KUADRATİK FORMLAR

KUADRATİK FORMLAR

KUADRATİK FORM

Tanım: Kuadratik Form

Bir q(x₁,x₂,…,xn) fonksiyonu ^q

 

^{x :n } şeklinde tanımlı ve xix_j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur. Bir kuadratik form şu şekilde yazılabilir:

 

^{x xTAx}

q 

Burada A, nn boyutlu eşsiz bir simetrik matristir. Aynı zamanda A, q karesel formunun tanım matrisi olarak da adlandırılır.

Kuadratik formlar kümesi

Q

_n

  q x x 

1

,

2

,..., x

_n

 

, ⁿ uzayından  uzayına tanımlı tüm doğrusal fonksiyonların bir alt kümesidir.

KUADRATİK FORM

Örnek:

Aşağıdaki kuadratik form için A matrisini bulunuz.

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

( , , ) 9 7 3 2 4 6

q x x x  x  x  x  x x  x x  x x

Çözüm:

aii  x_i² ‘lerin katsayısı 1 (

ij ji 2 i j

a  a  x x ‘lerin katsayısı)

O halde,

9 1 2

1 7 3

2 3 3

  

 

   

  

 

A

KÖŞEGENLEŞTİRME

Teorem: Bir Kuadratik Formun Köşegenleştirilmesi

 

^{x xTAx}

q

 bir kuadratik form ve A,

n×n boyutlu simetrik bir matris olsun.

 , A için ortanormal bir baz ve  

₁

,

₂

,..., 

_n

de ilgili özdeğerler olsun. O halde

 

1

1 2

1

0 0

0 0

0 0

n

n n

c c c

c







 

   

   

   

     

 

2 2 2

1 1 2 2

( ) ...

_{n n}

q x   c   c    c

Burada c

_i

_‘ler  ’ya göre x’in koordinatlarıdır.

KÖŞEGENLEŞTİRME

Örnek:

2 2

1 1 2 2

13x 10x x 13x  25 şeklinde tanımlanmış kuadratik formu ele alalım.

 

¹

2 2

1 1 2 2 1 2

2

13 5

13 10 13

5 13

x x x x x x x

x

  

 

        şeklinde matris notasyonunu kullanabiliriz.

13 5

5 13 0





 

  

1 8

  , ₂ 18

1 8

  için, özvektör ₁ 1 v  1

  

  ^; ² 18 için özvektör ₂ 1 v  1

  

  ’dir. Bulunan bu özvektörler ortogonaldir.

O halde bu kuadratik form şu şekilde yazılabilir:

2 2

1 2

8c 18c  25

Teorem: Herhangi bir gerçel A matrisi ve tüm gerçel x vektörleri için

x^TAx=0 eşitliği ancak ve ancak A matrisi çarpık simetrik ise sağlanır.

Teorem: Eğer A ve B matrisleri simetrik ise tüm gerçel x vektörleri için x^TAx= x^TBx eşitliği ancak ve ancak A=B ise sağlanır.

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Aşağıdaki denklem üzerinden özdeğerleri ele alalım.

2 2

1

2

1 2 2

ax



hx x



bx



c

Burada a, h, b sıfırdan farklıdır. ax₁²

 2

hx x_{1 2}



bx₂² _{İfadesi x1} ve x₂’ye göre bir kuadratik form olarak adlandırılır. Bu eşitlik aynı zamanda şu şekilde de gösterilebilir:

 

¹

2 2

1 1 2 2 1 2

2

2 a h x

^T

ax hx x bx x x

h b x

 

 

       

    x Ax

Burada ¹

2

x x

    

x  

ve a h

h b

 

  

 

A ’dir. A kuadratik formun tanım matrisi olarak

adlandırılır.

