Fonksiyonlar – I

DERS 2

Fonksiyonlar - I

2.1. Fonksiyon Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler veya büyüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böyle bir eşleme kurulması belli büyüklükleri belirleme veya tahmin etme olanağı verir. Örneğin, bir maliyet analizcisi, üretim sürecinde çeşitli üretim seviyelerde üretilen ürünlerin maliyetini belirlemek veya tahmin etmek ister; bir tıp araştırmacısı, kalp rahatsızlıkları ile şişmanlık arasındaki ilişkiyi ; bir ziraatçı, aynı topraktan değişik tür buğday tohumlarının ne kadar verim verdiğini belirlemek veya tahmin etmek ister.

Fonksiyon denince aklımıza bir tür eşleme gelmelidir. Günlük hayatımızda yukarıda sözü edilenlere benzer pek çok eşleme örneğiyle karşılaşırız. Birkaç örnek daha verelim:

• Her öğrencinin bir numarası vardır. Başka bir deyimle, her öğrenci bir sayı ile eşlenir.

Burcu Işık → 206 93 045 , Ali Demir → 205 94 005 • Her insanın doğum yılı da o insan ile eşlenen bir sayı olarak düşünülebilir.

Mustafa Kemal Atatürk → 1881 , Cahit Arf → 1910 • Bir marketteki her malın bir fiyatı vardır.

Makarna → 75 YKr , Sabun → 85 YKr. • Her sayının “iki katı” vardır.

1 → 2 , 2 → 4 , 3 → 6 , x → 2x • Her sayının bir “kare”si vardır.

1 → 1 , 2 → 4 , 3 → 9 , x → x2

Yukarıda zikredilen tüm örneklerde ortak olan husus şudur: Her bir örnekte belli bir kümenin elemanları ile ikinci bir kümenin elemanlarını eşleyen bir kural vardır. Son örneğimiz, sayılar kümesinin her elemanını yine sayılar kümesinde o elemanın karesi ile eşlemektedir. Bütün bunlar bizi fonksiyon kavramının tanımına götürür:

Tanım 1. İki küme verilmiş olsun : A ve B. A kümesinin her elemanına B kümesinin bir ve yalnız bir elemanını karşılık getiren bir kurala A dan B ye bir fonksiyon denir. A kümesine bu fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine de görüntü kümesi denir.

Tanım 2. f : A → B fonksiyonunun a∈ A ile eşlediği eleman b∈ B ise, b = f(a) yazılır ve b = f(a) ya a nın f altındaki görüntüsü veya f nin a daki değeri denir. f nin tüm değerlerinin kümesine, yani {f(a) : a ∈ A} kümesine f nin değer kümesi denir. Değer kümesi, görüntü kümesinin altkümesidir.

Fonksiyonlar, aşağıdaki gibi, çizelgelerle de gösterilebilir:

Tanıma göre A dan B ye f fonksiyonunun A nın her a elemanına B den bir ve yalnız bir, yani tek türlü belirli bir eleman karşılık getirmesi gerektiğini unutmamak gerekir. Bu bağlamda, aşağıda görülen çizelge, A = {1, 2, 3} kümesinden B={a, b, c} kümesine bir fonksiyon tanımlar. Burada, f (1) = a, f (2) = f (3) = c dir. B kümesinin b elemanı A nın hiçbir elemanının görüntüsü değildir. f nin değer kümesi, {a , c} dir.

Diğer yandan, aşağıdaki çizelge, A = {1 , 2 , 3} kümesinden B={a , b , c } kümesine bir fonksiyon tanımlamaz(Neden?) a b=f(a) x y=f(x)

f : A

2.2. Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi Reel Sayı Kümeleri Olan Fonksiyonlar. Bu derste ele alacağımız fonksiyonların tanım kümeleri ve görüntü kümeleri sayı kümeleri olacaktır. Böyle bir fonksiyonun tanım kümesindeki her x sayısı için görüntü kümesinde bir ve yalnız bir y = f(x) sayısı bulunacak ve dolayısıyla (x, f(x)) sıralı ikilisi, ya da noktası, ortaya çıkacaktır. Bu şekilde ortaya çıkan noktaların Kartezyen Düzlem’de oluşturduğu nokta kümesine f fonksiyonunun grafiği denir.

