Bu bölümde mutlak kararl¬l¬k kriterini tan¬tarak, Asimtotik kararl¬denge noktas¬na sahip

B ¨ol ¨um 7

Tek Ad¬m Sonlu Fark Yöntemlerinin Mutlak Kararl¬l¬¼ g¬

Bir yöntemin kararl¬l¬¼g¬, önceki bölümde incelendi¼ gi üzere sabit bir noktada ad¬m uzunlu¼ gu s¬f¬ra yakla¸ s¬rken uyumlu bir yöntemle elde edilen say¬sal çözümün analitik çözüme yak¬nsamas¬n¬garanti eden bir kriterdir. Bu bölümde inceleyece¼ gimiz mutlak kararl¬l¬k kriteri ise, özellikle hassas problem olarak adland¬r¬lan ve s¬n¬rl¬ çözüme sahip problemler için büyük iterasyonlar ile say¬sal yöntemin s¬n¬rl¬çözümler üretebilmesi yetene¼ gini test yapan bir kri- terdir.

Bu bölümde mutlak kararl¬l¬k kriterini tan¬tarak, Asimtotik kararl¬denge noktas¬na sahip

y ⁰ = f (y); y(0) = y ₁ 2 R

skaler problemi ve yine asimtotik kararl¬denge noktas¬na sahip

Y ⁰ = f (Y ); Y (0) = Y ₁ 2 R ⁿ

sistemi için tek ad¬m yöntemi olarak bilinen ileri Euler, geri Euler, Ya-

muk, Runge-Kutta II, Runge-Kutta IV yöntemlerinin mutlak karar-

l¬l¬k analizlerini, denge noktalar¬kom¸ sulu¼ gunda elde edilen lineer mod-

eller yard¬m¬yla gerçekle¸ stiriyoruz.

7.1 Skaler problemler için Mutlak Kararl¬l¬k analizi

Öncelikle

y 0 = f(y) (7.1)

y(t ₁ ) = y ₁ 2 R

problemini gözönüne alal¬m. (7.1) probleminin y = d denge noktas¬na sahip oldu¼ gunu kabul edelim. (f (d) = 0; d 2 R olsun.)

Bir denge noktas¬n¬n kom¸ sulu¼ gundaki çözüm e¼ grilerinin t nin artan de¼ ger- leri için

denge noktas¬kom¸ sulu¼ gunda kalmas¬durumunda, denge noktas¬na kararl¬, denge noktas¬na yakla¸ smas¬durumunda asimtotik kararl{ ve

uzakla¸ smas¬durumunda ise karars{z denge noktas¬ad¬verildi¼ gini ha- t¬rlayal¬m.

Asimtotik kararl¬ denge noktas¬ durumunda çözüm e¼ grileri t nin artan de¼ gerleri için denge noktas¬na yakla¸ saca¼ g¬ndan, say¬sal yöntemle elde edilen yakla¸ s¬mlar¬n da benzer davran¬¸ s¬göstermesini bekleriz.

Diferensiyel denklemler derslerinden, bir nonlineer ba¸ slang¬ç de¼ ger prob- leminin denge noktas¬kom¸ sulu¼ gundaki çözüm e¼ grilerinin davran¬¸ s¬n¬n, genelde denge noktas¬nda lineerle¸ stirmi¸ s ba¸ slang¬ç de¼ ger problemi yard¬m¬yla karak- terize edildi¼ gini hat¬rlayal¬m. (7.1) probleminin y = d noktas¬kom¸ sulu¼ gun- daki lineerle¸ stirilmi¸ si

y 0 = f(d) + f0(d)(y d) = a(y d) veya u = y d de¼ gi¸ skeni ile

u 0 = au; (7.2)

u(t ₁ ) = u ₁ olarak ifade edilir(u 1 = y ₁ d).

Denge noktas¬n¬n asimtotik kararl¬olmas¬a < 0 olmas¬n¬gerektirir. t ! 1 için u ! 0 oldu¼ gundan n ! 1 için elde edilen U ⁿ say¬sal yakla¸ s¬mlar¬

için de U n ! 0 olmas¬beklenir.

E rh a n C o¸ s k u n , K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a tik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

7.1 Skaler problemler için Mutlak Kararl¬l¬k analizi 3

7.1.1 Skaler problemler için · Ileri Euler yönteminin Mutlak Kararl¬l¬k analizi

Ileri Euler yöntemi (7.2) problemine uyguland¬¼ · g¬nda

U _n+1 = (1 + ah)U _n = (1 + ah) ⁿ U ₁ (7.3) elde edilir. U n ! 0, n ! 1 için ise j1 + ahj < 1 olmas¬yani ah 2 ( 2; 0) olmas¬gerekir.

TANIM 7.1. Asimtotik kararl¬denge noktas¬kom¸ sulu¼gundaki say¬sal çözümün analitik çözümle benzer davran¬¸ s gösterdi¼gi ve (7.3) deki ah de¼gerlerinin yer ald¬¼g¬ ( 2; 0) aral¬¼g¬na ileri Euler yöntemin reel eksen üzerindeki mutlak kararl{l{k b• olgesi ad¬verilir.

TANIM 7.2. x = ah için (7.3) de 1 + ah terimine kar¸ s¬l¬k gelen K(x) = 1 + x

fonksiyonuna ileri Euler yönteminin mutlak kararl¬l¬k fonksiyonu ad¬verilir.

x 2 ( 2; 0) için jK(x)j < 1 olup, (7.3) iterasyonu ( 2; 0) aral¬¼g¬ndaki x = ah de¼gerleri için yak¬nsar.

Öte yandan mutlak kararl¬l¬k bölgesi, ilgili sabit nokta iterasyonunun yak¬nsakl¬k kriteri yard¬m¬yla da elde edilebilir. Bunun için Bölüm 4 ten a¸ sa¼ g¬daki özelli¼ gi hat¬rlayal¬m:

Hat¬rlatma 7.1.