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Şimdi x1 ve x₂ eksenlerini saat yönünün tersine θ kadar çevirerek yeni eksenler

x

₁^' ve

x

₂^' elde edilsin. Eksenlerin dönüşümünü gösteren denklemler şu şekilde elde edilir:

Bir P matrisinin x₁ ve x₂ eksenine bağlı koordinatları (x¹, x₂),

x

₁^'ve

x

₂^' eksenine bağlı koordinatları da

 ^{x x}

^1'

^,

^2'



olsun. Aşağıdaki şekil göz önüne alınarak,

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

x1 '

x1 '

x2

x₂

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

1 cos( )

x OQ OP  

^OP



^{cos cos  sin sin }



^



^OPcos



^{cos }



^OPsin



^sin

ORcos PRsin  x₁^' cos x₂^' sin

Not:cos(x y) cos cosx ysin sinx y Aynı şekilde,

2 sin( )

x QP OP  

OP(sin sin  cos cos ) 

(OPsin ) sin  (OPcos ) cos 

' '

2 1sin 2cos

x  x   x 

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Bu dönüşüm denklemleri matris formunda şu şekilde gösterilebilir:

'

1 1

'

2 2

cos sin sin cos

x x

x x

 

 

  

   

  

   

 

   

Burada cos sin

sin cos

P  

 

  

  

  olmak üzere, P matrisi ortogonaldir. Yani PP

^T

 I

₂

dir. Ayrıca det(P)=1’dir. Bu özellikleri taşıyan matrislere “rotasyon matrisi” denir.

Ayrıca yeni koordinatları eski koordinatlar cinsinden elde etmek mümkündür.

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

' 1 1 ' 2 2

cos sin sin cos

T

x

x x x

 

 



     

  

     

   

  Y P x

Böylece x

₁^'

 x

₁

cos   x

₂

sin  ve x

₂^'

  x

₁

sin   x

₂

cos  olur. O halde,

   

^T

 

T

 

T T

x Ax PY A PY Y P AP Y Olur.

Buradan anlaşılacağı gibi P AP

^T

_’yi diag   

1

,

2

 gibi köşegen matris haline

getirecek herhangi bir θ açısı seçmek mümkündür.

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

   

' 2 2

' ' 1 1 ' '

1 2 ' 1 1 2 2

2 2

0 0

T x

x Ax x x x x

x

  



  

 

        

2 2

ax  2hxyby  c Denklemi yeni eksenlere göre ^1

 

^{x1' 2 2}

 

^{x2' 2  c haline}

dönüşmüştür. p₁ ve p₂ , P matrisinin sütunları olmak üzere aşağıdaki eşitlikler sağlanmaktadır:

1  1 1

Ap p ve Ap₂  ₂p₂

Bu denklemler ₁ ve₂ üzerine bir takım kısıtlamalar getirmektedir. Örneğin,

1 1

1

u v

   

p   olsun. İlk denklem,

1 1

1

1 1

u u

a h

v v

h b ^{ }  ^{ }

 

    

 

      ^{ya da}

1 1

1 1

0 0

a h u

h b v





      

        

    şekline dönüşür.

KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

İki bilinmeyenli, iki doğrusal denklemli bir homojen sistemle ilgilenildiği için,

¹

1

a h 0

h b





 



Aynı şekilde 

₂

de bu eşitliği sağlamaktadır. Genişletilmiş formda bu ifade

 

2 2

0

a b ab h

       olur. Bu denklemin reel kökleri

 

²

⁴ 

²

  

²

⁴

²

2 2

a b a b ab h a b a b h

  ^{    }  ^{   }

 

2 2

0

a b ab h

       denklemi, A matrisinin özdeğer denklemidir.

Yukarıdaki örnekte p

1

ve p

₂

,sırasıyla λ

1

ve λ

2

’ye karşılık gelen özvektörlerdir.

TEMEL EKSENLER

Tanım: Temel Eksenler

  ^{x x}

^T

^Ax

q  bir kuadratik form, A ise n×n boyutlu ve n farklı özdeğere sahip simetrik bir matris olsun. A’nın öz uzayları

(eigenspaces)’na q’nun temel eksenleri denir.

ELİPSLER VE HİPERBOLLER

Teorem: Elipsler ve Hiperboller



2

‘de tanımlı bir eğri olan C, şu şekilde tanımlanmıştır:

2 2

1 2 1 1 2 2

( , ) 1

q x x  ax  bx x  cx 

q’nun matrisi olan 2 2

a b

b c

 

 

 

 

‘nın özdeğerleri 

₁

ve 

₂

^olsun.

