b] ba¸slang¬ç ¸sart¬ve a11u(a

(1)

B ¨ol ¨um 7

Difüzyon Denklemi

Bu bölümde esas itibariyle [a; b] aral¬¼g¬üzerinde tan¬ml¬parçal¬düzgün f ve g fonksiyonlar¬için

u_t= ku_xx+ g(x); k > 0; x2 (a; b); t > 0 difüzyon problemini

u(x; 0) = f (x); x2 [a; b]

ba¸slang¬ç ¸sart¬ve

a11u(a; t) + a12ux(a; t) = b1; (a11; a12)6= (0; 0); t > 0 a₂₁u(b; t) + a₂₂u_x(b; t) = b₂; (a₂₁; a₂₂)6= (0; 0); t > 0

ayr¬k s¬n¬r ¸sartlar¬ ile gözönüne alarak inceliyoruz. Özellikle problemin çözümünün,

daha önceden inceledi¼gimiz de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi ile nas¬l elde edilece¼gini ve

…ziksel özelliklerini inceliyoruz. Ayr¬ca

Maxima ortam¬nda geli¸stiridi¼gimiz interaktif uygulamalar ile kullan¬c¬

taraf¬ndan tan¬mlanan özel Dirichlet ve Neumann problemlerinin analitik çözümünün gra…¼gi ile birlikte istenilen bir zaman aral¬¼g¬nda nas¬l elde edilebilece¼gini inceliyoruz.

(2)

Bu bölüm için 4. Bölümde inceledi¼gimiz de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi, 5. Bölümde inceledi¼gimiz Regüler veya Periyodik Sturm-Liouville problemlerinin özfonksiyonlar¬ ve 6. Bölümde inceledi¼gimiz Fourier serileri temel matematiksel araçlar¬m¬z¬olu¸sturmaktad¬r. Okuyucular¬n bu bölüme devam etmeden önce bahsetti¼gimiz bölümleri tekrar gözden geçirmelerini önemle tavsiye ederiz.

7.1 Homojen s¬n¬r ¸sartl¬ Dirichlet problemleri

Öncelikle

ut = kuxx; k > 0(sabit),x 2 (0; 1); t > 0 (7.1)

u(0; t) = 0; u(1; t) = 0 (7.2)

u(x; 0) = f (x); x2 [0; 1] (7.3)

Dirichlet problemini gözönüne alal¬m.(7.1) denklemi homojendir çünkü u 0 denklemin çözümüdür, benzer biçimde (7.2) s¬n¬r ¸sartlar¬ homojen çünkü u 0 s¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glar. E¼ger u 0 fonksiyonu denklemi sa¼glamam¬¸s olsayd¬denklemimiz homojen olmayan denklem ve yine ayn¬fonksiyon s¬n¬r

¸sartlar¬n¬sa¼glamam¬¸s olsayd¬s¬n¬r ¸sartalr¬n¬homojen olmayan s¬n¬r ¸sartlar¬

olarak adland¬racakt¬k.

(7.1)-(7.3) problemini ba¸slang¬çta f (x) ile verilen s¬cakl¬k da¼g¬l¬m¬na sahip ince ve uzun ¬s¬iletken bir teldeki s¬cakl¬k de¼gi¸sim modeli olarak dü¸sünebil- iriz. Ba¸slang¬ç s¬cakl¬k da¼g¬l¬m¬f (x) ile verilmekte olup, ¬s¬al¬¸sveri¸si sadece uç noktalar arac¬l¬¼g¬ile gerçekle¸smekte ve uç noktalarda cismin s¬f¬r birim s¬- cakl¬kta sabit tutuldu¼gu kabul edilmektedir. Is¬iletken telin yanal yüzeyinin

¬s¬yal¬t¬ml¬oldu¼gu kabul edilmektedir.

5. Bölümde inceledi¼gimiz de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemiyle u(x; t) = X(x)T (t)

biçiminde çözüm arayarak, denklemde yazmak suretiyle X(x)T⁰(t) = kX⁰⁰(x)T (t)

elde ederiz. Her iki taraf¬n s¬f¬rdan farkl¬ kabul etti¼gimiz kX(x)T (t) ile bölerek,

T⁰(t)

kT (t) = X⁰⁰(x) X(x) =

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

(3)

7.1 Homojen s¬n¬r ¸sartl¬Dirichlet problemleri 3

veya homojen Dirichlet ¸sartlar¬ile

X⁰⁰+ X = 0; X(0) = X(1) = 0 T⁰ + kT = 0

denklem sistemini elde ederiz. Kanonik Dirichlet probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬biliyoruz:

n= n² ²; Xn(x) = sin(n x); n = 1; 2;

Ayr¬ca n de¼gerlerini yerine yazarak her bir n için T_n⁰ + n² ²kT_n = 0; n = 1; 2;

elde ederiz. Bu denklemlerin çözümü ile T_n(t) = e ⁿ² ²^kt elde ederiz. O halde her bir n için

u_n(x; t) = X_n(x)T_n(t) = sin(n x)e ⁿ² ²^kt; n = 1; 2; :::