Yukarıdaki örneklerden ilkinde tanım kümesi R deki her x sayısına karşılık görüntü kümesi R de y = 2x sayısı; ikinci örnekte de tanım kümesi R deki her x sayısına karşılık görüntü kümesi R de y = x2 sayısı verilmektedir.

Bu derste ele alacağımız fonksiyonlardan pek çoğu, bu örneklerde olduğu gibi, denklemler yardımıyla tanımlanacaktır. Başka bir anlatımla, tanım kümesindeki her x sayısı için görün-tü kümesinde karşılık gelen y sayısı, y=f(x) gibi x e bağlı bir ifade ile verilecektir. Bu

Örnek 1. Her reel sayıya o sayının iki katını karşılık getiren fonksiyonun grafiği yanda görülen doğrudur.

Örnek 2. Her reel sayıya o sayının karesini karşılık getiren fonksiyonun grafiği yanda görülen eğridir.

x y (0,0

)

ifadede tanım kümesinin herhangi bir elemanını gösteren x e bağımsız değişken, x in görüntüsünü gösteren y ye de bağımlı değişken denir.

Bir f fonksiyonu fabrikaya da benzetilebilir. O takdirde, bağımsız değişken x, fabrikanın girdisi; bağımlı değişken y de çıktısı olur.

y = f(x) gibi bir denklemle belirlenmiş bir fonksiyon verildiğinde, tanım kümesindeki her a sayısı için f(a) , verilen denklemden hesaplanır.

Örnek 3. y = f(x) = x2 – x denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi R dir ve f(0) = 0 , f(1) = 0 , f(2) = 2 , f(3) = 6 , f(-1) = 2 , f(-2) =6 , f(-3) = 12 dir. Herhangi bir a reel sayısı için

f(a) = a2 – a , f(a+1) = (a+1)2 – (a+1) = a2 + a , f(a+2) = (a+2)2 – (a+2) = a2 +3 a +2 dir.

Örnek 4. y = x(x-1) denklemi tüm reel sayılar kümesi R den R ye bir fonksiyon tanımlar. x = 1 olunca y = 0, x = 5 olunca y = 20 ve x =1/2

olunca y=-1/4 tür. Burada, birden büyük x sayıları için, y, kenar uzunlukları x ve (x-1) birim olan bir dik- dörtgenin alanı olarak yorumlanabilir.

Çoğu zaman, denklemle tanımlanmış bir fonksiyonun tanım kümesi açıkça belirtilmez. Bu gibi durumlarda, tanım kümesi, bağımsız değişkenin bağımlı değişkeni tek türlü belirli bir reel sayı olarak tanımlayabildiği değerlerin tümü olarak; değer kümesi de bağımlı değişken için böylece tanımlanan tüm değerler olarak alınır.

Örnek 5. y = 5−x denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi (−∞ tir. ,5] Çünkü, 5−x in tanımlı olması için

olmalıdır.

Bağımlı Değişken Bağımsız Değişken

5 5 0 5−x≥ ⇔−x≥− ⇔ x≤ Çıktı _Girdi y = f(x) y = f(x) x-1 x

Örnek 6. 2 1 + − = x x

y denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi

(

) (

)

kesri -2 dışında her reel sayı için tanımlıdır.

Bazen kapalı denklemler de fonksiyon tanımlayabilir. Örnek 7. x bağımsız ve y bağımlı

değişkenler olmak üzere, 2x+3y = 6 denklemi bir fonksiyon tanımlar. Çün- kü, bu denklem her x reel sayısına karşılık y = (-2/3)x + 2 sayısını verir.

Bununla beraber, fonksiyon tanımlamayan kapalı denklemler de vardır. Örnek 8. x bağımsız ve y bağımlı

değişkenler olmak üzere y2 – x2 = 4 denklemi bir fonksiyon tanımlamaz. Çünkü, örneğin x = 0 değeri için hem y = 2 hem de y = -2 sayıları bu denklemi sağlarlar. O halde bu denklem x = 0 sayısına birden çok sayı karşılık getirmektedir ve bu ne- denle bir fonksiyon tanımlamaz.

