Mukavemet-I. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

(1)

Mukavemet-I

Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

(2)

Bölüm 4

Basit Eğilme

Kaynak: ‘Cisimlerin Mukavemeti’, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

(3)

Bu bölümde, eğilmeye maruz prizmatik elemanlardaki gerilmeler ve şekil değiştirmeler incelenecektir. Eğilme, kiriş ve putrel (I-beam) gibi makine ve yapı elemanlarının tasarımında kullanılan bir ana kavramdır.

4.1 Giriş

Eşit ve zıt yönlü M ve M’ kuvvet çiftleri aynı boyuna düzlemde etki etmektedir. Bu nedenle prizmatik eleman basit eğilmeye maruzdur.

(4)

4.1 Giriş

400 N 400 N

300 mm 900 mm 300 mm

400 N 400 N

120 N·m 120 N·m

(5)

120 mm 120 mm

600 N

72 N·m

4.1 Giriş

Mengenenin orta kısmı, dış merkezli yüklenir.

(6)

4.1 Giriş

Basit eğilme incelemesi, kirişlerin incelenmesinde önemli bir rol oynar.

Kesitteki normal gerilmelerin dağılımı, kiriş basit eğilmeye maruzmuş gibi, M kuvvet çiftinden elde edilebilir.

Öte yandan, kayma gerilmeleri P’ kuvvetine bağlıdır.

(7)

4.2 Basit Eğilmede Simetrik Eleman

Prizmatik eleman bir simetri düzlemine sahip olup, bu düzlemde M ve M’ kuvvet çiftlerine maruzdur.

Denge koşulları gereği, basit eğilmeye maruz simetrik bir elemanın herhangi bir kesitindeki iç kuvvetler M kuvvet çiftine denktir.

Bu kuvvet çiftinin M momenti, kesitteki eğilme momenti olarak adlandırılır.

Kirişin konkavlığı yukarı doğru ise, M’nin işareti pozitif, aksi takdirde negatif alınır.

(8)

4.2 Basit Eğilmede Simetrik Eleman

Kesit üzerinde etkiyen elemanter iç kuvvetler sistemi M kuvvet çiftine denktir.

Kayma gerilmesi bileşenleri sıfıra eşittir (daha sonra açıklanacak).

Son denklemdeki eksi işareti, pozitif kuvvetin z eksenine göre negatif (saat yönünde) moment meydana getirmesindendir.

x bileşenleri

y eksenine göre momentler z eksenine göre momentler

(9)

4.3 Basit Eğilmede Simetrik Bir Elemanda Deformasyonlar

Prizmatik eleman bir simetri düzlemine sahip olup M ve M’ kuvvet çiftlerine maruzdur.

Eleman eğilir fakat simetri düzlemine göre simetrikliğini korur.

M eğilme momenti her kesitte aynı olduğundan, eleman düzgün bir şekilde eğilir.

AB çizgisi, C merkezli bir çember parçasına dönüşür.

M>0 olduğunda, AB çizgisinin uzunluğu azalır, A’B’ çizgisinin uzunluğu ise artar.

(10)

4.3 Basit Eğilmede Simetrik Bir Elemanda Deformasyonlar

Eğilme sonrası elemanın eksenine dik kesitler düzlem kalır ve bu kesitlerin düzlemleri C noktasından geçer.

(11)

4.3 Basit Eğilmede Simetrik Bir Elemanda Deformasyonlar

Bütün yüzler birbirine dik olduğundan:

Ortaya çıkan deformasyonlar enine kesit elemanları arasında herhangi bir etkileşim gerektirmediğinden, σ^y, σ^z ve τ^yz gerilmeleri sıfırdır.

Sıfır olmayan tek gerilme bileşeni σ^x’tir.

Elemanın üst kısmında negatif (basınç), alt kısmında pozitiftir (çekme).

