Kuvvet Sistem Bileşkeleri

(1)

(2)

Hedefler

 2 ve 3 boyutlu kuvvet sistemlerinin oluşturduğu moment değerlerinin hesaplanması.

 Kuvvet Çiftinin Momenti.

(3)

• 2 ve 3 boyutlu, tek noktada buluşmayan (konkürent olmayan) kuvvet sistemlerini oluşturduğu bileşkeler.

• Kuvvet ve moment sistemlerinin, başka bir noktaya kuvvet ve moment çifti olarak aktarılması.

Bölüm Öğrenme Çıktıları

(4)



Bir Kuvvetin verilen bir eksene göre Momenti



Kuvvet Çifti momenti



Moment Teoremi

Bölüm Öğrenme Çıktıları

(5)

Marangozlar çekici şekilde gösterildiği gibi kullanarak çiviyi sökerler. Aslında F_Hkuvveti çekicin sapına çiviyi sökmek

için ne tür bir eylem uygular? Matematik modellemesiyle F_H kuvvetinin O noktasına etkisini nasıl ifade edebiliriz?

Bir Kuvvetin Momenti

(6)

Bir kuvvetin, herhangi bir noktaya (veya

eksene) olan etkisi, o noktanın (veya eksenin) döndürülebilirliği ile ölçülür ve buna Moment denir.

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(7)

Durum 1:

F

_x

yatay kuvveti anahtarın koluna dik etki eder ve

kuvvetin O noktasına dik uzaklığı d

_y

kadardır.

F_x kuvveti silindirik boruyu z ekseni etrafında döndürmeğe çalışır.

Kuvvet veya d_ymesafesi, ne kadar büyük olursa döndürme etkisi o kadar büyük olur.

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(8)

Kuvvet ‘W’ veya ‘D’ mesafesi, ne kadar büyük olursa döndürme etkisi ‘P’ noktasında o kadar büyük olur.

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(9)

 Not:

 Moment ekseni (z) şekildeki taralı (x-y)

düzlemine diktir. (düzlemi oluşturan eksenler dışındaki eksen)

 Geriye kalan 3. eksen: ‘z’

 F_x ve d_ytaralı düzlemdeki

 alan (x-y)

 Moment ekseni (z) ile

 düzlem O noktasında kesişir.

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(10)

Durum 2:

F_z kuvveti anahtarın koluna etki eder:

- Silindirik boru z ekseninde döndürülemez.

- Boru aslında dönemez ama

F_z kuvveti boruyu döndürmeğe çalışır; bu da aslında borunun üzerine (M_o)_xbüyüklüğünde

moment uygulandığını ifade eder.

- Moment ekseni (x) taralı düzlem (y-z)’ye diktir.

- F_z kuvveti ve d_yuzunluğu (y-z) düzlemindedir.

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(11)

Durum 3:

F_y kuvvet anahtarın koluna etki eder O noktasında Moment oluşmaz.

- Mesafe ile kuvvet ayni etki

- çizgisinde olduğundan

- O noktasına döndürme

- etkisi oluşturmaz.

Not: F_y ve d_yikisi de ayni çizgide

olduklarından (düzlem oluşturmadıkları için) Moment üretmezler.

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(12)

 Kuvvet her zaman moment oluşturmayabilir.

 Kuvvet F;

 AB kirişinin A noktasında saat yönüne doğru dönen

 M_A = d_AF momenti,

 AB kirişinin B noktasında saatin ters yönüne doğru dönen M_B = d_BF momenti oluşturur.

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(13)

Genel

F kuvveti ve O noktası ayni taralı düzlemdedir.

Moment M_O, O noktasına veya

herhangi O noktasından geçen bir eksene göre, dik bir düzlemde

oluşur ve vektör özelliğindedir.

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(14)

Moment M

_O

belirlenmiş büyüklüğü

ve yönü olan bir vektördür.