çözümlerini elde ederiz. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan genel çözümümüzü, elde etti¼gimiz bu çözümlerin lineer kombinasyonu yard¬m¬yla

u(x; t) = X1 n=1

c_nsin(n x)e ⁿ² ²^kt (7.4)

olarak tan¬ml¬yoruz, burada cn katsay¬lar¬n¬¸simdilik bilmiyoruz, ancak bu çözümün (7.3) ile verilen ba¸slang¬ç ¸sart¬n¬da yani,

u(x; 0) = f (x) = X1 n=1

c_nsin(n x) (7.5)

sa¼glamas¬gerekmektedir. (7.5) ile tan¬mlanan serinin f fonksiyonunun [0; 1]

aral¬¼g¬üzerindeki Fourier sinüs aç¬l¬m¬oldu¼gunu görüyoruz, fakat 6. Bölüm- den [0; b] aral¬¼g¬nda f fonksiyonunun Fourier sinüs aç¬l¬m¬için,

Z b 0

sin²(n x=b)dx = b=2

(4)

integral sonucu ile

c_n = Zb

0

f (x) sin(n x=b)dx Rb

0 sin²(n x=b)dx = 2 b Zb

0

f (x) sin(n x=b)dx

olarak elde edildi¼gini biliyoruz. Özel olarak [0; 1] aral¬¼g¬üzerinde

c_n = Z1

0

f (x) sin(n x)dx R1

0 sin²(n x)dx = 2 Z1

0

f (x) sin(n x)dx; n = 1; 2;

olarak elde edilmektedir. Elde edilen cn de¼gerlerini (7.4) çözümümüzde yerine yazarak (7.1)-(7.3) probleminin çözümünü elde ederiz.

ÖRNEK 7.1.

u_t = 2u_xx; x2 (0; 1); t > 0 u(0; t) = 0 = u(1; t)

u(x; 0) = 1

ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger probleminin çözümünü belirleyiniz.

Çözüm.

Yukar¬daki i¸slemlerimizden, k = 2 için u(x; t) =

X1 n=1

c_nsin(n x)e ²ⁿ² ²^t

eldeederiz.

u(x; 0) = f (x) = 1 = X1 n=1

c_nsin(n x)

ba¸slang¬ç ¸sart¬ndan cnlerin f (x) = 1 fonksiyonunun [0; 1] aral¬¼g¬ndaki Fourier sinüs aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬olmas¬gerekti¼gini görüyoruz. O halde

(5)

¸

Sekil 7.1: Örnek 7.1 için elde edilen çözümün ilk N = 20 teriminin toplam¬.

c_n = 2 Z 1

0

f (x) sin(n x)dx

= 2 Z 1

0

sin(n x)dx

= 2

n (1 ( 1)ⁿ) elde ederiz. O halde verilen problemin çözümünü

u(x; t) = 2 X¹

n=1

1

n(1 ( 1)ⁿ) sin(n x)e ²ⁿ² ²^t (7.6) olarak elde ederiz. Elde etti¼gimiz seri çözümünün ilk N = 20 teriminden olu¸san k¬smi toplam¬n gra…¼gi ¸Sekil 7.1 ile verilmektedir.

¸

Sekil 7.1 den görülece¼gi üzere ba¸slang¬çta her noktada birim s¬cakl¬k bu- lunan cismin uç noktalar¬ aniden s¬f¬r birimlik s¬cakl¬kta sabit tutulmaya ba¸slanmaktad¬r. [0; 0:25] zaman diliminde cismin gittikçe so¼guyarak her yerde s¬f¬r birimlik s¬cakl¬k de¼gerine ula¸st¬¼g¬görülmektedir. Is¬n¬n termodi- namik yasalar(II. yasa) çerçevesinde s¬cak olan bölgeden so¼guk olan bölgeye do¼gru ilerledi¼gi gözlenmektedir.

(6)

¸

Sekil 7.1 de ba¸slang¬çta u(x; 0) = 1 de¼gerine e¸sit olmas¬ gereken çözüm de¼gerinin, bu de¼ger kom¸sulu¼gundaki sal¬n¬m¬, k¬smi toplam¬ için kullan¬lan ilk 20 terimini yak¬nsama için yeterli olmad¬¼g¬n¬ göstermektedir. x = 0 ve x = 1 noktalar¬ kom¸sulu¼gunda u(x; 0) = 1 de¼gerini a¸san çözüm de¼gerleri ise, ba¸slang¬ç de¼gerin Fourier aç¬l¬m¬nda olu¸san Gibbs olay¬ olarak de¼gerlendirilmektedir. Fourier sinüs aç¬l¬m¬ tan¬m gere¼gi [ 1; 0] aral¬¼g¬ üzerine tek olarak geni¸sletilen fonksiyonun [0; 1] aral¬¼g¬ üzerindeki k¬s¬tlamas¬d¬r.

Tek geni¸slemede ise [ 1; 0] aral¬¼g¬ üzerinde 1 de¼gerine e¸sit oldu¼gu için x = 0 ve dolay¬s¬yla periyodiklik gere¼gi olarak x = 1 noktas¬nda periyodik fonksiyon sürekli de¼gildir ve bu noktalar kom¸sulu¼gunda s¬çramalar söz konusudur.

ÖRNEK 7.2.

u_t = u_xx; x2 (0; 1); t > 0 u(0; t) = 0 = u(1; t)

u(x; 0) = x(1 x)

Çözüm.