U _n+1 = g(U _n ) (7.4)

ile tan¬mlanan iterasyonun g nin bir d sabit noktas¬na yak¬nsamas¬ için, d nin yeterince yak¬n kom¸ sulu¼gunda bulunan U 1 ba¸ slang¬ç de¼geri ile

jg ⁰ (d) j < 1

kriteri sa¼glanmal¬d¬r. Ayr¬ca 0 < g ⁰ (d) < 1 için iterasyon monoton ve 1 <

g ⁰ (d) < 0 için ise iterasyon sal¬n¬ml¬olarak yak¬nsakt¬r.

Gözlem 7.1. (7.3) iterasyonu g(y) = (1 + ah)y ile (7.4) biçiminde ifade edilebilir. O halde g ⁰ (y) = (1 + ah) olup, 0 < 1 + ah < 1 veya 1 < ah < 0;

yani 0 < h < 1=jaj için iterasyon monoton yak¬nsakt¬r. Öte yandan 1 <

1 + ah < 0 veya 2 < ah < 1; yani 1= jaj < h < 2=jaj için iterasyon

sal¬n¬ml¬ yak¬nsakt¬r. Sonuç olarak ah 2 ( 2; 0) için (7.4) iterasyonu U ¹

de¼gerinden ba¼g¬ms¬z olarak u = 0 denge noktas¬na yak¬nsakt¬r.

Gözlem 7.2. Literatürde mutlak kararl¬l¬k analizi lineer model problemler üzerinden gerçekle¸ stirilir. Öte yandan ileri Euler yöntemi do¼grudan (7.1) nonlineer problemine uyguland¬¼g¬nda,

Y _i+1 = Y _i + hf (Y _i ); i = 1; 2; ::: (7.5)

Y ₁ = y(0) (7.6)

elde edilir. Bu iterasyona ait iterasyon fonksiyonu g(y) = y + hf (y)

olmak üzere, (7.5) iterasyonun yak¬nsamas¬için d ye yeterince yak¬n Y 1 ile jg ⁰ (d) j = j1 + hf ⁰ (d) j < 1

veya f ⁰ (d)h 2 ( 2; 0) seçilmelidir. E¼ger Y ¹ ba¸ slang¬ç de¼geri denge noktas¬na yeterince yak¬n de¼gilse, bu taktirde her ad¬mda jg ⁰ (Y _i ) j < 1 ¸sart¬n¬sa¼glayacak biçimde

h _i f ⁰ (Y _i ) 2 ( 2; 0) de¼gi¸ sken h i ad¬m uzunluklar¬seçilebilir.

ÖRNEK 7.1.

y ⁰ = y(1 50y); y(0) = 5 (7.7)

ba¸ slang¬ç de¼ ger problemi için

y = d = 1=50 nin asimtotik kararl¬ bir denge noktas¬ oldu¼ gunu gös- teriniz,

söz konusu denge noktas¬ kom¸ sulu¼ gundaki lineer modeli belirleyiniz.

Lineer modele uygulanan ileri Euler yönteminin – monoton olarak yak¬nsamas¬ve ayr¬ca

– sal¬n¬ml¬olarak yak¬nsamas¬için h ad¬m uzunlu¼ gu en fazla ne ola- bilir?

Çözüm.

E rh a n C o¸ s k u n , K a ra d e n iz Te k n ik M a te m a tik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

7.1 Skaler problemler için Mutlak Kararl¬l¬k analizi 5

0 < y(0) < 1=50 için y ⁰ > 0 (y artan) ve y(0) > 1=50 için ise y ⁰ < 0(y azalan) d¬r. O halde y(0) > 0 ¸ sart¬ile ba¸ slayan bütün ba¸ slang¬ç de¼ ger- leri ile elde edilen çözümler y = d = 1=50 denge noktas¬na yak¬nsamak- tad¬r, dolay¬s¬yla denge noktas¬asimtotik kararl¬d¬r.

f (y) = y(1 50y)

fonksiyonunun y = d = 1=50 denge noktas¬kom¸ sulu¼ gundaki seri aç¬l¬m¬n¬n lineer terimi

f (d) + f ⁰ (d)(y d) = 1(y 1=50) olup, u = y d için (7.7) ya kar¸ s¬l¬k gelen lineer sistemi

u ⁰ = u; u(0) = y(0) d = 5 1=50 = 249=50 (7.8) olarak elde ederiz.

(7.8) için ileri Euler yöntemini uygulayarak,

U _i+1 = U _i + h( U _i ) (7.9)

elde ederiz. (7.9) yi

g(u) = (1 h)u

sabit fonksiyonu için U i+1 = g(U _i ) olarak dü¸ sünebiliriz.

g ⁰ (u) = 1 h ile iterasyonun monoton yak¬nsakl¬¼ g¬için

0 < 1 h < 1 veya 0 < h < 1 sa¼ glanmal¬d¬r.

Sal¬n¬ml¬yak¬nsama için ise

1 < 1 h < 0 veya 1 < h < 2

sa¼ glanmal¬d¬r, ¸ Sekil 7.1.1.

0 2 4 6 8 10 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0 2 4 6 8 10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

nref{leq77} için h = 1=2 ile monoton yak¬nsama(sol), h = 3=2 ile sal¬n¬ml¬yak¬nsama(sa¼ g).

7.1.2 Skaler problemler için Geri Euler yönteminin Mutlak Kararl¬l¬k analizi

Geri Euler yönteminin (7.2) için mutlak kararl¬l¬k fonksiyonu ve bölgesini belirleyelim.

Geri Euler yöntemini (7.2) için uygulayarak U _i+1 = U _i + haU _i+1 veya

U _i+1 = 1

1 ah U _i (7.10)

.. .