Bir denklemin fonksiyon tanımlayıp tanımlamadığını anlamanın pratik bir yolu, o denklemin grafiğinin düşey doğrularla kesişimlerini düşünmektir. Eğer her düşey doğru grafiği en çok bir noktada kesiyorsa, o denklem bir fonksiyon tanımlar ve denklemin grafiği fonksiyonun grafiğidir. Eğer grafiği birden çok noktada kesen düşey doğrular varsa, o denklem bir fonksiyon tanımlamaz. Son iki örnekte bu durumu gözlemleyebilirsiniz.

2.3. Ekonomide Fonksiyonlar. Ekonomide doğal olarak ortaya çıkan fonksiyonlar, gider, gelir, fiyat ve kâr fonksiyonlarıdır. Bu kitapta vereceğimiz örneklerden büyük çoğunluğu bu fonksiyonlarla ilişkili olacaktır.

2.3.1. Maliyet(Gider) Fonksiyonu. Üretim yapan her işletme için maliyet(gider) söz konusudur. Bir işletmenin giderleri, kira, personel giderleri gibi sabit giderler ile, üretilen

x y (0,0) 2x+3y = 6 x y (0,0) -2 2 _y2 – x2 = 4

ürün sayısına göre değişebilen değişken giderlerden oluşur. Bir işletmenin belli bir dönemdeki toplam giderini Gi ile göstereceğiz.

Gi = (sabit gider) + (değişken gider).

Örneğin, bir işletmenin aylık sabit gideri A YTL ve ürün başına gideri B YTL ise, bu işletmenin ayda x ürün üretmesi durumunda aylık toplam gideri

Gi(x) = A + Bx YTL olur.

2.3.2. Fiyat - Talep Fonksiyonu. Üretilip satılan ürün miktarı ile birim ürün fiyatı arasındaki bağıntı, bir fonksiyon tanımlar. Örneğin, bir ürün için tespit edilen fiyat p YTL ve o ürünün bu fiyatla satılabileceği miktar (talep) x adet ise ve fiyat ile talep arasında, a ve b sabitler olmak üzere,

p =p(x)= a – bx.

gibi bir denklem varsa, bu denkleme fiyat - talep denklemi, bu denklemin tanımladığı p fonksiyonununa da fiyat - talep fonksiyonu denir.

2.3.3. Gelir Fonksiyonu. Bir işletmenin belli bir üründen elde ettiği gelir, satılan ürün sayısı ile birim ürün fiyatının çarpımıdır. Fiyatın sabit olduğu varsayılırsa, gelir, satılan ürün sayısına bağlı olarak değişir. Gelir fonksiyonunu Ge ile göstereceğiz:

Ge = (satılan ürün miktarı) . (birim ürün fiyatı).

Örneğin, bir firma bir ayda her biri p YTL den x tane ürün satmışsa, bu firmanın aylık toplam geliri

Ge(x)= xp YTL olur.

2.3.4. Kâr Fonksiyonu. Kâr, gelir ile gider arasındaki farktır. Kâr fonksiyonunu K ile göstereceğiz:

K(x)= Ge(x) – Gi(x).

Örneğin, belli bir zaman aralığında x ürün üretip satan bir firmanın gideri Gi(x) = A + Bx YTL ve bir ürünün satış fiyatı p(x) = a – bx YTL ise, bu firmanın o zaman aralığındaki geliri Ge(x) = xp = x(a - bx) = ax - b x2 YTL olur ve böylece firmanın o zaman aralığındaki kârı

K(x) = Ge(x) – Gi(x) =( ax - b x2 ) – (A + Bx) = -b x2 +(a - B)x -A YTL olur.

2.3.5. Bir Problem. Bir tür çapa makinesi üreten bir firma, yaptırdığı analizler sonucu, yılda x adet çapa makinesi üretmesi durumunda toplam giderinin Gi(x)=15+1.2x bin YTL; makine başına uygun satış fiyatının da p(x) =6−0.075x bin YTL olacağını tespit ediyor.

