Mukavemet-II. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mukavemet-II

Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Bölüm 7

Gerilme ve Şekil Değiştirme Dönüşümleri

Kaynak: ‘Cisimlerin Mukavemeti’, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

7.1 Giriş

Bölüm 1’de bir Q noktasındaki en genel gerilme halinin altı bileşenle temsil edilebileceğini gördük. Koordinat eksenleri döndürüldüğünde, aynı gerilme hali farklı bir bileşen takımıyla temsil edilecektir.

İncelememiz, temelde düzlem gerilme halini yani kübik elemanın iki yüzünde herhangi bir gerilme olmaması haliyle ilgili olacaktır.

τ_yx = τ_xy , τ_zy=τ_yz ,τ_xz=τ_zx olduğunu hatırlayalım.

7.1 Giriş

7.1 Giriş

İnce cidarlı basınç kapları, düzlem gerilme analizinin önemli bir uygulamasını oluşturur.

7.2 Düzlem Gerilme Dönüşümü

Elemanın z ekseni etrafında θ açısı kadar döndükten sonraki durumuyla ilişkili σ_x', σ_y' ve τ_x'y' gerilme bileşenlerini belirlemeyi ve bu bileşenleri σ_x , σ_y , τ_xy ve θ cinsinden ifade etmeyi amaçlıyoruz.

7.2 Düzlem Gerilme Dönüşümü

7.2 Düzlem Gerilme Dönüşümü

7.2 Düzlem Gerilme Dönüşümü

→

7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi

Bunlar bir çemberin parametrik denklemleridir. Bir dik eksen takımı seçer ve θ parametresinin değerleri için bulunan M noktalarını birleştirirsek, bunlar bir çember üzerinde bulunur.

7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi

denklemi, merkezi σ_ort apsisli ve 0 ordinatlı C noktası olan R yarıçaplı bir çemberin denklemidir.

Çember yatay eksene göre simetrik olduğundan, N noktalalarının çizilmesi ile de aynı sonuç elde edilir.

7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi

Çember üzerindeki A ve B noktaları özel öneme sahiptir. A noktası σ_x' normal gerilmesinin maksimum değerine, B noktası ise minimum değerine karşılık gelir. Ayrıca her iki nokta da τ_x'y' kayma gerilmesinin sıfır değerine karşılık gelir.

7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi

Bu şekilde elde edilen elemanın yüzlerini içeren düzlemlere, Q noktasındaki asal gerilme düzlemleri denir.

Bu düzlemler üzerinde uygulanan normal gerilmelerin karşı gelen σ_maks ve σ_min değerlerine de Q’daki asal gerilmeler adı verilir.

Asal düzlemler üzerinde hiçbir kayma gerilmesinin olmadığı açıktır.

7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi

İki asal düzlemden hangisinin σ_maks ve σ_min değerlerine maruz kaldığını anlamak mümkün olmazsa, iki θ_p değerinden birisi aşağıdaki denklemde yerine koymak gerekir.

7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi

Çemberin düşey çapı üzerinde bulunan D ve E noktalarının, τ_x'y' kayma gerilmesinin en büyük sayısal değerine karşılık geldiği görülür.

7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi

Kayma gerilmesinin maksimum değeri, çemberin R yarıçapına eşittir.

İki denklem birbirinin tersinin ters işaretlisidir. Yani, 2θ_p ve 2θ_s arasındaki fark 90˚ ve θ_p ve θ_s arasındaki fark 45˚’dir. Maksimum kayma gerilmesi düzlemleri, asal düzlemlerle 45˚’lik açı yapar.

Örnek 7.01

Şekilde gösterilen düzlem gerilme hali için, (a) asal düzlemleri, (b) asal gerilmeleri, (c) maksimum kayma gerilmesini ve karşı gelen normal gerilmeyi belirleyiniz.

a. Asal Düzlemler.

Örnek 7.01

b. Asal Gerilmeler.

c. Maksimum Kayma Gerilmesi.

Örnek 7.01

600 N büyüklüğündeki tek bir P yatay kuvveti, ABD manivelasının D ucuna uygulanmaktadır. Manivelanın AB parça- sının çapı 30 mm olduğuna göre, (a) H’de yer alan ve x ve y eksenlerine paralel kenarlara sahip olan bir eleman üzerindeki normal ve kayma gerilmelerini, (b) H nokta- sındaki asal düzlemleri ve asal gerilmeleri belirleyiniz.