Yukar¬da özetledi¼gimiz yöntemi takip ederek, k = 1 için

u(x; t) = X1 n=1

c_nsin(n x)e ⁿ² ²^t (7.7)

elde ederiz.

u(x; 0) = f (x) = x(1 x) = X1 n=1

c_nsin(n x)

ba¸slang¬ç ¸sart¬ndan cn’lerin f (x) = x(1 x)fonksiyonunun [0; 1] aral¬¼g¬ndaki Fourier sinüs aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬olmas¬gerekti¼gini görüyoruz. O halde

Z 1 0

sin²(n x)dx = 1=2

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

(7)

ve k¬smi integrasyonla Z

x sin(n x)dx = x

n cos(n x) + 1 n

Z

cos(n x)dx

= x

n cos(n x) + 1

n² ²sin(n x) Z

x²sin(n x)dx = x²

n cos(n x) + 2 n

Z

x cos(n x) Z

x cos(n x)dx = x

n sin(n x) 1 n

Z

sin(n x)dx

= x

n sin(n x) + 1

n² ² cos(n x) integrallerini göz önüne alarak

Z 1 0

x sin(n x)dx = ( 1)ⁿ Z 1 n

0

x cos(n x)dx = 1

n² ²(( 1)ⁿ 1) Z 1

0

x²sin(n x)dx = x²

n cos(n x)

1

0

+ 2 n

Z 1 0

x cos(n x)dx

= ( 1)ⁿ

n + 2

n³ ³(( 1)ⁿ 1) elde ederiz. Dolay¬s¬yla cn katsay¬lar¬n¬

c_n = R1

0 f (x) sin(n x)dx R1

0 sin²(n x)dx

= 2 Z 1

0

x(1 x) sin(n x)dx

= 2 Z 1

0

x sin(n x)dx 2 Z 1

0

x²sin(n x)dx

= 2( 1)ⁿ

n 2( 1)ⁿ

n + 4

n³ ³(1 ( 1)ⁿ))

= 4

n³ ³(1 ( 1)ⁿ))

(8)

¸

olarak elde ederiz. Elde etti¼gimiz katsay¬lar¬ (7.7) denkleminde yazmak suretiyle verilen problemin çözümünü

u(x; t) = 4

3

X1 n=1

1

n³(1 ( 1)ⁿ) sin(n x)e ⁿ² ²^t (7.8) olarak elde ederiz.

Elde etti¼gimiz seri çözümünün ilk N = 20 teriminden olu¸san k¬smi toplam¬n gra…¼gi ¸Sekil 7.2 ile verilmektedir.

¸Sekil 7.2 ve (7.8) ile verilen analitik çözümden t ! 1 için u(x; t) ! 0;8x 2 (0; 1) oldu¼gu görülmektedir.

Bu sonuç teorik olarak da do¼grudur:

f_n(x; t) := 1

n³(1 ( 1)ⁿ) sin(n x)e ⁿ² ²^t olarak tan¬mlayal¬m: Her t > 0 ve her x 2 (0; 1) için

1

n³(1 ( 1)ⁿ) sin(n x)e ⁿ² ²^t < 2 n³

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(9)

olup p serisi olarak bilinen X1 n=1

1 n³ <1 serisi yak¬nsakt¬r.

f_N(x; t) = 4

3

XN n=1

1

n³(1 ( 1)ⁿ) sin(n x)e ⁿ² ²^t olmak üzere fN ler sürekli ve

n!1lim f_N(x; t) = u(x; t)

olup, Weierstrass M testi gere¼gi yak¬nsama düzgündür. Ayr¬ca sürekli fonksiyonlar¬n düzgün yak¬nsad¬¼g¬ u(x; t) çözümü de süreklidir.

O halde genelde integraller için ifade edilen ancak toplamlar için de geçerli olan Bask¬n Yak¬nsakl¬k Teoremi gere¼gi her x için limit ve toplam¬

yer de¼gi¸stirebiliriz:

t!1lim u(x; t) = lim

t!1

X1 n=1

f_n(x; t) = X1 n=1

t!1lim f_n(x; t) = 0

Ayr¬ca

u_t = 4

3

@

@t X1 n=1

1

n³(1 ( 1)ⁿ) sin(n x)e ⁿ² ²^t

= 4

3

X1 n=1

1

n³(1 ( 1)ⁿ) sin(n x)d

dte ⁿ² ²^t

= 4X¹

n=1

1

n(1 ( 1)ⁿ) sin(n x)e ⁿ² ²^t;

(10)

u_xx = 4

3

@²

@x² X1 n=1

1

n³(1 ( 1)ⁿ) sin(n x)e ⁿ² ²^t

= 4

3

X1 n=1

1

n³(1 ( 1)ⁿ) d²

dx² sin(n x)e ⁿ² ²^t

= 4 X¹

n=1

1

n(1 ( 1)ⁿ) sin(n x)e ⁿ² ²^t

elde ederiz ve bu sonuçlar¬kar¸s¬la¸st¬rd¬¼g¬m¬zda (7.8) ile tan¬ml¬u(x; t) nin denklemin çözümü oldu¼gunu görürüz.