Bu firma yılda en çok 80 adet makine üretecektir. Firmanın ürettiği ürünün tamamını satacağını varsayarak

a) Yılda 50 adet makine üretilmesi durumunda toplam gider ve bir makinenin satış fiyatı ne olacaktır?

b) Gelir fonksiyonunu veren denklemi ve bu fonksiyonun tanım kümesini yazınız. 50 adet makine üretilmesi durumunda firmanın gelirini belirleyiniz.

c) Kâr fonksiyonunu veren denklemi yazınız. Yılda 50 adet makine üretilmesi durumunda firmanın kârını bulunuz.

Çözüm. a) Yıllık toplam gider Gi(50)=15+(1.2)⋅50=75 bin YTL, bir makinenin satış fiyatı p = p(50)=6−(0.075)⋅50=2.25 bin, yani 2 250 YTL.

b) _Ge(_x) _=x⋅p=6_x−0.075_x2 ,0_{≤ x≤}80. _{Ge(50)=300−187.5=112.5 bin YTL,} yani 112 500 YTL. c) Kâr fonksiyonunun denklemi 2 2 _{(15 1.2 ) 15 4.8 0.075} 075 . 0 6 ) ( ) ( ) (x Ge x Gi x x x x x x K = − = − − + =− + −

olup 50 adet makine üretilmesi durumunda firmanın kârı K(50)=112.5−75=37.5 bin , yani 37 500 YTL dir.

2.4. Elemanter Fonksiyonlar. Uygulamalarda en çok karşılaşacağınız fonksiyonlar, elemanter fonksiyonlar olarak bilinen fonksiyonlar veya bu fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilen fonksiyonlardır. Aşağıda, elemanter fonksiyonları, grafikleriyle birlikte listeliyoruz:

2.4.1. Birim Fonksiyon: Her reel sayıya kendisini karşılık getiren fonksiyon: f(x)= x.

Yanda grafiği görülen birim fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesi R dir.

x y

2.4.2. Mutlak Değer Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının mutlak değerini karşılık geti- ren fonksiyon ⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ = = 0 , 0 , ) ( x x x x x x f .

Yanda grafiği görülen bu fonksiyonun tanım kümesi R, değer kümesi [0,∝) dur.

2.4.3. Kare Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının karesini karşılık getiren fonksiyon: _f(x)=x2_.

Yanda grafiği görülen kare fonksiyonunun tanım kümesi R, değer kümesi [0,∝) dur. 2.4.4. Küp Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının küpünü karşılık getiren fonksiyon:

f(x)= x3.

Yanda grafiği görülen küp fonksiyonunun tanım kümesi ve değer kümesi R dir.

2.4.5. Karekök Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının karekökünü karşılık getiren fonksiyon: f(x)= x

Yanda grafiği görülen karekök fonksiyonunun tanım kümesi ve değer kümesi [0,∝) dur. 2.4.6. Küpkök Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının küpkökünü karşılık getiren fonksiyon: _f(x)=3 _x

Yanda grafiği görülen küpkök fonksiyonunun tanım kümesi ve değer kümesi R dir.

x y y = |x| x y y = x2 x y y = x3 x y x y = x y 3 _x y =

2.5. Elemanter Dönüşümler. Uygulamalarda, yukarıda listelediğimiz elemanter fonksiyonlar listede verildikleri biçimleriyle karşımıza çıkmasalar da, karşımıza çıkan fonksiyonların pek çoğu onlarla ilişkili olacaktır. Örneğin, aşağıdaki denklemlerle tanımlanan g , h , k ve m fonksiyonlarını ele alalım:

x x k x x h x x g( )= −2 , ( )= −1, ( )=3 . Bu fonksiyonların her biri f(x)= x fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir:

g(x) = f(x-2) , h(x) = f(x) –1 , k(x) = 3f(x) .

Aşağıda göreceğimiz üzere, g , h , k ve m fonksiyonlarının grafikleri de f(x)= x fonksiyonunun grafiği cinsinden elde edilebilir.

g , h , k ve m fonksiyonlarının f fonksiyonu cinsinden tanımı en genel biçimiyle şöyle verilebilir: a, b ve c reel sayılar olmak üzere

g(x) = f(x+a) , h(x) = f(x) + b , k(x) = c f(x) , m(x)=f(-x).

Bu fonksiyonlardan her birinin grafiği f nin grafiğinin belli bir biçimde dönüştürülmesiyle elde edildiğinden yukarıdaki ifadelerden her birine bir elemanter dönüşüm denir.

