GRAFİK ÇİZME STRATEJİSİ
1. Fonksiyonun tanım aralığı belirlenir.
2. Fonksiyon bir kapalı aralıkta tanımlıysa, uç noktalardaki değerleri hesaplanır.
3. Eğer periyodik ise, fonksiyonun periyodu bulunur. Esas periyotta çizim yapılır; diğer aralıklarda çizim
tekrarlanır.
4. fonksiyonun tek veya çift olup olmadığına bakılır.
Çift ise, x0 için çizim yapılır; oluşan görüntünün Oy eksenine göre simetriği alınarak, çizim tamamlanır.
Tek ise, x0 için çizim yapılır; oluşan görüntünün orjine göre simetriği alınarak, çizim tamamlanır.
5. Eğrinin eksenleri kestiği noktalar belirlenir.
6. Varsa asimptotlar belirlenir.
7. Fonksiyon R de (reel sayılar da) tanımlıysa, x için fonksiyonun limiti hesaplanır.
8. Fonksiyonun birinci türevi alınarak artan ya da azalan olduğu aralıklar belirlenir; ekstremum noktaları hesaplanır.
9. Fonksiyonun ikinci türevi alınarak eğrilik yönünün yukarı ya da aşağı olduğu aralıklar belirlenir; dönme noktaları hesaplanır.
10. Elde edilen bilgilere göre, değişim tablosu yapılır.
11. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir.
Bazı grafiklerin çiziminde, yukarıdaki bilgilerin aynı anda hepsine ihtiyaç duyulmayabilir.
A. Polinom Fonksiyonların Grafiği
Polinom biçimindeki fonksiyonlar (,) aralığında tanımlıdır. Bu fonksiyonların asimptotu olamaz.
Örnek:
x 3 12 x ) x (
f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
e. Fonksiyonun tanım kümesi A(,) R dir.
f. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0
x için f(0)03 12.00 dır.
Buna göre, fonksiyon Oy eksenini (0,0) noktasında keser.
0
y için f(x)x3 12.x0 ise
3 2 x veya 3 2 x 2 12
x tür.
Buna göre, fonksiyon Ox eksenini (2 3,0) ve )
0 , 3 2
( noktalarında keser.
g.
(x3 12x) x lim
h. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
2 x veya 2 x 0 2 12 x 3 ) x '(
f dir.
2
x için f(2)(2)3 12.(2)16 dır.
2
x için f(2)23 12.216 dır.
İstenirse yukarıdaki değişim tablosu göz önüne alınarak grafik çizilebilir. Çünkü tablodan şunları çıkarabiliriz: fonksiyon dan 2 ye kadar artan değerler almakta, (2,16) noktasında yerel maksimum oluşmakta, 2 den 2 ye kadar azalan değerler almakta, (2,16) noktasında yerel minimum oluşmakta, 2 den a kadar artan değerler almaktadır.
Sezgisel olarak, (2,2) aralığında bir dönme noktası olduğu görülmektedir. Bu nokta merak edilirse, ikinci türeve bakılır.
5. Fonksiyonun ikinci türevini alalım:
2 12 x 3 ) x '( f x 3 12 x ) x (
f
f ''(x)6x0x0 dır.
Fonksiyonun eğrilik yönü x0 için aşağı, x0 için yukarı; (0,0) noktası dönme noktasıdır.
6. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir
Grafik dikkatle incelenirse, yukarıda belirtilen bütün bilgilerin doğrulandığı görülür.
Ayrıca, grafiği çizmek için, ikinci türeve bakılmayabileceği görülür.
Uyarı
Grafik çizimini daha az işlemle, örneğin değişim tablosuna gerek duymadan sonuçlandırabilecek bir yaklaşım ortaya koymalıyız.
Bunun için bazı kolaylıkları ortaya koyacağız.
Kural 0 ) x (
f denkleminin tek katlı köklerinde eğri Ox eksenini keser, çift katlı köklerinde eğri Ox eksenine teğettir.
Örnek:
)2 4 x 3.(
) x 1 ( ) x (
f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi A(,) R dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0
x için f(0)(10)3.(04)2 16 dır.
Buna göre, fonksiyon Oy eksenini (0,16) noktasında keser.
0
y için f(x)(1x)3.(x4)2 0 ise
2 0 4) (x veya 3 0 ) x 1
( dır.
