönüşür;

a a b 0

de 



b e  ^(2.41)

Şimdi bu ayrışımın tutarlı olduğunu gösterelim. İlk olarak denklem (2.37) yi sağdan eb ile çarpalım.

b b a b b

a b b

a b b

a b b

a e  e K e q e Q e

  (2.42)

burada denklem (2.35), (2.36) ve (2.41) kullanılırsa

 

- 0 0 0

a a b a b a b

b b b

a c a c b a b

cb b c b

a c b b ac a b

cb b c b

ac ab

c b

de e q e Q e

Q e Q e e Q e

Q e e e Q e Q e

Q e Q e



 

 

     

     

      

    

(2.43)

olur. Levi-Civita bağlantısı (2.41)

   

1 1 1

( )

2 2 2

c

ab a deb b dea a bde ec

         (2.44)

olarak da çözülebilir. Bunu görmek için denklem (2.41) i soldan  ile çarpalım.b b c

c ac ac b a

bde   e   e

   (2.45)

c ab ac b a

bde   e 

   (2.46)

burada a dönüşümü yapıp, düzenlersekb

c ab bc a b

ade   e 

  

 (2.47)

olur. Denklem (2.46) ile (2.47) i toplarsak



_{a cb b ca}



^c

a b b a

ab  de  de     e

    

2 (2.48)

olur. Şimdide denklem (2.45) yı



_d ile çarparsak

d bdea b ad d ab

 

 

 



 

(2.49)

elde ederiz. Burada indisleri düzenlersek

ca b cb a c b

a de    

   (2.50)

olur. Bunu denklem (2.48) de yerine koyarsak



_{ab c}



^c

a b b a

ab  de  de   de e

   

2 (2.51)

sonucunu buluruz ki bu da istediğimiz sonuçtur. Burada  Levi-Civita bağlantı 1-ab

formu gibi

K

^a_b ko-burulma 1-formuda



_{a b c}



^c

a b b a

ab T T T e

K     

2 (2.52)

bağıntısını sağlar.

2.6 Eğrilik Tensörü

Kovaryant dış türevin bağlantı üzerine etkisi Rab

 

 eğrilik tensörünü verir.

Bu ifadeye 3. Cartan yapı denklemi denir ve

 

^{ab ab ac cb}

ab D d

R  :  :    (2.53)

şeklinde tanımlanır. Rab

 

 eğrilik 2-formları (1,3)-tipi Riemann eğrilik tensörünü verir. Denklem (2.53) ün tensör olduğu aşağıdaki gibi gösterilebilir.

 

   

1 1

1 1 1 1

'

a a c f a c

b c f b c b

a e f a e c g h c g

e f c e c g h b g b

R d L L L dL

L L L dL L L L dL



 

 

   

 

    (2.54)

burada

 

^{dL1cb Lbg L1cb}

 

^dLbg özelliğini kullanır ve parantezler açılırsa

 

¹

'^a_b ^a_c ^c_d ^c_e ^e_d ^d_b

R L d   L^ (2.55)

elde edilir. Burada R^c_d d^c_d ^c_e^e_d olduğu için '^a_b ^a_c ^c_d 1^d_b

R L R L^ (2.56)

ifadesi elde edilir ki bu da Rab

 

 nin bir tensör olduğunu gösterir.

2.7 Bianchi Özdeşlikleri

Bianchi özdeşlikleri, burulma, eğrilik ve metrik gradyant tensörlerinin dış türevleri alınarak elde edilirler. İlk olarak burulmanın dış türevini alırsak

  

^{a a b}



a

d de d e

dT   

_b



bulunur, burada denklem (2.35) ve (2.53) kullanılırsa

a a b a b

b b

a a b

b

dT T R e

DT R e



   

  (2.57)

ifadesi elde edilir ki bu birinci Bianchi özdeşliğidir. Aynı şekilde eğriliğin dış türevi alınıp, denklem (2.53) kullanıldıktan sonra denklem (2.31) kullanılırsa

( ) 0

a a c a c

b c b c b

a b

dR R R

D R

 



   

 (2.58)

ifadesine ikinci Bianchi özdeşliği denir. Benzer olarak metrik gradyant tensörünün dış türevi alınır

   

cb ac a cb

ab

d

c

d

dQ      

2

^(2.59)

ve burada denklem (2.53) kullanılırsa

ab ba

ab R DQ

R  2 (2.60)

ifadesi elde edilir ki buna üçüncü Bianchi özdeşliği denir.