= 1

1 ah

i

U ₁

elde ederiz.

g(u) = 1 1 ah u

E rh a n C o¸ s k u n , K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a tik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

7.1 Skaler problemler için Mutlak Kararl¬l¬k analizi 7

iterasyon fonksiyonu için

g ⁰ (u) = 1 1 ah olup, a < 0 ve h > 0 kabulü ile

0 < g ⁰ (u) < 1

e¸ sitsizli¼ gi sa¼ glan¬r. O halde h ad¬m uzunlu¼ gu üzerinde herhangi bir k¬s¬tlama olmaks¬z¬n (7.10) ile tan¬mlanan iterasyon, u = 0 denge çözümüne monoton olarak yak¬nsar.

(7.10) den, yöntemin iterasyon fonksiyonu K(x) = 1

1 x

olarak elde edilir. x = ah < 0 için jK(x)j < 1 dir. O halde yöntemin mutlak kararl¬l¬k bölgesi ( 1; 0) aç¬k aral¬¼ g¬d¬r.

7.1.3 Skaler problemler için Runge-Kutta-II yöntem- inin Mutlak Kararl¬l¬k analizi

Runge-Kutta II yöntemini (7.2) için uygulayarak yöntemin reel eksen üze- rindeki mutlak kararl¬l¬k bölgesini belirleyelim.Bu amaçla f (t; u) = au ile Runge-Kutta yöntemini uygulayal¬m:

m ₁ = f (t _i ; U _i ) = aU _i

m ₂ = f (t _i+1 ; U _i + hm ₁ ) = a(U _i + hm ₁ ) = aU _i + a ² hU _i m = (m ₁ + m ₂ )=2 = aU _i + a ² hU _i =2

U _i+1 = U _i + hm = U _i + ahU _i + a ² h ² U _i =2

= (1 + ah + a ² h ² =2)U i

= (1 + ah + a ² h ² =2) ² U _{i 1} .. .

= (1 + ah + a ² h ² =2) ⁱ U ₁ elde ederiz. U i ! 0; i ! 1 için

j1 + ah + a ² h ² =2 j < 1 (7.11)

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

x y

¸

Sekil 7.1: Runge-Kutta II yönteminin mutlak kararl¬l¬k polinomu

e¸ sitsizli¼ gi sa¼ glanmal¬d¬r.

(7.1) den, yöntemin iterasyon fonksiyonu K(x) = 1 + x + x ² =2

olarak elde edilir. x = ah < 0 için K(x) fonksiyonunun gra…¼ gi a¸ sa¼ g¬daki gibidir.

K(x) polinomu [ 2; 0] aral¬¼ g¬nda maksimum de¼ gerini x = 2 ve x = 0 noktalar¬nda al¬r, K( 2) = K(0) = 1 dir. O halde (7.11) e¸ sitsizli¼ ginin sa¼ glanmas¬için x = ah 2 ( 2; 0) olmal¬d¬r. Bu sonuç ileri Euler yöntemiyle elde etti¼ gimiz sonucun ayn¬s¬d¬r.

7.1.4 Skaler problemler için Yamuk yönteminin Mut- lak Kararl¬l¬k analizi

Yamuk yöntemini (7.2) için uygulayarak yöntemin reel eksen üzerindeki mut- lak kararl¬l¬k bölgesini belirleyelim. Bu amaçla f (t; u) = au ile Yamuk yön- temini uygulayal¬m:

U _i+1 = U _i + h=2(f (t _i ; U _i ) + f (t _i+1 ; U _i+1 ))

= U _i + h=2(aU _i + aU _i+1 )

E rh a n C o¸ s k u n , K a ra d e n iz Te k n ik M a te m a tik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

7.2 Sistemler için Mutlak Kararl¬l¬k bölgesi 9

ve

(1 ah=2)U i+1 = (1 + ah=2)U i

den

U _i+1 = (1 + ah=2) (1 ah=2) U _i ;

= (1 + ah=2) (1 ah=2)

2

U i 1

.. .

= (1 + ah=2) (1 ah=2)

i

U ₁ elde ederiz. U i ! 0; i ! 1 için

1 + ah=2 1 ah=2 < 1

e¸ sitsizli¼ gi sa¼ glanmal¬d¬r. O halde yöntemin mutlak kararl¬l¬k fonksiyonu K(x) = 1 + x

1 x

dir ve x < 0 bölgesindeki gra…¼ gi a¸ sa¼ g¬daki gibidir(x = ah=2 < 0 oldu¼ guna dikkat edelim).

x < 0 bölgesinde jK(x)j < 1 olup, yamuk yönteminin mutlak kararl¬l¬k bölgesi ( 1; 0) aral¬¼ g¬d¬r.

7.2 Sistemler için Mutlak Kararl¬l¬k bölgesi

Önceki bölümde verilen bir Ba¸ slang¬ç De¼ ger Problemi için Euler yönteminin mutlak kararl¬¼ g¬n¬

u ⁰ = au; a < 0 (7.12)

biçiminde asimtotik kararl¬ denge noktas¬na(u = 0) sahip bir test problem üzerinde incelemi¸ stik. (7.12) problemini, y = d asimtotik kararl¬denge nok- tas¬na sahip

y ⁰ = f (y) (7.13)

-5 -4 -3 -2 -1

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

x y

¸

Sekil 7.2: Yamuk yönteminin mutlak kararl¬l¬k fonksiyonu

probleminin bu denge noktas¬kom¸ sulu¼ gundaki lineerle¸ stirilmi¸ si olarak de¼ ger- lendirmi¸ stik.

