Kesitte moment kuvvet çifti Çekme ve basınç kuvveti

Kesitte moment ≡ kuvvet çifti
Çekme ve basınç kuvveti

Kirişe etkiyen M_dmomenti F ile gösterilen kuvvet çiftine eşdeğerdir.

Kirişin üst lifleri F basınç kuvvetinin, alt lifleri de F çekme kuvvetinin etkisindedir.

Betonun basınç dayanımı yüksek olduğundan F kuvvetini taşıyabilir.

Çekme kuvvetini beton taşıyamaz, çatlar. Çatlak kirişe dik yönde oluşur. Çatlak giderek genişler ve kesit yüksekliğince yol alır.

Basınç bölgesindeki beton ezilir ve kiriş kırılır.

Video

Donatının Gereği

Moment

Deformasyondan önce

Deformasyondan sonra (göçme anı):

•Çekme bölgeleri çatlar

•Basınç bölgeleri ezilir

Önlem:

•Çekme kuvvetlerini karşılamak ve çatlakları sınırlamak için çekme bölgelerine boyuna donatı konur.

•Kesme çatlaklarını sınırlamak için sargı donatısı (etriye) konur. Etriye mesnetlere yakın bölgelerde ve konsollarda sıklaştırılır.

•Basınç bölgelerine teorik olarak donatı gerekmez. Ancak, etriyeyi sarabilmek için, montaj donatısı konur.

•Mesnetlere, açıklıklardan gelen donatılar yeterli olmazsa, ek donatı konur.

Kesme

Video

• Betonun çekme dayanımı çok düşüktür, çekme bölgelerinde çatlaklar oluşur.

• Basınç bölgelerinde ezilme olur (taşıma gücüne erişildiğinde=kırılma anı).

• Çekme kuvvetlerini karşılamak ve çatlakları sınırlamak için, çekme bölgelerine boyuna donatı konur.

• Pilye de çekme donatısıdır. Orta kısmı açıklıkta (altta), kolları da mesnetlerde (üstte) çekme kuvveti alır. Eğik kolları ise kesme çatlaklarını sınırlar. Đşçiliğinin zor olması ve güvenli olmaması nedeniyle kat kirişlerinde pilye kullanılmasından kaçınılır.

• Açıklıklarda, basınç tarafına montaj donatısı konur.

• Açıklıktan gelen donatılar mesnetteki momenti karşılamazsa, mesnetlere ek donatı konur.

• Kesme kuvvetlerini karşılamak ve oluşturduğu çatlakları sınırlamak için enine donatı (sargı (etriye, fret)) kullanılır.

• Betonarme eleman (kiriş, kolon, döşeme), iyi donatılsa dahi, çatlar. Ancak bunlar kılcal (zararsız) çatlaklardır.

Bir kirişin kesit ve donatılarının projede çizimi (Benzeri: ERSOY/ÖZCEBE, S. 290)

Çatlak genişliği sınırları (TS 500 /2000)

0.1 mm Yapı içi ve dışı agresif çevre koşulları

0.2 mm Yapı dışı nemli çevre koşulları

0.3 mm Yapı içi nemli ve yapı dışı normal çevre koşulları

0.4 mm Yapı içi normal çevre koşulları

En büyük çatlak genişliği Ortam

Çatlak genişliğini elden geldiğince sınırlı tutmak için:

•Nervürlü donatı kullanılmalı.

•Kalın donatıdan kaçınılmalı.

•Kaliteli beton kullanılmalı, sıkıştırılmalı ve kür yapılmalı.

•Donatı aralıkları 15-20 cm yi geçmemeli.

•Çekme bölgelerine en az yönetmeliklerde verilen minimum donatıdan konulmalı.

•Sargı donatısı yönetmeliklere uygun ve özenli düzenlenmeli.

•Donatıda kenetlenme (aderans) sağlanmalı

•Zararlı çevre koşullarından betonarme elemanlar korunmalı.

TS500-2000, S. 64

Çizelgedeki değerler normal yapılar içindir. Yapının kullanım amacına yönelik daha küçük değerler gerekebilir.

Örneğin bir su deposunda, sızdırmazlık ön plana çıktığından, en büyük çatlak genişliği 0.1 mm nin altında tutulmalıdır.

Beton, donatılı da olsa, çatlayacaktır. Çatlamayı tümüyle önlemek imkânsızdır. Önemli olan çatlak sayısı ve genişliğinin sınırlı kalmasıdır.

Kesitte moment ≡ kuvvet çifti
Çekme ve basınç kuvveti
Deformasyon
Kesitte dönme

A_s : Kesitteki toplam çekme donatısı F_s: Çelikteki toplam çekme kuvveti F_c: Betondaki basınç kuvveti z : Moment kolu

ε_s: Çelik birim uzaması

ε_c: Betonun en üst lifindeki birim kısalma Yatay denge:

F_s= F_c(kuvvet çifti) Moment :

F_sz= F_cz = M_d

Kirişe etkiyen M_dmomenti F_cve F_sden oluşan kuvvet çiftine eşdeğerdir, F_c=F_sdir ve z moment koludur. Kirişin üst lifleri F_cbasınç kuvvetinin, alt lifleri F_sçekme kuvvetinin etkisindedir. Betonun basınç dayanımı yüksek olduğundan F_ckuvvetini taşıyabilir. Çekme kuvvetini beton taşıyamaz, çatlar. F_sçekme kuvvetinin tamamını toplam alanı A_solan donatı karşılamak zorundadır. Betonun üst lifleri

ε

ε

birim uzamasına uğrar, kesit döner.

aa

aa aa z

a

a

Betonda birim kısalma

Çelikte birim uzama

εεεεc1 < εεεεc0 , εεεεc< εεεεct

σσσσc1 < f_c

Max gerilmeye ulaşılmamış, beton çatlamamış ve ezilmemiş.

εεεε_c2 = εεεε_c0 σσσσ_c2 = f_c

Max gerilmeye ulaşılmış, beton çatlamış fakat ezilmemiş.

Kesitte deformasyon-gerilme dağılımı aşamaları

εεεε_c0< εεεε_c3 < εεεε_cu σσσσ_c3 < f_c

Deformasyon artarken dış lifte gerilme azalıyor.

Max gerilme alt komşu liflere kayıyor (betonarmede uyum). Çatlak genişliği artıyor, ancak beton

ezilmemiş.

εεεεc4 = εεεεcu

σσσσc4 = f_cu<< f_c

Max gerilme daha da aşağıdaki liflere kayıyor. Dış lif ezilme (kırılma) deformasyonuna ulaşıyor. Kesit taşıma gücüne erişmiştir, daha fazla moment taşıyamaz. Gerilme dağılımı kırılma anındaki nihai dağılımı göstermektedir.