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(15)

M = F x d

M = bir nokta veya eksene göre hesaplanmış moment

büyüklüğü [N.m]

F= Kuvvet büyüklüğü [N]

d = dik mesafe [m]

Yön sağ el kuralı ile bulunur.

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(16)

Pozitif (artı) moment yönü:

Saat yönünün tersi

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(17)

Pozitif (+) moment

Negatif (-) moment

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(18)

SKALER YÖNTEM

Büyüklük: Basit çarpım işlemini kullan;

M

_O

= F . d

d = moment kolu or dik uzaklık

(O noktasından kuvvet etki çizgisi arasındaki mesafe)

F = Kuvvet büyüklüğü

 Moment’in birimi: N.m, kN.m

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(19)

SKALER YÖNTEM Yön:

 M_O yönü “sağ el kuralı” yardımı ile bulunur.

Sağ elin parmaklarının kuvvetin O noktasına doğru bükülmesi,

momentin dönüş yönünü ifade eder.

Bir Kuvvetin Momenti 2 Boyutlu Sistem

DÖNÜŞ YÖNÜ MOMENT EKSENİ

(20)

SKALER YÖNTEM Yön:

Baş parmak moment ekseni ile momentin yönünü ifade eder.

Moment vektör her zaman

yukarıya doğru ve taralı düzlemin dik yönünedir.

DÖNÜŞ YÖNÜ

Bir Kuvvetin Momenti 2 Boyutlu Sistem

MOMENT EKSENİ

(21)

SKALER YÖNTEM

Yön

M_O dairesel vektör oku olarak sembolize edilir.

 M_O saatin ters dönüş yönü F kuvvetini etkisi ile oluşur.

 Okun ucu F kuvvetinin etkisi ile oluşan döngünün yönünü ifade eder.

Bir Kuvvetin Momenti 2 Boyutlu Sistem

DÖNÜŞ YÖNÜ MOMENT EKSENİ

(22)

F r

M   





r  

^Mesafe vektörü, kuvvet ile referans noktası (ekseni) arasındaki vektörel uzaklıktır.

Bazı 2 boyutlu ve pek çok 3 boyutlu problemler için, vektörel yaklaşımın moment hesaplamalarında kullanılması daha uygundur.

Bir kuvvetin etkisi ile oluşan MOMENT vektörtel çarpım ile ifade edilir.

VEKTÖREL YÖNTEM

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(23)

Sağ el kuralı kullanılmadan vektörel çarpım uygulanarak Moment bulunur.

M

_O

= d X F

Vektörel çarpım doğrudan büyüklüğü ve yönü verir.

Moment’in birimi N.m, kN.m

MOMENT EKSENİ

Bir Kuvvetin Momenti 2 Boyutlu Sistem

DÖNÜŞ YÖNÜ

VEKTÖREL YÖNTEM

(24)

F r

M 

_o

 





Sarrus’ Kuralı:

- k +k

) k F

r )

k F

r

M _o _x _y  _y _x  ( ( 



VEKTÖREL YÖNTEM

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(25)

Örnek:

Her durum için, O noktasında oluşan momenti bulunuz?

Bir Kuvvetin Momenti

2 Boyutlu Sistem

(26)

Çözüm:

 Kuvvet yön çizgisi uzatılarak istenilen nokta

arasındaki dik mesafe (moment kolu) bulunur.

 Oluşabilecek moment yönü açık mavi renkteki kavisli ok ile gösterilmiştir.

o o

(a)M (2m)(100N) 200.000 N.m (CW) (b)M (0.75m)(50N) 37.500 N.m (CW)

 

Bir Kuvvetin Momenti 2 Boyutlu Sistem

-k -k

(27)

Çözüm:

o

o o

(c) M (4m 2cos30 m)(40N) 229.282 N.m (CW) (d) M (1sin 45 m)(60N) 42.426 N.m (CCW)

(e) M (4m 1m)(7kN) 21.000 kN.m (CCW)

  

 

  

Bir Kuvvetin Momenti 2 Boyutlu Sistem

-k +k

+k

(28)

Bir Kuvvetin Momenti 2 Boyutlu Sistem

Örnek:

800 N kuvvetin A, B, C

ve D noktalarına uyguladığı momenti hem skaler hem de ve vektörel yöntemle bulunuz?