Uyar¬. Teknik olarak türev operatörü ve sonsuz toplam her zaman yukar¬da gerçekle¸stirdi¼gimiz üzere yer de¼gi¸stiremez, gerek 7.8 serisinin düzgün yak¬nsakl¬¼g¬ ve gerekse toplam içerisine uygulanan türev oper- atörü ile elde edilen serilerin düzgün yak¬nsakl¬¼g¬söz konusu yer de¼gi¸stirmeyi mümkün k¬lan yeter ¸sartlard¬r.

lim_t!1u(x; t) = 0sonucu cismin s¬f¬r birim s¬cakl¬kta tutulan uç noktalar¬ndan ¬s¬kaybedece¼gi dü¸sünüldü¼günde beklenen bir …ziksel sonuçtur.

t = 0için

u(x; 0) = x(1 x) = 4

3

X1 n=1

1

n³(1 ( 1)ⁿ) sin(n x) (7.9) Fourier sinüs aç¬l¬m¬n¬ elde ederiz. f (x) = x(1 x) fonksiyonunun [ 1; 0]aral¬¼g¬na tek geni¸slemesi ile elde edilen geni¸sletilmi¸s ve 2 periy- otlu fonksiyon sürekli ve parçal¬ düzgündür. Dolay¬s¬yla Gibbs olay¬

beklenmemektedir. Nitekim Örnek 7.1 in aksine t = 0 an¬ndaki çözüm de¼gerlerinde s¬çramalar gözükmemektedir. Ayr¬ca Weierstrass M-testinden (7.9) ile verilen serinin x(1 x)fonksiyonuna düzgün yak¬nsak oldu¼gu kolayca görülebilir.

Al¬¸st¬rmalar 7.1. 1-4 ile verilen problemlerin çözümlerini belirleyiniz.

1.

ut = uxx; x2 (0; 1); t > 0 u(0; t) = 0 = u(1; t)

u(x; 0) = 2 sin(

2x) cos(

2x)

(11)

2.

u_t = u_xx; x2 (0; 1); t > 0 u(0; t) = 0 = u(1; t)

u(x; 0) = 1=2 3.

u_t = u_xx; x2 (0; 2); t > 0 u(0; t) = 0 = u(2; t)

u(x; 0) = 1 0 x < 1

2 1 x 2

4.

ut = 4uxx; x2 (0; 2); t > 0 u(0; t) = 0 = u(2; t)

u(x; 0) = x(2 x)

5. A¸sa¼g¬da verilen çözümleri yukar¬da verilen problemlerle e¸sle¸stiriniz.

(a)

u(x; t) = 1X¹

n=1

(1 ( 1)ⁿ)

n sin(n x)e ⁿ² ²^t (b)

u(x; t) = e ²^tsin( x) (c)

u(x; t) = 1 X¹

n=1

1

n 2 cos(n

2 ) 4( 1)ⁿ+ 2 e ^{n2 2t}⁴ sin(n x 2 ) (d)

u(x; t) = 16

3

X1 n=1

(1 ( 1)ⁿ)

n³ sin(n x

2 )e ⁿ² ²^t

(12)

6. A¸sa¼g¬da verilen gra…kleri Soru 5 te verilen serilerle ve dolay¬s¬yla da Soru 1 de verilen problemlerle e¸sle¸stiriniz.

(a)

7.2 Homojen S¬n¬r ¸Sartl¬ Neumann Prob- lemleri

ÖRNEK 7.3.

u_t = u_xx; x2 (0; 1); t > 0 u_x(0; t) = 0 = u_x(1; t)

u(x; 0) = sin( x)

Çözüm.

u = X(x)T (t)

(13)

7.2 Homojen S¬n¬r ¸Sartl¬ Neumann Problemleri 13

biçiminde arad¬¼g¬m¬z çözüm bile¸senleri

X⁰⁰+ X = 0; X⁰(0) = X⁰(1) = 0 T⁰+ T = 0

sistemini sa¼glar.

X bile¸senine ait denklem Neumann s¬n¬r ¸sartl¬Sturm-Liouville problemi olup, özde¼ger ve özfonksiyonlar¬5. Bölümde inceledi¼gimiz üzere

0 = 0; _n= n² ²; n = 1; 2;

X0 = 1=2; Xn= cos(n x); n = 1; 2;

dir. O halde

T_n(t) = e ⁿ^t; n = 0; 1;

den

u₀(x; t) = X₀(x)T₀(t) = 1=2;

un(x; t) = Xn(x)Tn(t) = cos(n x)e ⁿ² ²^t; n = 1; 2;

ve dolay¬s¬yla bu çözümlerin lineer kombinasyonu olarak

u(x; t) = 1 2c₀ +

X1 n=1

c_ncos(n x)e ⁿ² ²^t

elde ederiz. Öte yandan ba¸slang¬ç ¸sart¬n¬n da sa¼glanmas¬için

u(x; 0) = f (x) = sin( x) = 1 2c₀+

X1 n=1

c_ncos(n x)

elde ederiz. O halde cn ler f (x) = sin( x) fonksiyonunun [0; 1] aral¬¼g¬ üz- erinde Fourier cosinüs aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬d¬r:

cn = 2 Z 1

0

f (x) cos(n x)dx

= 2 Z 1

0

sin( x) cos(n x)dx; n = 0; 1;

(14)