450 mm 250 mm

100 mm

30 mm

Örnek Problem 7.1

450 mm 250 mm

100 mm

30 mm

Örnek Problem 7.1

600 N

150 Nm 270 Nm

Kuvvet-kuvvet çifti sistemi.

Örnek Problem 7.1

600 mm

150 Nm 270 Nm

a. H Noktasındaki Gerilmeler.

56.6 MPa

50.9 MPa

Örnek Problem 7.1

b. Asal Düzlemler ve Asal Gerilmeler.

56.6 MPa

50.9 MPa

86.5 MPa

29.9 MPa

7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi

1. Çember üzerinde X ve Y noktaları belirlenir. X noktası, x eksenine dik yüzeydeki gerilmeleri, A noktası da a eksenine dik yüzeydeki gerilmeleri temsil eder. Benzer uylaşım, Y ve B noktaları için de geçerlidir.

Mohr çemberinin çizimi:

7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi

3. Çemberin σ eksenini kestiği A ve B noktalarının apsisleri, sırasıyla, ele alınan noktadaki σ_maks ve σ_min asal gerilmelerini temsil eder.

2. X ve Y bir doğru ile birleştirilir. XY doğru- sunun σ ekseniyle kesiştiği nokta C ile gös- terilir ve C merkezli, XY çaplı çember çizilir.

C’nin apsisi ve çemberin yarıçapı:

7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi

tan (XCA) = 2τ_xy/(σ_x - σ_y) olduğundan, XCA açısı yukarıdaki denklemi sağlayan açılardan birine büyüklükçe eşittir. Bu nedenle, çemberin A noktasına karşı gelen asal düzlemin yönelimini eleman üzerinde tanımlayan θ_p açısı, XCA açısının yarısıdır.

7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi

Mohr çemberi üzerinde, saatin tersi yönünde 2θ_p kadar bir dönme, CX’i CA’ya taşırsa, saatin tersi yönünde θ_p kadar bir dönme Ox’i Oa’ya taşır.

7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi

Aynı çember, x' ve y' eksenlerine karşı gelen gerilme bileşenleri ele alınarak da elde edilebilir. XCX' açısı, xOx' açısının iki katına eşittir. XY çapını X'Y' çapına taşıyan dönmenin yönü, xy eksenlerini x'y' eksenlerine taşıyan dönme ile aynıdır.

7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi

Buradan, maksimum kayma gerilmesi düzlemlerinin asal düzlemlerle 45˚’lik bir açı yaptığı da gözlemlenebilir.

Mohr çemberinin AB ve DE çapları arasındaki açı 90˚ olduğundan, karşı gelen elemanların yüzleri arasındaki açı 45˚’dir.

7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi

Verilen bir yüz üzerine uygulanan kayma gerilmesi, elemanı saat yönünde döndürme eğiliminde ise, Mohr çemberi üzerinde bu yüze karşılık gelen nokta, σ ekseninin üst kısmında yer alır.

Normal gerilmelerde ise, çekme gerilmesi pozitif kabul edilir ve sağa doğru çizilir. Basınç gerilmesi ise negatif kabul edilir ve sola doğru çizilir.

(a) Saat yönünde  Yukarıda (b) Saatin tersi yönünde  Aşağıda

Şekildeki düzlem gerilme hali için, (a) Mohr çemberini oluşturunuz, (b) asal gerilmeleri belirleyiniz, (c) maksimum kayma gerilmesini ve karşı gelen normal gerilmeyi belirleyiniz.

Örnek 7.02

Örnek 7.02

a. Mohr Çemberinin Oluşturulması.

X ve Y noktaları belirlendikten sonra, XY doğru- su çizilerek Mohr çemberinin merkezi bulunur.

Örnek 7.02

b. Asal Düzlemler ve Asal Gerilmeler.

Örnek 7.02 b. Asal Düzlemler ve Asal Gerilmeler.

CX’i CA’ya taşıyan dönme saatin tersi yönünde olduğundan, Ox’i Oa eksenine taşıyan dönme de saatin tersi yönündedir.

Örnek 7.02 c. Maksimum Kayma Gerilmesi.

Saatin tersi yönünde 90˚’lik dönme CA’yı CD’ye taşıdığına göre, saatin tersi yönünde 45˚’lik bir dönme, Oa eksenini, maksimum kayma gerilmesine karşı gelen Od eksenine taşır.

7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi

Mohr çemberi, merkezi eksenel yüklemeye maruz bir elemandaki gerilmeleri belirlemek için kullanılabilir.

7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi

Mohr çemberi, ayrıca burulma yüklemesine maruz bir elemandaki gerilmeleri belirlemek için kullanılabilir.