Beton gerilme - birim kısalma eğrisi

Kiriş kesitindeki moment

M_d1 < M_d2 < M_d3 < M_d4 olacak şekilde aşamalı olarak, beton ezilinceye kadar, artırılırsa kesitteki deformasyon ve iç kuvvetler 1, 2, 3 ve 4 nolu şekillerde gösterildiği gibi olur.

1

3 4

Max gerilme ≡dayanım

2

Teorik gerilme dağılımının basitleştirilmiş eşdeğer modelleri

Teorik gerilme dağılımı, kırılma anındaki dağılımdır. Betonun yaşına, yükleme hızına, sargı donatısına, kesit tipine ve diğer bir çok nedene bağlı olarak az yada çok değişir. Her bir durum için farklı bir gerilme dağılımı vermek imkansızdır. Bu nedenle, doğruluğu deneysel olarak kanıtlanmış, eşdeğer gerilme dağılımı kullanılır. Hesaplar açısından dağılımın şeklinden çok, gerilmenin bileşke kuvvetinin değeri ve etkidiği yer önemlidir.

Çünkü, momentin değeri bu kuvvetin değerine ve yerine bağlıdır. Hesapları basitleştirmek açısından, yaklaşık olarak aynı momenti veren (eşdeğer kuvveti ve bu kuvvetin etkime noktası yaklaşık aynı olan), daha basit bir gerilme dağılımı kullanılabilir.

Yukarıdaki şekillerde teorik gerilme dağılımı ve yaygın olarak kullanılan basitleştirilmiş eşdeğer modelleri (sanal gerilme dağılımı) hem

perspektif hem de düzlem olarak verilmiştir. CEB modelinin bir kısmı parabolik bir kısmı da dikdörtgendir, eşdeğer parabol-dikdörtgen gerilme dağılımı olarak adlandırılır ve Avrupa Birliği ülkelerinde kullanılmaktadır. Amerikan yönetmeliklerinde yer alan ACI modeli daha basit ve dikdörtgendir. Bu iki farklı eşdeğer modelin sonuçları arasındaki fark önemsenmeyecek kadar azdır (%4 civarında). TS 500/2000 doğruluğu kanıtlanmış herhangi bir eşdeğer gerilme dağılımı ile hesap yapılmasına izin vermektedir. Bu nedenle her iki model ile de hesap yapılabilir. Bu iki modelin sonuçları arasındaki fark önemsenmeyecek kadar az olduğundan daha basit olan eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı modeli

çoğunlukla tercih edilmektedir.

Teorik gerilme dağılımı Eşdeğer parabol-dikdörtgen gerilme dağılımı (CEB modeli)

Eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı (ACI ve TS 500/2000 modeli)

Deformasyon ve teorik gerilme bloğu

Eşdeğer dikdörtgen gerilme bloğu (TS 500 /2000)

ERSOY/ÖZCEBE, S. 107(benzeri) TS500-200, S. 21, madde 7.1

•Teorik gerilme dağılımını kullanarak F_ckuvvetini ve etkidiği noktayı belirlemek zorluk yaratır.

•Hesapları basitleştirmek için teorik gerilme dağılımı yerine eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı kullanılabilir (TS 500 /2000).

•Eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımında gerilmenin şiddeti sabit ve k₃f_cd dir. Gerilme bloğunun derinliği k₁c dir.

•Beton basınç kuvveti F_cgerilme bloğunun hacmine eşittir.

•F_ckuvveti gerilmenin yayıldığı A_ccbasınç alanının ağırlık merkezi olan G₁noktasına etkir.

•F_cve etkidiği nokta G₁yaklaşık olarak aynı kalacak şekilde k₁ve k₃sabitleri deneysel araştırmalar ile belirlenmiştir.

•k₁ve k₃sabitleri beton kalitesine bağlıdır ve değerleri birden küçüktür. Bu değerler TS 500 / 2000 de verilmiştir.

•Önemli olan gerilme bloğunun şekli değil; F_ckuvvetinin ve etkidiği G₁noktasının yaklaşık olarak aynı kalmasıdır. Eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı yerine, geçerliliği kanıtlanmış, başka bir dağılım da (örnek: Parabol-dikdörtgen dağılım) kullanılabilir.

iTE

Kiri ş TE

Sanal gerilme dağılımı

Çelik çekme kuvveti

Taşıma Gücü Varsayımları (TS 500 /2000)

1. Birim şekil değiştirme dağılımı doğrusaldır (şekil değiştirmeden önce düzlem olan kesit şekil değiştirmeden sonra da düzlem kalır (BERNOULLI/NAVIER hipotezi).

2. Betonun çekme dayanımı ihmal edilir (≈0).

3. Beton ve donatı tam kaynaşır, tam kenetlenme (aderans) vardır.

4. Donatı çeliğinin gerilme-birim deformasyon (σ_s

-

•Çelik akmamış ise HOOKE kanunu geçerlidir:

σ_s=E_s εs (ε_s< ε_sd, çelik akmamış ise)

•Akmış çeliğin gerilmesi sabittir:

σ_s=f_yd (ε_s ≥ ε_sd, çelik akmış ise)

Anlamı: σσσσs=E_s εεεεs ≤≤≤≤ f_yd

0.001826 365.22

2x10⁵ 1.15

420 S420b

1.15 1.15 1.15 γγγγms

0.002174 434.78

2x10⁵ 500

S500a

0.001826 365.22

2x10⁵ 420

S420a

0.000957 191.30

2x10⁵ 220

S220a

εεεεsd= f_yd/ E_s f_yd= f_yk/ γγγγms

N/mm² E_s

N/mm² f_yk

N/mm² Çelik

sınıfı

Çelik tasarım dayanımları ve akma anındaki deformasyonlar:

TS 500/2000, S. 21, madde 7.1 ERSOY/ÖZCEBE, S. 101-107

Birim uzama

s s

Gerilme N/mm2

KOPMA

fyd

Tasarım dayanımı

sd

su Akma anında birim deformasyon

Kopma anında birim deformasyon Çelik modeli

Eğrinin ihmal edilen kısmı

5. Taşıma gücüne erişildiğinde beton basınç bölgesinin en çok zorlanan lifindeki birim kısalma ε_c= ε_cu= 0.003 tür.

birim kısalma cu=0.003 c

c

f_cd

Beton _c - _c eğrisi

6. Taşıma gücüne erişildiğinde basınç bölgesindeki teorik beton gerilme dağılımı beton σ_c-ε_ceğrisi gibidir.

c

d Betonda birim kısalma

7. Çekme bölgesinin geometrisi önemli değildir. Bu bölgedeki beton çatlayacağından hiçbir çekme kuvvet alamaz.