1 x 3 0 ) x 1
( tek katlı köktür.
4 x 2 0 ) 4 x
( çift katlı köktür.
Buna göre, fonksiyon Ox eksenini (1,0) noktasında keser, (4,0) noktasında ise eğri Ox eksenine teğettir.
3.
)2 4 x 3.(
) x 1 ( x lim
)2 4 x 3.(
) x 1 ( x lim
Şimdilik eğriye dair üç bilgi ürettik. Bu üç bilgiyi sağlayacak şekilde, grafiği yaklaşık olarak çizelim:
Çizilen grafiğin doğru olup olmadığını sorgulayalım:
72 ) 1 ( f
216 ) 5 ( f
36 ) 2 (
f dır.
Bulunan değerlerin yaklaşık olarak doğrulandığı görülür.
Örnek:
)2 1 x 2.(
) 2 x ( ) x (
f fonksiyonunun grafiğini kısa yoldan çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi A(,) R dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0
x için f(0)(02)2.(01)2 4 tür.
Buna göre, fonksiyon Oy eksenini (0,4) noktasında keser.
0
y için f(x)(x2)2.(x1)2 0 ise
1 x veya 2 2 x
) 1 x 2.(
) 2 x (
0 dir.
Hem x2 hem de x1 çift katlı köktür. Buna göre, eğri x2 ve x1 noktalarında Ox eksenine teğet olur.
3.
)2 1 x 2.(
) 2 x ( x lim
)2 1 x 2.(
) 2 x ( x lim
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
)2 2 2 x x 2 ( ) 1 x 2.(
) 2 x ( ) x (
f
0 ) 1 x 2 ).(
2 2 x x .(
2 ) x '(
f
0 ) 1 x 2 ).(
1 x ).(
2 x .(
2
2 -1 x veya 1 x veya 2
x
dir.
2
x için f(2)0 dır.
2 x1 için
16 ) 81 2 ( 1
f dır.
1
x için f(1)0 dır.
İstenirse yukarıdaki değişim tablosu göz önüne alınarak grafik çizilebilir. Çünkü tablodan şunları çıkarabiliriz: fonksiyon dan 2 ye kadar azalan değerler almakta, (2,0) noktasında yerel minimum oluşmakta, 2 den
2
1 ye kadar artan değerler
almakta, )
16 ,81 2
(1 noktasında yerel maksimum
oluşmakta, 2
1 den 1 e kadar azalan değerler
almakta, (1,0) noktasında yerel minimum oluşmakta, 1 den a kadar artan değerler almaktadır.
5. Değişim tablosuna göre grafiği çizelim.
Grafik dikkatle incelenirse, yukarıda belirtilen bütün bilgilerin doğrulandığı görülür.
Ayrıca, grafiği çizmek için, ikinci türeve bakılmayabileceği görülür.
Örnek:
) 4 x 2.(
) 2 x 8.(
) 1 x (
f fonksiyonunun grafiğini kısa yoldan çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi A(,) R dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0
x için .(0 2)2.(0 4) 2 8
) 1 0 (
f dir.
Buna göre, fonksiyon Oy eksenini (0,2) noktasında keser.
0
y için .(x 2)2.(x 4) 0 8
) 1 x (
f ise
4 x veya 2 x ) 4 x 2.(
) 2 x (
0 dir.
2
x çift katlı köktür. Buna göre, eğri x2 de Ox eksenine teğettir. x4 tek katlı köktür. Buna göre, eğri
4
x de Ox eksenini keser.
3.
.(x 2)2.(x 4) 8
1 x lim
.(x 2)2.(x 4) 8
1 x lim
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
8 16 x 3 12 ) x 4 x 2.(
) 2 x 8.(
) 1 x (
f
2 x veya 2 x 8 0
2 12 x ) 3 x '(
f
dir.
2
x için f(2)4 tür.
2
x için f(2)0 dır.
İstenirse yukarıdaki değişim tablosu göz önüne alınarak grafik çizilebilir. Çünkü tablodan şunları çıkarabiliriz: fonksiyon dan 2 ye kadar artan değerler almakta, (2,4) noktasında yerel maksimum oluşmakta, 2 den 2 ye kadar azalan değerler almakta, (2,0) noktasında yerel minimum oluşmakta, 2 den a kadar artan değerler almaktadır.