Örnek Problem 7.2

Gösterilen düzlem gerilme hali için, (a) asal düzlemleri ve asal gerilmeleri, (b) verilen elemanın saatin tersi yönünde 30° dönmesiyle elde edilen eleman üzerine uygulanan gerilme bileşenlerini belirleyiniz.

Örnek Problem 7.2

Mohr Çemberinin Oluşturulması.

Örnek Problem 7.2 a. Asal Gerilmeler ve Asal Düzlemler.

Örnek Problem 7.2

b. 30˚ Döndürülen Eleman Üzerindeki Gerilme Bileşenleri.

Şekildeki düzlem gerilme hali, düşey yüzeyler üzerine uygulanan σ₀=56 MPa’lık bir çekme gerilmesi ve bilinmeyen kayma gerilmelerinden oluşmaktadır. (a) τ₀ kayma gerilmesinin büyüklüğünü, en büyük normal gerilme 70 MPa olacak şekilde belirleyiniz, (b) karşı gelen maksimum kayma gerilmesini bulunuz.

56 MPa

Örnek Problem 7.3

56 MPa

Örnek Problem 7.3 Mohr Çemberinin Oluşturulması.

70 MPa 56 MPa

28 MPa 28 MPa

14 MPa

(MPa)

(MPa)

Örnek Problem 7.3

a. τ₀ Kayma Gerilmesi.

70 MPa 56 MPa

28 MPa 28 MPa

14 MPa

(MPa)

(MPa)

Örnek Problem 7.3 b. Maksimum Kayma Gerilmesi.

70 MPa 56 MPa

28 MPa 28 MPa

14 MPa

(MPa)

(MPa)

28 MPa

42 MPa

14 MPa 70 MPa

14 MPa

70 MPa

42 MPa

28 MPa

Örnek Problem 7.3 b. Maksimum Kayma Gerilmesi.

τ₀ kayma gerilmesinin yönü ile ilgili ilk varsayımımız ters çevrilseydi, aynı çemberi ve aynı cevapları elde ederdik.

Fakat elemanların yönelimi şekildeki gibi olurdu.

7.5 Genel Gerilme Hali

Önceki kesimlerde düzlem gerilme hali ele alınıp sadece z ekseni etrafında bir dönmeyle ilgili gerilme dönüşüm denklemleri elde edildi. Şimdi ise genel gerilme hali ve şekilde gösterilen eksenlerin dönmesiyle ilişkili gerilme dönüşümünü ele alacağız.

7.5 Genel Gerilme Hali

Yüzlerden üçü koordinat düzlemlerine paraleldir. ABC yüzü ise QN doğrusuna diktir. QN doğrusunun doğrultu kosinüsleri λx, λy, ve λz’dir.

7.5 Genel Gerilme Hali

ABC yüzü üzerine uygulanan kuvvetler, QN doğrultusundaki normal kuvvet ile QN’ye dik, fakat doğrultusu bilinmeyen bir kesme kuvvetinden oluşur.

7.5 Genel Gerilme Hali

Bu ifade, λx, λy, ve λz’nin bir kuvadratik formudur. Koordinat eksenleri, denklemin sağ yanı doğrultu kosinüslerinin karelerini içeren üç terime dönüşecek şekilde seçilebilir. Bu eksenleri a, b, c ile, karşı gelen gerilmeleri σ_a, σ_b, σ_c ile ve QN’in bu eksenlere göre doğrultu kosinüslerini λa, λb, ve λc ile gösterirsek,

şeklinde yazılabilir.

7.5 Genel Gerilme Hali

a, b, c koordinat eksenlerine asal gerilme eksenleri adı verilir. Karşı gelen koordinat düzlemleri asal gerilme düzlemleri ve σ_a, σ_b, σ_c gerilmeleri Q’daki asal gerilmeler olarak bilinir.

7.6 Mohr Çemberinin Üç Boyutlu Gerilme Analizine Uygulanması

Eleman bir eksen etrafında, örneğin, c ekseni etrafında döndürülürse, Mohr çemberi (AB çaplı) düzlem gerilme dönüşümü gibi çizilebilir.

Eleman, a ve b eksenleri etrafında döndürülürken, sırasıyla BC ve CA çaplı Mohr çemberleri gerilme dönüşümü için kullanılabilir.

7.6 Mohr Çemberinin Üç Boyutlu Gerilme Analizine Uygulanması

Düzlem gerilme halinde σ_z , τ_zx ve τ_zy sıfır olduğundan, z ekseni asal eksenlerden biridir ve O orijinine karşılık gelir.