Eğer 

₁

ve 

₂

pozitifse C bir elips, biri pozitif diğeri negatifse C bir hiperboldür.

ELİPSLER VE HİPERBOLLER

1.durum:

q x x ( ,

_{1 2}

)  ax

₁²

 bx x

_{1 2}

 cx

₂²

 1

, b>a>0. Bu durumda eğri bir elipstir ve eksenleri kestiği noktalar

1 a

ve

1 b

’dir. O halde,

2 2

a b

b c





  

  

 

1 2

1 0

cos sin

0 1

x a

x  ^{ }  ^ b ^

       

       

2.durum:

q x x ( ,

_{1 2}

)  ax

₁²

 bx x

_{1 2}

 cx

₂²

 1

, a>0 ve b<0. Bu durumda eğrü hiperboldür.

2 2

a b

b c





   

  

 

ELİPSLER VE HİPERBOLLER

1.durum 2.durum

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

Tanım: Temel Alt Matrisler ve Pozitif Tanımlılık

A, nxn boyutlu simetrik bir matris olmak üzere;

m  1,..., n

_için

A

^{( )m} de A’nın m’ye kadar olan satır ve sütunlarının çıkarılmasıyla elde edilen mxm’lik bir matris ise bu

A

^{( )m} matrislerine A’nın temel alt matrisleri denir.

A matrisi tüm

m  1,..., n

_için

det( A

^{( )m}

)  0

koşulu sağlanıyorsa pozitif tanımlıdır.

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

Örnek:

9 1 2

1 7 3

2 3 3

A

  

 

    

  

 

matrisi pozitif tanımlı mıdır?

Çözüm:

 

det( A

(1)

)  det 9   9 0

(2)

9 1

det( ) det 62 0

1 7

A   

       

 

det( A

(3)

)  det A  89  0

Böylece A’nın pozitif tanımlı olduğunu söyleyebiliriz.

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

Tanım: Özdeğerler ve Pozitif Tanımlılık

Simetrik bir A matrisi sadece ve sadece tüm özdeğerleri pozitif olduğunda pozitif tanımlıdır. Eğer özdeğerleri pozitif veya sıfırsa A matrisi yarı pozitif tanımlıdır.

Determinant, özdeğerlerden oluştuğu için pozitif tanımlı bir matrisin determinantı da

pozitiftir. Fakat tersi durum geçerli değildir.

Özdeğerlerinden biri pozitif ve diğer ikisi negatif olan 3×3 boyutlu bir A matrisini ele alalım. det(A) pozitiftir fakat ^q

 

^x  ^xTAx pozitif tanımlı değildir.

A matrisi nn boyutlu simetrik bir matris ve x vektörü n elemanlı bir sütun vektörü ise karesel formun genel yapısı,

2

11 1 2 12 2 2 13 1 3 2 1 1

T

1 n n

a x a x x a x x a x x

    

x Ax

n nx x a

x x a x

a_{22 2}² 2 _{23 2 3} 2 _{2 2}

  

n nx x a

x

a_{33 3}² 2 _{3 3}

 



  a_nnx_n² ifadesi ile verilebilir.

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

Tanım: Bir Kuadratik Formun Tanımlılığı

 

^{x xTAx}

q  bir kuadratik form ve A, n×n boyutlu simetrik bir matris olsun.

Eğer



ⁿ ‘de x’in tüm sıfır olmayan değerleri için q x

( )

pozitifse A pozitif tanımlı,

( ) 0

q x



ise A pozitif yarı tanımlıdır.

Eğer q hem pozitif hem de negatif değerler alabiliyorsa A belirsiz (indefinite)’dir.

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

Tüm x≠0 sütun vektörleri için eğer x

^T

Ax>0 ise karesel form ve A matrisi pozitif tanımlıdır. Eğer tüm x≠0 sütun vektörleri için x

^T

Ax0 ise karesel form ve matris pozitif yarı tanımlıdır. Yukarıdaki eşitsizliklerin yönü

değiştirilerek negatif tanımlı ve negatif yarı tanımlı karesel form ve matrisler

tanımlanabilir. Eğer bir form bazı x vektörleri için pozitif, diğerleri için negatif

ise tanımsızdır.