(29)

Çözüm:

(Skaler)

F kuvveti ve C noktası ayni doğrultu çizgisindedir.

A B C

D

M = (2.5m)(800N) = 2000 N.m (CW) M = (1.5m)(800N) = 1200 N.m (CW) M = (0m)(800N)= 0 N.m

M = (0.5m)(800N) = 400 N.m (CCW)

Bir Kuvvetin Momenti 2 Boyutlu Sistem

- k - k

+ k

(30)



Bir Kuvvetin Momenti 2 Boyutlu Sistem

Çözüm:

(Vektörel)

F kuvveti ve C noktası ayni doğrultu çizgisindedir.

(31)

Moment Prensipleri

Varignon Teoremi

Bir kuvvetin herhangi bir noktaya etki ettiği moment, o kuvvetin

bileşenlerinin o noktaya etmiş olduğu moment etkilerinin

vektörel toplamıdır.

(32)

Moment Prensipleri

(33)

Çözüm Metot 1:

BCD üçgeni oluştur ve trigonometriden, CB = d = 100cos45° = 70.7107mm

M_A =dF= (0.07071m) 200N = 14142.136 N.mm (k) = 14.142 N.m (k) veya vktörel,

M_A = {14.142 k} N.m

Moment Prensipleri

(34)

Çözüm Metot 2:

 200 N luk kuvveti x ve y bileşenlerine ayır, M_A = ∑dF

M_A =(200)(200sin45°) – (100)(200cos45°) = 14142.136 N.mm (k)

Moment Prensipleri

(35)

 ‘‘Bir kuvvetin herhangi bir noktaya etki ettiği moment, o kuvvetin bileşenlerinin o noktaya etmiş olduğu moment etkilerinin vektörel toplamıdır.’’

 3 sin75  2.898m

 d

  

m kN 489 .

14

898 .

2 5













 Fd

M_O        

m kN 489 .

14

30 cos 3 45 sin 5

30 sin 3 45 cos 5



















 _x _y _y _x

O F d F d

M

Moment Prensipleri

(36)

Örnek:

Üçgen şeklindeki köşebendin ucuna F= 400 N kuvvet uygulanmaktadır. Bu kuvvetin O

noktasına uyguladığı momenti bulunuz?

Moment Prensipleri

(37)

Çözüm:

Metot 1:

Verilen kuvveti x ve y bileşenlerine ayırıp moment denklemini uygula.

M_O = 400sin30°N(0.2m)-400cos30°N(0.4m) = -98.5641 N.m

Diktörtgen eksende,

M_O = {-98. 5641k} N.m

Moment Prensipleri

(38)

Çözüm:

Metot 2:

 Dikdörtgenel eksen ifadesi:

r = {0.4i – 0.2j} m

F = {400sin30°i – 400cos30°j} N = {200.000i – 346.410j}N

Moment:

Moment Prensipleri

(39)

Örnek (T):

600 N kuvvetin O noktasına uyguladığı Momenti hem skaler hem de vektörel yöntemle bulunuz?

Moment Prensipleri

(40)

2 Boyutlu ayni düzlemdeki kuvvetlerin moment bileşkesi

Bileşke moment M_Ro = kuvvetlerin o noktaya

uyguladığı momentlerin cebirsel toplamıdır.

(sadece 2B için).

M_Ro = ∑F.d

Saatin dönüş yönünün tersi pozitiftir!

(41)

(sadece 2B için).

M_Ro =M₁ – M₂ + M₃

=∑dF= d₁ F₁– d₂ F₂ + d₃ F₃

2 Boyutlu ayni düzlemdeki

kuvvetlerin moment bileşkesi

(42)

2 Boyutlu ayni düzlemdeki kuvvetlerin moment bileşkesi

(sadece 2B için).