Buradaki betonun görevi çelik ile kenetlenmeyi (aderans) sağlamak ve kesme-burulma etkilerini karşılamaktır.

Çekme kuvvetinin tamamını donatı alır. Çekme bölgesinin geometrisi farklı olan ve aşağıda görülen her üç kesit de özdeştir. Önemli olan basınç bölgesinin geometrisi, donatının yeri ve miktarıdır. Basınç bölgesinin geometrisi, faydalı yükseklik d ve donatı alanı A_s aynı olan kesitler, çekme bölgesinin geometrisi nasıl olursa olsun, moment kuvveti açısından özdeştir. Bunun anlamı şudur: Özdeş kesitlerde deformasyon diyagramı, çelik çekme kuvveti, beton basınç kuvveti ve moment aynıdır. Bu özellikten ilerideki konularda yararlanılacaktır.

d c

d d

σ_s= E_s ε_s≤ f_yd

K₃= 0.85 (tüm beton sınıflarında)

0.70 ≤ k₁ ≤ 0.85

k₁=0.85 (C16-C25 betonlarında) k₁=1- 0.006 f_ck(C30-C50 betonlarında)

f_cknın birimi N/mm²dir, f_ckyerine f_cdkullanılmaz!

TE : Tarafsız eksen

iTE : Đndirgenmiş Tarafsız Eksen c : Tarafsız eksenin derinliği ε_c : Beton birim kısalması

ε_cu : Betonun ezilme anındaki birim kısalması (=0.003)

ε_s : Çelik birim uzaması

a=k₁c : Eşdeğer basınç bloğu derinliği f_cd : Beton tasarım dayanımı

k₃f_cd: Beton eşdeğer gerilmesinin şiddeti F_s : Çelik çekme kuvveti

F_c : Beton basınç kuvveti A_s : Toplam donatı alanı A_cc : Basınç alanı G : Kesit ağırlık merkezi G₁ : F_ckuvvetinin etkidiği basınç

alanı ağırlık merkezi x : G₁noktasının yeri d : Faydalı yükseklik k₁

Beton

0.70 C50

0.73 C45

0.76 C40

0.79 C35

0.82 C30

C16-C25 0.85

k₁Katsayısı değişimi

8. Teorik gerilme dağılımı yerine TS500-2000 de tanımlanan eşdeğer dikdörtgen basınç bloğu modeli kullanılabilir.

c

d a=k1c x

x

c

d

Kırılma Türleri

Betonun en çok zorlanan lifi εεεε_c= εεεε_cu=0.003 birim kısalmasına ulaştığında beton ezilir, eleman moment taşıma kapasitesine erişir ve kırılma konumuna gelir. Bu konumda donatının akıp akmadığına bağlı olarak üç değişik kırılma türü tanımlanabilir:

1. Sünek kırılma (çekme kırılması) 2. Gevrek kırılma (basınç kırılması) 3. Dengeli kırılma (gevrek)

ERSOY/ÖZCEBE, S. 93

Betonda birim kısalma

Çelikte birim uzama

1. Sünek Kırılma

Sünek kırılma (Çekme kırılması):

Betondaki birim kısalma εεεεc= εεεεcu=0.003 değerine ulaşmadan önceçelik akmışsa, yani εεεε_s> εεεε_sdolmuşsa, çekme kırılması olur. Çünkü önceçelik akmakta, uzamaya devam etmekte ve betondaki birim kısalma da giderek artarak εεεεc= εεεεcu=0.003 sınır birim kısalmasına erişerek ezilme olmaktadır. Kırılma sünektir.

ERSOY/ÖZCEBE, S. 93

Betonda ezilme (sonra !sonra !sonra !)sonra !

Çelikte akma (öööönce !nce !nce !nce !)

HOOKE geçersiz!

2. Gevrek Kırılma

Gevrek kırılma (Basınç kırılması):

εεεε_s< εεεε_sdiken, yani çelik akmadan önce, beton εεεε_c= εεεε_cu=0.003 birim kısalmasına ulaşırsa basınç kırılması olur. Çünkü beton ezilir fakat çelik akmaz. Kırılma gevrektir.

3. Dengeli Kırılma ≡ Gevrek Kırılma

Dengeli kırılma(gevrek kırılma):

Çekme kırılması ile basınç kırılması arasında bir kırılma türüdür. Çelikteki uzama εεεεs= εεεεsdolduğu an (çelik aktığı an), betondaki birim kısalma da εεεεc= εεεεcu=0.003 olmaktadır. Çelik daha fazla uzama imkanı bulamamaktadır. Betonun ezilmesi ve çeliğin akması aynı andaolmaktadır. Kırılma gevrektir.

Çelik akmamış!

HOOKE geçerli Beton ezilmiş

Çelik akmış Beton ezilmiş

Aynı anda

cd c

d

Sünek kırılma ani olmaz. Çökme oluşmadan önce bir süre aşırı çatlaklar, deplasmanlar oluşur, sıva ve beton parçacıkları dökülür. Yapı çökeceğini haber verir. Önlem almak ve yapıyı boşaltmak için zaman tanır.

Gevrek kırılma hemen hiçbir belirti vermeden, genelde patlama sesi ile birlikte, ani olur. Yapı yıkılmadan önce hemen hiçbir belirti vermediğinden önlem alma veya boşaltma şansı kalmaz. Gevrek kırılma tehlikelidir!

Hiçbir yapı elemanı kırılacak şekilde boyutlandırılmaz. Ancak, öngörülemeyen herhangi bir nedenle kırılacaksa, kırılmanın haberli, yani sünekolması arzu edilir.

Sünek davranışı sağlamak için:

• Yönetmelik şartları mutlaka yerine getirilmeli.

• Bilhassa kolon boyutlarında cömert davranılmalı, eksenel yük düzeyi düşük tutulmalı.

•Sık sargı (etriye,fret) kullanılmalı.

•Boyuna donatılar nervürlü olmalı.

•L, Z, T gibi kesitlerden olabildiğince kaçınılmalı.

Kirişler

Kiriş

Kolon

?

Döşeme

Kirişler genelde duvarların altına yapılan, duvar, döşeme ve kendi yüklerini taşıyan çoğunlukla yatay betonarme elemanlardır. Üzerindeki yükleri oturduğu düşey elemanlara (kolonlara) aktarır. Kirişlerin bir diğer önemli işlevi de deprem veya rüzgâr gibi yatay yükleri, döşeme ile bir bütün davranarak, kolonlara aktarmaktır.