2.8 Uzay-zamanın Sınıflandırılması

Cartan yapı denklemlerinin sıfır olup olmamasına göre uzay-zaman aşağıdaki gibi sınıflandırılır.

1. Minkowski uzay-zamanı:

0

, 0 ,

0  

 a ab

ab T R

Q (2.61)

2. Riemannsal uzay-zaman :

0

, 0 ,

0  

 a ab

ab T R

Q (2.62)

3. Riemannsal olmayan uzay-zaman : 3.1. Einstein-Weyl uzay -zaman:

0

, 0 ,

0  

 a ab

ab T R

Q (2.63)

3.2. Weitzenbök uzay-zamanı:

0

, 0 ,

0  

 a ab

ab T R

Q (2.64)

3.3. Einstein-Cartan uzay-zamanı:

0

, 0 ,

0  

 a ab

ab T R

Q (2.65)

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM

KÜTLEÇEKİM TEORİLERİ

Bu çalışmada kütleçekim alan denklemlerini, bir eylemden varyasyon ilkesiyle türetiyoruz. Bunun için önce bir eylem yazılır:

, *1

a a

b

M M

I e  



L



^L (3.1)

Burada I eylem ,

 

^{ea ve}

  ^

^ab temel kütleçekim alan değişkenleri, L Lagrange 4-formu, L ise Lagrange yoğunluğu olarak tanımlanır. İlk olarak Einstein-Hilbert eylemine varyasyon işlemi uygulanıyor daha sonra eyleme yeni terimler eklenerek kütleçekim alan denklemleri oluşturuluyor.

 

^*

 

2

1 2

a b

b a

L  R   e e

 (3.2)

Burada  etkileşim sabiti olup buna Planck uzunluğu denir. Kütleçekim alan denklemlerini bulmak için bu Lagrange formunun varyasyonunu alırsak (bundan sonra kısaca e^ae^be^ab olarak gösterilecek)

   

   

* *

2 2

* *

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

a b a b

b a b a

a a c b a a c b

b c b a b c b a

L R e R e

d e d e

  

 

      

             

 

 

=

(3.3)

ifadesini elde ederiz. d d şeklinde dış türev ile varyasyon sıra değiştirebildiği için varyasyonda aşağıdaki değişikliği yaparsak

   

 

* * *

* * ( )

a b a b a b

b a b a b a

a b a b

b a b a

d e d e d e

d e d e Mod d

  

 

       

      (3.4)

burada ^{Mod d( )} tam türevli bir terim olup varyasyon denklemlerine katkıda bulunmaz. Denklem (2.20) yardımıyla

* b c b d c * b

a a cd a c

e e e e e

     (3.5)

elde edilir. Denklem (3.4) ve (3.5) i denklem (3.3) e yazıp gerekli düzenlemeleri yaparsak

* *

2 2

1 1

2 2

a b a b b

b a c a c

L D e e R e

        

  (3.6)

sonucunu buluruz. Bağlantı 1- formu simetrik ve anti-simetrik kısımlardan oluştuğu için metrik kullanılarak indislerden birisinin kaldırılması veya indirilmesi yoluyla

a

 b teriminde indislerin hizalanıp simetrik ve anti-simetrik yapılması gerekir². Tezde en genelde Q^a_b 0, T^a 0, R^a_b 0 olan uzay-zamanlarda bu eylemin varyasyon hesabını verip, değişik uzay-zamanlar için bu sonucu kullanacağız. İlk olarak denklem (3.6) daki birinci terimi burulma ve metrik gradyant terimleri cinsinden

* *

* *

( )

( )

b bc

a ac

bc bc

ac ac

D e D e

D e e D



 