A ve B, O orijininin zıt taraflarında ise, maksimum kayma gerilmesi, maksimum «düzlem» kayma gerilmesine eşittir.

7.6 Mohr Çemberinin Üç Boyutlu Gerilme Analizine Uygulanması

A ve B, O orijininin aynı tarafında ise, maksimum kayma gerilmesi, OA çemberinin yarıçapına eşittir. Yani, maksimum kayma gerilmesi, maksimum düzlem kayma gerilmesine eşit değildir.

Şekilde gösterilen düzlem gerilme hali için,

(a) üç asal düzlemi ve asal gerilmeyi, (b) maksimum kayma gerilmesini belirleyiniz.

Örnek 7.03

Örnek 7.03 a) Asal Düzlemler ve Asal Gerilmeler.

Örnek 7.03 b) Maksimum Kayma Gerilmesi.

7.7* Düzlem Gerilme Halinde Sünek Malzemeler için Akma Ölçütü

Sünek bir malzemeden yapılmış yapı elemanları ve makine parçaları genellikle akmaya karşı tasarlanırlar. Eleman veya parça eşeksenli gerilme altında ise, akmaya neden olacak normal gerilme aynı malzemeden yapılan bir numunenin çekme deneyinden kolayca elde edilebilir.

7.7* Düzlem Gerilme Halinde Sünek Malzemeler için Akma Ölçütü

Makine parçası veya eleman düzlem gerilme halinde ise, asal gerilmelerin belirlenmesi gerekir.

İki eksenli bir yükleme söz konusudur.

Çekme deneyine maruz bir numunedeki eşeksenli gerilme halinden farklı olduğundan, ele alınan parçanın hasara uğrayıp uğramamayacağı bilgisi böyle basit bir deneyden elde edilemez.

Her iki gerilme halinin etkilerini karşılaştırmaya imkan veren bir ölçüt oluşturulmalıdır.

Maksimum Kayma Gerilmesi (Tresca) Ölçütü

Sünek malzemelerdeki akmanın, malzemenin eğik yüzeyler boyunca kaymasıyla ortaya çıktığı ve özellikle kayma gerilmelerinden kaynaklan- dığı gözlemi üzerine kurulmuştur.

Bu ölçüte göre, bir yapı elemanı, elemandaki kayma gerilmesinin maksimum değeri (τ_max), aynı malzemeden yapılmış numunenin çekme deneyinde, numunede akma başladığı andaki kayma gerilmesinden daha küçük kaldığı sürece emniyetlidir.

Maksimum Kayma Gerilmesi (Tresca) Ölçütü

Merkezi eksenel yük halinde, kayma gerilmesinin maksimum değeri, karşı gelen maksimum normal gerilmenin yarısına eşittir.

½ σ_Y = τ_Y σ_Y = 2τ_Y

Maksimum Kayma Gerilmesi (Tresca) Ölçütü

Düzlem gerilme halinde, asal gerilmelerin ikisi de pozitif veya ikisi de negatifse, τ_max = ½ σ_max = ½ σ_a

Asal gerilmelerin biri pozitif diğeri negatifse, τ_max = ½|σ_max - σ_min| = ½|σ_a - σ_b|

Maksimum Distorsiyon Enerjisi (von Mises) Ölçütü

Bir malzemedeki distorsiyon enerjisinin, yani, malzemenin şeklindeki değişmelerle ilişkili enerjinin belirlenmesi esasına dayanır.

Bu ölçüte göre, bir yapı elemanı, elemanın birim hacmindeki distorsiyon enerjisinin maksimum değeri, aynı malzemeden yapılmış numunenin çekme deneyinde akmanın oluşması için gerekli olan birim hacimdeki distorsiyon enerjisinden daha küçük kaldığı sürece emniyetlidir.

Maksimum Distorsiyon Enerjisi (von Mises) Ölçütü

Düzlem gerilme halindeki bir izotropik malzeme birim hacme düşen distorsiyon enerjisi:

Çekme numunesi özel halinde:

veya olduğu sürece, yapı elemanının em- niyetli olduğunu belirtir.

Tresca ve von Mises Ölçütlerinin Karşılaştırılması

Elips, altıgenin köşelerinden geçmektedir. Bu altı noktayle temsil edilen gerilme halleri için, iki ölçüt aynı sonuç verir. Diğer gerilme hallerinde Tresca ölçütü daha ihtiyatlı sonuç verir.