(12)

4.3 Basit Eğilmede Simetrik Bir Elemanda Deformasyonlar

Gerilmenin sıfır olduğu, elemanın alt ve üst yüzeylerine paralel yüzeye tarafsız yüzey denir.

Tarafsız yüzey, bir enine kesiti, kesitin tarafsız ekseni adı verilen bir doğru boyunca keser.

(13)

4.3 Basit Eğilmede Simetrik Bir Elemanda Deformasyonlar

Bir noktadaki şekil değiştirme ve gerilmeyi hesaplamak için

öncelikle tarafsız eksenin yeri belirlenmelidir.

(14)

4.4 Elastik Bölgede Gerilme ve Deformasyonlar

x bileşenleri

z eksenine göre momentler

Tarafsız bölgenin konumu ve σ^m aşağıdaki ifadelerden elde edilir:

(15)

4.4 Elastik Bölgede Gerilme ve Deformasyonlar

Denklem, kesitin tarafsız eksenine göre birinci momentinin sıfır olması gerektiğini gösterir.

Yani tarafsız eksen kesit merkezinden geçer.

Elastik eğilme formülleri

Elemanın eğilmesi sonucu oluşan σ^x normal gerilmesi, eğilme gerilmesi olarak adlandırılır.

(16)

4.4 Elastik Bölgede Gerilme ve Deformasyonlar

S’nin büyük değerleri için aynı eğilme momenti altında daha düşük gerilme değerleri elde edilir.

Elastik kesit modülü =

15x10³ mm²

200 mm h = 150 mm

75 mm b =100 mm

Aynı A değerine sahip iki kirişten daha yüksek h değerine sahip olanı eğilmeye karşı daha dirençlidir.

(17)

4.4 Elastik Bölgede Gerilme ve Deformasyonlar

Elastik kesit modülü =

(18)

4.4 Elastik Bölgede Gerilme ve Deformasyonlar

M eğilme momentinin neden olduğu deformasyon, tarafsız yüzeyin eğriliği ile ölçülür.

Eğrilik, ρ eğrilik yarıçapının tersi olarak tanımlanır.

(19)

Örnek 4.01

Çubuk, düşey simetri düzleminde etkiyen, iki eşit ve zıt yönlü kuvvet çiftine maruzdur.

Çubuğun akmasına neden olan M eğilme momentinin değerini belirleyiniz.

σ^Y= 250 MPa olduğunu varsayınız.

20 mm

60 mm

(20)

Örnek 4.01

20 mm

60 mm

Tarafsız eksen, kesitin C merkezinden geçer.

20 mm

30 mm T.E.

60 mm

(21)

Örnek 4.02

Yarım çember kesitli alüminyum çubuk ρ = 2.5 m ortalama yarıçaplı bir çember yayı şeklinde eğilmiştir.

Çubuğun düz yüzü, yayın eğrilik merkezine doğru döndüğüne göre, çubuktaki maksimum çekme ve basınç gerilmesini belirleyiniz.

E = 70 GPa alınız.

(22)

Örnek 4.02

(23)

4.5 Bir Enine Kesitte Deformasyonlar

ρ’ eğrilik yarıçapının tersi, enine kesitin eğriliğini ifade eder ve antiklastik eğrilik adını alır.

Tarafsız yüzey

Enine kesitin tarafsız ekseni

Antiklastik eğrilik

(24)

Elemanın tüm kesitlerinin düzlem kalması ve kayma gerilmesi bulunmaması isteniyorsa, kuvvet çiftleri elemanın uçları düzlem kalacak şekilde uygulanmalıdır. Bu, rijit plakalarla sağlanabilir.

Gerçek yükleme durumları bu idealleştirmeden farklı olabilir. Ancak, Saint-Venant ilkesine göre, ele alınan kesit kuvvet çiflerinin uygulama noktasından yeteri kadar uzaksa, gerilme hesaplarında kullanılabilir.