O halde c₀ = 2

Z 1 0

sin( x)dx = 2 1

cos( x)j¹0 = 4

; c₁ = 2

Z 1 0

sin( x) cos( x)dx = Z 1

0

sin(2 x)dx = 1

2 (cos(2 x)j¹0 = 0

ve Z 1

0

sin( x) cos(n x)dx = _(n2¹1) (1 + ( 1)ⁿ) n = 2; 3;

elde ederiz. O halde c₀ = 4

; c₁ = 0;

cn = 2 1

(n² 1)(1 + ( 1)ⁿ); n = 2; 3;

elde ederiz. Elde etti¼gimiz katsay¬lar¬yerine yazarak u(x; t) = 1

2c₀+ X1 n=1

c_ncos(n x)e ⁿ² ²^t (7.10)

= 2 2X¹

n=2

1

n² 1(1 + ( 1)ⁿ) cos(n x)e ⁿ² ²^t

çözümünü elde ederiz. Elde etti¼gimiz seri çözümünün ilk N = 10 teriminden olu¸san toplam¬n [0; 0:25] zaman dilimine ait gra…¼gi ¸Sekil 7.3 ile verilmektedir.

Hat¬rlatma 7.1. f fonksiyonunun [a; b] aral¬¼g¬ndaki ortalama de¼gerinin

f_ort = 1 b a

Z b a

f (x)dx ile verildi¼gini hat¬rlayal¬m.

¸Sekil 7.3 ve 7.10 ile verilen analitik çözümden t ! 1 için u(x; t)! 1

(1 0) Z 1

0

sin( x)dx = 1

cos( x)j¹0 = 2

;

oldu¼gunu, yani homojen Neumann s¬n¬r ¸sartlar¬ile u(x; t) çözümümüz u(x; 0) = sin( x)ba¸slang¬ç fonksiyonunun aral¬k üzerindeki ortalama de¼gerine yak¬n- samaktad¬r. Bu sonuç sadece bu örnek için de¼gil, homojen Neumann s¬n¬r

¸sartl¬her problem için do¼grudur(Al¬¸st¬rma).

(15)

¸

ÖRNEK 7.4.

u_t = u_xx; x2 (0; 2); t > 0 u_x(0; t) = 0 = u_x(2; t)

u(x; 0) = 1 1=4 x 3=4 0 di¼ger x ler ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger probleminin çözümünü belirleyiniz.

Çözüm.

Örnek 7.3 den

u = X(x)T (t) biçiminde arad¬¼g¬m¬z çözüm bile¸senleri

X⁰⁰+ X = 0; X⁰(0) = X⁰(2) = 0 T⁰+ T = 0

sistemini sa¼glar.

(16)

X bile¸senine ait denklem [0; b] = [0; 2] aral¬¼g¬ üzerinde Neumann s¬n¬r

¸sartl¬Sturm-Liouville problemi olup, özde¼ger ve özfonksiyonlar¬5. Bölümde inceledi¼gimiz üzere

0 = 0; _n = (n =2)²; n = 1; 2;

X₀ = 1=2; X_n= cos(n x=2); n = 1; 2;

dir. O halde k = 1 için

T_n(t) = e ⁿ^kt= e ^{(n =2)}²^t; n = 0; 1;

den

u0(x; t) = X0(x)T0(t) = 1=2;

u_n(x; t) = X_n(x)T_n(t) = cos(n x=2)e ^{(n =2)}²^t; n = 1; 2;

ve dolay¬s¬yla bu çözümlerin lineer kombinasyonu olarak

u(x; t) = 1 2c₀+

X1 n=1

c_ncos(n x=2)e ^{(n =2)}²^t

elde ederiz. Öte yandan ba¸slang¬ç ¸sart¬n¬n da sa¼glanmas¬için

u(x; 0) = f (x) = 1 1=4 x 3=4 0 di¼ger x ler = 1

2c₀+ X1 n=1

c_ncos(n x=2) (7.11)

elde ederiz. O halde cn ler [0; b] = [0; 2] aral¬¼g¬ üzerinde f fonksiyonunun Fourier kosinüs aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬d¬r:

c_n = 2 b

Z b 0

f (x) cos(n x=b)dx

= 2

2 Z 2

0

f (x) cos(n x=2)dx; n = 0; 1;

O halde

c₀ = Z 2

0

f (x)dx = Z 3=4

1=4

dx = 1 2;

(17)

ve

c_n = Z 2

0

f (x) cos(n x=2)dx

=

Z 3=4 1=4

cos(n x=2)dx

= 2

n sin(n x 2 )

3=4

1=4

= 2

n (sin(3n =8) sin(n =8)); n = 1; 2;

elde ederiz. Elde etti¼gimiz katsay¬lar¬yerine yazarak u(x; t) = 1

2c₀+ X1 n=1

c_ncos(n x=2)e ^{(n =2)}²^t (7.12)

= 1

4 + 2 X¹

n=1

sin(3n =8) sin(n =8))

n cos(n x=2)e ^{(n =2)}²^t çözümünü elde ederiz. Elde etti¼gimiz seri çözümünün ilk N = 50 teriminden olu¸san toplam¬n [0; 0:75] zaman dilimine ait gra…¼gi ¸Sekil 7.4 ile verilmektedir.