M_Ro = ∑F.d

(43)

R

O

M Fd

 ⁺  

2 Boyutlu ayni düzlemdeki kuvvetlerin moment bileşkesi

(44)

Örnek:

Verilen 4 kuvvetin O noktasına yapmış olduğu bileşke momentini bulunuz?

2 Boyutlu ayni düzlemdeki

kuvvetlerin moment bileşkesi

(45)

Çözüm: (skaler)

Her zaman saatin ters yönü +k dir.

) k ( m . N 923 .

333

m . N 923 .

333

) m 30 cos 3

m 4 )(

N 40 (

) m 30 sin 3

)(

N 20 ( )

m 0 )(

N 60 ( ) m 2 )(

N 50 (

M

d . F M

Ro Ro























^



2 Boyutlu ayni düzlemdeki

kuvvetlerin moment bileşkesi

(46)

Çözüm: (vektörel)

(-k) N.m

333.923

(-k)]

[263.923 (k)]

[30 [0]

k)]

( [100

(-j)]

40 X )(i ) 3cos 30

(4 [

(i )]

20 X (-j) [3s i n30

(i )]

60 X [0 (-j)]

50 X (i ) [2 M_Ro



















dXF M_Ro

2 Boyutlu ayni düzlemdeki

kuvvetlerin moment bileşkesi

(47)

Kuvvet Çiftinin Momenti

(48)

F kuvvetinin O noktasına uyguladığı moment vektörel çarpım:

M

_O

= r X F

ile hesaplanır.

r vektörü, F kuvveti ile O noktası arasındaki uzunluktur.

Moment

Moment ekseni

(49)

• M = r (vektör) X F (vektör)

• Her ‘F’ kuvveti için, uzunluk vektörünü ‘r ’ bulunuz,

• Eğer verilmemişse ‘F’ kuvvet vektörünü de bulunuz.

Moment

(50)

Bazı 2-Boyutlu problem ve pek çok 3- Boyutlu problem, çözümleri için Vektörel çarpım kullanılması yapılacak işlemleri kolaylaştırır. Bir kuvvetin herhangi bir noktaya uyguladığı MOMENT için:

F r

M   





Moment

(51)

F r

M   





r 

İstenilen nokta ile kuvvet çizgisnin arasındaki vektörel uzunluk (m).

A

F

r1

r2

r3

M_A

Taşınabilirlik prensibi gereğince kuvvet, kuvvet çizgisi üzerindeki herhangi bir noktadan başlayabilir ve yapmış olduğu etki moment

büyüklüğü ve yönü değişmez (N).

 F

F r

M _A      











 ₁ ₂ ₃

Moment

(52)

Moment Vektörü

r X F nin oluşturduğu moment r vektörünün F kuvvet vektörü ile, kuvvet çizgisinin neresinde çakışırsa çakışsın sonucu değiştirmez,

r = r’ + u

r  F = (r’ + u)  F = r’  F

çünkü u ile F vektörünün vektörel çarpımı sıfırdır.

(53)

Kuvvet Çiftinin Momenti



Kuvvet Çifti:

- iki kuvvet birbirine paralel olmalı,

- büyüklükleri eşit ama yönleri ters olmalı,

- birbirlerinde dik mesafe d kadar uzak olmalı Bileşke Kuvvet = 0

 Herhangi bir yöne doğru çevirebilme eğilimi vardır,

 Kuvvet çiftinin momenti = kuvvet çiftinin herhangi bir

 noktaya uyguladığı

 toplam moment.

(54)

Kuvvet çifti: 2 paralel, ayni büyüklük, fakat birbirine ters yönde ve aralarında d kadar dik bir mesafe olan kuvvetler demektir.

Kuvvet çifti Momenti:

M_O = F . d (skaler yaklaşım, sağ el kuramı ile yön belirlenir), M_O = d X F (vektör yaklaşım).