Burulma halinde σ_min = -σ_maks olur. Burulma testinde akma noktaları:

Tresca von Mises

Burulma

7.8* Düzlem Gerilme Halinde Gevrek Malzemeler için Kırılma Ölçütü

Gevrek malzemeler bir çekme deneyinde akma olmaksızın aniden kırılırlar. Gevrek malzemeden yapılmış bir yapı elemanı veya makine parçası, eşeksenli bir çekme gerilmesine maruz kaldığında, kırılmaya neden olan normal gerilmenin değeri, malzemenin σ_U kopma mukavemetine eşittir.

σ_x < σ_U

Makine parçası veya eleman düzlem gerilme halinde ise, asal gerilmelerin belirlenmesi gerekir.

İki eksenli bir yükleme söz konusudur.

Çekme deneyine maruz bir numunedeki eşeksenli gerilme halinden farklı olduğundan, ele alınan parçanın hasara uğrayıp uğramamayacağı bilgisi böyle basit bir deneyden elde edilemez.

Her iki gerilme halinin etkilerini karşılaştırmaya imkan veren bir ölçüt oluşturulmalıdır.

7.8* Düzlem Gerilme Halinde Gevrek Malzemeler için

Kırılma Ölçütü

Bu ölçüte göre, verilen bir yapı elemanı, elemandaki maksimum normal gerilmenin değeri aynı malzemenin çekme deneyinden elde edilen σ_U kopma mukavemetine ulaştığında kırılır.

Maksimum Normal Gerilme (Coulomb) Ölçütü.

Bu ölçütün en önemli eksikliği, malzemenin kopma mukavemetinin çekmede ve basmada aynı olduğu varsayımına dayanmasıdır.

Mikroskobik çatlaklar ve malzeme kusurları nedeniyle çekme mukavemeti genellikle basma mukavemetinden daha düşüktür.

Maksimum Normal Şekil Değiştirme (Saint Venant) Ölçütü.

Bu ölçüte göre, verilen bir yapı elemanı, elemandaki maksimum normal şekil değiştirmenin maksimum değeri aynı malzemenin çekme deney numunesinin kırılacağı şekil değiştirmenin ε_U değerinden küçük kaldığı sürece emniyetlidir.

Mohr Ölçütü .

Malzeme üzerinde testler yapılıp σ_UT çekme ve σ_UC basma kopma mukavemetlerinin belirlen- diğini varsayalım.

Çekme deney numunesinin kırıldığı nokta, yatay ekseni O’da ve σ_UT’de kesen çemberle temsil edilebilir. Basma halinde, yatay ekseni O’da ve σ_UC’de kesen çember çizilebilir.

Bu çemberlerden birinin içinde yer alan bir çemberle temsil edilen gerilme hali emniyetli olacaktır.

Mohr Ölçütü .

O merkezli çember, burulma deney numunesinin kırılmasına karşılık gelen gerilme halini temsil eder. Çember içindeki noktalar emniyetlidir.

σ_a ve σ_b’nin ters işaretli olduğu hali analiz etmek için τ_U kopma mukave- metinin burulma deneyi ile belirlendiğini varsayalım.

Mohr Ölçütü .

Sadece σ_UT çekme ve σ_UC basma mukavemetleri biliniyorsa, zarf eğrileri şekildeki gibi basitleştirilebilir.

Gösterilen düzlem gerilme hali, bir çelik makine parçasının kritik bir noktasında ortaya çıkmıştır.

Birçok çekme deneyi sonucunda, kullanılan çeliğin çekme akma mukavemeti σ_Y = 250 MPa olarak bulunmuştur. Akmaya göre emniyet katsayısını, (a) maksimum kayma gerilmesi ölçütünü ve (b) maksimum distorsiyon enerjisi ölçütünü kullanarak belirleyiniz.

Örnek Problem 7.4

Örnek Problem 7.4

Mohr Çemberi.

Asal Gerilmeler.

Örnek Problem 7.4

a. Maksimum Kayma Gerilmesi Ölçütü.

b. Maksimum Distorsiyon Enerjisi Ölçütü.

Örnek Problem 7.4

Verilen düzlem gerilme hali H noktası ile temsil edilir. Emniyet katsayıları her bir ölçüt için doğru parçalarının oranları ile hesaplanabilir.

7.9 İnce Cidarlı Basınç Kaplarındaki Gerilmeler

İnce cidarlı basınç kapları, düzlem gerilme analizinin önemli bir uygulamasını oluşturur.

