da olur, böylece yerel yük korunumu

(1)

BÖLÜM 8

KORUNUM YASALARI 8.l Yük ve Enerji

8.1.1 Süreklilik Denklemi

Bu bölümde elektrodinamikteki enerji, momentum ve açısal momentum korunumunu inceleyeceğiz. Fakat önce yük korunmasını gözden geçirerek işe başlayalım, çünkü yük korunumu bütün korunum yasaları için örnektir.

Yükün korunması bize kesin olarak ne söyler? Evrendeki toplam yükün sabit olduğunu mu? Bu kapsamlı yük korunumudur; fakat yerel yük korunumu çok daha kuvvetli bir ifadedir: Bir hacimdeki toplam yük değişirse, o zaman tam olarak ona eşit bir miktar yük yüzeyden içeri veya dışarı geçmiş olmalıdır. Kaplan basitçe kafesin dışında ortaya çıkamaz; o içeriden dışarıya çıkmışsa, kafes örgüsünde bir delik bulmuş olmalıdır.

Biçimsel olarak, bir V hacmi içindeki yük

 

^,

V

Q t _{ } r t d (8.1)

dır ve S sınırından akam akım .

s

 J da 

 olur, böylece yerel yük korunumu

  _.

s

Q t J da dt    

 (8.2) olduğunu söyler. Sol tarafı yeniden yazmak için Denk. 8.1 'i kullanarak ve sağ tarafta diverjans teoreminden faydalanarak,

(2)

.

V V

d Jd

 t 

   

  

  (8.3)

buluruz ve bu her hacim için doğru olduğundan, sonuçta t .J

 



  (8.4)

elde ederiz. Bu, elbette, süreklilik denklemidir (yerel yük korunumunun kesin matematiksel ifadesi). O Maxwell denklemlerinden türetilebilir (yükün korunumu bağımsız bir kabul olmayıp elektrodinamik yasalarının bir sonucudur).

Bu bölümün amacı enerji korunumu ve momentum korunumu için karşılık gelen denklemleri oluşturmaktır. İşlemler sırasında enerji "akımı" ve momentum "akımının" (J

'ye benzeşen) yanı sıra (belki daha önemlisi) enerji yoğunluğunun ve momentum yoğunluğunun ('ya benzeşen) nasıl ifade edileceğini göreceğiz.

8.1.2 Poynting Teoremi

Bölüm 2'de bir yük dağılımını (benzer yüklerin Coulomb itmesine karşı) bir araya getirmek için gerekli işin (Denk. 2.45)

0 2

e 2

W _{ } E d

olduğunu görmüşlük, burada E

bileşke elektrik alandır.

Bunun gibi, akımları akar hale getirmek için (zıt emk’ya karşı) yapılması gereken iş (Denk. 7.34)

(3)

2 0

1

m 2

W B d

   ile verilir, burada B

yine bileşke magnetik alandır. Bu, elektromagnetik alanlarda depolanan toplam enerjinin

2 2 0

0

1

em 2

U  E B d



 

   

  (8.5) olmasını önerir. Şimdi, Denk. 8.5'i elektrodinamikteki enerji korunumu çerçevesinde daha genel ispatını yapalım.

Bir t anında E

ve B

alanlarını oluşturmuş olan bir yük ve akım dağılımı olsun. Daha sonraki dt anında, yükler bir miktar etrafa hareket ederler.

Soru: Bu yükler üzerine etkiyen elektromagnetik kuvvetler tarafından dt aralığında ne kadar, W , işi yapılmıştır?

Lorentz kuvveti yasasına göre bir q yükü üzerine yapılan İş

F dl dq E v B vdt E vdqdt^. 



  



^.  ^. ile verilir. Burada dq d ve v J 

olup böylece, bir V hacmi İçindeki tüm yüklerin üzerine işin yapılma hızı şöyle verilir.

W q E v B vdt



  



^.  d E vdt^. dW E vd. E J d.

dt   ^_ ^_ 

 

     

 

^.

V

dW E J d

dt _{ } ^{ }  (8.6)

(4)

 

^{E J}^{ }^. çarpımı birim hacimde birim zamanda yapılan iştir. Yani, birim hacme aktarılan güçtür. J

'yi elemek üzere Ampere-Maxwell yasasını kullanarak, bu niceliği tek başına alanlar cinsinden ifade edebiliriz:

B ₀J _{0 0} E

   ^t

   

   

^{E J}^. ^ ¹₀ ^E^.

 

^{ }^B ^⁰^E^{. E}^__t

      

Çarpım kuralı 6'dan

^^{  }^.^^_^{E B}^{ }^^_ ^B^{  }^.