Kuvvet Çiftinin Momenti

(55)

Kuvvet çiftinin net dış kuvvet etkisi sıfırdır çünkü toplam net kuvvet sıfırdır ama net moment büyüklüğü ‘F.d’ kadardır.

Kuvvet çifti momentler toplamı için vektörel işlem kuralları uygulanır.

Kuvvet çiftinin momenti serbest vektördür.

Verilen cismin herhangi bir yerine bu moment serbest vektör olduğundan kaydırılabilir.

Kuvvet Çiftinin Momenti

(56)

O

a

d

F

A F

B

C

M_O= F (a+d) – F a = F d

M_O=M_A=M_B=M_C Kuvvet çifti momenti tüm moment merkezlerine ayni değerdedir.

Kuvvet Çiftinin Momenti

(57)

M M

2B; kuvvet çifti momenti,

saatin dönüş yönünün tersi. (k)

Kuvvet Çiftinin Momenti

2B; kuvvet çifti momenti, saatin dönüş yönü. (-k)

(58)

=

Kuvvet Çiftinin Momenti

Kuvvet çifti Kuvvet çiftinin oluşturduğu moment

Kuvvet çiftinin momenti serbest vektördür.

Verilen cismin herhangi bir yerine bu moment serbest vektör olduğundan, kaydırılabilir.

(59)

UYGULAMA

Kuvvet Çiftinin Momenti

(60)

Kuvvet Çiftinin Momenti

UYGULAMA

(61)

Skaler Yaklaşım

 Kuvvet çifti büyüklüğü:

M = F.d

 Moment dönüş yönü sağ-el kuralı yardımı ile

 Her zaman tüm şartlarda

moment kuvvetlerin bulunduğu düzleme diktir.

Kuvvet Çiftinin Momenti

(62)

Vektörel Yaklaşım

M = d X F

 Her zaman tüm şartlarda

moment kuvvetlerin bulunduğu düzleme diktir.

Kuvvet Çiftinin Momenti

(63)

Örnek:

Moment şekildeki dişliye etki ediyor. A ve B noktalarında bu momente denk kuvvet

çiftini bulunuz?

=

Kuvvet Çiftinin Momenti

(64)

Çözüm:

Moment büyüklüğü:

M = 24 N.m

 Yön saatin dönüş yönü tersi

 M serbest vektör olduğundan herhangi bir yerdeki etkisi

değişmez.

Kuvvet Çiftinin Momenti

(65)

Çözüm:

 Momentin yönü koruyabilmek için kuvvetlerin yönünü şekildeki gibi belirleriz.

 Her kuvvetin büyüklüğü ise:

M = F.d

24 N.m = F(0.2m)

F = 120.000 N

Kuvvet Çiftinin Momenti

(66)

Kuvvet Çiftinin Momenti

Örnek (T):

Dönen kapı sisteminin üstten görünüşü verilmiştir. İki kişi ayni anda kapıya yaklaşıp ayni büyüklükte kuvveti, detaydaki gibi uygulamışlardır. O ekseni etrafında, saatin dönüş yönünün tersi oluşan moment 25 N.m ise, uygulanan kuvvetlerin büyüklüğünü bulunuz?

(67)

İki farklı kuvvet çifti, eğer ayni moment büyüklüğü ve yönünü veriyorlarsa, o zaman bu iki farklı kuvvet çifti denktir.

Denk Kuvvet Çiftleri

(68)

İki farklı kuvvet çifti, eğer ayni büyüklük ve yönde moment üretiyorsa o zaman bu iki farklı kuvvet çifti birbirine denktir.

= = =

=

Denk Kuvvet Çiftleri

(69)

Örnek:

İki farklı kuvvet çifti şekildeki kirişe etki etmektedir. Tüm sisteme etki eden bileşke momenti 100 N.m; saatin dönüş yönünün tersi yönde ise,

i- F kuvvetinin büyüklüğünü,

ii- bu bileşkenin kirişin neresine etki ettiğini bulunuz?