1.1 Fibonacci Ve Lucas Say¬lar¬

1 G· IR· I¸ S

Bu bölümde, ileriki bölümlerde kullan¬lacak olan Fibonacci ve Lucas say¬lar¬, (s; t) Fibonacci ve (s; t) Lucas say¬lar¬, Gauss Fibonacci ve Gauss Lucas say¬lar¬

tan¬mlanm¬¸ st¬r.

1.1 Fibonacci Ve Lucas Say¬lar¬

Bu bölümde, (s; t) Gauss Fibonacci ve (s; t) Gauss Lucas say¬dizisileri için gerekli olan say¬dizilerini tan¬mlanacakt¬r.

Tan¬m 1.1.1: Fibonacci Say¬lar¬ dizisi fF ⁿ g ; F ⁰ = 0, F 1 = 1 ba¸ slang¬ç ko¸ sullar¬ve n 0 olmak üzere;

F _n+2 = F _n+1 + F _n

indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬d¬r.

Fibonacci Say¬lar¬0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; :::dir. (Cahill ve di¼ ger- leri 2003).

Tan¬m 1.1.2: . Lucas say¬lar¬dizisi fL ⁿ g ; L ⁰ = 2, L 1 = 1 ba¸ slang¬ç ko¸ sullar¬

ve n 0 olmak üzere;

L _n+2 = L _n+1 + L _n

indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬d¬r.

Lucas Say¬lar¬2; 1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76; 123; :::dir.(Cahill ve di¼ gerleri 2003) Tan¬m 1.1.3: Pell Say¬lar¬dizisi fP ⁿ g ; P ⁰ = 0, P 1 = 1 ba¸ slang¬ç ko¸ sullar¬ve n 0 olmak üzere;

P n+2 = 2P n+1 + P n

indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬d¬r(Hoggat ve di¼ gerleri 1969).

Tan¬m 1.1.4: Pell-Lucas Say¬lar¬ dizisi fQ ⁿ g ; Q ⁰ = 2, Q 1 = 2 ba¸ slang¬ç ko¸ sullar¬ve n 0 olmak üzere;

Q _n+2 = 2Q _n+1 + Q _n

indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬d¬r(Hoggat ve di¼ gerleri,1969).

1.1.1 Binet Formülleri

Teorem 1.1.1.1: F _n+2 = F _n+1 +F _n indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬n¬n karakteristik denklemi x ² x 1 = 0 ve çözüm kümesi

= ¹⁺ ₂ ^{p 5} Alt{n Oran

= 1 p

5

2 G• um• us Oran ve n: Fibonacci say¬s¬ve Lucas say¬s¬n¬n Binet Formülleri

F _n =

n n

L _n = ⁿ + ⁿ e¸ sitlikleriyle elde edilir.(El Naschie,2001)

Ispat. · Fibonacci rekürans ba¼ g¬nt¬s¬n¬n karakteristik denklemi x ² x 1 = 0 olur.

Bu denklemin kökleri x 1 = ¹⁺ ₂ ^{p 5} ; x 2 = ¹ ₂ ^{p 5} dir. O halde genel çözüm

a _n = c 1 + p 5 2

! n

+ d 1 p

5 2

! n

dir. Buradan

a ₁ = c 1 + p 5 2

!

+ d 1 p

5 2

!

= 1

a ₂ = c 1 + p 5 2

! 2

+ d 1 p

5 2

! 2

= 1

bu iki e¸ sitlikten c ve d de¼ gerlerini buldu¼ gumuzda c = ^{p 1} ₅ ve d = ^{p 1} ₅ olur. genel çözümü düzenlersek

a _n = 1 p 5

1 + p 5 2

! n

p 1 5

1 p

5 2

! n

Burada = ¹⁺ ₂ ^{p 5} ve = ¹ ₂ ^{p 5} dir = p

5 dir. O halde genel çözümü ¸ su

¸ sekilde yazabiliriz

a _n = F _n =

n n

bu ifade de Fibonacci say¬lar¬n¬n Binet formülüdür.

Benzer ¸ sekilde Lucas, Pell, Pell-Lucas say¬lar¬n¬n da binet formülü elde edilebilir

1.1.2 Toplam Formülleri

Teorem 1.1.2.1: _n

X

i=1

F _i = F _n+2 1:

Ispat · Fibonacci rekürans ba¼ g¬nt¬s¬n¬kullanarak

F n+2 = F n+1 + F n ) F ⁿ = F n+2 F n+1 (i = 1; 2; :::; n) için yazarsak

F ₁ = F ₃ F ₂

F ₂ = F ₄ F ₃

F ₃ = F ₅ F ₄ .. .

F _{n 1} = F _n+1 F _n

F _n = F _n+2 F _n+1

elde edilir. Bu ifadeler taraf tarafa toplanacak olursa X n

i=1

F _i = F _n+2 F ₂ = F _n+2 1 bulunur.(Taskara ve di¼ gerleri 2010)

Özellik 1.1.2.2

X n i=1

F _{2i 1} = F _2n : Ispat. ·

F ₁ = F ₂ F ₀

F ₃ = F ₄ F ₂

F ₅ = F ₆ F ₄ .. .

F _{2n 3} = F _{2n 2} F _{2n 4}

F _{2n 1} = F _2n F _{2n 2}

elde edilir. Bu ifadeler taraf tarafa toplan¬rsa

X n i=1

F _{2i 1} = F _2n F ₀ = F _2n bulunur.

Özellik 1.1.2.3:

X n i=1

F _2i = F _2n+1 1:

Ispat. ·

X n i=1

F _2i = X 2n

i=1

F _i X n

i=1

F _{2i 1}

= (F _2n+2 1) F _2n

= (F 2n+2 F 2n ) 1

= F _2n+1 1

Bu özde¸ slikler benzer ¸ sekilde Lucas say¬lar¬için de geçerlidir.

Özellik 1.1.2.4:

X n i=1

L _i = L _n+2 3:

Özellik 1.1.2.5:

X n i=2

L 2i 1 = L 2n 2:

Özellik 1.1.2.6:

X n i=1

L _2i = L _2n+1 1:

1.1.3 Cassini Özde¸ sli¼ gi

Teorem 1.1.3.1:

F n 1 F n+1 F _n ² = ( 1) ⁿ , n 1:

Ispat. n = 1 için ·

F ₀ F ₂ F ₁ ² = 0:1 1 = ( 1) ¹

do¼ grudur. n = k için do¼ gru olsun yani

F _{k 1} F _k+1 F _k ² = ( 1) ^k

olur. n = k + 1 için

F k F k+2 F _k+1 ² = (F k+1 F k 1 ) (F k + F k+1 ) F _k+1 ²

= F _k F _k+1 + F _k+1 ² F _{k 1} F _k F _{k 1} F _k+1 F _k+1 ²

= F _k F _k+1 F _{k 1} F _k F _k ² ( 1) ^k

= F _k F _k+1 F _k (F _{k 1} + F _k ) + ( 1) ^k+1

= F _k F _k+1 F _k F _k+1 + ( 1) ^k+1 = ( 1) ^k+1

Özellik 1.1.3.2: Ard¬¸ s¬k iki Fibonacci say¬s¬aralar¬nda asald¬r.

