KUADRATİK FORMLAR
KUADRATİK FORM
Tanım: Kuadratik Form
Bir q(x1,x2,…,xn) fonksiyonu q
x :n şeklinde tanımlı ve xixj bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur. Bir kuadratik form şu şekilde yazılabilir:
x xTAxq
Burada A, nn boyutlu eşsiz bir simetrik matristir. Aynı zamanda A, q karesel formunun tanım matrisi olarak da adlandırılır.
Kuadratik formlar kümesi
Q
n q x x
1,
2,..., x
n
, n uzayından uzayına tanımlı tüm doğrusal fonksiyonların bir alt kümesidir.KUADRATİK FORM
Örnek:
Aşağıdaki kuadratik form için A matrisini bulunuz.
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 9 7 3 2 4 6
q x x x x x x x x x x x x
Çözüm:
aii xi2 ‘lerin katsayısı 1 (
ij ji 2 i j
a a x x ‘lerin katsayısı)
O halde,
9 1 2
1 7 3
2 3 3
A
KÖŞEGENLEŞTİRME
Teorem: Bir Kuadratik Formun Köşegenleştirilmesi
x xTAxq
bir kuadratik form ve A,
n×n boyutlu simetrik bir matris olsun. , A için ortanormal bir baz ve
1,
2,...,
nde ilgili özdeğerler olsun. O halde
1
1 2
1
0 0
0 0
0 0
n
n n
c c c
c
2 2 2
1 1 2 2
( ) ...
n nq x c c c
Burada c
i‘ler ’ya göre x’in koordinatlarıdır.
KÖŞEGENLEŞTİRME
Örnek:
2 2
1 1 2 2
13x 10x x 13x 25 şeklinde tanımlanmış kuadratik formu ele alalım.
12 2
1 1 2 2 1 2
2
13 5
13 10 13
5 13
x x x x x x x
x
şeklinde matris notasyonunu kullanabiliriz.
13 5
5 13 0
1 8
, 2 18
1 8
için, özvektör 1 1 v 1
; 2 18 için özvektör 2 1 v 1
’dir. Bulunan bu özvektörler ortogonaldir.
O halde bu kuadratik form şu şekilde yazılabilir:
2 2
1 2
8c 18c 25
Teorem: Herhangi bir gerçel A matrisi ve tüm gerçel x vektörleri için
xTAx=0 eşitliği ancak ve ancak A matrisi çarpık simetrik ise sağlanır.
Teorem: Eğer A ve B matrisleri simetrik ise tüm gerçel x vektörleri için xTAx= xTBx eşitliği ancak ve ancak A=B ise sağlanır.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Aşağıdaki denklem üzerinden özdeğerleri ele alalım.
2 2
1
2
1 2 2ax
hx x
bx
cBurada a, h, b sıfırdan farklıdır. ax12
2
hx x1 2
bx22 İfadesi x1 ve x2’ye göre bir kuadratik form olarak adlandırılır. Bu eşitlik aynı zamanda şu şekilde de gösterilebilir:
12 2
1 1 2 2 1 2
2
2 a h x
Tax hx x bx x x
h b x
x Ax
Burada 1
2
x x
x
ve a hh b
A ’dir. A kuadratik formun tanım matrisi olarak
adlandırılır.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Şimdi x1 ve x2 eksenlerini saat yönünün tersine θ kadar çevirerek yeni eksenler
x
1' vex
2' elde edilsin. Eksenlerin dönüşümünü gösteren denklemler şu şekilde elde edilir:Bir P matrisinin x1 ve x2 eksenine bağlı koordinatları (x1, x2),
x
1'vex
2' eksenine bağlı koordinatları da x x
1',
2'
olsun. Aşağıdaki şekil göz önüne alınarak,KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
x1 '
x1 '
x2
x2
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
1 cos( )
x OQ OP
OP
cos cos sin sin
OPcos
cos
OPsin
sinORcos PRsin x1' cos x2' sin
Not:cos(x y) cos cosx ysin sinx y Aynı şekilde,
2 sin( )
x QP OP
OP(sin sin cos cos )
(OPsin ) sin (OPcos ) cos
' '
2 1sin 2cos
x x x
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Bu dönüşüm denklemleri matris formunda şu şekilde gösterilebilir:
'
1 1
'
2 2
cos sin sin cos
x x
x x
Burada cos sin
sin cos
P
olmak üzere, P matrisi ortogonaldir. Yani PP
T I
2dir. Ayrıca det(P)=1’dir. Bu özellikleri taşıyan matrislere “rotasyon matrisi” denir.
Ayrıca yeni koordinatları eski koordinatlar cinsinden elde etmek mümkündür.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
' 1 1 ' 2 2
cos sin sin cos
T
x
x x x
Y P x
Böylece x
1' x
1cos x
2sin ve x
2' x
1sin x
2cos olur. O halde,
T
T
T Tx Ax PY A PY Y P AP Y Olur.