Uygulamada yatay elemanlara KĐRĐŞ, düşey elemanlara da KOLON denilmektedir. Ne yatay ne de düşey olan, EĞĐK elemanlara ne denilecektir? Yapı statiği derslerinden bilindiği gibi, çubuk eleman ister yatay ister düşey ister eğik olsun, kolon kiriş ayırımı yapılmaz. Elemanın konumu nasıl olursa olsun, en genel halde, çubuk elemanda altı adet iç kuvvet oluşur: Bir eksenel kuvvet, iki eğilme momenti, iki kesme kuvveti ve bir burulma momenti. Yatay elemanlarda sadece bir eğilme momenti ve bir kesme kuvveti etkin olurken diğer iç kuvvetler çoğu kez önemsenmeyecek düzeyde kalırlar.

Düşey elemanlarda altı adet iç kuvvetin genelde hepsi de etkin olur. Bu nedenle yatay elemanlar ile düşey elemanların davranışları da çok farklıdır. Đç kuvvet açısından eğik elemanlar, eğimin büyüklüğüne-küçüklüğüne bağlı olarak, bu iki durum arasındadırlar.

TS500-2000 ve Deprem Yönetmeliği-1997 bir elemanın kiriş olarak boyutlandırılabilmesi için N_deksenel tasarım kuvvetinin

N_d≤0.1 f_ckA_c

koşulunu sağlaması gerektiğini yazmaktadırlar.

Bu koşulu sağlamayan, yani eksenel kuvvet düzeyi yüksek olan elemanlar, ister yatay, ister düşey veya eğik olsunlar, kolon olarak

boyutlandırılmak zorundadırlar. Bu bağıntıda f_ck betonun karakteristik dayanımı ve A_celemanın kesit alanıdır.

Konsol kiriş

h h Boyuna donatının kesitteki yerine göre iki farklı

kesit tipi vardır:

Tek donatılı kesit: Hesapla bulunan donatı kesitin çekme tarafına konur. Basınç bölgesine hesap dışı (konstrüktif) montaj donatısı konur.

Çift donatılı kesit: Kesitin hem çekme hem de basınç bölgesine hesapla bulunan donatı konur.

Basınç bölgesine konan donatı çekme değil, basınç etkisindedir. Basınç donatısı kesitin dayanımını ve sünekliğini artırır.

Kesit tipleri

b_w:genişlik h : yükseklik

A_s: çekme donatısının toplam alanı

A’_s:montaj veya basınç donatısının toplam alanı

Kiriş kesitleri çoğunlukla dikdörtgen ve tablalı; nadiren trapez, kutu ve üçgen olur.

Kirişler öncelikle moment ve kesme kuvveti etkisindedir. Normal kuvvet etkisi genelde düşüktür. Burulma momenti nadiren dikkate alınacak düzeye varır. Moment (kuvvet çifti) kirişin bir tarafına çekme, diğer tarafına da basınç kuvveti uygular.

Çekme kuvveti kirişte dik çatlaklar oluşturur. Bu kuvveti karşılamak ve oluşturacağı çatlakları sınırlamak için kirişin çekme bölgelerine boyuna donatı konur. Kesme kuvveti mesnet bölgelerinde eğik çekme kuvvetleri oluşturur ve eğik çatlaklara ( ≈ 45⁰) neden olur. Kesme kuvvetini karşılamak ve oluşturacağı çatlakları sınırlamak amacıyla, kiriş açıklıklarda seyrek mesnet bölgelerinde daha sık etriye ile sarılır.

dikdörtgen tablalı trapez kutu üçgen

Dikdörtgen Kesit

çekme donatısı Montaj

donatısı basınç donatısı etriye

etriye

Tablalı Kesit

2 1 1 1

1 , 12

21 ,

6t b a b a

b ≤ ≤ ≤

Tabla kulağı b₁döşeme kalınlığının 6 katını ve komşu kiriş yüzüne olan net uzaklığın yarısını aşamaz. Kirişin, balkon veya saçak döşemeli kenar kiriş, iç kiriş ve kenar kiriş olma durumuna ait sınırlamalar şekil üzerinde gösterilmiştir. L_h

kirişin hesap açıklığıdır. Simetrik olmayan, Simetrik tablalı kesit

balkon veya saçak döşemeli tablalı kesit

ααααsayıları: Basit kiriş

kenar açıklık orta açıklık

konsol Döşeme ve kiriş betonu bir bütün dökülmüş ise ve döşeme betonu kirişin basınç bölgesinde ise, döşemenin b genişliğindeki bir parçası hesaplarda kirişin basınca çalışan tablası olarak dikkate alınır. b ye etkili tabla genişliği veya çalışan tabla genişliği denir. Tabla, beton basınç alanının büyümesine neden olur. Tablası dikkate alınan kirişler T, Lve I kesitli olabilirler.

Döşeme plağının büyük olması durumunda tablanın tamamı basınca çalışmaz. Tabladaki basınç gerilmeleri kiriş gövdesinden uzaklaştıkça hızla azalır. Yapılan araştırmalar sonucunda b çalışan tabla genişliği sınırlandırılmış ve yönetmeliklerde verilmiştir.

Çalışan tabla genişliğinin sınırlandırılması:

Her açıklıkta hesaplanan b değerlerinden en küçüğü o açıklığın tabla genişliğinin üst sınırıdır. Hesaplarda daha da küçük alınabilir. Dikkat edilirse, Kiriş boyunca her açıklıkta tabla genişliği farklı olmaktadır. Đstenirse, bunlardan en küçüğü kullanılarak, her açıklığın tabla genişliği eşit alınabilir. Hatta tabla tamamen ihmal edilerek dikdörtgen kesit (b_w^.h) olarak hesap yapılabilir. Ancak bu, gerçekte var olan, basınç bölgesinin bir kısmının veya tamamının ihmal edilmesi anlamına gelir ve kirişe daha fazla donatı koymak zorunda kalınır. Büyük açıklıklı kirişlerde, dişli döşeme

dişlerinde, köprü kirişlerinde ve prefabrik yapılarda tablanın ihmali, ekonomik açıdan, doğru olmaz.

h w

w

L b

b b

t b b b

α 1 . 0 6

2 2

+ +

≤

+ +

≤

h w

w

L b

b

t b

b

α 2 . 0 12 +

≤ +

≤

b

bw

As

b1 b1

hL^h

t

Kiriş

Kiriş

Kiriş

h w

w

L b

b

t b b

α

≤ +

≤

Simetrik olmayan tablalı kesit

kenar açıklık

eşdeğeri

eşdeğeri

Tablalı Kesit – Eşdeğer kesit

•Tabla basınç bölgesinde ise hesaplarda dikkate alınır.