Ispat. · obeb(F _n ; F _n+1 ) = k olsun O halde k= F

ve k= F

dir.

F _n+1 = F _n + F _{n 1} idi . O halde k= F

dir.

F _{n 1} F _n+1 F _n ² = ( 1) ⁿ idi.

o halde k= F F F

dir.

yani k= ( 1)

dir.

Bu durumda ya k = 1 veya k = 1 dir , Obeb negatif olamayaca¼ g¬ndan k = 1 bulunur.

Özellik 1.1.3.3: P n

i=1 F _i ² = F _n F _n+1 : Özellik 1.1.3.4: P n

i=1 L ² _i = L _n L _n+1 2:

Özellik 1.1.3.5: L _{n 1} L _n+1 L ² _n = 5( 1) ⁿ n 1:

Özellik 1.1.3.6: F _m+n = F _{m 1} F _n + F _m F _n+1 : Özellik 1.1.3.7: L _n = F _n+1 + F _{n 1} :

Özellik 1.1.3.8: L n F n = F 2n :

1.1.4 Genelle¸ stirilmi¸ s Fibonacci Say¬lar¬

Bu bölümde genelle¸ stirilmi¸ s …bonacci say¬lar¬na ait tan¬mlar ve özeelikler ver- ilmi¸ stir.

Tan¬m 1.1.4.1:.

U _n = pU _{n 1} qU _{n 2} ; U ₀ = 0; U ₁ = 1

V _n = pV _{n 1} qV _{n 2} ; V ₀ = 2; V ₁ = p

¸ seklinde genelle¸ stirmeler tan¬mlanm¬¸ st¬r. Burada p ve q , q(p ² 4q) 6= 0 olan reel say¬lard¬r. x ² px + q = 0 denkleminin farkl¬kökleri

= p + p

p ² 4q

2 ve = p p

p ² 4q 2 olmak üzere

U _n =

n n

ve V _n = ⁿ + ⁿ

¸ seklindedir.(Pethe 1986)

Bu genelle¸ stirmelerde p = 1 , q = 1 seçilirse

U _n = U _{n 1} + U _{n 2} ; U ₀ = 0; U ₁ = 1

V _n = V _{n 1} + V _{n 2} ; V ₀ = 2; V ₁ = 1

olup U n = F _n , V n = L _n bilinen Fibonacci ve Lucas say¬lar¬elde edilir.

p = 2 , q = 1 seçilirse

U _n = 2U _{n 1} + U _{n 2} ; U ₀ = 0; U ₁ = 1

V _n = 2V _{n 1} + V _{n 2} ; V ₀ = 2; V ₁ = 2

olup U n = P n , V n = Q n bilinen Pell ve Pell-Lucas say¬lar¬elde edilir.

1.1.5 Üreteç Fonksiyonu

Teorem 1.1.5.1:

F ₁ = 1 F ₂ = 1

F _n = F _{n 1} + F _{n 2} ; n > 2

rekürans ba¼ g¬nt¬s¬ile tan¬ml¬Fibonacci dzisinin genel biçimini üreteç fonksiyonlar¬

yard¬m¬yla bulabiliriz.(Horadam,1961)

Ispat: · Bu rekürans ba¼ g¬nt¬s¬n¬n üreteç fonksiyonu g(x) olsun

g(x) = X 1 n=1

F _n x ⁿ

= F ₁ x + F ₂ x ² + X 1 n=3

F _n x ⁿ

= x + x ² + X 1 n=3

(F _{n 1} + F _{n 2} ) x ⁿ

= x + x ² + X 1 n=3

F _{n 1} x ⁿ + X 1 n=3

F _{n 2} x ⁿ

= x + x ² + x X 1 n=3

F _{n 1} x ^{n 1} + x ² X 1 n=3

F _{n 2} x ^{n 2}

= x + x ² + x X 1 n=2

F _n x ⁿ + x ² X 1 n=1

F _n x ⁿ

= x + x ² + x X 1 n=1

(F _n x ⁿ x) + x ² X 1 n=1

F _n x ⁿ

= x + x ² + x(g(x) x) + x ² g(x)

= x + x ² + xg(x) x ² + x ² g(x)

Iki taraf¬düzenlersek ·

1 x x ² g(x) = x

olup buradan

g(x) = x 1 x x ²

elde edilir.

1 x x ² = 1 1 + p 5

2 x

!

1 1 p

5

2 x

!

= (1 x)(1 x)

biçiminde çarpanlara ayr¬ld¬¼ g¬ndan

x

1 x x ² = A

1 x + B

1 x

olarak yaz¬l¬rsa

A = B = 1 p 5

olur. Dolay¬s¬yla

g(x) =

p 1 5

1 x +

p 1 5

1 x

olup seri aç¬l¬m¬n¬yaparsak

g(x) = 1 p 5

X 1 n=1

n x ⁿ 1 p 5

X 1 n=1

n x ⁿ

= X 1 n=1

n n

p 5 x ⁿ

olur. Bu da

F _n =

n n

p 5

demektir. Bu da yine Fibonacci say¬lar¬için Binet formülüdür.

Not 1.1.5.2: Benzer biçimde Lucas ve Pell say¬lar¬için de üreteç fonksiyonlar¬

bulunabilir.

1.1.6 Gauss Fibonacci Ve Gauss Lucas Say¬lar¬

Bu bölümde Gauss Fibonacci say¬lar, Gauss Lucas Say¬lar¬ve bu say¬lara ait özel- likler incelenmi¸ s ve tan¬mlar verilmi¸ stir. Bu tan¬mlamalarda Horadam (1961), Harman (1981), Berzensyi (1977), Jordan (1965), A¸ sc¬ve Gürel (2013) makalelerinden yararlan¬lm¬¸ st¬r.

Tan¬m 1.1.6.1: Gauss Fibonacci say¬lar¬GF 0 = i , GF 1 = 1 olmak üzere n 2 için

GF _n = GF _{n 1} + GF _{n 2} indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬tan¬ml¬d¬r.

GF _n = F _n + iF _{n 1} oldu¼ gu görülür.

GF ₂ = 1 + i

GF ₃ = 2 + i

GF ₄ = 3 + 2i

GF ₅ = 5 + 3i

GF ₆ = 8 + 5i

.. .

¸ seklinde devam eder.

Tan¬m 1.1.6.2: Gauss Lucas say¬lar¬GL 0 = 2 i , GL 1 = 1 + 2i olmak üzere n 2 için

GL _n = GL _{n 1} + GL _{n 2} indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬d¬r.