2.5.1. Yatay Kayma. f den g(x) = f(x+2) ile elde edilen g fonksiyonu için (x , g (x)) noktası ile (x+2 , f (x+2) nin konumları karşılaştırılınca, y=g(x) in grafiği üzerinde bulunan (x , g (x)) = (x , f (x+2)) noktasının y=f(x) in grafiği üzerinde bulunan (x+2 , f (x+2)) nin yatay doğrultuda 2 birim solunda bulunduğu görülür. Ayrıca, y=f(x) in grafiği üzerinde bulunan bir (x , f (x)) noktası 2 birim sola kaydırılırsa, y=g(x) in grafiği üzerinde bulunan (x-2 , f(x)) = (x-2 , g (x-2)) noktasının elde edileceği görülebilir.

Sonuç olarak, g(x) = f(x+2) denklemi ile tanımlanan g fonksiyonunun grafiği, f nin grafiğinin yatay doğrultuda 2 birim sola kaydırılmasıyla elde edilir.

2 için gözlemlemiş olduğumuz bu hususun herhangi bir pozitif reel sayı için de doğru olduğu açıktır. a ∈ R , a>0 ise, g(x) = f(x+a) denklemi ile tanımlanan g fonksiyonunun grafiği, f nin grafiğinin yatay doğrultuda a birim sola kaydırılmasıyla elde edilir.

x y x _x+2 g(x)=f(x+2 (x+2,f(x+2)) (x ,g(x)) y = f(x) i sağlar y = g(x) i sağlar

Şimdi, a ∈ R , a < 0 durumunu ele alalım.

Yukarıdaki şekilden de görüldüğü üzere, a < 0 ise, bir noktanın y = f(x+a)=g(x) in grafiği üzerinde olması için gerek ve yeter koşul, o nuktanın yatay doğrultuda -a birim sola kaydırılmasıyla elde edilen noktanın y = f(x) in grafiği üzerinde bulunmasıdır. Başka bir deyimle, y = f(x+a) nın grafiği, y = f(x) in grafiğinin yatay doğrultuda -a birim sağa kaydırılmasıyla elde edilir.

g(x) = f(x+a) denklemi ile tanımlanan g fonksiyonunun grafiği ve f nin grafiği arasında yukarıda açıklanan ilişkiden dolayı bu dönüşüme yatay kayma denir.

Örnek 1. y= x in yatay kaymaları .

y = x y = x+2 y = x−2

Örnek 2. y = f(x) = x2 _{nin yatay kaymaları.}

y=x2 _y=(x-2)2 y=(x+2)2 x y (0,0) x y x y (0,0) (0,0) x y x g(x)=f(x+a) (x ,g(x)) x+a

(x+a ,g(x)) = (x+a ,f(x+a))

y = f(x) i sağlar y = g(x) i sağlar x y (0,0) (0,0) x _(0,0) x y _y

Örnek 3. y = f(x) = |x| in yatay kaymaları.

2.5.2. Düşey Kayma. h(x) = f(x)+b denklemi ile tanımlanan h fonksiyonunun grafiği, f nin grafiğinin düşey doğrultuda kaydırılmasıyla elde edilir. Gerçekten, )(x,h(x))=(x,f(x)+b noktası ile (x,f(x)) noktasının düzlemdeki konumlarına bakılırsa, ))(x,h(x in, b nin pozitif veya negatif oluşuna göre, (x,f(x)) in b birim yukarıya veya aşağıya kaydırıl-masıyla elde edilebileceği görülür. Başka bir deyimle, bir noktanın y = f(x) + b=h(x) in grafiği üzerinde olması için gerek ve yeter koşul, o nuktanın düşey doğrultuda, b>0 ise b birim aşağıya, b<0 ise b birim yukarıya kaydırılmasıyla elde edilen noktanın y = f(x) in grafiği üzerinde bulunmasıdır. b>0 olması durumu aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Böylece, b>0 olması durumunda y = f(x) + b nin grafiği, y = f(x) in grafiğinin b birim yukarı kaydırılmasıyla elde edilir.

x x (x ,f(x)) f(x) h(x)=f(x) + b y (x ,h(x)) y = f(x) i sağlar y =h(x) i sağlar x y (0,0) _x y (0,0) x y (0,0) y = |x| _{y = |x + 2| y = |x - 2|}

b<0 durumu da aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Sonuç olarak b<0 olması durumunda y = f(x) + b nin grafiği, y = f(x) in grafiğinin -b birim aşağı kaydırılmasıyla elde edilir.