•Çekme bölgesindeki tabla hesaplarda dikkate alınmaz. Çünkü; çekme bölgesindeki tabla betonu çatlar. Çekme bölgesinin geometrisi önemli değildir. Bu durumda kesit, b_w^.h boyutlu eşdeğer dikdörtgen kesit imiş gibi düşünülür.

Soldaki her iki kesit için tabla dikkate alınır. Çünkü tabla basınç bölgesindedir. Her iki kesit de tablalı olarak hesaplanacaktır.

Soldaki kesitin tablası çekme bölgesindedir. Fiziksel olarak var olmasına rağmen, hesaplarda tabla dikkate alınmayacaktır. Kesit sağdaki dikdörtgen kesit olarak hesaplanacaktır.

Soldaki kesitin tablası çekme bölgesindedir.

Hesaplarda tabla dikkate alınmayacaktır. Kesit sağdaki dikdörtgen kesit olarak hesaplanacaktır.

Kutu Kesit

Daha çok sanayi yapılarında ve köprü kirişlerinde karşılaşılan kutu kesitler eşdeğer tablalı kesit gibi

hesaplanabilirler. Çünkü basınç bölgesi alanı ve ağırlık merkezi değişmemektedir. Ancak b ve b’ çalışan tabla genişliği yukarıda verilen şartları sağlamalıdır. Momentin etkime durumuna bağlı olarak, çekme tarafında kalan tabla dikkate alınmayacaktır. Bu nedenle, hesaplanacak kesit T veya ⊥olmaktadır.

b≤2b₁+12t₁ b’≤2b₁+12t₂ b≤2b₁+0.2αL_h b’≤2b₁+0.2αL_h

Eşdeğeri

Eşdeğeri

Tanımlar

FAYDALI YÜKSEKLĐK: Çekme donatısının ağırlık merkezinin en dış basınç lifine uzaklığıdır, şekillerde d ile gösterilmiştir.

BETON ÖRTÜSÜ: Kiriş yüzüne en yakın olan boyuna donatının merkezinin kiriş yüzüne mesafesidir. Beton örtüsüne uygulamada pas payı da denilmektedir. Şekilde c ile gösterilmiştir.

NET BETON ÖRTÜSÜ: En dıştaki donatının (çoğunlukla etriyenin) dış yüzünün beton yüzüne olan mesafesidir. Kenetlenmeyi sağlamak, paslanmayı önlemek ve yangına dayanımı artırmak gibi amaçları vardır. Şekilde c_cile gösterilmiştir.

DONATI NET ARALIĞI: Donatı çubuklarının yüzleri arasındaki mesafedir. Şekilde c’_cile gösterilmiştir. Agreganın geçebilmesi, betonun sıkıştırılabilmesi ve kenetlenmenin sağlanabilmesi için yeterli net aralık bırakılmalıdır.

ÇEKME DONATISI: Çekme kuvvetini karşılamak amacıyla kirişin çekme tarafına konulan donatıdır. Donatı çubuklarının kiriş genişliğine sığmaması durumunda çift sıra olarak da yerleştirilebilir. Şekilde çekme donatısının toplam alanı A_sile gösterilmiştir.

MONTAJ DONATISI: Kirişin basınç tarafına konulan fakat basınç kuvveti almadığı varsayılan donatıdır. En az iki çubuk konur. Donatı çubuklarının kiriş genişliğine sığmaması durumunda çift sıra veya tabla (varsa) içine de yerleştirilebilir. Şekilde montaj donatısının toplam alanı A’_sile

gösterilmiştir.

BASINÇ DONATISI: Dikdörtgen kesitli kirişlerin basınç tarafına bazen konulan ve basınç kuvveti alan donatıdır. Donatı çubuklarının kiriş genişliğine sığmaması durumunda çift sıra olarak da yerleştirilebilir. Şekilde basınç donatısının toplam alanı A’_sile gösterilmiştir.

GÖVDE DONATISI: Yüksekliği fazla olan kirişlerin yan yüzlerine konulan donatıdır. Şekilde gövde donatısınının toplam alanı A_sgövdeolarak gösterilmiştir.

BOYUNA DONATI: Kiriş eksenine paralel olan çekme, montaj (veya basınç) donatılarına verilen addır. Bu donatılar kiriş genişliğine sığmalı ve aralarında, kenetlenmeyi sağlamak için, yeterli mesafe olmalıdır. Kiriş genişliğine donatıların sığmaması durumunda 1. kiriş genişliğini artırmak 2.bazılarını tabla içine yerleştirmek 3.çift sıra donatı düzenlemek gibi tedbirler alınır.

ENĐNE DONATI: Boyuna donatılara dik olarak yerleştirilen ve boyuna donatıları saran donatıya verilen addır. Sargı donatısı veya etriye de denir. Açıklıklarda seyrek, mesnet bölgelerinde ve konsollarda sık yerleştirilir.

As

h d

bw

t

b

cc

A’_s

c’c

Çekme donatısı ağırlık merkezi c’c

c

h d t

cc

c

Tanımlar-Donatı oranları

DONATI ORANI: Donatı kesit alanının brüt beton alanına oranıdır. Brüt beton alanı hesabında yükseklik olarak h değil d alınır. Donatı alanı beton alanından düşülmez. Kesitin sadece gövde alanı dikkate alınır, tabla kulakları gibi çıkıntılar dikkate alınmaz. Çekme donatısı, montaj (veya basınç) donatısı, gövde donatısı ve etriye için ayrı ayrı donatı oranı tanımlanır. Donatı oranını simgesi için ρkarakteri kullanılır:

ÇEKME DONATISININ ORANI: Çekme bölgesine konulmuş olan çubukların toplam alanının brüt beton alanına oranıdır:

d b

A

w

=

ρ

d b ' A

w '

=

ρ

MONTAJ veya BASINÇ DONATISININ ORANI: Montaj veya basınç kuvveti almak amacıyla basınç bölgesine konulmuş olan çubukların toplam alanının brüt beton alanına oranıdır:

GÖVDE DONATISININ ORANI: Yüksekliği fazla olan kirişlerin yan yüzlerine konulmuş olan çubukların toplam alanının brüt beton alanına oranıdır:

d b A

w gövde gövde

=

ρ

ETRĐYE DONATISININ ORANI: Bu oranı:

w sw

w

s b

= A ρ

ile tanımlanır. Burada s etriye adımı (aralığı), A_swetriye düşey kollarının toplam kesit alanıdır. Kirişler genellikle iki düşey kolu olan etriye ile sarılırlar. Ancak, bazı durumlarda dört, altı veya daha fazla kollu da olabilir. Örneğin; Şekildeki dikdörtgen kesitin etriyesi iki kollu, kutu kesitin ise altı kolludur. A_swetriye alanı, bir kolun kesit alanı ile düşey kol sayısının çarpımıdır.

bw/2 bw/2

dh

b

A’s

As

Üç etriyeli kesit

Kirişler-dengeli donatı oranı tanımı

Dengeli kırılan kesitin donatı oranına dengeli donatı oranıadı verilir ve ρ_bile gösterilir. Dengeli kırılmada donatının akması ve betonun ezilmesi aynı anda olur. Donatıdaki deformasyon ε_sd(σ_s=f_yd) akma deformasyonuna ulaştığı an betonun deformasyonu da ε_cu=0.003 e ulaşır, beton ezilir ve ani göçme olur.