¸Sekil 7.4 ve 7.12 ile verilen çözümden t ! 1 için u(x; t)! 1

2 Z 2

0

f (x)dx = 1 2

Z 3=4 1=4

dx = 1=4

oldu¼gunu gözlemliyoruz, yani homojen Neumann s¬n¬r ¸sartlar¬ile u(x; t) çözümümüz ba¸slang¬ç fonksiyonunun aral¬k üzerindeki ortalama de¼gerine yak¬nsamaktad¬r.x = 1=4ve x = 3=4 noktas¬kom¸sulu¼gunda ba¸slang¬çta olu¸san ve ba¸slang¬ç de¼gerinden yukar¬s¬çrama ve a¸sa¼g¬dü¸sü¸sler ba¸slang¬ç fonksiyonunun Fourier aç¬l¬m¬nda olu¸san Gibbs olay¬olarak de¼gerlendirilmektedir.

Al¬¸st¬rmalar 7.2. 1-4 ile verilen problemlerin çözümlerini belirleyiniz.

1.

u_t = u_xx; x2 (0; 1); t > 0 u_x(0; t) = 0 = u_x(1; t)

u(x; 0) = 1

(18)

¸

2.

u_t = u_xx; x2 (0; 2); t > 0 u_x(0; t) = 0 = u_x(2; t)

u(x; 0) = cos( x=2) 3.

u_t = 3u_xx; x2 (0; 1); t > 0 u_x(0; t) = 0 = u_x(1; t)

u(x; 0) = 1 x 4.

u_t = u_xx; x2 (0; 2); t > 0 u_x(0; t) = 0 = u_x(2; t)

u(x; 0) = 0 0 x < 1

1 1 x 2

(19)

5. A¸sa¼g¬da verilen çözümleri yukar¬da verilen problemlerle e¸sle¸stiriniz.

(a)

u(x; t) = 1 2

2 X¹

n=1

1 n sin(n

2 ) cos(n x

2 )e ^{n2 2}⁴ ^t (b)

u(x; t) = 1 (c)

u(x; t) = 1 2 + 2

2

X1 n=1

(1 ( 1)ⁿ) cos(n x)e ³ ²ⁿ²^t n²

(d)

u(x; t) = e ²⁼⁴cos( x=2)

6. A¸sa¼g¬da verilen gra…kleri Soru 5 te verilen serilerle ve dolay¬s¬yla da Soru 1 de verilen problemlerle e¸sle¸stiriniz.

(a)

(20)

7.3 Homojen olmayan Dirichlet Problemleri

Bu bölümde en genel

u_t = ku_xx+ g(x); 0 < x < 1; t > 0

u(0; t) = ; u(1; t) = ; t > 0 (7.13) u(x; 0) = f (x); 0 x 1

problemini gözönüne al¬yoruz, burada ve n¬n ¸simdilik sabit oldu¼gunu kabul ediyoruz. Problemin homojen olmamas¬ ifadesi ile denklemin veya s¬n¬r ¸sartlar¬n¬n homojen olmamas¬ durumunu kastediyoruz. Problemi çö- zümünü elde edebilece¼gimiz homojen Dirichlet ¸sartl¬ homojen denklemden olu¸san bir probleme indirgemek istiyoruz. Bu amaçla

u(x; t) = v(x; t) + s(x) biçiminde çözüm arayarak, v için

v_t= kv_xx+ ks⁰⁰(x) + g(x) elde ederiz. s(x) fonksiyonunu

ks⁰⁰(x) + g(x) = 0

s(0) = ; s(1) =

olarak belirleyebiliriz. O halde (7.13) problemimiz homojen denklem ve homojen s¬n¬r ¸sartlar¬ndan olu¸san

v_t = kv_xx v(0; t) = 0 = v(1; t) v(x; 0) = f (x) s(x)

problemine dönü¸sür ve bu problemi nas¬l çözebilece¼gimizi biliyoruz.

ÖRNEK 7.5.

u_t = u_xx+ 1; 0 < x < 1; t > 0 u(0; t) = 0; u(1; t) = 0;

u(x; 0) = sin( x) problemini çözünüz.

(21)

7.3 Homojen olmayan Dirichlet Problemleri 21

Çözüm.

u(x; t) = v(x; t) + s(x) biçiminde çözüm arayal¬m.

u_t = v_t;

u_xx+ 1 = v_xx+ s⁰⁰(x) + 1 ile v için

v_t= v_xx+ s⁰⁰(x) + 1 elde ederiz.

s(x) fonksiyonunu

s⁰⁰(x) + 1 = 0

s(0) = s(1) = 0

¸sartlar¬n¬sa¼glayacak biçimde arad¬¼g¬m¬zda, s(x) = 1

2x(1 x) olarak elde ederiz. O halde v için

v_t = v_xx

v(0; t) = 0 = v(1; t)

v(x; 0) = f (x) s(x) = sin( x) 1

2x(1 x)

homojen problemini elde ederiz. v genel çözümünü, yukar¬daki i¸slemlere benzer olarak

v(x; t) = X1 n=1

c_nsin(n x)e ⁿ² ²^t olarak elde ederiz.

v(x; 0) = X1 n=1

cnsin(n x) = sin( x) 1

2x(1 x)

(22)

ba¸slang¬ç ¸sart¬ndan

c_n = 2 Z1

0

sin( x) 1

2x(1 x) sin(n x)dx

olarak elde ederiz. Buradan kolayl¬kla kontrol edilebilen integrasyon i¸slemleri sonucunda

c₁ =

3 4

3

c_n = 2

n³ ³(( 1)ⁿ 1); n = 2; 3;

elde ederiz. O halde problemimizin çözümünü u(x; t) = 1

2x(1 x) +

3 4

3 sin( x)e ²^t (7.14)

+ 2

3

X1 n=2

1

n³(( 1)ⁿ 1) sin(n x)e ⁿ² ²^t (7.15) olarak elde ederiz. u(x; t) çözümünün ilk N = 10 teriminden olu¸san k¬smi toplam gra…¼gi ¸Sekil 7.5 ile verilmektedir.