4.5 Bir Enine Kesitte Deformasyonlar

(25)

Örnek Problem 4.1

Kavislerin etkisini ihmal ederek, (a) emniyet katsayısı 3.00 olacak şekilde M eğilme momentini, (b) tüpün karşı gelen eğrilik yarıçapını belirleyiniz.

120 mm

80 mm

6 mm

Tüp malzemesi: alüminyum.

σ^Y = 275 MPa, σ^U = 415 MPa, E = 73 GPa.

(26)

Eylemsizlik Momenti.

80 mm

120 mm

68 mm

108 mm

Emniyet Gerilmesi.

a. Eğilme Momenti.

(27)

b. Eğrilik Yarıçapı.

Alternatif Çözüm.

(28)

Dökme demirden yapılmış makine parçasının üzerine, 3kN·m’lik kuvvet çifti etkimektedir. E = 165 GPa olduğuna göre, (a) parçadaki maksimum çekme ve basınç gerilmelerini, (b) parçanın eğrilik yarıçapını belirleyiniz.

(29)

Merkez.

Merkezi Eylemsizlik Momenti.

(30)

a. Maksimum Çekme Gerilmesi.

Eğrilik merkezi

Maksimum Basınç Gerilmesi.

(31)

ε^x normal şekil değiştirmesi, kesitin tarafsız eksenine olan y mesafesiyle lineer olarak değişir.

Malzemelerin elastisite modülleri farklı olduğundan, her bir malzemedeki normal gerilme ifadeleri farklı olur.

4.6 Değişik Malzemelerden Yapılmış Elemanların

Eğilmesi

(32)

İki parça da üstteki malzemeden yapılmış olsaydı, alt kısımdaki her bir elemanın genişliği n ile çarpılmak suretiyle, elemanın eğilmeye karşı direnci aynı kalırdı.

Bu yolla elde edilen kesite dönüşmüş kesit denir.

4.6 Değişik Malzemelerden Yapılmış Elemanların Eğilmesi

n = E²/E¹ E¹

E¹ E¹

E²

(33)

4.6 Değişik Malzemelerden Yapılmış Elemanların Eğilmesi

Dönüşmüş kesit, E¹ elastisite modüllü homojen bir malzemeden yapılmış bir elemanın kesitini ifade eder.

Tarafsız eksen, dönüşmüş kesitin merkezinden geçirilir.

Orijinal çubuğun üst kısmındaki bir noktadaki gerilme, dönüşmüş kesitteki gerilmeye eşittir.

Ancak, orijinal kesitin alt kısmındaki bir noktada gerilme hesaplanırken, dönüşmüş kesitteki gerilme n ile çarpılır.

E¹

(34)

Örnek 4.03

Çelik (E^ç = 200 GPa) ve pirinç (E^p = 100 GPa) parçalar birbirine yapıştırılmıştır. Çubuk M = 4.5 kN·m eğilme momentli basit bir eğilmeye maruz kaldığında çelik ve pirinçteki maksimum gerilmeleri belirleyiniz.

10 mm 10 mm

18 mm

75 mm

Pirinç Pirinç Çelik

(35)

Örnek 4.03

10 mm 10 mm

18 mm

75 mm

Pirinç Pirinç Çelik

10 mm 36 mm 10 mm

37.5 mm

56 mm 75 mm

Tamamı Pirinç

(36)

4.6 Değişik Malzemelerden Yapılmış Elemanların Eğilmesi

n = E^S/E^C

İkinci dereceden denklem çözülerek dönüşmüş kesitin tarafsız ekseninin konumu belirlenir.

(37)

4.7 Gerilme Yığılmaları

(38)

Örnek 4.04

Eğilme momenti 180 N·m olduğunda, çubuktaki gerilmenin 150 MPa’ı aşmaması gerektiğine göre, oyukların izin verilebilir en küçük genişliğini belirleyiniz.