GL _n = L _n + iL _{n 1} oldu¼ gu görülür.

GL ₂ = 3 + i

GL ₃ = 4 + 3i

GL ₄ = 7 + 4i

GL ₅ = 11 + 7i

GL ₆ = 18 + 11i .. .

¸ seklinde devam eder.

1.1.7 Gauss Fibonacci Ve Gauss Lucas Matrisleri

Bu bölümde Gauss Fibonacci ve Gauss Lucas Matris dizilerinin tan¬mlar¬ve bu matris dizilerine ait baz¬özellikler verilmi¸ stir..

Tan¬m 1.1.7.1: Gauss Fibonacci Matrisleri gf 0 =

"

1 i

i 1 i

# ,

gf ₁ =

"

1 + i 1

1 i

#

olmak üzere n 2için

gf _n = gf _{n 1} + gf _{n 2}

indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬d¬r.(Civciv 2009)

gf _n =

"

GF _n+1 GF _n GF _n GF _{n 1}

#

oldu¼ gu görülür.

gf ₂ =

"

2 + i 1 + i 1 + i 1

#

gf 3 =

"

3 + 2i 2 + i 2 + i 1 + i

#

gf ₄ =

"

5 + 3i 3 + 2i 3 + 2i 2 + i

#

gf ₅ =

"

8 + 5i 5 + 3i 5 + 3i 3 + 2i

#

gf ₆ =

"

13 + 8i 8 + 5i 8 + 5i 5 + 3i

#

.. .

Tan¬m 1.1.7.2: Gauss Lucas matrisleri gl 0 =

"

1 + 2i 2 i 2 i 1 + 3i

#

gl 1 =

"

3 + i 1 + 2i 1 + 2i 2 i

#

olmak üzere n 2 için

gl _n = gl _{n 1} + gl _{n 2} indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬d¬r.(Civciv 2009)

gl _n =

"

GL _n+1 GL _n GL _n GL _{n 1}

#

oldu¼ gu görülür.

gl ₂ =

"

4 + 3i 3 + i 3 + i 1 + 2i

#

gl ₃ =

"

7 + 4i 4 + 3i 4 + 3i 3 + i

#

gl ₄ =

"

11 + 7i 7 + 4i 7 + 4i 4 + 3i

#

gl 5 =

"

18 + 11i 11 + 7i 11 + 7i 7 + 4i

#

gl ₆ =

"

29 + 18i 18 + 11i 18 + 11i 11 + 7i

#

.. .

1.1.8 (s,t) Fibonacci Ve (s,t) Lucas Say¬lar¬

Tan¬m 1.1.8.1: (s,t) Fibonacci Say¬lar¬F 0 (s; t) = 0 , F 1 (s; t) = 1 olmak üzere n 2 için

F _n (s; t) = sF _{n 1} (s; t) + tF _{n 2} (s; t) indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬d¬r.(Civciv ve Türkmen 2008 ^a;b )

F ₂ = s

F ₃ = s ² + t

F ₄ = s ³ + 2st

F ₅ = s ⁴ + 3s ² t + t ²

F 6 = s ⁵ + 4s ³ t + 3st ²

.. .

Tan¬m 1.1.8.2: (s,t) Lucas Say¬lar¬L 0 (s; t) = 2 , L 1 (s; t) = s olmak üzere n 2 için

L _n (s; t) = sL _{n 1} (s; t) + tL _{n 2} (s; t)

indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬d¬r(Civciv ve Türkmen 2008 ^a;b ).

L ₂ (s; t) = s ² + 2t

L ₃ (s; t) = s ³ + 3st

L ₄ (s; t) = s ⁴ + 4s ² t + 2t ²

L ₅ (s; t) = s ⁵ + 5s ³ t + 5st ²

L ₆ (s; t) = s ⁶ + 6s ⁴ t + 9s ² t ² + 2t ³ .. .

olarak devam eder.

1.1.9 (s,t) Fibonacci Ve (s,t) Lucas Matrisleri

Tan¬m 1.1.9.1: s ² + 4t > 0 olacak ¸ sekildeki s > 0 ve t 6= 0 tamsay¬lar¬için I ² ; 2x2 tipinde birim matris olmak üzere

F ⁰ (s; t) = I ₂ ; F ¹ (s; t) =

"

s 1 t 0

#

ve

F ⁿ⁺¹ (s; t) = s F ⁿ (s; t) + t F ^{n 1} (s; t); n 1

ile tan¬mlanan fF ⁿ (s; t) g n2N matris dizisine (s; t) F ibonacci matris dizisi denir(Civciv ve Türkmen 2008 ^a;b ).

Tan¬m 1.1.9.2: .s ² + 4t > 0 olacak ¸ sekildeki s > 0 ve t 6= 0 tamsay¬lar¬için;

L ⁰ (s; t) =

"

s 2

2t s

#

; L ¹ (s; t) =

"

s ² + 2t s st 2t

#

ve

L ⁿ⁺¹ (s; t) = s L ⁿ (s; t) + t L ^{n 1} (s; t); n 1

ile tan¬mlanan fL ⁿ (s; t) g n2N matris dizisine (s; t) Lucas matris dizisi denir(Civciv ve Türkmen 2008 ^a;b ).

1.1.10 (s,t) Fibonacci ve (s,t) Lucas Matris Dizileri ile · Ilgili Özellikler

Teorem 1.1.10.1: n 0 tamsay¬s¬için,

F ⁿ (s; t) =

"

F _n+1 (s; t) F _n (s; t) F _n (s; t) F _{n 1} (s; t)

# :

Teorem 1.1.10.2: m; n 0 tam say¬lar¬için F ^m+n = F ^m F ⁿ :

Teorem 1.1.10.3: n 0 tamsay¬s¬için,

L ⁿ (s; t) =

"

L _n+1 (s; t) L _n (s; t) L n (s; t) L n 1 (s; t)

# :

Teorem 1.1.10.4: n 0 tam say¬lar¬için

L ⁿ⁺¹ (s; t) = L ¹ (s; t) F ⁿ (s; t):

1.1.11 (s,t) Pell ve (s,t) Pell-Lucas Say¬lar¬

Bu bölümde (s,t) Pell ve (s,t) Pell-Lucas say¬lar¬tan¬mlanm¬¸ st¬r.