¸Sekilden ve (7.14) ile verilen analitik çözümden t ! 1 için u(x; t) !

1

2x(1 x) oldu¼gunu gözlemliyoruz.

ÖRNEK 7.6.

u_t = u_xx; 0 < x < 1; t > 0 u(0; t) = 1; u(1; t) = 1 u(x; 0) = 0

homojen olmayan Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬difüzyon probleminin çözümünü belirleyiniz.

Çözüm.

Yukar¬da özetlenen yöntem ile

u(x; t) = v(x; t) + s(x)

(23)

¸

Sekil 7.5: Örnek 7.5 e ait çözümün N = 10 terimli k¬smi toplam¬n gra…¼gi

biçiminde arad¬¼g¬m¬z çözüm için s⁰⁰(x) = 0

s(0) = 1; s(1) = 1 s¬n¬r ¸sartlar¬ile

s(x) = 1 2x

elde ederiz. O halde homojen s¬n¬r ¸sart¬n¬sa¼glayan problemimizi v_t = v_xx;

v(0; t) = 0 = v(1; t) (7.16)

v(x; 0) = s(x) = 2x 1 olarak ifade edebiliriz.

v(x; t) = X(x)T (t) biçiminde arad¬¼g¬m¬z çözüm için

X⁰⁰+ X = 0; X(0) = X(1) = 0 T⁰+ T = 0

(24)

elde ederiz. O halde

n = n² ²; X_n(x) = sin(n x); n = 1; 2;

ile

T_n(t) = e ⁿ^t= e ⁿ² ²^t ve

v_n(x; t) = sin(n x)e ⁿ² ²^t; n = 1; 2;

ile

v(x; t) = X1 n=1

c_nv_n(x; t) = X1 n=1

c_nsin(n x)e ⁿ² ²^t elde ederiz. Ba¸slang¬ç ¸sart¬ile

v(x; 0) = 2x 1 = X1 n=1

c_nsin(n x)

sa¼glanmal¬d¬r. O halde cn ler 2x 1 fonksiyonunun [0; 1] aral¬¼g¬üzerindeki Fourier sinüs aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬olmal¬d¬r:

c_n= 2 Z 1

0

(2x 1) sin(n x)dx; n = 1; 2;

elde ederiz. Fakat Z 1

0

(2x 1) sin(n x)dx = 2x 1

n cos(n x)

1

0

! + 2

n Z 1

0

cos(n x)dx

= ( 1)ⁿ+ 1

n ; n = 1; 2;

olup,

c_n= 2( 1)ⁿ+ 1

n ; n = 1; 2;

elde ederiz. O halde v(x; t) =

X1 n=1

c_nsin(n x)e ⁿ² ²^t

= 2 X¹

n=1

( 1)ⁿ+ 1

n sin(n x)e ⁿ² ²^t

(25)

¸

Sekil 7.6: Örnek 7.6 için N = 50 ile çözüme ait k¬smi toplam gra…¼gi

ile

u(x; t) = v(x; t) + s(x) (7.17)

= 2X¹

n=1

( 1)ⁿ+ 1

n sin(n x)e ⁿ² ²^t 2x + 1

çözümünü elde ederiz. Elde etti¼gimiz u(x; t) çözümünün [0; 0:075] zaman dilimi içerisindeki gra…¼gi ¸Sekil 7.6 ile verilmektedir.

¸Sekil 7.6 ve (7.17) ile verilen analitik çözümden t ! 1 için u(x; t) ! 2x + 1 oldu¼gu görülmektedir. Bu sonuca göre s¬cakl¬k iletken tel içerisinde do¼grusal olarak de¼gi¸sen ve zamandan ba¼g¬ms¬z çözüme yak¬nsamaktad¬r.

(26)

7.4 Homojen olmayan Neumann Problem- leri

Bu bölümde

u_t = ku_xx+ g(x); 0 < x < 1; t > 0

u_x(0; t) = ; u_x(1; t) = (7.18)

u(x; 0) = f (x)

ile tan¬mlanan homojen olmayan s¬n¬r ¸sartl¬Neumann probleminin göz önüne al¬yoruz, burada ve n¬n ¸simdilik sabit oldu¼gunu kabul ediyoruz. Öncelikle problemi homojen s¬n¬r ¸sartl¬ Neumann problemine dönü¸stürmek istiyoruz.