Dengeli kırılma donatı oranı, sünek kırılma ile gevrek kırılma arasındaki bir sınır değer olduğundan, önemlidir.

Dengeli kırılma oranıρ_b sünek kırılma donatı oranının üst sınırı, gevrek kırılma oranının alt sınırıdır. b indisi dengeli (balanced) anlamındadır. Bu oran bilindiği taktirde kiriş bu oranın altında donatılarak gevrek kırılma önlenir.

d b

A

w sb b

= ρ

ERSOY/ÖZCEBE, S. 231

Betonda ezilme

Çelikte akma

Aynı anda

A_sb:dengeli kırılmaya neden olan toplam donatı alanı ρ_b :dengeli kırılmaya neden olan donatı oranı

Kirişler-dengeli, denge üstü ve denge altı donatılı kesit tanımı

Dengeli donatılı kesit:Donatı oranı dengeli kırılmaya neden olacak kadar olan kesite denir: ρ=ρ_b. Denge üstü donatılı kesit:Donatı oranı dengeli donatı oranından fazla olan kesite denir: ρ>ρ_b. Denge altı donatılı kesit:Donatı oranı dengeli donatı oranından az olan kesite denir: ρ<ρ_b. Kırılma türleri donatı oranlarına göre de sınıflandırılabilir:

1.Dengeli donatılı kesit (ρ=ρ_b) gevrek kırılır.

2.Denge üstü donatılı kesit (ρ>ρ_b) gevrek kırılır.

3.Denge altı donatılı kesit (ρ<ρ_b) sünek kırılır.

•Sünek kırılma arzu edilen kırılma şeklidir!

•Gevrek kırılma tehlikelidir!

•Dengeli kırılma (gevrek) tehlikelidir!

•Dengeli donatı oranıρ_bsünek kırılma donatı oranının üst sınırıdır.

•Kirişler denge altı donatılmalı, yani daima ρ<ρ_b olmalıdır. Bu bakımdan, ρ_bdengeli donatı oranının bilinmesi önemlidir.

ERSOY/ÖZCEBE, S. 231

Tehlikeli ! Tehlikeli !

b^w b^w

cb

k1cb

d a=k1cb

TE

k1cb/2

h d-cb k1cb/2

d-k1cb/2

b^w

Tek donatılı ve dikdörtgen kesitli bir kirişin dengeli kırılmasına

neden olan donatı alanı, donatı oranı ve bu kirişin moment taşıma gücünün hesabı

Kesit boyutları (b_w, h, d) ve malzeme (beton/çelik sınıfı) bilinmektedir.

Dengeli kırılmaya neden olacak toplam donatı alanı A_sb ve donatı oranıρ_bnedir?

Kesitin moment kapasitesi M_b (moment taşıma gücü) ne kadardır?

ERSOY/ÖZCEBE, S. 232-233

d b

A

w sb b =

ρ

Dengeli donatı oranı (tanım):

Uygunluk (süreklilik) koşulu (deformasyon diyagramından orantı ile):

b b

sd

d c

c

= − ε

003 . 0

d c

sd

b

= + ε

003 . 0

003 . 0

0.001826 S420b

0.002174 S500a

0.001826 S420a

0.000957 S220a

εεεεsd= f_yd/ E_s Çelik sınıfı

Çelik akma deformasyonları

Tarafsız eksenin yeri (derinliği) bulunur. Burada ε_sd=f_yd/E_sdir ve çelik sınıfına bağlı değerler tabloda verilmiştir.

dh d-k1cb/2 k1cb/2

cbd-cb a=k1cb

a=k1cb

Eksenel denge koşulu (gerilme diyagramından):

F_c-F_s= 0
^0.85fcd b_wk₁ c_b-A_sbf_yd= 0

Her iki taraf b_wd ye bölünür ve c_byerine konursa:

b w yd cd

sb b kc

f

A =0.85 f ₁

d k c f f d

b

A _b

yd cd w

sb

85 1

.

=0

d k c f

f _b

yd cd

b = 0.85 1

ρ

Dengeli donatı oranı bulunur. Bu oran sadece malzemeye bağlıdır (f_cd, k₁betona; f_sd, ε_sdçeliğe ait sabit değerler).

Değişik malzeme için ρ_b değeri hesaplanabilir.

yd sd cd

b k

f f ρ ε

= +

003 . 0

003 . 85 0

.

0 ₁

Moment kapasitesi (moment taşıma gücü):

2 )

(

yd sb b

c d k f A

M = −

Dengeli donatı oranının bilinmesiçok önemlidir, çünkü:

•Bir kirişdengeliveya denge üstüdonatılmışsa gevrek kırılır (TEHLĐKELĐ !).

•Bir kirişdenge altıdonatılmışsa sünek kırılır (ĐSTENEN KIRILMA TÜRÜ!).

Dikdörtgen kesitli kirişlerde dengeli donatı oranları

γγγγmc=1.7 γγγγmc=1.5

γγγγmc=1.4 Beton

Çelik

0.0264 0.0248 0.0230 0.0209 0.0186 0.0161 0.0128 0.0116 0.0103 0.0338 0.0317 0.0293 0.0267 0.0237 0.0205 0.0164 0.0148 0.0131 0.0477 0.0378 0.0382 0.0305

0.0233 0.0283

C50 S500

0.0219 0.0266

C45 S500

0.0203 0.0246

C40 S500

0.0184 0.0224

C35 S500

0.0164 0.0199

C30 S500

0.0142 0.0172

C25 S500

0.0113 0.0138

C20 S500

0.0102 0.0124

C18 S500

0.0091 0.0110

C16 S500

0.0298 0.0362

C50 S420

0.0280 0.0339

C45 S420

0.0259 0.0314

C40 S420

0.0235 0.0286

C35 S420

0.0209 0.0254

C30 S420

0.0181 0.0220

C25 S420

0.0145 0.0176

C20 S420

0.0130 0.0158

C18 S420

0.0116 0.0141

C16 S420

0.0421 0.0511

C25 S220

0.0337 0.0409

C20 S220

0.0303 0.0368

C18 S220

0.0270 0.0327

C16 S220

S220/C16 , γ

=1.5 için örnek:

f_cd= 16/1.5=10.67 N/mm² f_yd= 220/1.15=191.30 N/mm²

k₁ = 0.85

E_s= 2^.10⁵ N/mm²

ε_sd= 191.30/ 2^.10⁵ = 0.000957

0305 . 0

000957 .