Tan¬m 1.1.11.1: s > 0; t 6= 0 ve s ² + t > 0 olacak ¸ sekilde s ve t reel say¬lar¬

için P 0 (s; t) = 0; P ₁ (s; t) = 1 ve

P _n+1 (s; t) = 2sP _n (s; t) + tP _{n 1} (s; t); n 1

rekürans ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬mlanan fP ⁿ (s; t) g n2N reel say¬dizisine (s; t) P ell say{

dizisi veya

Genellestirilmis P ell say{ dizisi denir ve dizinin elemanlar¬na Genellestirilmis P ell say{lar{ denir.(Horadam 1988)

Tan¬m 1.1.11.2 : s > 0; t 6= 0 ve s ² + t > 0 olacak ¸ sekilde s ve t reel say¬lar¬

için Q 0 (s; t) = 2; Q ₁ (s; t) = 2s ve

Q _n+1 (s; t) = 2sQ _n (s; t) + tQ _{n 1} (s; t); n 1

rekürans ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬mlanan fQ ⁿ (s; t) g n2N reel say¬ dizisine (s; t) P ell Lucas say{ dizisi veya

Genellestirilmis P ell Lucas say{ dizisi denir ve dizinin elemanlar¬na Genellestirilmis P ell Lucas say{lar{ denir.(Horadam 1988)

1.1.12 (s,t) Pell ve (s,t) Pell-Lucas Matris Dizileri

Tan¬m 1.1.12.1: s ² + t > 0 olacak ¸ sekildeki s > 0 ve t 6= 0 tamsay¬lar¬ için I ₂ ; 2x2 tipinde birim matris olmak üzere

P ⁰ (s; t) = I ₂ ; P ¹ (s; t) =

"

2s 1 t 0

#

ve

P ⁿ⁺¹ (s; t) = 2s P ⁿ (s; t) + t P ^{n 1} (s; t); n 1

ile tan¬mlanan fP ⁿ (s; t) g n2N matris dizisine (s; t) P ell matris dizisi denir (Benjamin ve di¼ gerleri 2008)

Tan¬m 1.1.12.2:s ² + t > 0 olacak ¸ sekildeki s > 0 ve t 6= 0 tamsay¬lar¬için;

Q ₀ (s; t) =

"

2s 2 2t 2s

#

; Q ₁ (s; t) =

"

4s ² + 2t 2s 2st 2t

#

ve

(s; t) = 2sQ _n (s; t) + tQ _{n 1} (s; t); n 1

ile tan¬mlanan fQ n (s; t) g n2N matris dizisine (s; t) P ell Lucas matris dizisi denir

1.1.13 (s,t) Pell ve (s,t) Pell-Lucas Matris Dizileri Özellikleri

Teorem 1.1.13.1: n 0 için

P ⁿ (s; t) =

"

P _n+1 (s; t) P _n (s; t) tP n (s; t) tP n 1 (s; t)

#

ve

Q _n (s; t) =

"

Q _n+1 (s; t) Q _n (s; t) tQ _n (s; t) tQ _{n 1} (s; t)

#

1.1.14 (s,t) Pell ve (s,t) Pell-Lucas Matris Dizileri Özellikleri

A¸ sa¼ g¬da (s,t) Pell ve (s,t) Pell-Lucas Matris Dizileri Özellikler verilmi¸ stir.(Bicknell 1975)

Özellik 1.1.14.1: P ^m (s; t) P ⁿ (s; t) = P ⁿ (s; t) P ^m (s; t) = P ^m+n (s; t):

Özellik 1.1.14.2: Q _m (s; t)Q _n (s; t) = Q _n (s; t)Q _m (s; t):

Özellik 1.1.14.3: Q ₁ (s; t) P ⁿ (s; t) = P ⁿ (s; t)Q ₁ (s; t) = Q _n+1 (s; t):

Özellik 1.1.14.4: Q ₁ (s; t) P ⁿ (s; t) = P ¹ (s; t)Q _n (s; t) = Q _n+1 (s; t):

Özellik 1.1.14.5: P ⁿ (s; t)Q _n+1 (s; t) = Q _2n+1 (s; t):

2 (s; t) GAUSS FIBONACCI VE (s; t) GAUSS LUCAS SAYILARI

2.1 (s; t) Gauss Fibonacci Say¬lar¬

Tan¬m 2.1.1: (s,t) Gauss Fibonacci Say¬lar¬s ² +4t > 0 s; t 2 R ve GF ⁰ (s; t) = i, GF 1 (s; t) = 1 olmak üzere n 2 için

GF _n (s; t) = sGF _{n 1} (s; t) + tGF _{n 2} (s; t) indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬d¬r.

GF ₂ (s; t) = s + it

GF ₃ (s; t) = s ² + t + its

GF ₄ (s; t) = s ³ + 2st + it(s ² + t)

GF ₅ (s; t) = s ⁴ + 3s ² t + t ² + it(s ³ + 2st) .. .

olarak devam eder.

Tan¬m 2.1.2:

GF _n (s; t) = F _n (s; t) + itF _{n 1} (s; t):

Teorem 2.1.3:

GF _n+1 (s; t) + tGF _{n 1} (s; t) = GL _n (s; t):

Ispat: ·

n = 1 için GF 2 + tGF ₀ = s + it + it = s + 2it = GL ₁

1 n k için do¼ gru olsun GF k+1 + tGF k 1 = GL k

n = k + 1 için

GF _k+2 + tGF _k = (sGF _k+1 + tGF _k ) + t(sGF _{k 1} + tGF _{k 2} )

= s(GF _k+1 + tGF _{k 1} ) + t(GF _k + tGF _{k 2} )

= sGL _k + tGL _{k 1}

= GL _k+1

2.1.1 (s; t) Gauss Fibonacci Say¬lar¬Binet Formülü

Teorem 2.1.1.1: GF _n+1 (s; t) = sGF _n (s; t) + tGF _{n 1} (s; t) say¬lar¬n¬n Binet for- mülü

GF _n (s; t) = i

2 + 2 is 2 p

s ² + 4t

s + p

s ² + 4t 2

! n

+ i 2

2 is 2 p

s ² + 4t

s p

s ² + 4t 2

! n

:

Ispat: · x ⁿ bu ifadenin bir çözümü olsun. o halde;

x ⁿ⁺¹ = sx ⁿ + tx ^{n 1}

x ² = sx + t

x ² sx t = 0:

Bu denklemin kökleri

= s + p

s ² + 4t 2

= s p

s ² + 4t

2 :

O halde genel çözümü

GF _n (s; t) = c ⁿ + d ⁿ :

GF 0 (s; t) = i = c + d GF ₁ (s; t) = 1 = c + d

oldu¼ gundan

c = i

2 + 2 is 2 p

s ² + 4t d = i

2

2 is 2 p

s ² + 4t

elde edilir.c; d; ; Genel çözümde yerine kondu¼ gunda yukar¬daki e¸ sitlik elde edilmi¸ s olur.

2.1.2 (s; t) Gauss Fibonacci Say¬lar¬Üreteç Fonksiyonu

Teorem 2.1.2.1: (s,t) Gauss Fibonacci üreteç fonksiyonu

f (x) = x + i(1 sx) 1 sx tx ²

¸ seklindedir.