   

^{ }^E ^E^{  }^. ^^B

Faraday yasasından     E B t

faydalanarak, şunu buluruz ^E^{  }^.

 

^{  }^B ^B^^.^_^B_t^^^{  }^.^^_^{E B}^ ^^_

Bu arada

 

²

 

²

1 1

. .

2 2

B E

B B ve E E

t t t t

     

 

(8.7)

olduğundan sonuçta şunu elde ederiz.

 

2 2

0 0 0

1 1 1

. .

E J 2 E B E B

t   

 

        

    

(8.8)

Bunu Denk. 8.6'ya koyarak ve ikinci terime diverjans teoremini uygulayarak

(5)

 

2 2

0 0 0

1 1 1 .

V 2 s

dW d E B d E B da

dt dt    

 

        

 

  

 (8.9) buluruz, burada S^, V ’yi sınırlayan yüzeydir. Bu Poynting teoremidir;

elektrodinamiğin iş-enerji teoremidir. Sağ taraftaki birinci integral alanlarda depo edilen toplam enerjidir, U_em (Denk. 8.5). İkinci terim, açıkça V hacminden dışarıya doğru, hacmi sınırlayan yüzeyin arasından, elektromagnetik alanlar tarafından enerjinin taşınma hızını temsil etmektedir. O halde Poynting teoremi, elektromagnetik kuvvet tarafından yüklerin üzerine yapılan işin alanlarda depolanan enerjideki azalma eksi yüzey arasından dışarıya akan enerji olduğunu söyler.

Birim zamanda, birim alandan alanlar tarafından aktarılan enerjiye Poynting vektörü adı verilir.

0

S1 ^^E B  ^^

(8.10)

Özel olarak, S da .

birim zamanda sonsuz küçük da yüzeyinden geçen enerjidir. Enerji akısı, böylece S enerji akısı yoğunluğu olur.

.

em s

dU

dW S da

dt   dt    

 (8.11) Yükler üzerine yapılan iş W onların mekanik enerjisini (kinetik, potansiyel veya her neyse) artıracaktır. u_mek ile mekanik enerji yoğunluğunu gösterirsek

(6)

mek V

dW d u d

dt dt   (8.12) Yazabiliriz. Alanların enerji yoğunluğunu u_em ile gösterdiğimiz taktirde ise,

2 2

0

1 1

em 2

u  E B



 

    (8.13)

Olur; o zaman



^mek ^em



^.

 

^.

V S V

d u u d S da S d

dt             ve buradan



û^mek ûêm



^.^S

t

   



 

(8.14) Bu Poynting teoreminin diferansiyel şeklidir. Onu, yük korunumunu ifade eden (Denk. 8.4) süreklilik denklemiyle karşılaştırınız:

.J t

 



 

yük yoğunluğu enerji yoğunluğu (mekanik artı elektromagnetik) ile yer değiştirir ve akım yoğunluğu da Poynting vektörüyle yer değiştirir.

Sonuncusu, J

'nin yük akışını anlatmasına tamamen benzer şekilde, enerji akışını temsil eder.

Örnek 8.1

I akımı geçen R dirençli bir telde birim zamanda harcanan enerjiyi Poynting vektörüyle hesaplayın.

(7)

Çözüm:

Bir tel boyunca I akımı geçtiğinde elektromagnetik iş yapılır ve bu telin Joule ısısı şeklinde kendini gösterir (Denk. 7.7). Onu yapmanın elbette daha kolay yolları varsa da, birim zamanda tele aktarılan enerji Poynting vektörünü kullanarak hesaplanabilir. Elektrik alanın düzgün olduğunu kabul ederek, tele paralel olan alanın değeri

E V

 L

dir, burada V uçlar arasındaki potansiyel farkı ve L telin uzunluğudur (Şek. 8.1). Magnetik alan tel çevresinde dolanımlı yönde olup, yüzeydeki (yarıçap a) alan değeri

⁰ 2 B I

a



 

olur. Buna göre, E

ve B

alanları birbirine dik olduğundan, yüzeyde Poynting vektörünün büyüklüğü

0

S 1 ^^E B  ^^

(8)

⁰

0 0

1 1

2 2

I

V VI

S EB

L a aL



   

  

olup yarıçapsal olarak içeriye doğru yönelmiştir. Bu sebeple, telin yüzeyinden birim zamanda geçen enerji

^{S da S} ^. ^



²^^{aL VI}



^

olur, bu ise Kısım 7.1.1’de çok daha doğrudan yollardan vardığımız sonucun tamamen aynısıdır.