Cidarlar eğilmeye karşı küçük bir direnç gösterdiğinden, cidarın verilen bir parçası üzerine uygulanan iç kuvvetlerin, kabın yüzeyine teğet olduğu varsayılabilir.

Bir cidar elemanında ortaya çıkan gerilmeler, kap yüzeyinin teğet düzlemi içinde yer alır.

7.9 İnce Cidarlı Basınç Kaplarındaki Gerilmeler

En sık karşılaşılan ince cidarlı basınç kapları, silindirik ve küresel basınç kaplarıdır.

7.9 İnce Cidarlı Basınç Kaplarındaki Gerilmeler

Kabın ve içindeki akışkanın eksenel simetrisinden dolayı eleman üzerinde kayma gerilmesi meydana gelmez.

σ₁ ve σ₂ gerilmeleri asal gerilmelerdir.

σ₁ çembersel gerilme ve σ₂ de boyuna gerilme olarak adlandırılır.

7.9 İnce Cidarlı Basınç Kaplarındaki Gerilmeler

7.9 İnce Cidarlı Basınç Kaplarındaki Gerilmeler

Maksimum düzlem kayma gerilmesi, yüzeydeki elemanın teğet düzle- minde 45˚ dönmesiyle elde edilir. Ama maksimum kayma gerilmesi daha büyüktür. Boyuna eksen etrafında, gerilme düzleminin dışına çıkan 45˚’lik bir dönmeye karşılık gelir.

7.9 İnce Cidarlı Basınç Kaplarındaki Gerilmeler

p manometre basıncı altında bir akışkan içeren bir küresel basınç kabında, simetriden dolayı, küçük bir cidar elemanı üzerine uygulanan gerilmeler eşit olmalıdır. Maksimum düzlem kayma gerilmesi sıfırdır ama maksimum kayma gerilmesi sıfır değildir.

Basınçlı hava tankı, gösterildiği gibi iki mesnet üzerine yerleştirilmiştir. Mesnetlerden biri tank üzerine herhangi bir boyuna kuvvet uygulamayacak şekilde tasarlanmıştır.

Tankın silindirik gövdesi, 30 in.’lik bir dış çapa sahip olup eksenine dik düzlemle 25°’lik açı yapan bir helis boyunca kaynaklanan 3/8 in.’lik bir çelik plakadan yapılmıştır. Uç kapaklar küresel olup, 5/16 in.’lik düzgün bir cidar kalınlığına sahiptir. İç manometre basıncı 180 psi olduğuna göre, (a) küresel kapaklardaki normal gerilmeyi ve maksimum kayma gerilmesini, (b) helisel kaynağa dik ve paralel doğrultulardaki gerilmeleri belirleyiniz.

Örnek Problem 7.5

Örnek Problem 7.5

a. Küresel Kapak.

Örnek Problem 7.5 b. Tankın Silindirik Gövdesi.

Kaynaktaki Gerilmeler.

Kaynak

7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü

Sabit mesnet

Sabit mesnet

Bu bölümde, koordinat eksenlerinin dönme- si durumundaki şekil değiştirme dönüşümle- rini ele alacağız. Düzlem şekil değiştirmede ε_z = γ_zx = γ_zy = 0 olur ve geriye sadece ε_x = ε_y ve γ_xy şekil değiştirme bileşenleri kalır.

Düzgün yayılı enine yüklere maruz uzun bir çubukta, simetri nedeniyle bir enine kesitteki elemanlar bu düzlem dışına çıkamadıkları için, bir düzlem şekil değiştirme hali mevcuttur.

7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü

Q noktasında (ε_z = γ_zx = γ_zy = 0) bir düzlem şekil değiştirme halinin olduğunu ve bunun x ve y eksenleriyle ilişkili ε_x, ε_y ve γ_xy şekil değiştirme bileşenleriyle tanımlandığını varsayalım.

Bu eleman, verilen şartlar altında bir paralelkenara deforme olur.

7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü

Amacımız, x ve y eksenlerinin θ açısı kadar dönmesiyle elde edilen x'y' referans sistemi ile ilişkili ε_x', ε_y' ve γ_x'y' şekil değiştirme bileşenlerini ε_x, ε_y , γ_xy ve θ cinsinden belirlemektir.

Bu yeni şekil değiştirme bileşenleri, kenarları sırasıyla x' ve y' eksenlerine paralel bir karenin deforme olduğu paralelkenarı tanımlar.