Ispat: ·

f (x) = X 1 n=0

GF _n (s; t)x ⁿ

f (x) = GF ₀ + GF ₁ x + GF ₂ x ² + GF ₃ x ³ + :::

sxf (x) = sGF ₀ x sGF ₁ x ² sGF ₂ x ³ sGF ₃ x ⁴ :::

tx ² f (x) = tGF ₀ x ² tGF ₁ x ³ tGF ₂ x ⁴ tGF ₃ x ⁵ :::

+__________________________

f (x)(1 sx tx ² ) = GF ₀ + GF ₁ x sGF ₀ x

f (x) = i + x isx

1 sx tx ² = x + i(1 sx) 1 sx tx ²

2.1.3 (s; t) Gauss Fibonacci Say¬lar¬Cassini Özde¸ sli¼ gi

Teorem 2.1.3.1:

GF _{n 1} (s; t)GF _n+1 (s; t) GF _n ² (s; t) = ( t) ^{n 1} (is t 1):

Ispat : · n = 1 için

GF ₀ (s; t)GF ₂ (s; t) GF ₁ ² (s; t) = (i(s + it)) 1 = (is t 1)

1 n k için do¼ gru olsun

GF _{k 1} GF _k+1 GF _k ² = ( t) ^{k 1} (is t 1)

n = k + 1 için do¼ grulu¼ gunu görelim

GF _k GF _k+2 GF _k+1 ² = GF _k (sGF _k+1 + tGF _k ) (sGF _k + tGF _{k 1} ) ²

= sGF _k GF _k+1 + tGF _k ² s ² GF _k ² 2stGF _k GF _{k 1} t ² GF _{k 1} ²

= sGF _k (GF _k+1 sGF _k ) + tGF _k ² 2stGF _k GF _{k 1} t ² GF _{k 1} ²

= sGF _k tGF _{k 1} + tGF _k ² 2stGF _k GF _{k 1}

= t(GF _k ² sGF _k GF _{k 1} tGF _{k 1} ² )

= t(GF _k ² GF _{k 1} (sGF _k + tGF _{k 1} ))

= t(GF _k ² GF k 1 GF k+1 )

= ( t) ^k (is t 1):

2.1.4 (s; t) Gauss Fibonacci Say¬lar¬Toplam Formülleri

Teorem 2.1.4.1:

X n i=0

GF _i (s; t) = GF n+1 (s; t) + tGF n (s; t) GF ₀ (s; t) tGF ₁ (s; t) s + t 1

Ispat · :

n = 0 için

GF ₀ (s; t) = GF ₁ (s; t) + tGF ₀ (s; t) GF ₀ (s; t) tGF ₁ (s; t) s + t 1

= 1 + it i t( ^{1 si} _t ) s + t 1

= i(s + t 1)

s + t 1 = i

0 n k için do¼ gru olsun

X k n=0

GF n (s; t) = GF _k+1 (s; t) + tGF _k (s; t) GF ₀ (s; t) tGF ₁ (s; t) s + t 1

n = k + 1 için do¼ grulu¼ gunu görelim

X k+1 n=0

GF _n (s; t) = X k n=0

GF _n (s; t) + GF _k+1 (s; t)

= GF k+1 (s; t) + tGF k (s; t) GF 0 (s; t) tGF 1 (s; t)

s + t 1 + GF _k+1 (s; t)

= GF _k+1 (s; t) + tGF _k (s; t) GF ₀ (s; t) tGF ₁ (s; t) s + t 1

+ sGF _k+1 (s; t) + tGF _k+1 (s; t) GF _k+1 (s; t) s + t 1

= GF _k+2 (s; t) + tGF _k+1 (s; t) GF ₀ (s; t) tGF ₁ (s; t) s + t 1

Teorem 2.1.4.2: T tek indisli (s; t) Gauss Fibonacci say¬lar¬ve C çift indisli (s; t) Gauss Fibonacci say¬lar¬olmak üzere;

T =

X n i=0

GF _2n+1 (s; t) = GF _2n+3 (s; t) t ² GF _2n+1 (s; t) GF ₁ (s; t) + t ² GF ₁ (s; t)

s ² (1 t) ² :

C = X n

i=0

GF _2n (s; t) = GF _2n+2 (s; t) t ² GF _2n (s; t) (1 t)GF ₀ (s; t) stGF ₁ (s; t)

s ² (1 t) ² :

Ispat :Tek indisli terimleri alt alta yazarsak ·

sGF ₁ (s; t) = GF ₂ (s; t) tGF ₀ (s; t)

sGF ₃ (s; t) = GF ₄ (s; t) tGF ₂ (s; t)

sGF ₅ (s; t) = GF ₆ (s; t) tGF ₄ (s; t)

.. .

sGF _2n+1 (s; t) = GF _2n+2 (s; t) tGF _2n (s; t) bu e¸ sitlikleri taraf tarafa toplarsak

sT = C + GF _2n+2 (s; t) GF ₀ (s; t) t(C) (*) Benzer ¸ sekilde çift indisli terimleri taraf tarafa yazarsak

sGF ₀ (s; t) = GF ₁ (s; t) tGF ₁ (s; t)

sGF ₂ (s; t) = GF ₃ (s; t) tGF ₁ (s; t)

sGF ₄ (s; t) = GF ₅ (s; t) tGF ₃ (s; t) .. .

sGF _2n (s; t) = GF _2n+1 (s; t) tGF _{2n 1} (s; t) bu e¸ sitlikleri taraf tarafa toplad¬¼ g¬m¬zda

sC = T t(T GF _2n+1 (s; t) + GF ₁ (s; t)) (**) ve denklemlerini ortak inceledi¼ gimizde

T = GF _2n+3 (s; t) t ² GF _2n+1 (s; t) GF ₁ (s; t) + t ² GF ₁ (s; t) s ² (1 t) ²

C = GF _2n+2 (s; t) t ² GF _2n (s; t) (1 t)GF ₀ (s; t) stGF ₁ (s; t) s ² (1 t) ²

elde edilmi¸ s olur.

2.1.5 n: (s,t) Gauss Fibonacci Say¬s¬n¬Veren Matris

Teorem 2.1.5.1: n:(s,t) Gauss Fibonacci say¬s¬n¬ veren matris A n (s; t) nxn boyutlu a¸ sa¼ g¬daki gibi bir matris olsun

A _n (s; t) = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

1 i 0 0 : : : 0

t s t 0 .. .

0 1 s t

0 0 1 s

.. . . .. t

0 1 s

3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 :

o zaman

det A _n (s; t) = GF _n (s; t) Ispat: ·

n = 1 için

det A ₁ (s; t) = 1 = GF _n (s; t)

1 n k için do¼ gru olsun

det A _k (s; t) = GF _k (s; t)

n = k + 1 için do¼ grulu¼ gunu gösterelim.