(39)

Örnek 4.04

(40)

Ahşabın elastisite modülü 12.5 GPa ve çeliğinki 200 GPa’dır. Bileşik kirişe M = 50 kN·m’lik bir eğilme momenti uygulandığına göre,

(a) ahşaptaki maksimum gerilmeyi,

(b) tepe çizgisi boyunca çelikteki gerilmeyi belirleyiniz.

(41)

Dönüşmüş Kesit.

Tarafsız Eksen.

Merkezi Eylemsizlik Momenti.

(42)

a. Ahşaptaki Maksimum Gerilme.

b. Çelikteki Gerilme.

(43)

Bir beton döşeme, alt yüzden 40 mm yukarıda 16 mm çaplı çelik çubuklarla güçlendirilmiştir. Betonun elastisite modülü 25 GPa ve çeliğinki 200 GPa’dır.

Döşemenin her bir 0.3 m genişliğindeki kısmına 4.5 kN·m’lik bir eğilme momenti uygulandığına göre,

(a) betondaki maksimum gerilmeyi, (b) çelikteki gerilmeyi belirleyiniz.

100 mm

150 150

140 mm

(44)

300 mm

100 mm

100 - x

nAç = 3217 mm² T.E.

Dönüşmüş Kesit.

300 mm

100 mm

36.8 mm

100 – x = 63.2 mm

3217 mm²

Eylemsizlik Momenti.

(45)

a. Betondaki Maksimum Gerilme.

b. Çelikteki Gerilme.

9.29 MPa

127.6 MPa

(46)

*4.8 Plastik Deformasyonlar

Bu bölümün amacı, Hooke kanunu geçerli olmadığında kullanılabilecek genel bir yöntem elde etmektir.

Analizde kullanılan elemanın hem düşey hem de yatay bir simetri düzlemine sahip olup çekme ve basınçta aynı σ – ε bağıntısıyla karakterize edildiği kabul edilecektir. Bu şekilde, tarafsız eksen kesitin yatay simetri ekseni ile çakışır.

(47)

*4.8 Plastik Deformasyonlar

Elemanın kesitindeki gerilme dağılımı:

σ^maks’ın belirlendiği varsayılırsa, önce σ – ε diyagramından karşı gelen ε^m değeri saptanır ve denkleme taşınır.

y’nin her değeri için denklemden ε^x’in karşı gelen değeri belirlenir.

σ – ε diyagramından ε^x’in bu değerine karşılık gelen σx gerilmesi belirlenir.

σ^x – y eğrisi çizilerek istenen gerilme dağılımı bulunur.

(48)

*4.8 Plastik Deformasyonlar

Bu denklem şekildeki gerilme dağılımına karşı gelen eğilme momentini hesaplamak için kullanılabilir:

(49)

*4.8 Plastik Deformasyonlar

Eğilme momentinin önemli bir değeri, elemanın kırılmasına sebep olan MÛ kopma momentidir. Bu değer, σ^maks = σÛ alınarak σÛ kopma mukavemetinden belirlenebilir.

Ancak, pratikte M^U’yu deneysel olarak belirlemek daha uygundur. R^B maksimum gerilmesi:

R^B kurgusal gerilmesine, malzemenin eğilmede kırılma modülü denir.

(50)

*4.9 Elastoplastik Malzemeden Yapılmış Elemanlar

(51)

*4.9 Elastoplastik Malzemeden Yapılmış Elemanlar

M^Y: maksimum elastik moment.

y^Y: elastik çekirdeğin kalınlığının yarısı.

(52)

*4.9 Elastoplastik Malzemeden Yapılmış Elemanlar

Bu denklem, elastik çekirdeğin 2y^Y kalınlığına karşı gelen M eğilme momentinin değerini bulmak için kullanılır.

(53)

*4.9 Elastoplastik Malzemeden Yapılmış Elemanlar

Tam plastik deformasyona karşı gelen eğilme momentinin bu değerine, ele alınan elemanın plastik momenti denir.