Benzer biçimde (x ; y ) asimtotik kararl¬denge noktas¬na sahip dx

dt = f (x; y) (7.14)

dy

dt = g(x; y)

nonlineer sistemini göz önüne alarak, sisteme denge noktas¬ kom¸ sulu¼ gunda kar¸ s¬l¬k gelen lineer modeli (7.14) için model problem olarak gözönüne ala- ca¼ g¬z. Söz konusu model problemi, f (x; y) ve g(x; y) fonksiyonlar¬n¬n (x ; y ) noktas¬kom¸ sulu¼ gunda Taylor aç¬l¬mlar¬n¬n lineer k¬s¬mlar¬n¬alarak olu¸ stura- biliriz:

f (x; y) = f (x ; y ) + f _x (x ; y )(x x ) + f _y (x ; y )(y y ) + :::

g(x; y) = g(x ; y ) + g _x (x ; y )(x x ) + g _y (x ; y )(y y ) + :::

aç¬l¬mlar¬ndan f (x ; y ) = 0; g(x ; y ) = 0 oldu¼ gunu dikkate alarak, (7.14) ye kar¸ s¬l¬k gelen lineer problemi

dx

dt = f _x (x ; y )(x x ) + f _y (x ; y )(y y ) (7.15) dy

dt = g _x (x ; y )(x x ) + g _y (x ; y )(y y )

E rh a n C o¸ s k u n , K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a tik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

7.2 Sistemler için Mutlak Kararl¬l¬k bölgesi 11

veya

U = x x

y y ve dU

dt = dx=dt

dy=dt ; J = f _x (x ; y ) f _y (x ; y ) g _x (x ; y ) g _y (x ; y ) olmak üzere

dU

dt = J U (7.16)

U (0) = U ⁽¹⁾

biçiminde lineer ve homojen bir denklem sistemi olarak ifade edebiliriz. (x ; y ) asimtotik kararl¬ denge noktas¬ oldu¼ gu için J matrisi reel k¬s¬mlar¬ negatif olan özde¼ gerlere sahiptir, dolay¬s¬yla U = [0; 0] ^T noktas¬ (7.16) siteminin asimtotik kararl¬denge noktas¬d¬r. Di¼ ger bir deyimle t ! 1 için U(t) ! 0 d¬r.

Mutlak kararl¬l¬k kriteri (7.16) için uygulanan say¬sal yakla¸ s¬mlar¬n da analitik çözüme benzer davran¬¸ s göstermesini garanti eder:

7.2.1 Sistemler için · Ileri Euler yönteminin Mutlak Kararl¬l¬k analizi

(7.16) için ileri Euler yöntemi

U ⁽ⁱ⁺¹⁾ = U ⁽ⁱ⁾ + hJ U ⁽ⁱ⁾ = (I + hJ )U ⁽ⁱ⁾ := AU ⁽ⁱ⁾ ; i = 1; 2; ::: (7.17) olarak ifade edilebilir. Burada A matrisine yöntemin iterasyon matrisi ad¬

verilmektedir. (7.17) iterasyonu

U ⁽ⁱ⁺¹⁾ = A ⁱ U ⁽¹⁾ ; i = 1; 2; :::

olarak ifade edilebilir. U ⁽ⁱ⁾ ! 0; i ! 1 için

i!1 lim (A ⁱ ) = 0 (7.18)

sa¼ glanmal¬d¬r. Hangi durumlarda (7.18) özelli¼ ginini sa¼ glanabilece¼ gini görmek amac¬yla a¸ sa¼ g¬daki tan¬m¬verelim:

TANIM 7.3. _i ler J matrisinin özde¼gerleri olmak üzere J nin spektral yar¬çap¬

(J ) = max fj ⁱ j; i = 1; 2; ::ng

olarak tan¬mlan¬r.

TEOREM 7.1. A matrisinin herhangi bir normu için

i!1 lim (A ⁱ ) = 0 () (A) < 1 dir.

Ispat. ·

A matrisinin farkl¬özde¼ gerlere sahip olmas¬durumu için ispat¬kolayl¬kla verebiliriz. Bu durumda lineer cebirden

A = S S ¹

spektral ayr¬¸ s¬m¬ mevcuttur, burada ; A matrisinin özde¼ gerlerini içeren kö¸ segen matris, S ise j inci sütununda (j; j) özde¼ gerine kar¸ s¬l¬k gelen özvektörü içeren matristir(AS = S oldu¼ gunu görmeye çal¬¸ s¬n¬z). Bu du- rumda

A ⁱ = S ⁱ S ¹ elde ederiz. Buradan

(A) < 1 () lim

i!1 ( ⁱ ) = 0 () lim

i!1 (A ⁱ ) = 0 elde ederiz.

Sonuç 7.1. (7.17) yönteminin mutlak kararl¬olmas¬için,(U ⁽ⁱ⁾ ! 0; i ! 1) gerek ve yeter ¸ sart h ad¬m uzunlu¼gunun

(A) < 1 (7.19)

e¸ sitsizli¼gini sa¼glayacak biçimde seçilmi¸ s olmas¬d¬r.

Gözlem 7.3. E¼ger ; J matrisinin x özvektörüne kar¸ s¬l¬k gelen bir özde¼geri ise 1 + h da A = I + hJ nin ayn¬özvektöre kar¸ s¬l¬k gelen özde¼geri oldu¼gunu kontrol ediniz(Al¬¸ st¬rma 8).

Gözlem 7.4. J _{n n} matrisinin özde¼gerleri karma¸ s¬k say¬lar olabilece¼ginden z = h olmak üzere (7.19) e¸ sitsizli¼gi

K(z) = 1 + z mutlak kararl¬l¬k fonksiyonu olmak üzere

jK(z)j = jz + 1j = jz ( 1) j < 1 bölgesi içerisinde sa¼glan¬r.

E rh a n C o¸ s k u n , K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a tik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

7.2 Sistemler için Mutlak Kararl¬l¬k bölgesi 13

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Reel(hλ)

Sanal(hλ)

¸

Sekil 7.3: · Ileri Euler yönteminin mutlak kararl¬l¬k bölgesi

O halde yöntemin diferensiyel denklem sistemleri için mutlak kararl¬ol- mas¬n¬istiyorsak, i ler J matrisinin özde¼ gerleri olmak üzere h ad¬m uzun- lu¼ gunu z i = h _i lerin herbiri, 1 merkezli birim yar¬çapl¬çember içerisinde olacak biçimde seçmeliyiz. Bu durumda

R(z) = fz = h 2 Cj; jz ( 1) j < 1g

olarak tan¬mlanan ve ¸ Sekil 7.3 de gösterilen disk ileri Euler yönteminin mutlak kararl¬l¬k bölgesi dir.