Sezgisel olarak, (2,2) aralığında bir dönme noktası olduğu görülmektedir. Bu nokta merak edilirse, ikinci türeve bakılır.
5. Fonksiyonun ikinci türevini alalım:
0 x 8 0
x ) 6 x ''( 8 f
2 12 x ) 3 x '(
f
dır.
Fonksiyonun eğrilik yönü x0 için aşağı, x0 için yukarı; (0,0) noktası dönme noktasıdır.
6. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir Grafik dikkatle incelenirse, yukarıda belirtilen bütün bilgilerin doğrulandığı görülür.
Ayrıca, grafiği çizmek için, ikinci türeve bakılmayabileceği görülür.
E. Asimptotlar
Bir eğrinin herhangi bir kolu başka bir eğriye (ya da doğruya) yakınsıyorsa, yakınsanan eğriye (ya da doğruya) asimptot denir.
Asimptotlar kendi özelliğine göre ad alır. Örneğin, düşey bir doğrudan oluşan asimptota, düşey asimptot; yatay bir doğrudan oluşan asimptota, yatay asimptot; düşey ya da düşey olmayan bir doğrudan oluşan asimptota, eğik asimptot; bir eğriden oluşan asimptota eğri asimptot denir.
1. Düşey Asimptot
Eğri; fonksiyonun paydasının köklerinde düşey asimptotlara sahiptir.
) x ( Q
) x (
y P olmak üzere, Q(x)0 denkleminin kökleri
xn ,..., x2 1,
x olsun. y eğrisinin düşey asimptotlarının denklemleri:
xn x ,..., x2 x 1, x
x doğrularıdır.
Örnek:
2 x y 1
eğrisinin düşey asimptotunu bulalım.
Çözüm:
2 x y 1
eğrisinin düşey asimptotu 2
x 0 2
x dir.
Eğrinin grafiğinin nasıl çizileceğini ileride vereceğiz. Şimdi yoğunlaşmamız gereken konu, x2 doğrusunun eğrinin düşey asimptotu oluşudur. Paydanın kökü olduğu içinx2 doğrusunun eğrinin düşey asimptotu olduğu açıktır.(aşikardır)
Eğrinin x2 koşulunu sağlayan kolunun x2 doğrusuna uzaklığını inceleyelim:
A1 noktasının x2 doğrusuna en yakın noktası
B1 olsun Daha yukarıda olan
A2 noktasının x2 doğrusuna en yakın noktası
B2; A3 noktasının x2 doğrusuna en yakın noktası
B3 olsun.
0 3 ...
3B 2 A 2B 1 A 1B
A
olduğu görülür. Yani eğrinin kolu, x2 doğrusuna yakınsamaktadır; x2 doğrusu düşey asimptottur.
Örnek:
) 1 x )(
2 x ( y 1
eğrisinin düşey asimptotlarını bulalım.
Çözüm:
Paydayı sıfır yapan değerler düşey asimptot olacağından,
0 ) 1 x ).(
2 x
( ise
-1 x veya 2
x dir.
2
x ve x1doğruları düşey asimptottur.
2. Yatay Asimptot
) x ( Q
) x (
y P olmak üzere, y c
x lim
, (cR) ise yatay asimptot vardır. Yatay asimptotun denklemi, yc dir.
Örnek:
2 1 x
4 x
x lim
olduğu için
2 x
4 y x
eğrisinin yatay
asimptotu y1 doğrusudur.
Paydanın kökü olduğu için x2 doğrusu eğrinin düşey asimptotudur.
Eğrinin eksenleri kesim noktalarını bulursak, kabaca grafik ortaya çıkar.
Örnek:
3 2 x
1 x 2
x lim
olduğu için
3 x
1 x y 2
eğrisinin yatay asimptotu 2
y doğrusudur.
Paydanın kökü olduğu için 3
x doğrusu eğrinin düşey asimptotudur.
Eğrinin eksenleri kesim noktalarını bulursak, kabaca grafik yandaki şekilde olduğu gibi ortaya çıkar.
3. Eğik Asimptot
) x ( Q
) x (
y P denkleminde P(x)in derecesi Q(x)in
derecesinden 1 büyük ise
) x ( Q
) x (
y P eğrisinin bir eğik
asimptotu vardır.