Yukarıdaki denklem, sadece elastoplastik bir malzemeden yapılmış dikdörtgen bir eleman için geçerlidir.

(54)

*4.9 Elastoplastik Malzemeden Yapılmış Elemanlar

Şekil değiştirme dağılımı, akma başlangıcından sonra da sabit kalmaktadır. Yani, ε^x = -y/ρ denklemi geçerliliğini sürdürür ve y^Y yarı kalınlığının bulunması için kullanılabilir (ε^y: akma şekil değiştirmesi):

Bu denklem sadece akma başlangıcından sonra geçerlidir.

(55)

*4.9 Elastoplastik Malzemeden Yapılmış Elemanlar

Bir dikdörtgen elemanda M^Y maksimum elastik momentine ve M^P plastik momentine ait gerilme dağılımları. Çekme ve basınç kuvvetlerinin bileşkeleri, gerilme dağılımlarını ifade eden hacimlerin merkezinden geçmeli ve büyüklükleri bu hacimlere eşit olmalıdır.

(56)

*4.9 Elastoplastik Malzemeden Yapılmış Elemanlar

Kesiti dikdörtgen olmayan kirişlerde k = M^P/M^Y oranının genellikle 3/2’ye eşit olmadığı görülecektir.

Geniş başlıklı kirişlerde 1.08 – 1.14 arasında değişir.

Kesitin sadece şekline bağlı oluduğu için k = M^P/M^Y oranına kesitin şekil çarpanı adı verilir.

Bir elemanın M^P/σ^Y oranı, malzemenin plastik kesit modülü olarak adlandırılır ve Z ile gösterilir.

(57)

Örnek 4.05

Şekildeki eleman M = 36.8 kN·m’lik bir eğilme momentine maruzdur. Elemanın 240 MPa akma mukavemetli ve 200 GPa elastisite modüllü bir elastoplastik malzemeden yapıldığını varsayarak,

(a) elastik çekirdeğin kalınlığını,

(b) tarafsız yüzeyin eğrilik yarıçapını belirleyiniz.

(58)

Örnek 4.05

a. Elastik Çekirdeğin Kalınlığı.

(59)

Örnek 4.05

(60)

*4.10 Tek Simetri Düzlemli Elemanların Plastik Deformasyonları

Tarafsız eksen kesiti iki eşit alanlı parçalara ayırır.

Elemanın plastik momenti:

Analiz plastik deformasyon haliyle sınırlı.

R¹ ve R² kuvvet çiftine eşit olduğundan, büyüklükleri aynı olmalıdır.

(61)

*4.11 Artık Gerilmeler

Eğilme momenti yeterince büyükse, elastoplastik malzemeden yapılmış bir elemanda plastik bölgeler oluşur.

Eğilme momenti sıfıra düşürüldüğünde, herhangi bir noktadaki gerilme ve şekil değiştirme yandaki grafikteki gibi ifade edilebilir.

(62)

Örnek 4.06

Şekildeki elemanda eğilme momenti M = 36.8 kN·m’lik maksimum değerinden sıfıra düşürüldükten sonraki (a) artık gerilmelerin dağılımını, (b) eğrilik yarıçapını belirleyiniz.

(63)

Örnek 4.06 a. Artık Gerilmelerin Dağılımı.

(64)

Örnek 4.06 b. Boşalmadan Sonraki Eğrilik Yarıçapı.

(65)

AB kirişi elastoplastik olduğu varsayılan yüksek mukavemetli düşük alaşımlı çelikten (E = 200 GPa ve σ^Y = 350 MPa) imal edilmiştir.

Kavislerin etkisini ihmal ederek, (a) ilk akma oluştuğunda, (b) başlıklar tam plastik olduğu anda, M eğilme momentini ve karşı gelen eğrilik yarıçapını belirleyiniz.