0 .. . A k (s; t)

t

0 1 s

= ( 1) ^k+k+1 t

1 i 0 0 0

t s t .. . .. .

0 1 s

. ..

0 s t

0 0 1

+( 1) ^k+1+k+1 s jA ^k (s; t) j

= ( 1)t ( 1) ^k+k ( 1) jA ^{k 1} (s; t) j + ( 1) ^2k+2 s jA ^k (s; t) j

= tGF _{k 1} (s; t) + sGF _k (s; t)

= GF _k+1 (s; t):

2.2 (s; t) Gauss Lucas Say¬lar¬

Tan¬m 2.2.1: (s,t) Gauss Lucas Say¬lar¬GL 0 (s; t) = 2 is, GL 1 (s; t) = s + 2it olmak üzere n 2için

GL _n (s; t) = sGL _{n 1} (s; t) + tGL _{n 2} (s; t)

indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬d¬r.

GL ₂ = s ² + 2t + its

GL ₃ = s ³ + 3st + it(s ² + 2t)

GL ₄ = s ⁴ + 4s ² t + 2t ² + it(s ³ + 3st)

GL ₅ = s ⁵ + 5s ³ t + 5st ² + it(s ⁴ + 4s ² t + 2t ² )

.. .

olarak devam eder.

Tan¬m 2.2.2:

GL _n (s; t) = L _n (s; t) + itL _{n 1} (s; t):

Teorem 2.2.3:

GL _n+1 (s; t) + tGL _{n 1} (s; t) = (s ² + 4t)GF _n (s; t):

Ispat: · n = 1 için

GL ₂ (s; t) + tGL ₀ (s; t) = s ² + 2t + its + 2t its = (s ² + 4t) 1 n k için do¼ gru olsun

GL _k+1 (s; t) + tGL _{k 1} (s; t) = (s ² + 4t)GF _k (s; t) n = k + 1 için

GL k+2 (s; t) + tGL k (s; t)

= (sGL _k+1 (s; t) + tGL _k (s; t)) + t(sGL _{k 1} (s; t) + tGL _{k 2} (s; t))

= s(GL k+1 (s; t) + tGL k 1 (s; t)) + t(GL k (s; t) + tGL k 2 (s; t))

= s((s ² + 4t)GF _k (s; t)) + t((s ² + 4t)GF _{k 1} (s; t))

= (s ² + 4t)GF _k+1 (s; t)

2.2.1 (s; t) Gauss Lucas Say¬lar¬Binet Formülü

Teorem 2.2.1.1: GL _n+1 (s; t) = sGL _n (s; t) + tGL _{n 1} (s; t) say¬lar¬n¬n Binet for- mülü

GL _n (s; t) = 2 is 2 + i p

s ² + 4t 2

! s + p

s ² + 4t 2

! n

+ 2 is 2

i p

s ² + 4t 2

! s p

s ² + 4t 2

! n

:

Ispat: · x ⁿ bu ifadenin bir çözümü olsun o halde bu çözümden elde edilen denklemin kökleri ve olmak üzere;

= s + p

s ² + 4t 2

= s p

s ² + 4t 2 dir. Genel çözüm

GL _n (s; t) = c ⁿ + d ⁿ ve

GL ₀ (s; t) = 2 is = c + d

GL ₁ (s; t) = s + 2it = c + d

olmak üzere

c = 2 is 2 + i p

s ² + 4t 2

d = 2 is 2

i p

s ² + 4t 2

dir. c; d; ; genel çözümde yerine kondu¼ gunda yukar¬daki e¸ sitlik elde edilmi¸ s olur.

2.2.2 (s; t) Gauss Lucas Say¬lar¬Üreteç Fonksiyonu Teorem 2.2.2.1:

g (x) = x(s + 2it) + (1 s)(2 is) 1 sx tx ²

Ispat ·

g (x) = X 1

GL _n (s; t)x ⁿ

g (x) = GL ₀ (s; t) + GL ₁ (s; t)x + GL ₂ (s; t)x ² + GL ₃ (s; t)x ³ + :::

sxg (x) = sGL ₀ (s; t)x sGL ₁ (s; t)x ² sGL ₂ (s; t)x ³ sGL ₃ (s; t)x ⁴ :::

tx ² g (x) = tGL ₀ (s; t)x ² tGL ₁ (s; t)x ³ tGL ₂ (s; t)x ⁴ tGL ₃ (s; t)x ⁵ :::

+_________ _______________________

g(x)(1 sx tx ² ) = GL ₀ (s; t) + GL ₁ (s; t)x sGL ₀ (s; t)x

g (x) = 2 is + x(s + 2it) s(2 is)x 1 sx tx ²

= 2 sx + i(xs ² + 2xt s)

1 sx tx ² :

2.2.3 (s; t) Gauss Lucas Say¬lar¬Cassini Özde¸ sli¼ gi Teorem 2.2.3.1:

GL _{n 1} (s; t)GL _n+1 (s; t) GL ² _n (s; t) = ( t) ^{n 1} (s ² + 4t)(1 + t is)

Ispat: · n = 1 için

GL ₀ (s; t)GL ₂ (s; t) GL ² ₁ (s; t) = (2 is)(s ² +2t+its) (s+2it) ² = (s ² +4t)(1+t is)

1 n k için do¼ gru olsun

GL _{k 1} (s; t)GL _k+1 (s; t) GL ² _k (s; t) = ( t) ^{k 1} (s ² + 4t)(1 + t is)

n = k + 1 için do¼ grulu¼ gunu görelim

GL _k (s; t)GL _k+2 (s; t) GL ² _k+1 (s; t)

= GL _k (s; t)(sGL _k+1 (s; t) + tGL _k (s; t)) (sGL _k (s; t) + tGL _{k 1} (s; t)) ²

= sGL _k (s; t)GL _k+1 (s; t) + tGL ² _k (s; t)

s ² GL ² _k (s; t) 2stGL _k (s; t)GL _{k 1} (s; t) t ² GL ² _{k 1} (s; t)

= sGL _k (s; t)(GL _k+1 (s; t) sGL _k (s; t)) + tGL ² _k (s; t) 2stGL _k (s; t)GL _{k 1} (s; t) t ² GL ² _{k 1} (s; t)

= t(GL ² _k (s; t) sGL _k (s; t)GL _{k 1} (s; t) tGL ² _{k 1} (s; t))

= t(GL ² _k (s; t) GL k 1 (s; t)(sGL k (s; t) + tGL k 1 (s; t)))

= ( t)(( t) ^{k 1} (s ² + 4t)(1 + t is))

= ( t) ^k (s ² + 4t)(1 + t is)

2.2.4 (s; t) Gauss Lucas Say¬lar¬Toplam Formülleri Teorem 2.2.4.1:

X n i=0

GL _i (s; t) = GL _n+1 (s; t) + tGL _n GL ₀ tGL ₁

s + t 1 :