Gözlem 7.5. R(z) diskinini reel eksen üzerindeki k¬sm¬, skaler problemler için ileri Euler yönteminin mutlak kararl¬l¬k bölgesi yukar¬da elde edildi¼gi üzere ( 2; 0) aral¬¼g¬d¬r.

ÖRNEK 7.2.

x 0 = 18x 19y y 0 = 38x 39y x(0) = 1; y(0) = 10 ba¸ slang¬ç de¼gerleri verilmi¸ s olsun.

Verilen ba¸ slang¬ç de¼ger probleminin analitik çözümünü ve

·Ileri Euler yöntemini verilen sisteme uygulayarak, X ⁽ⁱ⁺¹⁾ = AX ⁽ⁱ⁾ olacak

biçimdeki A matrisini belirleyelim.

i ler A n¬n özde¼gerleri olmak üzere, (A) = max(j ⁱ j; i = 1; 2) < 1 için h en fazla ne olabilir?

h = 0:01 ve h = 0:1 ad¬m uzunluklar¬ ile Euler yakla¸ s¬mlar¬n¬n x y düzlemindeki gra…¼gini çizdiriniz. Ne gözlemliyorsunuz? Neden?

h = 0:01 ve h = 0:1 ad¬m uzunluklar¬ve artan k de¼geleri için MATLAB/Octave ortam¬nda jjA ^k jj normlar¬n¬hesaplay¬n¬z. Hangi h için lim k!1 jjA ^k jj = 0 d¬r.

Çözüm.

J = 18 19

38 39 matrisinin özde¼ gerleri 1 = 1; ₂ = 20 ve kar¸ s¬l¬k gelen özvektörleri ise s¬ras¬yla

V ₁ = 1

1 ; V ₂ = 1 2 dir. O halde verilen problemin genel çözümü

X = x

y = C ₁ e ^t 1

1 + C ₂ e ^20t 1 2

dir. x(0) = 1; y(0) = 10 ba¸ slang¬ç ¸ sartlar¬n¬sa¼ glayan çözüm ise x(t) = 8e ^t + 9e ^20t

y(t) = 8e ^t + 18e ^20t olarak elde edilir.

· Ileri Euler yönteminden

x _i+1 = x _i + h(18x _i 19y _i ) y _i+1 = y _i + h(38x _i 39y _i )

x ₁ = 1; y ₁ = 10

elde ederiz. Vektör-matris notasyonu yard¬m¬yla bu sistem x _i+1

y _i+1 = 1 + 18h 19h

38h 1 39h

x _i y _i

= 1 + 18h 19h

38h 1 39h

i+1 x ₀ y ₀

E rh a n C o¸ s k u n , K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a tik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

7.2 Sistemler için Mutlak Kararl¬l¬k bölgesi 15

0 1 2 3 4 5

-8 -6 -4 -2 0 2

h= 0.01

t

x

0 1 2 3 4 5

-10 -5 0 5 10

h= 0.01

t

y

0 1 2 3 4 5

-20 -15 -10 -5 0 5 10

h= 0.1

t

x

0 1 2 3 4 5

-30 -20 -10 0 10 20

t

y

h= 0.1

¸

Sekil 7.4: Örnek 7.2 için farkl¬ad¬m uzunluklar¬ile · Ileri Euler yakla¸ s¬mlar¬

olarak ifade edilebilir. O halde

A = I + hJ = 1 + 18h 19h

38h 1 39h

ve

X ⁽ⁱ⁺¹⁾ = AX ⁽ⁱ⁾ = A ⁱ⁺¹ X ⁽¹⁾ elde ederiz.

A = I + hJ oldu¼ gundan (A) = 1 + h (J ) dir. O halde 1 = 1 h; ₂ = 1 20h olup,

j ¹ j < 1 ) 0 < h < 2 ve

j ² j < 1 ) 0 < h < 1=10

olmas¬n¬gerektirir. Dolay¬s¬yla kararl¬yöntem için her iki k¬s¬tlamay¬

sa¼ glayan h < 1=10 kriteri sa¼ glanmal¬d¬r.

h = 0:01 ve h = 0:1 ad¬m uzunlu¼ gu ile x(t); y(t) gerçek çözümleri(çizgi)

ve Euler yakla¸ s¬mlar¬( o) ¸ Sekil 7.4 de s¬ras¬yla üst ve alt sat¬rda görül-

mektedir.

A = 1:1800 0:1900

0:3800 0:6100 A = 2:8000 1:9000 3:8000 2:9000

k jjA ^k jj 1 jjA ^k jj 1

1 1:3700 6:7000

2 1:6603 1:5700

4 2:0626 2:0317

8 2:4327 2:7086

16 2:4981 3:4441

32 2:1734 3:8970

64 1:5768 3:9965

128 0:8288 4:0000

256 0:2289 4:0000

Tablo 7.1: A matrisleri ve lim _k!1 jjA ^k jj normlar¬

h ad¬m uzunlu¼ gunun mutlak kararl¬l¬k kriterine uymamas¬durumunda elde edilen yakla¸ s¬mlar¬n gerçek çözüm etraf¬nda sal¬n¬m yapt¬klar¬n¬

ve artan t de¼ gerleri için genliklerinin yuvarlama hatalar¬ndan dolay¬

artt¬¼ g¬na dikkat edelim.

A matrisleri ve lim _k!1 jjA ^k jj normlar¬Tablo 7.1 de sunulmaktad¬r. h = 0:01 için lim _k!1 jjA ^k jj = 0 iken h = 0:1 için lim k!1 jjA ^k jj = 4 6= 0 oldu¼ gu görülmektedir.