7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü

A'B'C' üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak:

7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü

Denklemde θ = 45˚ yazarsak, x ve y eksenlerinin oluşturduğu açının OB açıortayı doğrultusundaki normal şekil değiştirmeyi elde ederiz.

Bu ifade, bir dik eksen takımıyla ilişkili kayma şekil değiştirmesini, bu eksenler ve bunların açıortayları boyunca ölçülen normal şekil değiştirmeleri cinsinden ifade etmemizi sağlar.

7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü

Bu denklem, aynı zamanda x' ekseni boyunca ε_x' normal şekil değiştirmesini vermektedir.

→

7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü

→

7.11* Düzlem Şekil Değiştirmede Mohr Çemberi

Düzlem şekil değiştirme denklemleri, düzlem gerilme dönüşümü denklemleriyle aynı formda olduğundan, Mohr çemberi, düzlem şekil değiştirme analizi için de kullanılabilir.

Kayma deformasyonu bir kenarın saat yönünde dönmesine neden oluyorsa, karşı gelen nokta yatay eksenin yukarısında işaretlenir.

7.11* Düzlem Şekil Değiştirmede Mohr Çemberi

A ve B noktaları, asal şekil değiştirmelere karşı- lık gelir.

Buna karşılık gelen θ_p değeri, kayma şekil değiştirmesinin A ve B için sıfır olması koşulundan elde edilir:

7.11* Düzlem Şekil Değiştirmede Mohr Çemberi

a ve b eksenleri, asal şekil değiştirme eksenleridir. θ_p açısı, XCA açısının yarısına eşittir ve Ox’i Oa’ya taşıyan dönme, Mohr çemberinin XY çapını AB çapına taşıyan dönme ile aynı yöne sahiptir.

Asal şekil değiştirme eksenleri, asal gerilme eksenleriyle çakışır.

7.11* Düzlem Şekil Değiştirmede Mohr Çemberi

Maksimum düzlem kayma şekil değiştirmesi, D ve E noktalarıyla tanımlanır ve Mohr çemberinin çapına eşittir.

7.11* Düzlem Şekil Değiştirmede Mohr Çemberi

Koordinat eksenlerinin bir θ açısı kadar dönmesine karşı gelen şekil değiştirme bileşenlerini tanımlayan X' ve Y' noktaları, Mohr çemberinin XY çapının aynı yönde 2θ kadar dönmesiyle elde edilir.

Düzlem şekil değiştirme halindeki bir malzemede 10x10 mm’lik bir karenin yatay kenarı 4 μm uzadığına, düşey kenarı değişmeden kaldığına ve sol alt köşedeki açı 0.4x10^-3 rad arttığına göre, (a) asal eksenleri ve asal şekil değiştirmeleri, (b) maksimum kayma şekil değiştirmesini ve karşı gelen normal şekil değiştirmesini belirleyiniz.

Örnek 7.04

Örnek 7.04

a. Asal Eksenler ve Asal Şekil Değiştirmeleri.

OC = OY olduğundan, OCY açısı 45˚’dir. Buna göre, 2θ_p= 45˚ ve θ_p= 22.5˚’dir.

Örnek 7.04

b. Maksimum Kayma Şekil Değiştirmesi.

D ve E noktaları, asal şekil değiştirmelerin ters işaretli olmasından dolayı aynı zamanda gerçek maksimum kayma şekil değiştirmesi olan maksimum düzlem kayma şekil değiştirmesini tanımlar.

7.12* Üç Boyutlu Şekil Değiştirme Analizi

Daha önce asal gerilme eksenleri olarak belirlediğimiz a, b ve c eksenleri aynı zamanda asal şekil değiştirme eksenleridir.

Asal eksenlerdeki bir yükleme halinde, kübik eleman şekilde görüldüğü gibi deforme olur.

7.12* Üç Boyutlu Şekil Değiştirme Analizi

Kübik eleman asal eksenlerden biri etrafında döndürülürse, daha önce düzlem gerilme analizinde kullanılan yöntem, şekil değiştirme bileşenlerinin belirlenmesi için kullanılabilir.

7.12* Üç Boyutlu Şekil Değiştirme Analizi

A ve B noktaları O’nun zıt taraflarında ise, elde edilen maksimum düzlem kayma şekil değiştirmesi maksimum kayma şekil değiştirmesidir.

Düzlem şekil değiştirme özel hali

7.12* Üç Boyutlu Şekil Değiştirme Analizi

Bir düzlem gerilme hali, genellikle bir düzlem şekil değiştirme ortaya çıkarmaz.