0 003 . 0

003 . 85 0

. 300 . 191

67 . 85 10 . 0

=

= +

b b

ρ ρ

0.0186(1.5/1.7) = 0.0164

0.0186(1.5/1.4) = 0.0199

Not:

yd sd cd

b

k

f f ρ ε

= +

003 . 0

003 . 85 0

.

0

ERSOY/ÖZCEBE, S. 235 (benzeri)

0 . 1

8 . 0

yd ctd yd ctd

f f f f

≥

≥

ρ ρ

Dengeli donatı oranı teorik üst sınır değerdir. Güvenlik nedeniyle, uygulamada kirişin donatı oranı bu üst

sınırdan bir miktar daha uzak (küçük) kalmalıdır. Donatı oranı sıfır olamaz. O halde donatı oranının alt sınırı da olmalıdır.

TS500-2000 ve Deprem yönetmeliği-1997 tek donatılı kirişlerin çekme donatısı oranını aşağıdaki gibi sınırlandırmıştır.

Donatı oranının üst sınırı:

Tek donatılı Kirişler- Donatı oranı üst ve alt sınırları

(mesnetlerde) 02

. 0

85 . 0

≤

≤

ρ

ρ

ρ

Donatı oranının alt sınırı:

(çekme bölgelerinde)

(açıklıklarda çekme tarafında)

TS500-2000, S. 23 Deprem Yönetmeliği-1997, S. 42 ERSOY/ÖZCEBE, S. 261

2007 de yürürlüğe girecek olan yeni deprem yönetmeliğinde bu bağıntıdaki 1.0 değeri 0.8 olarak verilmektedir.

ÇÖZÜM:

Mevcut donatı alanı ve oranı: A_s= 1018 mm², ρ= 1018/(250 ^.470) = 0.0087 Malzeme katsayıları: γ_mc= 1.5, γ_ms= 1.15

Malzeme tasarım dayanımları: f_cd= 20/1.5 = 13.33 N/mm², f_ctd= 1.6/1.5 = 1.07 N/mm², f_yd= 420/1.15 = 365.22 N/mm² Diğer: k₁= 0.85 , E_s= 2^.10⁵ N/mm² ,ε_sd= 365.22/ 2^.10⁵ = 0.001826 (akma anında çelik deformasyonu)

Dengeli kırılma halinde tarafsız eksenin derinliği: c_b= 0.003^.470/(0.003+0.001826) = 292 mm Dengeli kırılmaya neden olan donatı oranı:

ρ_b= 0.85^.13.33^. 0.85^.292/(365.22^.470) = 0.0164 (bu değer doğrudan tablodan da alınabilirdi).

Kiriş denge altı mı? Kontrol:

ρ= 0.0087< 0.85 ρ_b= 0.85 ^. 0.0164 = 0.0139

olduğundan kiriş denge altı donatılmıştır, kırılma sünek olur.

Donatı sınırları kontrolü:

ρ= 0.0087 < 0.85 ρ_b = 0.0139
ρ= 0.0087 < 0.02

ρ= 0.0087 > 0.8^.1.07/365.22 = 0.0023

olduğundan donatı oranı yönetmeliklere uygundur.

ÖRNEK

d c

sd

b = +

ε

003 . 0

003 . 0

d k c f

f _b

yd cd

b = 0.85 1

ρ

8 . 0

yd ctd

f

≥ f

ρ

Verilenler:

Đyi denetimli bir şantiyede yapılmış bir kirişin açıklık kesiti.

Malzeme: C20/S420a.

Đstenen:

Kesit dengeli mi, denge altı mı, denge üstü mü donatılmıştır?

Kırılma nasıl olur? Belirleyiniz.

Mevcut donatı yönetmeliklere uygun mu? Kontrol ediniz.

470

500 mm

Tek donatılı, dikdörtgen kesitli, denge altı donatılmış kirişin taşıma gücü

Kesit boyutları (b_w, d, h), donatı alanı (A_s ) ve malzeme (beton/çelik sınıfı) bilinmektedir. Denge altı donatılı olduğu varsayılan kesitin moment taşıma gücü ( M_r) ne kadardır?

b^w b^w

b^w

c

iTE

iTE

k1cd a=k1c

iTE TE

TE

k1c/2

h d-c k1c/2

d-k1c/2

ERSOY/ÖZCEBE, S. 234

Eksenel kuvvet dengesi:

cd yd

f f k c d

85 1

. ρ 0

=

Kirişin moment taşıma gücü:

F_s=F_ckuvvet çiftinin momenti kirişin kırılma anındaki momentini, yani moment taşıma gücünü verir.

M_r= F_s(d-k₁c/2) = F_c(d-k₁c/2) olur. M_ryi çelik kuvvetinden hesaplamak daha basittir:

yd s w

cd s

c F f b k c A f

F = → 0.85 ₁ =

2 ) ( k¹c

d f A

M_r = _{s yd} − Tarafsız eksenin yeri:

Denge altı donatılı kesitlerde önce çelik akar, ε_s > ε_sd, σ_s= f_ydolur. Çelik uzamaya devam ederken betondaki birim kısalma da giderek artar, ε_c= ε_cu= 0.003 olur ve beton ezilir. Kırılma sünektir (çekme kırılması). Yönetmelikler sadece denge altı donatılı kesitlere izin verirler:

ρ^{= A}s/ (b_wd) ≤ ^0.85 ρb.

olmak zorundadır.

dh d-k1c/2 k1c/2

cd-c a=k1c

a=k1c

Tek donatılı, dikdörtgen kesitli, denge altı donatılı kirişin taşıma gücü- ÖRNEK

Verilenler:

Đyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin boyutları, donatısı, g (sabit) ve q (hareketli) karakteristik yükleri , malzemesi: C20/S420a.

Đstenen:

Kiriş verilen yükleri güvenle taşıyabilir mi?