Hat¬rlatma 7.2. h ad¬m uzunlu¼gu üzerindeki k¬s¬tlama belirlerken, de¼gerlerini h cinsiden ifade ederek, j j < 1 kriterini kulland¬k. Ancak de¼gerlerini belirlemek yerine, de¼gerlerini içeren aral¬¼g¬ tahmin etmek suretiyle de h ad¬m uzunlu¼gu üzerindeki k¬s¬tlama belirlenebilir. de¼gerlerini tahmin etmek için ise a¸ sa¼g¬da ifade edilen Gershgorin çember teoremi kulan¬labilir.

TEOREM 7.2. (Gershgorin Çember Teoremi) A n n matrisinin bütün özde¼ger- leri, a ii merkezli ve r i =

X n j=1;j6=i

ja ^ij j yar¬çapl¬

C _i = fz 2 C : jz a _ii j r _i g

disklerinin birle¸ simi olan C = [C ⁱ ; i = 1; 2; :::n bölgesinde yer al¬r.

E rh a n C o¸ s k u n , K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a tik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

7.2 Sistemler için Mutlak Kararl¬l¬k bölgesi 17

ÖRNEK 7.3. Gershgorin Çember Teoremi yard¬m¬yla reel özde¼gerlere sahip olan

J = 18 19

38 39

matrisinin özde¼gerlerinin yer ald¬¼g¬aral¬klar¬belirleyiniz.

Çözüm.

Gershgorin teoremine göre özde¼ gerler jz 18 j 19 ve jz ( 39) j 38 diskleri içersinde yer al¬rlar. Ancak özde¼ gerler bu örnek için reel oldu¼ gundan reel say¬lar kümesinin

jx 18 j 19 ve jx ( 39) j 38

e¸ sitsizlikleri ile belirlenen aral¬klar¬içerisinde yer al¬rlar. Buradan özde¼ ger- lerin

19 x 18 19 ) 1 x 37

ve

38 x + 39 38 ) 77 x 1

aral¬klar¬n¬n birle¸ simi olan [ 77; 37] aral¬¼ g¬içerisinde oldu¼ gunu tahmin ed- eriz. Yukar¬daki örnekten özde¼ gerlerin 1 = 1; 2 = 20 oldu¼ gunu biliyo- ruz. O halde Gershgorin çember teoremi yard¬m¬yla elde etti¼ gimiz tahmin do¼ grudur. Ancak elde edilen aral¬¼ g¬n özde¼ gerleri içeren ve fakat oldukça geni¸ s bir aral¬k oldu¼ guna dikkat edelim.

Sonuç 7.2. A = I + hJ matrisinin özde¼gerleri [1 77h; 1 + 37h] aral¬¼g¬nda yer al¬rlar. h > 0 oldu¼gundan (A) < 1 olmas¬ için bu aral¬k tahmininden elde edebilece¼gimiz k¬s¬tlama j1 77h j < 1, yani 1 < 1 77h < 1 veya h < 2=77 = 0:0260 dir.

Gözlem 7.6. Gershgorin teoremi yard¬m¬yla özde¼gerlerin bulundu¼gu aral¬¼g¬

tahmin etmek suretiyle h ad¬m uzunlu¼gu üzerinde elde etti¼gimiz bu k¬s¬tlama, gerçek özde¼gerlerden hareketle yukar¬da elde etti¼gimiz h < 1=10 k¬s¬tlamas¬

kadar hassas de¼gildir. Ancak özde¼gerleri belirleme zorunlulu¼gu getirmedi¼gi

için pratik bir k¬s¬tlamad¬r, gerek olmasa da bir yeter ¸ sartt¬r.

ÖRNEK 7.4. Birbiriyle rekabet içerisinde ya¸ sayan Lotka-Volterra canl¬ nüfus modelini gözönüne alal¬m.

dN ₁

dt = aN ₁ bN ₁ N ₂ dN ₂

dt = cN ₂ + dN ₁ N ₂ (7.20)

N ₁ (0) = N ₁₀ ; N ₂ (0) = N ₂₀ ba¸ slang¬ç de¼ger problemini göz önüne alal¬m.

Problemin kritik noktalar¬n¬ belirleyerek, her bir kritik noktan¬n asimtotik kararl¬olup olmad¬¼g¬n¬ara¸ st¬r¬n¬z.

a = 1; b = 2; c = 3; d = 1 parametre de¼gerleri için r = 2 çemberi üz- erinden ba¸ slayan çözüm e¼grilerinin gra…¼gini sistemler için ileri Euler yöntemi yard¬m¬yla elde ediniz.

(0; 0) denge noktas¬kom¸ sulu¼gundaki lineer sistemin ileri Euler yöntemi ile elde edilen ve (0; 0) denge noktas¬na yak¬nsamas¬için h ad¬m uzunlu¼gu en fazla ne olabilir?

Çözüm.

Sistemin denge noktalar¬denklemin sa¼ g taraf¬s¬f¬ra e¸ sitlenerek elde edilebilir.

Buna göre

aN ₁ bN ₁ N ₂ = 0 cN ₂ + dN ₁ N ₂ = 0

denklem sistemi çözülerek (0; 0),(c=d; a=b) denge noktalar¬ elde edilir. Sis- teme ait Jacobien matrisi

J = a bN ₂ bN ₁ dN ₂ c + dN ₁ olarak elde edilir.

(N ₁ ; N ₂ ) = (0; 0) denge noktas¬a < 0 ve c > 0 için hem lineerle¸ stirilmi¸ s ve hem de orjinal problemin asimtotik kararl¬bir noktas¬d¬r.

E rh a n C o¸ s k u n , K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a tik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

7.2 Sistemler için Mutlak Kararl¬l¬k bölgesi 19

¸

Sekil 7.5: Örnek 7.3 de belirtilen ba¸ slang¬ç de¼ gerleri ile (x(t); y(t))çözüm e¼ grileri

(N ₁ ; N ₂ ) = (c=d; a=b) noktas¬nda ise

J = 0 bc=d

ad=b 0

elde edilir. Özde¼ gerler ² + ac = 0 denklemini sa¼ glar ve ac > 0 olmas¬

durumunda özde¼ gerler 1 = i p

ac, 2 = i p

ac karma¸ s¬k say¬lard¬r. Bu durumda denge noktas¬lineerle¸ stirilmi¸ s problemin merkez noktas¬d¬r ve kar¸ s¬l¬k gelen nonlineer problem için hiçbir bilgi vermez. ac < 0 olmas¬

durumunda ise denge noktas¬karars¬z eyer noktas¬d¬r.