Bir yapı elemanı veya makine parçasının serbest yüzeyinde ortaya çıkan «düzlem gerilme» özel halini göz önüne alalım.

Şekil değiştirme ölçüm aletinin çeşitli şekillerdeki yönelimiyle bir makine elemanı yüzeyi üzerinde yapılan ölçümler sonucunda, serbest yüzey üzerindeki asal şekil değiştirmeler ε_a = +400 x 10^-6 in./in. ve ε_b = -50 x 10^-6 in./in. bulunmuştur.

Malzemenin Poisson oranı ν = 0.30 olduğuna göre, (a) maksimum düzlem kayma şekil değiştirmesini, (b) elemanın yüzeyi yakınındaki maksimum kayma şekil değiştirmesinin gerçek değerini belirleyiniz.

Örnek 7.05

Örnek 7.05

a. Maksimum Düzlem Kayma Şekil Değiştirmesi.

Örnek 7.05

b. Maksimum Kayma Şekil Değiştirmesi.

ε_a ve ε_b ters işaretli olmalarına rağmen, maksimum düzlem kayma şekil değiştirmesi, gerçek maksimum kayma şekil değiştirmesini temsil etmemektedir.

7.13* Şekil Değiştirme Ölçümleri; Şekil Değiştirme Rozeti

Elektrikli şekil değiştirme ölçüm aleti (strain gauge) kullanılarak bir noktadaki normal şekil değiştirme hassas bir şekilde ölçülebilir.

Malzeme uzarken, telin uzunluğu artar, çapı azalır ve böylece aletin elektriksel direnci artar. Yük uygulanırken ölçüm aletinden geçen akım ölçülerek ε_AB şekil değiştirmesi belirlenebilir.

7.13* Şekil Değiştirme Ölçümleri; Şekil Değiştirme Rozeti

Bir malzemenin serbest yüzeyinin bir noktasındaki ε_x ve ε_y şekil değiştirme bileşenleri, bu noktadan geçen x ve y eksenleri boyunca normal şekil değiştirme ölçülerek belirlenebilir.

x ve y eksenlerinin oluşturduğu açının OB açıortayı boyunca yapılan bir normal şekil değiştirme ölçümü, γ_xy kayma şekil değiştirmesinin de belirlenmesini sağlar.

7.13* Şekil Değiştirme Ölçümleri; Şekil Değiştirme Rozeti

Bir noktadaki ε_x, ε_y ve γ_xy şekil değiştirme bileşenleri, bu noktadan geçen herhangi üç doğru boyunca yapılan normal şekil değiştirme ölçümlerinden belirlenebilir.

ε₁, ε₂ ve ε₃ normal şekil değiştirmelerini ölçmek için kullanılan şekil değiştirme ölçüm aleti düzenlemesi, bir şekil değiştirme rozeti olarak bilinir. 45˚’lik ve 60˚’lik rozetler en sık kullanılan tiplerdir.

Silindirik tank, 24 in.’lik bir çapa ve ¾ in.’lik bir cidar kalınlığına sahiptir. Tankın yüzeyine, enine ve boyuna doğrultularda bağlanan şekil değiştirme ölçüm aletleri sırasıyla 255 x 10^-6 ve 60 x 10^-6 in./in.’lik şekil değiştirmeleri belirtmiştir.

Malzemenin rijitlik modülü G = 11.2 x 10⁶ psi olduğuna göre, (a) tank içindeki manometre basıncını, (b) tank cidarındaki asal gerilmeleri ve maksimum kayma gerilmesini belirleyiniz.

Örnek Problem 7.6

Örnek Problem 7.6

a. Tank İçindeki Manometre Basıncı.

Örnek Problem 7.6

b. Asal Gerilmeler ve Maksimum Kayma Gerilmesi.

Örnek Problem 7.7

60˚’lik bir rozet kullanılarak, çelik bir makine elemanının yüzeyindeki Q noktasında aşağıdaki şekil değiştirmeleri elde edilmiştir:

Gösterilen koordinat eksenlerini kullanarak, Q noktasındaki, (a) ε_x, ε_y ve γ_xy şekil değiştirme

bileşenlerini, (b) asal şekil değiştirmeleri, (c) maksimum kayma şekil değiştirmesini

belirleyiniz.

Örnek Problem 7.7

a. ε_x, ε_y ve γ_xy Şekil Değiştirme Bileşenleri.

Örnek Problem 7.7

b. Asal Şekil Değiştirmeler.

Örnek Problem 7.7

c. Maksimum Kayma Şekil Değiştirmesi.