Buradan anlaşılacağı gibi P AP
T’yi diag
1,
2 gibi köşegen matris haline
getirecek herhangi bir θ açısı seçmek mümkündür.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
' 2 2
' ' 1 1 ' '
1 2 ' 1 1 2 2
2 2
0 0
T x
x Ax x x x x
x
2 2
ax 2hxyby c Denklemi yeni eksenlere göre 1
x1' 2 2
x2' 2 c halinedönüşmüştür. p1 ve p2 , P matrisinin sütunları olmak üzere aşağıdaki eşitlikler sağlanmaktadır:
1 1 1
Ap p ve Ap2 2p2
Bu denklemler 1 ve2 üzerine bir takım kısıtlamalar getirmektedir. Örneğin,
1 1
1
u v
p olsun. İlk denklem,
1 1
1
1 1
u u
a h
v v
h b
ya da
1 1
1 1
0 0
a h u
h b v
şekline dönüşür.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
İki bilinmeyenli, iki doğrusal denklemli bir homojen sistemle ilgilenildiği için,
1
1
a h 0
h b
Aynı şekilde
2de bu eşitliği sağlamaktadır. Genişletilmiş formda bu ifade
2 2
0
a b ab h
olur. Bu denklemin reel kökleri
24
2
24
22 2
a b a b ab h a b a b h
2 2
0
a b ab h
denklemi, A matrisinin özdeğer denklemidir.
Yukarıdaki örnekte p
1ve p
2,sırasıyla λ
1ve λ
2’ye karşılık gelen özvektörlerdir.
TEMEL EKSENLER
Tanım: Temel Eksenler
x x
TAx
q bir kuadratik form, A ise n×n boyutlu ve n farklı özdeğere sahip simetrik bir matris olsun. A’nın öz uzayları
(eigenspaces)’na q’nun temel eksenleri denir.
ELİPSLER VE HİPERBOLLER
Teorem: Elipsler ve Hiperboller
2‘de tanımlı bir eğri olan C, şu şekilde tanımlanmıştır:
2 2
1 2 1 1 2 2
( , ) 1
q x x ax bx x cx
q’nun matrisi olan 2 2
a b
b c
‘nın özdeğerleri
1ve
2olsun.
Eğer
1ve
2pozitifse C bir elips, biri pozitif diğeri negatifse C bir hiperboldür.
ELİPSLER VE HİPERBOLLER
1.durum:
q x x ( ,
1 2) ax
12 bx x
1 2 cx
22 1
, b>a>0. Bu durumda eğri bir elipstir ve eksenleri kestiği noktalar1 a
ve1 b
’dir. O halde,2 2
a b
b c
1 2
1 0
cos sin
0 1
x a
x b
2.durum:
q x x ( ,
1 2) ax
12 bx x
1 2 cx
22 1
, a>0 ve b<0. Bu durumda eğrü hiperboldür.2 2
a b
b c
ELİPSLER VE HİPERBOLLER
1.durum 2.durum
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER
Tanım: Temel Alt Matrisler ve Pozitif Tanımlılık
A, nxn boyutlu simetrik bir matris olmak üzere;
m 1,..., n
içinA
( )m de A’nın m’ye kadar olan satır ve sütunlarının çıkarılmasıyla elde edilen mxm’lik bir matris ise buA
( )m matrislerine A’nın temel alt matrisleri denir.A matrisi tüm
m 1,..., n
içindet( A
( )m) 0
koşulu sağlanıyorsa pozitif tanımlıdır.POZİTİF TANIMLI MATRİSLER
Örnek:
9 1 2
1 7 3
2 3 3
A
matrisi pozitif tanımlı mıdır?
Çözüm:
det( A
(1)) det 9 9 0
(2)
9 1
det( ) det 62 0
1 7
A
det( A
(3)) det A 89 0
Böylece A’nın pozitif tanımlı olduğunu söyleyebiliriz.
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER
Tanım: Özdeğerler ve Pozitif Tanımlılık
Simetrik bir A matrisi sadece ve sadece tüm özdeğerleri pozitif olduğunda pozitif tanımlıdır. Eğer özdeğerleri pozitif veya sıfırsa A matrisi yarı pozitif tanımlıdır.
Determinant, özdeğerlerden oluştuğu için pozitif tanımlı bir matrisin determinantı da
pozitiftir. Fakat tersi durum geçerli değildir.
Özdeğerlerinden biri pozitif ve diğer ikisi negatif olan 3×3 boyutlu bir A matrisini ele alalım. det(A) pozitiftir fakat q
x xTAx pozitif tanımlı değildir.A matrisi nn boyutlu simetrik bir matris ve x vektörü n elemanlı bir sütun vektörü ise karesel formun genel yapısı,
2
11 1 2 12 2 2 13 1 3 2 1 1
T
1 n n
a x a x x a x x a x x
x Ax
n nx x a
x x a x
a22 22 2 23 2 3 2 2 2
n nx x a
x
a33 32 2 3 3
annxn2 ifadesi ile verilebilir.
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER
Tanım: Bir Kuadratik Formun Tanımlılığı
x xTAxq bir kuadratik form ve A, n×n boyutlu simetrik bir matris olsun.
Eğer
n ‘de x’in tüm sıfır olmayan değerleri için q x( )
pozitifse A pozitif tanımlı,( ) 0
q x
ise A pozitif yarı tanımlıdır.Eğer q hem pozitif hem de negatif değerler alabiliyorsa A belirsiz (indefinite)’dir.