400 mm 20 mm

25 mm

300 mm 25 mm

(66)

a. Akma Başlangıcı.

400 20

25

300 25

Eğilme Momenti.

350 MPa

1.75x10^-3

Eğrilik Yarıçapı.

1.75x10^-3 200

200

(67)

Örnek Problem 4.5 b. Tam Plastik Başlıklar.

Eğilme Momenti. Eğrilik Yarıçapı.

20

25

175

25

175

1.75x10^-3 350 MPa

187.5

187.5 116.7

116.7

(68)

Kesiti görülen kiriş, bir yatay eksen etrafında eğildiğinde, kirişin M^P plastik momentini belirleyiniz. Malzemenin 240 MPa akma mukavemetli ve elastoplastik olduğunu varsayınız.

(69)

(70)

Örnek Problem 4.6 Plastik Moment.

(71)

AB kirişi elastoplastik olduğu varsayılan yüksek mukavemetli düşük alaşımlı çelikten (E = 200 GPa ve σ^Y = 350 MPa) imal edilmiştir.

1127 kN·m’lik M kuvvet çifti kaldırıldıktan sonraki artık gerilmeleri ve kalıcı eğrilik yarıçapını belirleyiniz.

400 mm 20 mm

25 mm

300 mm 25 mm

(72)

1127 kN·m 1127 kN·m

-350 MPa -375.7 MPa -21.3 -25.7

21.3 -25.7

200 mm 175 200 mm 175

328.7 MPa

Elastik Boşalma. Artık Gerilmeler.

(73)

Kalıcı Eğrilik Yarıçapı.

25.7 MPa (çekme)

-25.7 MPa (basınç)

(74)

4.12 Bir Simetri Düzleminde Dış Merkezli Eksenel Yükleme

Burada, yüklerin etki çizgisinin kesit merkezinden geçmemesi, yani yüklemenin dış merkezli olması durumundaki gerilme dağılımı incelenecektir.

(75)

4.12 Bir Simetri Düzleminde Dış Merkezli Eksenel Yükleme

Gerilme dağılımı kesit boyunca lineerdir ama düzgün değildir. İkinci durumda, her kesitte σ^x = 0 olan noktaların oluşturduğu çizgi, tarafsız ekseni temsil eder. y = 0 için σ^x ≠ 0 olduğundan, tarafsız eksen kesitin merkezi ile çakışmaz.

(76)

Örnek 4.07

12 mm çaplı düşük karbonlu çelik çubuk eğilerek açık bir zincir halkası elde edilmiştir. 700 N’luk yük etkisinde, (a) halkanın düz kısmındaki en büyük çekme ve basınç gerilmelerini, (b) kesitin merkezi ekseni ve tarafsız ekseni arasındaki mesafeyi belirleyiniz.

700 N

12 mm 16 mm

(77)

Örnek 4.07

16 mm

700 N

a. En Büyük Çekme ve Basınç Gerilmeleri.

6.189 MPa

66.02 MPa 72.2 MPa

-59.8 MPa -66.02 MPa

(78)

Örnek 4.07

b. Merkezi ve Tarafsız Eksenler Arasındaki Mesafe.

6.189 MPa

66.02 MPa 72.2 MPa

-59.8 MPa -66.02 MPa

(79)

Dökme demirden yapılmış bağlantı kolunun emniyet gerilmesi, çekmede 30 MPa ve basınçta 120 MPa olduğuna göre, kola uygulanabilecek en büyük P kuvvetini belirleyiniz.

Not: Bağlantı kolunun T şekilli kesiti daha önce ele alınmıştı.

(80)

Kesitin Özellikleri.

(81)

C’deki Kuvvet ve Kuvvet Çifti.

(82)

Süperpozisyon.

En Büyük İzin Verilebilir Kuvvet.