ÇÖZÜM:

Kirişin güvenli olması için,

1) Gevrek kırılma önlenmiş, yani kiriş denge altı donatılı olmalı, donatı oranı aşağıdaki koşulları sağlamalı:

ρ≤0.85 ρ_b, ρ≤0.02 (max donatı oranı) ρ≥0.8 f_ctd/f_yd (min donatı oranı)

2) Kirişin taşıma gücü, yüklerden oluşan tasarım momentinden büyük veya eşit olmalı:

ERSOY/ÖZCEBE, S.

236(benzeri)

d

r M

M ≥

C20/S420a malzemesi için:

γ_mc=1.5, γ_ms=1.15

f_ck=20 N/mm², f_ctk=1.6 N/mm², f_yk=420 N/mm² k₁=0.85, E_s=2^.0⁵ N/mm²

f_cd=20/1.5=13.33 N/mm², f_ctd=1.6/1.5=1.07 N/mm² f_yd=420/1.15=365.22 N/mm²

ρ_b=0.0164 (tablodan. ERSOY/ÖZCEBE, S. 235 den de ρ_b=0.0160 alınabilir)

Tasarım momenti:

M_g = 20^.5²/8 = 62.5 kN^.m (sabit yükten) M_q=10^.5²/8 = 31.3 kN^.m (hareketli yükten)

M_d = 1.4^.62.5+1.6^.31.3 = 137.6 kN^.m (tasarım momenti)

Tarafsız eksenin yeri ve moment kapasitesi:

c = 0.0087^.470^.365.22/(0.85^. 0.85^.13.33) = 155 mm.

M_r= 1018^.365.22(470-0.85^.155/2) = 150251234 N^.mm M_r=150.3 kN^.m (moment taşıma gücü)

M_r= 150.3 kN.m > M_d= 137.6 kN^.m

olduğundan kiriş verilen yükleri güvenle taşır.
Donatı oranı kontrolü:

A_s=1018 mm², ρ= 1018/(250^.470) = 0.0087

ρ= 0.0087 < 0.85ρ_b= 0.85^.0.0164 = 0.0139 (denge altı donatılı)
ρ= 0.0087 < 0.02

ρ= 0.0087 > 0.8^.1.07 /365.22 = 0.0023

Karakteristik yük etkileri

cd yd

f f k c d

85 1

. ρ 0

=

2 ) ( k¹c

d F A

M_r = _{s yd} −

Verilenler:

Đyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin boyutları, donatısı, g karakteristik sabit yükü, malzemesi: C20/S420a.

Đstenen:

Kirişin güvenle taşıyabileceği maksimum q karakteristik hareketli yükü ne kadardır?

ÇÖZÜM:

Kirişin güvenli olması için,

1) Gevrek kırılma önlenmiş, yani kiriş denge altı donatılı olmalı, donatı oranı aşağıdaki koşulları sağlamalı:

ρ ≤0.85 ρ_b, ρ ≤0.02 (max donatı oranı) ρ ≥0.8 f_ctd/ f_yd (min donatı oranı)

2) Kirişin taşıma gücü, yüklerden oluşan tasarım momentinden büyük veya eşit olmalı:

Tek donatılı, dikdörtgen kesitli, denge altı donatılı kirişin taşıma gücü- ÖRNEK

d

r

M

M ≥

ERSOY/ÖZCEBE, S.

238(benzeri)

C20/S420a malzemesi için:

γ_mc= 1.5, γ_ms= 1.15

f_ck= 20 N/mm², f_ctk= 1.6 N/mm², f_yk= 420 N/mm² k₁= 0.85, E_s= 2^.0⁵ N/mm²

f_cd= 20/1.5 = 13.33 N/mm², f_ctd= 1.6/1.5 = 1.07 N/mm² f_yd= 420/1.15 = 365.22 N/mm²

ρ_b= 0.0164 (tablodan. ERSOY/ÖZCEBE, Sayfa 235 den de ρ_b= 0.0160 alınabilir)

30

500 mm

Donatı oranı kontrolü:

A_s= 1018 mm², ρ= 1018/(250^.470) = 0.0087

ρ= 0.0087 < 0.85ρ_b=0.85^.0.0164=0.0139 (denge altı donatılı)
ρ= 0.0087 < 0.02

ρ= 0.0087 > 0.8^.1.07 /365.22=0.0023

Tarafsız eksenin yeri ve moment kapasitesi:

c = 0.0087^.470^.365.22/(0.85^. 0.85^.13.33) = 155 mm.

M_r= 1018^.365.22(470-0.85^.155/2) = 150251234 N^.mm M_r= 150.25 kN^.m (moment taşıma gücü)

Tasarım momenti:

M_g = 20^.5²/8 = 62.5 kN^.m (sabit yükten) M_q= q ^.5²/8 = 3.125q kN^.m (hareketli yükten)

M_d = 1.4^.62.5+1.6 ^.3.125q = 87.5+5.0q (tasarım momenti) Kirişin güvenle taşıyabileceği maksimum q karakteristik yükü:

M_d ≤M_rolmalı.

87.5+5.0q≤150.25 q = 12.55 kN/m bulunur.

Çift donatılı, dikdörtgen kesitli, denge altı donatılı kirişin taşıma gücü

d b

A d b

A

w s w

s

' '

=

=

ρ

ρ

(basınç donatısı oranı)

ERSOY/ÖZCEBE, S. 238-243

Tek donatılı kirişin moment kapasitesi yetersiz kaldığında, kapasiteyi artırmak için ya kiriş kesiti (b_w^. d) büyütülür yada basınç bölgesine de donatı konur. Şekilde basınç donatısı A^’_sile çekme donatısı da A_sile gösterilmiştir.

Montaj donatısı basınç donatısı olarak algılanmaz!

Đç kuvvetler 1.modelin ve 2.modelin toplamı olarak düşünülebilir. A_s= A_s1+ A_s2 dir. Dengeli donatı durumunda A^’_sakar, öyleyse σ’_s=f_yd, F’_s=F_s2, A^’_s=A_s2, A_s1=A_s-A^’_solur. Dengeli kırılma A_s1donatısının akması, uzaması ve daha sonra da betonun ezilmesi ile olur. Çünkü, ikinci modelde beton kuvveti yoktur, sadece çelik çubuklarda kuvvetler vardır. A_s2ve A’_ssünek malzemelerdir; aksalar dahi, beton olmadığı için, ikinci modelde gevrek kırılma olmaz. O halde kırılmanın türünü tek donatılı olan birinci model belirleyecektir. Bu nedenle, A_s1donatısının oranı, tek donatılı kesite ait ρ_bden küçük olmalıdır.

Çekme donatısı Basınç donatısı