Örnek 1. y = x in düşey kaymaları.

y= x y= x +2 y = x−2

Örnek 2. y = f(x) = x2 nin düşey kaymaları.

x x (x ,f(x)) f(x) h(x)=f(x) + b y (x ,h(x)) y = f(x) i sağlar y =h(x) i sağlar x y (0,0) x y (0,0) x y (0,0) y = x2 _{y = x}2 _{+ 2} y = x2 - 2 x y (0,0) (0,0) x (0,0) x y y

Örnek 3. y = f(x) = |x| in düşey kaymaları.

2.5.3. Yansıma. k(x) = - f(x) denklemi ile tanımlanan k fonksiyonunun grafiği, f nin grafiğinin x-eksenine göre yansıtılmasıyla elde edilir. Gerçekten, (x,f(x)) ve (x,−f(x)) noktaları birbirinin x-ekseni etrafında yansımaları olduğundan, y = - f(x) in grafiği, y = f(x) in grafiğinin x – ekseni etrafında yansıtılmasıyla elde edilir. Bu durum aşağıdaki şekilde açıklanmıştır.

Örnek 1. y = x2 nin ve y= x in x-ekseni etrafında yansımaları. x y (0,0) x (x ,f(x)) f(x) y = f(x) i sağlar - f(x) _{(x ,- f(x))} y = -f(x) i sağlar

x

y

x

y

x

y

2.5.4. Germe ve Büzme. k(x) = c f(x) , c > 0 olsun. k fonksiyonunun grafiği ile f nin grafiği arasındaki ilişki, c>1 veya 0< c<1 oluşuna göre farklılık gösterir. Önce, c > 1 durumunu ele alalım. Aşağıdaki şekilden de anlaşılacağı üzere, eğer c > 1 ise, y = c f(x) in grafiği , y = f(x) in grafiğinin düşey doğrultuda gerilmiş bir biçimi olur.

Şimdi, 0<c<1 durumunu ele alalım. Aşağıdaki şekilden de anlaşılacağı üzere, eğer 0 < c < 1 ise, y = c f(x) in grafiği , y = f(x) in grafiğinin düşey doğrultuda büzülmüş bir biçimi olur.

Aşağıdaki örneklerde, grafik üzerrinde gösterilen noktalara da dikkat ederek düşey doğrultuda gerilme ve büzülme deyimlerinin anlamı üzerinde düşününüz.

x y (0,0) (x ,f(x)) f(x) c f(x) _{(x ,c f(x))} x y = c f(x) i sağlar y = f(x) i sağlar y = c f(x) i sağlar y = f(x) i sağlar x y (0,0) (x ,f(x)) f(x) c f(x) _{(x ,c f(x))} x

Örnek 1. y = f(x) = x2 nin gerilme ve büzülmeleri.

Örnek 2. y = f(x) = |x| in büzülme ve gerilmeleri. y = 2x2 x y (0,0) büzülme (1,1) (1,1/2) gerilme (1, 2) y = (1/2)x2 y = x2 y =|2x| x y (0,0) büzülme (1,1) (1,1/2) gerilme (1, 2) y =| (1/2)x| y = |x|

2.5.5. Kayma, Yansıma, Gerilme ve Büzülmelerin Art Arda Uygulanması. Pratikte karşılaştığımız fonksiyonlardan pek çoğu, elemanter fonksiyonlara daha önce gördüğümüz transformasyonların art arda uygulanmasıyla elde edilir.