(83)

4.13 Simetrik Olmayan Eğilme

Simetri düzlemine sahip ve bu düzlemlerde etkiyen kuvvet çiftlerine sahip elemanlar, kuvvet çiftlerinin düzlemine göre simetrik kalır ve bu düzlemde eğilir.

Her iki halde de, kesite uygulanan kuvvet çiftleri elemanın düşey simetri düzleminde etki etmektedir.

İki halde de, kesitin tarafsız ekseni kuvvet çiftinin ekseniyle çakışmaktadır.

(84)

4.13 Simetrik Olmayan Eğilme

Uygulanan kuvvet çiftinin yine düşey düzlemde etkidiği varsayılmaktadır.

Ancak, düşey düzlem bir simetri düzlemi olmadığından, elemanın bu düzlemde eğilmesi veya kesitin tarafsız ekseninin kuvvet çiftinin ekseniyle çakışması beklenemez.

(85)

4.13 Simetrik Olmayan Eğilme

x bileşenleri

y eksenine göre momentler z eksenine göre momentler

Daha önce kesit y eksenine göre simetrik kabul edildiğinden ikinci denklem kendiliğinden sağlanmıştı. Şimdi ise kesit keyfi.

Son integral, kesitin y ve z eksenlerine göre I^yz çarpım eylemsizlik momentini ifade eder ve bu eksenler kesitin asal merkezi eksenleri ise sıfır olur.

(86)

4.13 Simetrik Olmayan Eğilme

Burada, kesitler koordinat eksenlerinden en az birine göre simetriktir.

y ve z eksenleri kesitin asal merkezi eksenleridir.

M kuvvet çifti vektörü asal merkezi eksenlerden biri boyunca yönlendiğinden, tarafsız eksen kuvvet çifti ekseniyle çakışır.

(87)

4.13 Simetrik Olmayan Eğilme

Kesitler 90˚ döndürülürse, b kesitinde kuvvet çifti elemanın bir simetri düzleminde etkimez.

Buna rağmen, M kuvvet çifti vektörü yine bir asal merkezi eksen boyunca yönlenir ve tarafsız eksen yine kuvvet çifti ekseni ile çakışır.

(88)

4.13 Simetrik Olmayan Eğilme

Bu şekillerde, koordinat eksenlerinin hiç biri simetri ekseni değildir ve koordinat eksenleri asal eksen değildir.

Bu yüzden, M kuvvet çifti vektörü bir asal merkezi eksen boyunca yönlenmez ve tarafsız eksen kuvvet çiftinin ekseniyle çakışmaz.

(89)

4.13 Simetrik Olmayan Eğilme

Bu kesit simetrik olmasa da, asal merkezi eksenlere sahiptir ve bu eksenler analitik olarak veya Mohr çemberi kullanılarak belirlenebilir.

M kuvvet çifti vektörü, kesitin asal merkezi eksenlerinden biri boyunca yönlenmişse, tarafsız eksen kuvvet çiftinin ekseniyle çakışır.

(90)

4.13 Simetrik Olmayan Eğilme

(91)

4.13 Simetrik Olmayan Eğilme

Aynı ifade, y ve z asal merkezi eksenleri belirlendikten sonra, simetrik olmayan bir kesitteki gerilmeleri belirlemek için de kullanılabilir.

(92)

Örnek 4.08

180 N·m’lik kuvvet çifti, ahşap kirişe düşeyle 30˚ açı yapan bir düzlemde uygulanıyor.

(a) Kirişteki maksimum gerilmeyi,

(b) tarafsız yüzeyin yatay düzlemle yaptığı açıyı belirleyiniz.

90 mm

40 mm 180 N·m

(93)

Örnek 4.08 a) Maksimum Gerilme.

45 mm

20 mm 180 N·m

(94)

Örnek 4.08 b) Tarafsız Yüzeyle Yatay Düzlem Arasındaki Açı.