Eğik asimptotun denklemi P(x)in Q(x) e bölümüyle bulunur.
Örnek:
2 x
2 1 x y 2
eğrisinin eğik asimptotunun denklemini bulalım
Çözüm:
Paydaki ifadenin derecesi paydadaki ifadenin derecesinden 1 büyük olduğu için
2 x
2 1 x y 2
eğrisinin bir eğik asimptotu vardır.
4 x 2
y doğrusu
2 x
2 1 x y 2
eğrisinin eğik asimptotudur.
Paydanın kökü olduğu için 2
x doğrusu eğrinin düşey asimptotudur.
Eğrinin eksenleri kesim noktalarını bulursak, kabaca grafik yukarıdaki şekilde olduğu gibi ortaya çıkar.
Örnek:
Yukarıdaki şekilde grafiği verilen eğrinin eğik asimptotu x
y doğrusudur.
4. Eğri Asimptot
) x ( Q
) x (
y P denkleminde P(x)in derecesi Q(x)in
derecesinden en az 2 büyük ise
) x ( Q
) x (
y P eğrisinin bir eğri
asimptotu vardır.
Eğik asimptotun denklemi P(x)in Q(x) e bölümüyle bulunur.
Örnek:
1 x
3 x y x
eğrisinin eğri asimptotunun denklemini bulalım
Çözüm:
Paydaki ifadenin derecesi paydadaki ifadenin derecesinden 2 büyük olduğu için
1 x 3 x y x
eğrisinin bir eğri asimptotu vardır.
2 2 x x
y eğrisi
1 x 3 x y x
eğrisinin eğri asimptotudur.
Örnek:
Yandaki şekilde grafiği verilen
eğrinin eğri asimptotu yx2 eğrisidir.
C. Rasyonel Fonksiyonların Grafikleri Örnek:
2 x ) 1 x (
f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi AR{2} dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0 x için
2 1 2 0 ) 1 0 (
f
dir.
Buna göre, eğri Oy eksenini ) 2 , 1 0
( noktasında keser.
0
y için 0
2 x ) 1 x (
f
ise bu koşulu sağlayan, bir x reel sayısı olmadığından eğri Ox eksenini kesmez.
3. Paydanın kökü olan, x2 düşey asimptottur.
2 0 x
1
x lim
olduğuna göre y0 doğrusu yatay asimptottur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
2 0 ) 2 x ( ) 1 x '(
f
ise bu koşulu sağlayan,
bir x reel sayısı olmadığından türev daima (x2) negatif, yani fonksiyon tanımlı olduğu değerler için, daima azalandır.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir.
Örnek:
2 x
1 x ) 2 x (
f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
f. Fonksiyonun tanım kümesi AR{2} dir.
g. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0 x için
2 1 2 0
1 0 . ) 2 0 (
f
dir.
Buna göre, eğri Oy eksenini ) 2 ,1 0
( noktasında keser.
0 y için
2 x 1 2 0
x 1 x ) 2 x (
f
dir.
Buna göre, eğri Ox eksenini ,0) 2
( 1 noktasında keser.
h. Paydanın kökü olan, x2 düşey asimptottur.
2 2 x
1 x 2
x lim
olduğuna göre y2 doğrusu
yatay asimptottur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
2 0 ) 2 x (
5 )2
2 x (
) 1 x 2 .(
1 ) 2 x .(
) 2 x '(
f
ise bu
koşulu sağlayan, bir x reel sayısı olmadığından türev
daima (x2) pozitif, yani fonksiyon tanımlı olduğu değerler için, daima artandır.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir.
Örnek:
)2 1 x (
2 ) x
x ( f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi AR{1} dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0
x için 2
)2 1 0 (
2 ) 0 0 (
f
dir.
Buna göre, eğri Oy eksenini (0,2) noktasında keser.
0
y için 0 x 2
)2 1 x (
2 ) x
x (
f
dir.
Buna göre, eğri Ox eksenini (2,0) noktasında keser.
3. Paydanın kökü olan, x1 düşey asimptottur.
2 2 ) 1 x (
2 x
x lim
olduğuna göre y0 doğrusu
yatay asimptottur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
4 0 ) 1 x (
) 2 x ).(
1 x .(
2 2 ) 1 x .(
) 1 x '(
f
5 x veya 1 x 4 0
) 1 x (
5 x 2 4
x
tir.