Dirichlet problemlerinde oldu¼gu üzere

u(x; t) = v(x; t) + s(x) (7.19) biçiminde çözüm ar¬yoruz. Bu çözüm formundan

u_t = v_t;

u_xx = v_xx+ s⁰⁰(x);

u(x; 0) = v(x; 0) + s(x) elde ederiz. (7.18) problemini v cinsinden ifade edelim:

u_t = ku_xx+ g(x) ) v^t= k(v_xx+ s⁰⁰(x)) + g(x) u_x(0; t) = ) v^x(0; t) + s⁰(0) =

u_x(1; t) = ) v^x(1; t) + s⁰(1) = u(x; 0) = f (x) ) v(x; 0) + s(x) = f(x) Homojen s¬n¬r ¸sartl¬problemi çözebildi¼gimiz için

v_x(0; t) = v_x(1; t) = 0 kabul edelim. s(x) için ise verilen s¬n¬r ¸sartlar¬n¬yani

s⁰(0) = ; s⁰(1) =

¸sartlar¬n¬sa¼glayan en dü¸sük dereceli polinom olarak s(x) = x + ( )

2 x²

(27)

7.4 Homojen olmayan Neumann Problemleri 27

seçelim. O halde (7.18) problemine kar¸s¬l¬k gelen homojen s¬n¬r ¸sartl¬problemimizi

vt = kvxx+ G(x);

v(x; 0) = F (x) := f (x) s(x) (7.20) v_x(0; t) = 0 = v_x(1; t)

olarak ifade elde ederiz, burada G(x) = k( ) + g(x): Böylece (7.18) ile verilen nonhomojen s¬n¬r ¸sartl¬ homojen Neumann problemini (7.20) ile verilen homojen s¬n¬r ¸sartl¬probleme dönü¸stürmü¸s olduk.

Gözlem 7.1. Yukar¬da özetlenen prosedür,

= (t); = (t); g = g(x; t) olmas¬durumu için de benzer biçimde uygulanabilir.

7.4.1 Özfonksiyon aç¬l¬m yöntemi

Özfonksiyon aç¬l¬m yöntemi ad¬verilen yöntem ile, homojen s¬n¬r ¸sartl¬fakat homojen olmayan denklemden olu¸san 7.20 Neuman problemi için bu probleme kar¸s¬l¬k gelen

v_t = kv_xx

v_x(0; t) = 0 = v_x(1; t)

homojen Neumann probleminin özfonksiyonlar¬cinsinden v(x; t) = 1

2a₀(t) + X1 n=1

a_n(t) cos(n x) (7.21)

biçiminde çözüm aran¬r.

v_t = 1

2a⁰₀(t) + X1 n=1

a⁰_n(t) cos(n x);

vxx = n² ² X1 n=1

an(t) cos(n x);

(28)

ifadelerini denklemde yazarak 1

2a⁰₀(t) + X1 n=1

a⁰_n(t) + kn² ²a_n(t) cos(n x) = G(x)

elde ederiz. Seçilen bir n 0için her iki yan¬cos(n x) ile çarp¬p, [0; 1] aral¬¼g¬

üzerinde integral alarak

a⁰_n(t) + kn² ²a_n(t) = G_n; n = 0; 1; (7.22) elde ederiz, burada

G_n= 2 Z1

0

G(x) cos(n x)dx; n = 0; 1;

elde ederiz. Öte yandan v(x; 0) = 1

2a₀(0) + X1 n=1

a_n(0) cos(n x) = F (x) (7.23)

ba¸slang¬ç ¸sart¬ndan yine her iki yan¬seçilen n 0için cos(n x) ile çarparak [0; 1] aral¬¼g¬üzerinden integral almak suretiyle

a_n(0) = 2 Z1

0

F (x) cos(n x)dx; n = 0; 1; (7.24)

elde ederiz.

(7.22)-(7.24) ba¸slang¬ç de¼ger problemlerini çözerek, an(t),n = 0; 1;

fonksiyonlar¬n¬ ve dolay¬s¬yla da çözümün v(x; t) bile¸senini belirleriz. s(x) bile¸senini de ilave etmek suretiyle verilen problemin çözümünü belirleriz.

ÖRNEK 7.7.

u_t = u_xx

u_x(0; t) = 1; u_x(1; t) = 0 u(x; 0) = 1

homojen olmayan probleminin çözümünü belirleyiniz.

(29)

7.4 Homojen olmayan Neumann Problemleri 29

Çözüm.

1. Ad¬m: Problemin homojen s¬n¬r ¸sartl¬probleme dönü¸stürülmesi u(x; t) = v(x; t) + s(x)

biçiminde çözüm arayarak,

ut = vt;

u_xx = v_xx+ s⁰⁰(x) u_x(0; t) = v_x(0; t) + s⁰(0);

u_x(1; t) = v_x(1; t) + s⁰(1) ile

s⁰(0) = 1; s⁰(1) = 0

¸sartlar¬n¬ sa¼glayan en dü¸sük dereceli s(x) polinomunu belirledi¼gimizi kabul edelim. Bu durumda homojen s¬n¬r ¸sartl¬ ve fakat homojen olmayan

v_t = v_xx + s⁰⁰(x) v_x(0; t) = 0; v_x(1; t) = 0

v(x; 0) = u(x; 0) s(x) problemini elde ederiz.

2. Ad¬m: Zaman ba¼g¬ms¬z s(x) bile¸senin belirlenmesi: s(x) için verilen s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼glayan en küçük dereceli polinomu belirlemeye çal¬¸sal¬m:

s(x) = ax²+ bx biçiminde ikinci dereceden polinom arayal¬m.

s⁰(x) = 2ax + b olup,

s⁰(0) = 1) b = 1 ve

s⁰(1) = 2a + b = 2a + 1 = 0) a = 1=2