45 mm

20 mm 180 N·m

-6.64 MPa

6.64 MPa

(95)

4.14 Dış Merkezli Eksenel Yüklemenin Genel Hali

Saint-Venant ilkesine göre, bir kesitteki gerilme dağılımını, kesit elemanın uçlarına yakın olmadığı sürece, üstteki yüklemeyi alttaki statik eşdeğeri ile değiştirerek süperpozisyon ilkesi ile belirleyebiliriz.

(96)

Örnek 4.09

4.80 kN’luk düşey bir yük ahşap direğe şekildeki gibi uygulanmaktadır.

(a) A, B, C ve D noktalarındaki gerilmeyi belirleyiniz.

(b) Kesitin tarafsız ekseninin konumunu belirleyiniz.

(97)

Örnek 4.09 a) Gerilmeler.

(98)

Örnek 4.09 a) Gerilmeler.

(99)

Örnek 4.09 b) Tarafsız Eksen.

(100)

S250 X 37.8 kesitli bir çekme çelik elemana, yatay bir P yükü uygulanmaktadır. Elemandaki basınç gerilmesinin 82 MPa’yı aşmaması gerektiğine göre, izin verilebilir en büyük P yükünü belirleyiniz.

120 mm

38 mm S250 X 37.8

(101)

Kesitin Özellikleri.

250 mm

118 mm

C’deki Kuvvet ve Kuvvet Çiftleri.

Normal Gerilmeler.

(102)

Süperpozisyon.

250 mm

118 mm

En Büyük İzin Verilebilir Yük.

(103)

*Örnek Problem 4.10

Düşey bir düzlemde etkiyen kuvvet çifti, Z-şekilli kesite sahip bir kirişe uygulanmaktadır. (a) A noktasındaki gerilmeyi, (b) tarafsız eksenin yatay düzlemle yaptığı açıyı belirleyiniz.

Kesitin y ve z eksenlerine göre eylemsizlik ve çarpım eylemsizlik momentleri:

(104)

Asal Eksenler. Yükleme.

(105)

a. A’daki Gerilme.

(106)

b. Tarafsız Eksen.

(107)

*4.15 Eğri Elemanların Eğilmesi

(108)

*4.15 Eğri Elemanların Eğilmesi

ε^x ve σ^x, tarafsız yüzeye olan y mesafesiyle lineer olarak değişmez.

σ^x – y eğrisi hiperbol yayı şeklindedir.

(109)

*4.15 Eğri Elemanların Eğilmesi

Tarafsız yüzeyin konumunun belirlenmesi:

Bir eğri elemanda, bir enine kesitin tarafsız ekseni, kesitin merkezinden geçmez.

(110)

*4.15 Eğri Elemanların Eğilmesi

(111)

*4.15 Eğri Elemanların Eğilmesi

E Δθ/θ katsayısının belirlenmesi:

(112)

*4.15 Eğri Elemanların Eğilmesi

(113)

Örnek 4.10

Eğri dikdörtgen çubuğun ortalama yarıçapı 𝑟 = 150 mm olup kesitinin genişliği b = 60 mm ve yüksekliği h = 36 mm’dir. Kesitin merkezi ve tarafsız ekseni arasındaki e mesafesini belirleyiniz.

(114)

Örnek 4.10

(115)

Örnek 4.11

Çubuktaki eğilme momenti 900 N·m olduğuna göre, en büyük çekme ve basınç gerilmelerini belirleyiniz.

(116)

Örnek 4.11

(117)

T şekilli kesite sahip bir makine parçası şekildeki gibi yüklenmiştir.

Emniyet basınç gerilmesi 50 MPa olduğuna göre, parçaya uygulanabilecek en büyük P kuvvetini belirleyiniz.

(118)

Kesitin Merkezi.

D’deki Kuvvet ve Kuvvet Çifti.

(119)

Süperpozisyon. Tarafsız Yüzeyin Yarıçapı.

(120)

Emniyet Yükü.