  

(3.7)

şeklinde yazalım. Burada ikinci terimde denklem (2.34) ü kullanırsak

* _a^b ( * _ac) ^bc 2 ^bc * _ac

D e  D e   Q  e (3.8)

olur ki şimdi de birinci terimi hesaplarsak

* 1

2 1( 2

)

cd c d

ab abcd abcd

cd e cd e cd

abcd a ebcd b aecd

e cd e cd c

c abed d abce abc

D e D e De e

d e e e

e e T e

 

  

 

  

    

     

(3.9)

ifadesini buluruz. Burada parantez içindeki birinci terim sabitin türevi olduğu için sıfırdır. Şimdi toplam indisleri düzenlenir, tam bağlantı 1-formları ,

a a c

b c be

  şeklinde bileşenleri cinsinden yazılır ve denklem (2.22) özelliği (e^a ^*e^b ^ab 1^* ile beraber)

* d d * d * d *

abc a bc b ac c ab

e e    e   e   e (3.10)

şeklinde kullanılırsa

* c * c *

ab c ab abc

D e    e T  e (3.11)

bulunur. Bu sonucu denklem (3.8) de yerine yazarsak

* * * *

b 2 bc b c b

a ac a a c

D e  Q  e  Q e T  e (3.13)

2 1

2 0

ab ab

Q  D  olduğu için kovaryant dış türevin önündeki bir indisi indirirken ve kaldırırken dikkatli olmayız.

bulunur. Bunu da denklem (3.6) da yazarsak

 

* * *

2

* 2

1 2

2 1 2

a bc b c b

b ac a a c

a b c

c ab

L Q e Q e T e

e R e

 



 

        

   





=

(3.14)

eşitliğini buluruz ki bu ifade Einstein-Hilbert eyleminin, en genelde Riemannsal olmayan bir uzay-zamanda varyasyonunu verir.

3.1 Einstein Kütleçekim Teorisi: Genel Rölativite

Riemannsal uzay-zaman geometrilerinde Q^a_b 0, T^a 0, R^a_b 0 alınır.

Einstein-Hilbert eylemi bu uzay-zaman geometrisinde yazılmıştır. Q^a_b 0 ve T^a 0 olduğundan bağlantı Levi-Civita anti-simetrik 1-formu  ye indirgenir. Buna göre^ab

denklem (3.14)

 

^*

2

1 2

a b c

c ab

L e R e

      

 (3.15)

şeklinde yazılır ki burada R^a_b( ) Riemannsal eğrilik 2-formudur. Varyasyon ilkesine göre L0 olmalıdır. Buradan

 

^*

2

1 0

2

bc

R  eabc

  

 (3.16)

ifadesi elde edilir. Bu ifade boşlukta Einstein alan denklemi olarak bilinir. Burada

 

^*

: 1 2

bc

a abc

G   R   e (3.17)

ifadesine de Einstein tensörü denir.

3.1.1. Einstein Tensörünün Farklı Formları

Einstein tensörünü dış cebir ile değişik şekilde yazalım.

* *

,

1 1

2 4

bc bc gf

a abc gf abc

G   R  e   R e  e (3.18)

Burada aşağıdaki özdeşlikler kullanılırsa

* * * *

* * * *

* * *

* * *

f f f f

abc a bc b ac c ab

g f f g f g f g

abc a bc b ac c ab

f g f g f g

a b c a c b b a c

f g f g f g

b c a c a b c b a

e e e e e

e e e e e e e e e

e e e

e e e

  

  

     

     

   

       

   

  

(3.19)

şu elde edilir,

* * * * * *

, , , , , ,

* *

, ,

1 4 1

2

bc bc bc bc bc bc

a ba c ca b ab c cb a ac b bc a

bc bc

ac b bc a

G R e R e R e R e R e R e

R e R e

 

       

 

(3.20) Burada Q Q ^a_a.