5 x için
12 1 )2 1 5 (
2 ) 5 5 (
f
dir. Buna göre
fonksiyonun maksimum noktası ) 12 , 1 5
( dir.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir.
Fonksiyonun belirttiği eğri (2,0) noktasında yatay asimptot olan y0 doğrusunu kesti.
Eğri x5 te maksimum değerini aldıktan sonra x için y0 a yani yatay asimptota yakınsar.
Uyarı
Fonksiyonun belirttiği eğri düşey asimptotların dışında kalan diğer (yatay, eğik, eğri) asimptotları kesebilir.
Örneğin,
)2 1 x (
2 ) x x ( f
fonksiyonunun belirttiği eğri x2
noktasında yatay asimptot olan y0 doğrusunu kesmiştir.
Örnek:
2 x
1 2 x ) x x (
f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi AR{2} dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0 x için
2 1 2 0
1 2 0 ) 0 0 (
f
dir.
Buna göre, eğri Oy eksenini ) 2 ,1 0
( noktasında keser.
0
y için 0
2 x
1 2 x ) x x (
f
ise,
2 5 x 1
veya
2 5 x 1
dir.
Buna göre, eğri Ox eksenini
0 2 ,
5
1 ve
0 2 ,
5
1 noktalarında keser.
3. Paydanın kökü olan, x2 düşey asimptottur.
Payın derecesi paydanın derecesinden 1 büyük olduğuna göre eğik asimptot vardır.
Eğik asimptotun denklemi yx1 olarak bulunur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
2 0 ) 2 x (
) 2 x ).(
1 2 x x .(
1 ) 2 x ).(
1 x 2 ) ( x '(
f
3 x veya 1 x 2 0
) 2 x (
3 x 2 4
x
tür.
1
x için 1
2 1
1 2 1 ) 1 1 (
f
dir.
Buna göre fonksiyonun maksimum noktası (1,1) dir.
3
x için 5
2 3
1 2 3 ) 3 3 (
f
tir.
Buna göre fonksiyonun minimum noktası (3,5) tir.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir.
Örnek:
x 3 2 ) x x (
f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi AR{0} dır.
2. x0 düşey asimptot olduğu için, eğri Oy eksenini kesmez.
0
y için 0 x 3 2
x 3 2 ) x x (
f
dir.
Buna göre, eğri Ox eksenini 3 2,0 noktasında keser.
3. Paydanın kökü olan, x0 düşey asimptottur.
Payın derecesi paydanın derecesinden 2 büyük olduğuna göre eğri asimptot vardır.
x 2 2 x x 2 x x3 x 3 2 ) x x (
f
olduğuna göre, y x2 parabolü eğri asimptottur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
2 0 x 3 2 x 2 x2
) 3 2 x .(
1 x 2. x ) 3 x '(
f
1 x 3 1
x 0 3 2 x
2
dir.
1
x için 3
1 3 2 ) 1 ) ( 1 (
f
tir.
Buna göre fonksiyonun minimum noktası (1,3) tür.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir
Örnek:
1 x 2 2 x
x 2 2 ) x x ( f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi AR{1} dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0
x için 0
1 0 . 2 2 0
0 . 2 2 ) 0 0 (
f
dır.
Buna göre, eğri Oy eksenini (0,0) noktasında keser.
0
y için 0
1 x 2 2 x
x 2 2 ) x x (
f
ise,
0 x
veya x2 dir.
Buna göre, eğri Ox eksenini 2,0 ve 0,0
noktalarında keser.
3. Paydanın kökü olan, x1 düşey asimptottur.
1 1 x 2 2 x
x 2 2 x
x lim
olduğuna göre y1
doğrusu yatay asimptottur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
4 0 ) 1 x (
) x 2 2 x ).(
1 x .(
2 2 ) 1 x ).(
2 x 2 ) ( x '(
f
1 x 0 ) 1 x .(
2
1
x için
0
1 1 ) 1 .(
2 2 ) 1 (
) 1 .(
2 2 ) 1 ) ( 1 (
f
olduğundan fonksiyonun yerel minimum noktası yoktur.