Iki birim yar¬çapl¬çember üzerinde ba¸ · slayan çözüm e¼ grileri a = 1 < 0 ve c = 3 > 0 oldu¼ gundan (0; 0) denge noktas¬na yak¬nsarlar. Euler yöntemi ile h = 0:1 için elde edilen sonuçlar ¸ Sekil 7.5 de sunulmaktad¬r.

(0; 0) denge noktas¬nda

J = a 0

0 c

olup, a < 0; c > 0 için özde¼ gerler 1 = a < 0; ₂ = c < 0 d¬r. Bu

durumda lineerle¸ stirilmi¸ s problemin iterasyon matrisi A = I + hJ nin

özde¼ gerleri 1 = 1+ha; 2 = 1 hc d¬r. (A) = max(j1+haj; j1 hcj) <

1 için h < min(2=jaj; 2=c) olmal¬d¬r.

7.2.2 Sistemler için Runge-Kutta II ve IV yöntemlerinin Mutlak Kararl¬l¬k analizi

Sistemler için RKII yönteminin mutlak kararl¬l¬k bölgesi reel k¬s¬mlar¬negatif olan özde¼ gerlere sahip (7.16) model problemini gözönüne alal¬m. Model prob- leme RKII yöntemini uygulayarak

dU

dt = F (t; U ) = J U;

U (0) = U ⁽¹⁾ olmak üzere

M 1 = F (t i ; U ⁽ⁱ⁾ ) = J U ⁽ⁱ⁾

M 2 = F (t _i + h; U ⁽ⁱ⁾ + hM 1) = J (U ⁽ⁱ⁾ + hM 1) = J U ⁽ⁱ⁾ + hJ ² U ⁽ⁱ⁾ ve

U ⁽ⁱ⁺¹⁾ = U ⁽ⁱ⁾ + h=2(M 1 + M 2)

= U ⁽ⁱ⁾ + h=2(J U ⁽ⁱ⁾ + J U ⁽ⁱ⁾ + hJ ² U ⁽ⁱ⁾ )

= (I + hJ + h ²

2 J ² )U ⁽ⁱ⁾ elde ederiz.

A = f (J ) = I + hJ + h ² 2 J ² olmak üzere RKII iterasyonlar¬n¬

U ⁽ⁱ⁺¹⁾ = AU ⁽ⁱ⁾ = A ⁱ⁺¹ U ⁽¹⁾

olarak yazabiliriz. Genel olarak ; J matrisinin bir v vektörüne kar¸ s¬l¬k gelen öz de¼ geri ve p bir polinom ise, p( ) da A = p(J ) matrisinin ayn¬ özvek- töre kar¸ s¬l¬k gelen özde¼ geridir(Al¬¸ st¬rma 8). Buna göre 1 + h + ^h ₂ ^{2 2} de A matrisinin özde¼ geridir.

E rh a n C o¸ s k u n , K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a tik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

7.2 Sistemler için Mutlak Kararl¬l¬k bölgesi 21

i!1 lim A ⁱ = 0 , (A) < 1

O halde A n¬n her bir özde¼ gerinin mutlak de¼ gerce birim disk içerisinde ol- mas¬n¬, yani

j1 + h + h ² 2

2 j < 1 (7.21)

olmas¬n¬isteriz. lar karma¸ s¬k say¬lar olabilece¼ ginden (7.21) e¸ sitsizli¼ gi ise, K(z) = 1 + z + z ² =2

yöntemin mutlak kararl¬l¬k polinomu olmak üzere, R(z) = fz 2 C : jK(z)j < 1g

kümesi içersinde yer al¬r ve bu kümeye de RKII yönteminin mutlak kararl¬l¬k bölgesi ad¬verilir ve bu bölge gra…ksel olarak ¸ Sekil (7.6) de gösterilmektedir.

RKIV yönteminin de mutlak kararl¬l¬k bölgesi benzer biçimde belirlenebilir.

Bu durumda mutlak kararl¬l¬k polinomu

K(z) = 1 + z + z ² =2 + z ³ =6 d¬r(Al¬¸ st¬rma 12 ).

RKII ve RKIV yöntemlerinin mutlak kararl¬l¬k bölgeleri s¬ras¬yla j1 + z + z ² =2 j < 1 ve j1 + z + z ² =2 + z ³ =6 j < 1 ile tan¬ml¬olup ¸ Sekil 7.6 de gra…ksel olarak görülmektedir.

TANIM 7.4. (Mutlak kararl¬yöntem) Mutlak kararl¬l¬k bölgesi sol yar¬dü- zlemi içeren yönteme mutlak kararl¬say¬sal yöntem ad¬verilir.

Gözlem 7.7. Yukar¬daki tan¬ma göre Geri Euler yöntemi ve Yamuk yöntemi mutlak kararl¬(absolutely stable: A-stable) yöntemlerdir, ancak ileri Euler ve Runge-Kutta yöntemleri ise mutlak kararl¬yöntemler de¼gildirler.

Çok ad¬m yöntemlerinin mutlak kararl¬l¬k bölgelerini belirlemek amac¬yla pratik kriterler mevcuttur(bknz [?]), ancak söz konusu yöntemlerin mut- lak kararl¬l¬k analizine bu çal¬¸ sman¬n hacmini s¬n¬rl¬ tutmak amac¬yla yer veremiyoruz.

Al¬¸ st¬rmalar 7.1.

Reel(hλ)

Sanal(h λ )

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

Reel(hλ)

s anal(h λ )

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

¸

Sekil 7.6: RKII ve RKIV yöntemlerinin mutlak kararl¬l¬k bölgeleri

1. A = 15 5

5 15 matrisinin özde¼gerlerini ve özvektörlerini bulunuz.