Bu denklemin Hodge starı alınırsa

*

, ,

1 2

bc bc

a ac b bc a

G R e  R e (3.21)

olur ki burada Ricci eğrilik 1-formu

 

,

b bc

b a ac b

Ricı Ra  R  e (3.22)

ve eğrilik skaları

 

,

a bc

a bc

Rı Ric R (3.23)

tanımlamaları kullanılırsa Einstein tensörünün starı

 

*

1

a a

2

a

G  Ric  Re

(3.24)

şeklinde elde edilir.

3.2 Einstein-Maxwell Teorisi

Spinsiz parçacıklar için Einstein-Maxwell teorisini yazmak amacıyla

* * 3 *

1 2

[ , , ]

2 2 2

a ab

ab

c

c c

L e A S  R  e  F F J J (3.25)

şeklinde Lagrange 4-formu verilir. Burada c_i ler çiftlenim sabitleridir. A elektromanyetik potansiyel 1-formu, S skalar alan 0-formu, ve q skalar yük sabiti olmak üzere

FdA (3.26) elektromanyetik alan 2-formu ve

J dS qA (3.27)

akım yoğunluğu 1-formu olarak verilir. Alan denklemlerini bulmak için denklem (3.25) in varyasyonu yapılırsa

 

 

* *

1

2

* *

2

* 3 * *

3

2

2

2

a bc

abc

a

a a

a

a a

L e c R e c F F

e c Fı F F ı F

c J J e c Jı J J ı J

  



 

    

    

      

(3.28)

ifadesi elde edilir. Bu ifade de

* *

* *

( ) ( ) d A dA A d dA Mod d d S J S d J Mod d

 

 

   

    (3.29)

düzenlemelerini yaparsak toplam Lagrange varyasyon ifadesi

   

   

* * *

2 3 3

1 *

2 3

+

2

a bc

abc a a

L A c d F c q J S c d J

e c R e c F c J

  

  

     

 

    

(3.30)

olarak bulunur ki

* *

[ ] 1( )

a F 2 Fı Fa F ı Fa

     (3.31)

* *

[ ] 1( )

a J 2 Jı Ja J ı Ja

     (3.32)

nicelikleri enerji-momentum 3-formlarıdır. Bu varyasyon ifadesi kullanılarak madde içindeki Einstein-Maxwell alan denklemleri

c d F c q J2 ^*  3 ^* 0

(3.33) c d J3 ^* 0

(3.34)

   

1 *

2 3 0

2

bc

abc a a

c R  e c F c J  (3.35)

olarak elde edilir. Denklemlerde J=0 alınırsa boşlukta Einstein-Maxwell alan denklemlerini elde ederiz:

* 0

d F  (3.36)

 

1 *

2 0

2

bc

abc a

c R  e c F  (3.37)

Bu denklemlerin çözümü Reissner-Nordstrom çözümü olarak bilinir. Bunun için ilk olarak küresel simetrik, statik bir metrik yazarız.

     

2 2 2 2 2 2 2

2

1 sin

g f r dt dr r d d

f r   

     (3.38)

Burada metrik fonksiyonu f, açı değişkenleri  ve  ye bağlı olmadığı için küresel simetrik, ayrıca dtdr , dtd , … gibi çapraz terimler gelmediği ve f, zaman değişkeni t ye bağlı olmadığı için de statik ismini veriyoruz.³ Denklem (3.38) de

, , ,

dt dr d d  doğal koordinat 1-formları olup, en uygun ortonormal 1-formlar,

0 0 1 1 2 2 3 3

a b

g abe e

e e e e e e e e



 

         (3.39)

olmak üzere

   

0 1 1 2 3

, , , sin

e f r dt e dr e rd e r d

f r   

    (3.40)

şeklinde tanımlanır. Ortonormal ko-çerçevenin dış türevleri alınırsa

0 10

1

2 12

3 13 23

' 0

cot de f e de

de f e r

de f e e

r r









 

(3.41)

olur. T^a 0 yani ^abe^b  de^a olduğundan Levi-Civita bağlantı bileşenleri

3 f zaman değişkeni t ye bağlı olmayıp, fakat çapraz terimler olsaydı metriğe durağan (stationary) metrik diyecektik.