Örnek 1. y = -3 |x - 1| + 2 nin grafiği, y = |x| in grafiğinden elde edilebilir.

y = |x| → y = |x - 1| → y = 3|x - 1| → y = -(3|x - 1| ) → y = -(3|x - 1| ) + 2

Örnek 2. y = x2 – 2x in grafiği, y = x2 nin grafiğinden elde edilebilir. y = x2 → y = (x-1)2 = x2 – 2x +1 → y = (x-1)2 –1 = x2 – 2x x y (0,0) y = x2 y = (x-1)2 y = x2_{– 2x} (1,0) (1,-1) y = 3 |x - 1| x y (0,0) (1,3) y = |x| y = |x - 1| y =-3 |x - 1| _{y =-3 |x - 1| + 2}

Örnek 3. y = 1−x +2 in grafiği, y = x in grafiğinden elde edilebilir.

x

y = → y= −x → y = −(x−1) = 1−x → y= 1−x+2

Örnek 4. Daha önce 2.3.5 te ele alınan problem için gelir fonksiyonunun grafiğini çizelim. Sözü edilen problemdeki gelir fonksiyonu

80 0 , 075 . 0 6 ) (_{x = x⋅p= x− x}2 _{≤ x≤} Ge

olarak belirlenmişti. Biraz aritmetik işlemle, gelir fonksiyonu için

), 1600 ) 40 (( 075 . 0 ) 800 ( 075 . 0 075 . 0 6 ) (_{x = x− x}2 _{=− x}2 _{− x =− x−} 2₋ Ge 120 ) 40 ( 075 . 0 ) (_{x =− x−} 2₊ Ge

ifadesi elde edilir. Dolayısıyla, aşağıdaki elemanter dönüşümler izlenerek, gelir fonksiyonunun grafiği _{y = x}2 _{kare fonksiyonunun grafiğinden elde edilir:}

x y (0,0) x y= x y = − 2 1− + = x y (1,0) (1,2) x y = 1−

2 2 2 2 2 2 075 . 0 6 120 ) 40 ( 075 . 0 ) 40 ( 075 . 0 ) 40 ( ) 400 ( x x x y x y x y x y x y − = + − − = → − − = → − − = → − = → =

Benzer şekilde, kâr fonksiyonu _K(_x)₌₋15₊4.8_x−0.075_x2 , 0_{≤ x≤}80 _{in grafiği} 8 . 61 ) 32 ( 075 . 0 ) (_{x =− x−} 2 ₊ K

ifadesinden yararlanılarak aşağıdaki gibi elde edilebilir.

2 2 2 2 2 2 075 . 0 8 . 4 15 8 . 61 ) 32 ( 075 . 0 ) 32 ( 075 . 0 ) 32 ( ) 32 ( x x x y x y x y x y x y − + − = + − − = → − − = → − − = → − = → = x y (0,0) 80 0 , 075 . 0 6 ₋ 2 _{≤ ≤} = x x x y (40,0) (80,0) (40,120) 80 0 , 075 . 0 8 . 4 15_{+ −} 2 _{≤ ≤} − = x x x y x y (0,0) _(32,0) (80,0) (32,61.8)

Problemler 2

1. f (x) = 2x + 3 ve g (x) = x2 _{+ 3 denklemleri ile tanımlanan f ve g fonksiyonları için}

a) f (-1) , f (0) , f (1) , f (2) , f ( 2 1 ) , f (x2_{) , f (} x 1 ) , f (x-1) , f (3x) değerlerini bulunuz. b) g (-1) , g (0) , f (1) , g (2) , g ( 2 1 ) , g (x2_{) , g (} x 1 ) , g(x-1) , g(3x) değerlerini bulunuz.

c) f ve g nin grafiklerini çiziniz.

2. Kenar uzunlukları x metre ve y metre olan bir dikdörtgenin alanı A ve çevre uzunluğu Ç

ile gösterilsin.

a) Dikdörtgenin alanı 25 metrekare ise, çevre uzunluğu Ç yi x in fonksiyonu olarak ifade

ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.

b) Dikdörtgenin alanı 81 metrekare ise, çevre uzunluğu Ç yi y nin fonksiyonu olarak ifade

ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.

c) Dikdörtgenin çevre uzunluğu 100 metre ise, alan A yı x in fonksiyonu olarak ifade

ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.

ç) Dikdörtgenin çevre uzunluğu 160 metre ise, alan A yı y nin fonksiyonu olarak ifade

ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.

3. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz

3 2 ) (_{x = x}3_−x2 ₊ f a) 4 2 ) ( + − = x x x f b) c) f(x)= 7−x x x f − = 7 1 ) ( ç) _{d) f(x)= x}3 ₊₃ 6 7 ) ( ₂ − + − = x x x x f e) 5 ₅ 1 ) ( − = x x f f) 1 1 ) ( ₃ − − = x x x f g) 6 7 ) ( 2_{+ −} − = x x x x f ğ)

4. Aşağıdaki denklemlerin hangisi, x bağımsız değişken ve y bağımlı değişken olmak üzere, bir

fonksiyon tanımlar? 15 7 3y− x= a) _{b) x− y}2 ₌1 _{c) x}2 _{+ y=10} ç) xy+ y−x=5 _{d) x}2_{+ y}2 ₌9 _{e) x}2_{− y}2 ₌₁₆

5. Aşağıda verilen f(x) için

h a f h a f( + )− ( ) ifadesini hesaplayınız. 4 3 ) (x = x− f a) _{b) f}(_x)₌4_x2 ₋5_x+1 _{c) f(x)=x}3 _{ç) f(x)= x} x x f( )= 1 d) _e) f₍x₎= x3 −x _{f) f(x)=}3 _x 1 1 ) ( + = x x f g)

6. Bilgisayarlar için hafıza çipi üreten bir firma, yaptırdığı analizler sonucu, x milyon adet çip

üretmesi durumunda toplam giderini Gi(x)=85+14x milyon YTL; çip başına satış fiyatını da p(x)=60−2.5x YTL olarak belirliyor. Bu firma en az bir milyon en çok yirmi milyon çip üretecektir. Firmanın ürettiği ürünün tamamını satacağını varsayarak

a) 6 milyon çip üretilmesi durumunda bir çipin satış fiyatını bulunuz. 10 milyon çip üretilmesi

durumunda bir çipin satış fiyatını bulunuz.

b) Gelir fonksiyonunu veren denklemi ve bu fonksiyonun tanım kümesini yazınız. 6 milyon ve 10 milyon çip üretilmesi durumunda firmanın gelirini ayrı ayrı belirleyiniz.

c) Kâr fonksiyonunu veren denklemi ve bu fonksiyonun tanım kümesini yazınız. 6 milyon ve

10 milyon çip üretilmesi durumunda firmanın kâr durumunu ayrı ayrı belirleyiniz.

7. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini elemanter fonksiyonların grafikleri üzerinde elemanter

dönüşümler uygulayarak çiziniz. 3 ) (x = x+ g a) _{b) h(x)= x( −4)}2 _{c) k(x)=− x} 4 ) 4 ( ) (_{x = x+} 2₊ f ç) 5 ) (x = x + m d) e) v(x)=0.5 x f) u(x)=5 x _g) f(x)₌3x2₋12x

8. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini elemanter fonksiyonların grafikleri üzerinde elemanter

dönüşümler uygulayarak çiziniz. 3 ) (x = x− + f a) _{b) h}(_x)_{= x}( ₋4)2 ₋3 _{c) k(x)=− x +3} 4 ) 3 ( ) (_{x =− x+} 2₊ m ç) _{d) g}(_x)_{= x}4( ₋2)2₋6 _{e) h(x)}=−_3x−₃ −₃

9. Bir tür fotoğraf makinesi üretip satan bir firmanın maliye bölümü, yaptığı araştırmalar

sonu-cunda, x bin adet fotograf makinesi üretilmesi durumunda toplam giderinin Gi(x)=500+45x bin YTL ve makine başına satış fiyatının p(x)=100−0.01(x−10)2 YTL olacağını belirliyor. Bu firma enaz 10 bin en çok 1000 bin fotoğraf makinesi üretecektir.

a) 50 bin fotoğraf makinesi üretilip satılması durumunda bir makinenin satış fiyatı ne

olacaktır?

b) Fiyat talep fonksiyonu p(x) in grafiğini çiziniz.

c) Gelir fonksiyonu Ge(x) i ifade ediniz ve 30 bin makine üretilip satılması durumunda ne kadar gelir elde edileceğini bulunuz.

ç) Kâr fonksiyonu K(x) i ifade ediniz ve 30 bin makine üretilip satılması durumunda ne kadar kâr elde edileceğini bulunuz.