2. Gershgorin teoremi yard¬m¬yla simetrik olan A matrisinin özde¼gerlerini içeren en küçük uzunluklu aral¬¼g¬belirleyiniz.

3. Soru 1 de verilen A matrisi için dU

dt = AU;

U (0) = (10; 5) ^T denklem sisteminin çözümünü belirleyiniz.

4. · Ileri Euler yöntemini Soru 3 de verilen sisteme uygulayarak U ⁽ⁱ⁺¹⁾ = BU ⁽ⁱ⁾ ; i = 0; 1; :::

fark denklemini sa¼glayan B iterasyon matrisini belirleyiniz.

5. Soru 3 teki A matrisinin özde¼gerlerini içeren aral¬¼g¬ Gershgorin teoremi yard¬m¬yla belirleyiniz. Soru 3 te verilen iterasyonun mutlak kararl¬olmas¬

için h üzerindeki k¬s¬tlamay¬belirleyiniz.

6. Soru 3 ve 4 ü RKII yöntemi için tekrarlay¬n¬z.(Not: J nin özde¼gerlerinin reel oldu¼gu dikkate al¬n¬z.)

E rh a n C o¸ s k u n , K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a tik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

7.2 Sistemler için Mutlak Kararl¬l¬k bölgesi 23

7. Soru 3 ve 4 i RKIV yöntemi için tekrarlay¬n¬z.

8. E¼ger ; J matrisinin bir v vektörüne kar¸ s¬l¬k gelen özde¼geri ve p(t) = a ₀ + a ₁ t + :::a _n t ⁿ

bir polinom ise, p( ) da

A = p(J ) = a ₀ I + a ₁ J + ::: + a _n J ⁿ

matrisinin ayn¬özvektöre kar¸ s¬l¬k gelen özde¼geri oldu¼gunu gösteriniz.

9. Soru 8 in bir sonucu olarak A = I + hJ matrisi için (A) = 1 + h (J) oldu¼gunu gösteriniz.

10. · Ileri Euler ve RKII ve RKIV yöntemleri için s¬ras¬yla ¸ Sekil ?? ve ¸ Sekil ?? de verilen mutlak kararl¬l¬k bölgelerini kar¸ s¬la¸ st¬r¬n¬z. Hangi yöntem ad¬m uzun- lu¼gunun di¼gerlerine göre k¬smen de olsa biraz daha büyük seçilebilmesine izin vermektedir? Gözleminiz Soru 5,6, ve 7 de elde etti¼giniz tahminlerle uyumlu mu?

11.

y ⁰ = ay; y(0) = y ₁ 2 R; a < 0

model problemi için Runge-Kutta IV yönteminin kararl¬l¬k polinomu ve reel eksendeki kararl¬l¬k bölgesini belirleyiniz.

12. dU

dt = J U; U (0) = U ⁽¹⁾ 2 R ⁿ

sistemi için Runge-Kutta IV yönteminin mutlak kararl¬l¬k polinomunu be- lirleyerek, mutlak kararl¬l¬k bölgesinin ¸ Sekil (7.6) de belirtildi¼gi gibi oldu¼gunu kontrol ediniz.

13. Soru 2 de verilen ba¸ slang¬ç de¼ger problemini sistemler için verilen ·Ileri Euler, RKII ve RKIV programlar¬yard¬m¬yla Soru 4,5, ve 6 da elde etti¼giniz mak- simum ad¬m uzunluklar¬yla [0; 2] aral¬¼g¬nda çözünüz.

(a) A¸ sa¼g¬da gra…kleri verilen (y + 1) ² = x + 1 ve (y + 1) ² = x 1

parabollerinin y ² = x ve y ² = x parabollerinden uygun ötelemeler

yard¬m¬yla elde edildi¼gini ve ( 1; 1) arakesit noktas¬na sahip olduk-

lar¬n¬gösteriniz.

-4 -3 -2 -1 1 2

-4 -3 -2 -1 1 2

x y

(b) (a) ¸ s¬kk¬yard¬m¬yla dx

dt = (y + 1) ² (x + 1) dy

dt = (y + 1) ² + (x + 1)

denklem sisteminin ( 1; 1) denge noktas¬na sahip oldu¼gunu gösteriniz.

(c) Verilen sistemin say¬sal çözümünü RK4 yöntemi yard¬m¬yla [0; 7] ara- l¬¼g¬nda h = 0:1 ad¬m uzunlu¼gu ile elde ediniz. Çözüm bile¸ senleri elde etti¼giniz denge noktas¬na yak¬ns¬yor mu? Neden?

14. (a) A¸ sa¼g¬da gra…kleri verilen x ² +y ² = 0; x ² y ² +1=2 = 0 e¼grilerinin arakesit noktalar¬n¬belirletiniz.

(b) (a) ¸ s¬kk¬yard¬m¬yla dx

dt = x ² + y ² dy

dt = x ² y ² + 1=2 denklem sisteminin denge noktar¬n¬belirleyiniz.

(c) Sistemin herbir denge noktas¬ndaki Jacobien matrisini bularak, özde¼ger- lerden hareketle denge noktalar¬n¬n karakterlerini belirleyiniz.

(d) Herbir denge noktas¬ için ( 1; 1),(1; 1),(1; 1),( 1; 1) ba¸ slang¬ç de¼gerleri ve h = 0:1 ad¬m uzunlu¼gu RK4 yöntemi yard¬m¬yla çözüm- lerin davran¬¸ s¬n¬ inceleyiniz. Hangi ba¸ slang¬ç noktas¬ ile elde edilen

E rh a n C o¸ s k u n , K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a tik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

7.2 Sistemler için Mutlak Kararl¬l¬k bölgesi 25

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

x y

çözüm denge noktas¬na yak¬nsamaktad¬r? Elde etti¼giniz sonuç denge

noktalar¬n¬n karakteri ile uyumlu mu?