Ispat: ·

n = 0 için

GL ₀ (s; t) = GL 1 (s; t) + tGL 0 (s; t) GL 0 (s; t) tGL 1 (s; t) s + t 1

= s + 2it + t(2 is) 2 + is 2it + s is ² s + t 1

= 2s + 2it + 2t its 2 + is 2it is ² s + t 1

= 2(s + t 1) is(s + t 1) s + t 1

= 2 is 0 n k için do¼ gru olsun

X k i=0

GL _i (s; t) = GL _k+1 (s; t) + tGL _k (s; t) GL ₀ (s; t) tGL ₁ (s; t) s + t 1

n = k + 1 için do¼ grulu¼ gunu görelim

X k+1 i=0

GL _i (s; t) = X k

i=0

GL _i (s; t) + GL _k+1 (s; t)

= GL _k+1 (s; t) + tGL _k (s; t) s + t 1

GL ₀ (s; t) tGL ₁ (s; t)

s + t 1 + GL _k+1 (s; t)

= GL _k+1 (s; t) + tGL _k (s; t) GL ₀ (s; t) s + t 1

tGL ₁ (s; t) + sGL _k+1 (s; t) + tGL _k+1 (s; t) GL _k+1 (s; t) s + t 1

= GL _k+2 (s; t) + tGL _k+1 (s; t) GL ₀ (s; t) tGL ₁ (s; t)

s + t 1 :

Teorem 2.2.4.2: O tek indisli (s; t) Gauss Lucas say¬lar¬ ve E çift indisli (s; t) Gauss Lucas say¬lar¬olmak üzere;

O = X n

i=0

GL _2i+1 (s; t) = GL _2n+3 (s; t) t ² GL _2n+1 (s; t) GL ₁ (s; t) + t ² GL ₁ (s; t) s ² (1 t) ²

E = X n

i=0

GL _2i (s; t) = GL _2n+2 (s; t) t ² GL _2n (s; t) (1 t)GL ₀ (s; t) + tsGL ₁ (s; t) s ² (1 t) ²

Ispat: · Tek indisli terimleri alt alta yazarsak

sGL ₁ (s; t) = GL ₂ (s; t) tGL ₀ (s; t)

sGL ₃ (s; t) = GL ₄ (s; t) tGL ₂ (s; t)

sGL ₅ (s; t) = GL ₆ (s; t) tGL ₄ (s; t)

.. .

sGL _2n+1 (s; t) = GL _2n+2 (s; t) tGL _2n (s; t)

Bu e¸ sitlikleri taraf tarafa toplarsak

sO = E + GL _2n+2 GL ₀ tE (*)

Benzer ¸ sekilde çift indisli terimleri alt alta yazarsak sGL ₀ (s; t) = GL ₁ (s; t) tGL ₁ (s; t)

sGL ₂ (s; t) = GL ₃ (s; t) tGL ₁ (s; t)

sGL ₄ (s; t) = GL ₅ (s; t) tGL ₃ (s; t) .. .

sGL _2n (s; t) = GL _2n+1 (s; t) tGL _{2n 1} (s; t)

Bu e¸ sitlikleride taraf tarafa toplarsak

sE = O t(O GL 2n+1 (s; t) + GL 1 (s; t)) (**)

Buradaki ve e¸ sitlikleri beraber incelendi¼ ginde

O = GL _2n+3 (s; t) t ² GL _2n+1 (s; t) GL ₁ (s; t) + t ² GL ₁ (s; t) s ² (1 t) ²

E = GL _2n+2 (s; t) t ² GL _2n (s; t) (1 t)GL ₀ (s; t) + tsGL ₁ (s; t) s ² (1 t) ²

bulunmu¸ s olur.

2.2.5 n: (s,t) Gauss Lucas Say¬s¬n¬Veren Matris

Teorem 2.2.5.1:B _n (s; t) nxn boyutlu a¸ sa¼ g¬daki gibi bir matris olsun

B n (s; t) = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

s + 2it 2 is 0 0 : : : 0

t s t 0 .. .

0 1 s t

0 0 1 s

.. . . .. t

0 1 s

3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 :

O zaman

det B _n (s; t) = GL _n (s; t):

Ispat: · n = 1 için

det B ₁ (s; t) = s + 2it = GL _n (s; t) 1 n k için do¼ gru olsun

det B _k (s; t) = GL _k (s; t)

n = k + 1 için do¼ grulu¼ gunu gösterelim.

0 .. . B _k (s; t)

t

0 1 s

= ( 1) ^k+k+1 t

s + 2it 2 is 0 0 0

t s t .. . .. .

0 1 s

. ..

0 s t

0 0 1

+( 1) ^k+1+k+1 s jB ^k (s; t) j

= ( 1)t ( 1) ^k+k ( 1) jB ^{k 1} (s; t) j + ( 1) ^2k+2 s jB ^k (s; t) j

= tGL _{k 1} (s; t) + sGL _k (s; t)

= GL _k+1 (s; t)

2.3 Farkl¬· Indisli (s; t) Gauss Fibonacci Say¬lar¬n¬n Çarp¬m¬

Lemma 2.3.1:

F _m F _n = 1

5 (L _m+n ( 1) ⁿ L _{m n} )

Lemma2.3.2:

GF m GF n = GL ₁

5 (L m+n 1 + i( 1) ⁿ L m n ):

Ispat: ·

GF _m GF _n = (F _m + iF _{m 1} )(F _n + iF _{n 1} )

= F _m F _n + iF _m F _{n 1} + iF _{m 1} F _n + i ² F _{m 1} F _{n 1}

= 1

5 (L _m+n ( 1) ⁿ L _{m n} ) + i 1

5 (L _{m+n 1} ( 1) ^{n 1} L _{m n+1} ) +i 1

5 (L _{m+n 1} ( 1) ⁿ L _{m n 1} ) + i ² 1

5 (L _{m+n 2} ( 1) ^{n 1} L _{m n} )

= 1

5 (L m+n ( 1) ⁿ L m n + iL m+n 1 i( 1) ^{n 1} L m n+1

+iL _{m+n 1} i( 1) ⁿ L _{m n 1} L _{m+n 2} + ( 1) ^{n 1} L _{m n} )

= 1

5 (L m+n + 2iL m+n 1 + i( 1) ⁿ L m n+1 i( 1) ⁿ L m n 1

L _{m+n 2} 2( 1) ⁿ L _{m n} )

= 1

5 (L _{m+n 1} + 2iL _{m+n 1} + i( 1) ⁿ L _{m n} + 2i ² ( 1) ⁿ L _{m n} )

= 1

5 ((1 + 2i)L _{m+n 1} + ( 1) ⁿ (1 + 2i)L _{m n} )

= GL ₁

5 (L _{m+n 1} + i( 1) ⁿ L _{m n} ) Lemma 2.3.3:

F _m (s; t)F _n (s; t) = 1

s ² + 4t (L _m+n ( t) ⁿ L _{m n} ):

Lemma 2.4.4:

GF _m (s; t)GF _n (s; t) = 1 s ² + 4t

2 6 6 4

GL _m+n (s; t) ( t) ⁿ GL _{m n} (s; t) + _s

+4t ¹ (it)GL _{m+n 1} (s; t)

( t) ^{n 1} GL _{m n+1} (s; t)

3 7 7 5 :

ispat:

GF _m (s; t)GF _n (s; t) = (F _m (s; t) + itF _{m 1} (s; t))(F _n (s; t) + itF _{n 1} (s; t))

= F _m (s; t)F _n (s; t) + itF _m (s; t)F _{n 1} (s; t)

+itF _{m 1} (s; t)F _n (s; t) + i ² t ² F _{m 1} (s; t)F _{n 1} (s; t)

= 1

s ² + 4t 2 6 6 6 6 4

(L _m+n (s; t) ( t) ⁿ L _{m n} (s; t)) +it(L _{m+n 1} (s; t) ( t) ^{n 1} L _{m n+1} (s; t))

+it(L _{m+n 1} (s; t) ( t) ⁿ L _{m n 1} (s; t)) +i ² t ² (L m+n 2 (s; t) ( t) ^{n 1} L m n (s; t))

3 7 7 7 7 5

= 1

s ² + 4t

"

GL _m+n (s; t) + itGL _{m+n 1} (s; t)

( t) ⁿ GL _{m n} (s; t) ( t) ^{n 1} itGL _{m n+1} (s; t)

#

= 1

s ² + 4t 2 6 6 4

GL _m+n (s; t) ( t) ⁿ GL _{m n} (s; t) + _s

+4t ¹ (it)GL _{m+n 1} (s; t)

( t) ^{n 1} GL _{m n+1} (s; t)

3

7 7

5

3 (s; t) GAUSS FIBONACCI VE (s; t) GAUSS LUCAS MATR· IS D· IZ· ILER· I

Bu k¬s¬mda Fibonacci matrisleri ve Lucas matrisleri, (s; t) Fibonacci matris- leri ve (s; t) Lucas matrisleri, Gauss Fibonacci matrisleri ve Gauss Lucas ma- trislerinden yola ç¬k¬larak (s; t) Gauss Fibonacci matrsleri ve (s; t) Gauss Lucas matrisleri elde edilecektir.

3.1 (s; t) Gauss Fibonacci Matris Dizisi

Tan¬m 3.1.1: s ² + 4t > 0 olacak ¸ sekilde s > 0 ve t 6= 0 tam say¬lar¬için

GF ⁰ (s; t) =

"

1 i

it 1 is

#

,GF ¹ (s; t) =

"

s + it 1 t it

#

ve n 1 için

GF ⁿ⁺¹ (s; t) = s GF ⁿ (s; t) + t GF ^{n 1} (s; t)

indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬ile tan¬mlananfGF ⁿ (s; t) g _n2N matris dizisine (s; t) Gauss Fi- bonacci matris dizisi denir.

Teorem 3.1.2: n 0 tam say¬s¬için

GF ⁿ (s; t) =

"

GF _n+1 (s; t) GF _n (s; t) tGF _n (s; t) tGF _{n 1} (s; t)

# :

Ispat: · n = 0 için do¼ grudur.

GF ⁰ (s; t) =

"

GF ₁ (s; t) GF ₀ (s; t) tGF ₀ (s; t) tGF ₁ (s; t)

#

=

"

1 i

it 1 is

#

0 n k için do¼ gru olsun yan

GF ^k (s; t) =

"

GF _k+1 (s; t) GF _k (s; t) tGF _k (s; t) tGF _{k 1} (s; t)

#

:

n = k + 1 için do¼ grulu¼ gunu görelim

GF ^k+1 (s; t) = s GF ^k (s; t) + t GF ^{k 1} (s; t)

= s

"

GF _k+1 (s; t) GF _k (s; t) tGF _k (s; t) tGF _{k 1} (s; t)

# + t

"

GF _k (s; t) G F / _{k 1} (s; t) tGF _{k 1} (s; t) tGF _{k 2} (s; t)

#

=

"

sGF _k+1 (s; t) + tGF _k (s; t) sGF _k (s; t) + tGF _{k 1} (s; t) stGF _k (s; t) + t ² GF _{k 1} (s; t) stGF _{k 1} (s; t) + t ² GF _{k 2} (s; t)

#

=

"

GF k+2 (s; t) GF k+1 (s; t) tGF _k+1 (s; t) tGF _k (s; t)

# :

Teorem 3.1.3:

GF ⁿ (s; t) = F ⁿ (s; t) + it F ^{n 1} (s; t):

Ispat: ·

F ⁿ (s; t) + it F ^{n 1} (s; t) =

"

F _n+1 (s; t) F _n (s; t) tF _n (s; t) tF _{n 1} (s; t)

# + it

"

F _n (s; t) F _{n 1} (s; t) tF _{n 1} (s; t) tF _{n 2} (s; t)

#

=

"

F _n+1 (s; t) + itF _n (s; t) F _n (s; t) + itF _{n 1} (s; t) tF _n (s; t) + it ² F _{n 1} (s; t) tF _{n 1} (s; t) + it ² F _{n 2} (s; t)

#

=

"

GF _n+1 (s; t) GF _n (s; t) tGF _n (s; t) tGF _{n 1} (s; t)

#

= GF ⁿ (s; t):

3.1.1 (s; t) Gauss Fibonacci Matris Dizisi Binet Formülü

Teorem 3.1.1.1:

GF ⁿ (s; t) =

"

c ⁿ⁺¹ + d ⁿ⁺¹ c ⁿ + d ⁿ t (c ⁿ + d ⁿ ) t c ^{n 1} + d ^{n 1}

#

Ispat: · GF _n (s; t) say¬lar¬n¬n Binet formülü

c = i

2 + 2 is 2 p

s ² + 4t ; d = i 2

2 is 2 p

s ² + 4t ; = s + p

s ² + 4t

2 ; = s p

s ² + 4t 2

olmak üzere

GF _n (s; t) = c ⁿ + d ⁿ

¸ seklindedir. O halde;

GF ⁿ (s; t) =

"

GF _n+1 (s; t) GF _n (s; t) tGF _n (s; t) tGF _{n 1} (s; t)

#

=

"

c ⁿ⁺¹ + d ⁿ⁺¹ c ⁿ + d ⁿ t (c ⁿ + d ⁿ ) t c ^{n 1} + d ^{n 1}

# :

3.2 (s; t) Gauss Lucas Matris Dizileri

Tan¬m 3.2.1: s ² + 4t > 0 olacak ¸ sekilde s > 0 , t 6= 0 ve n 1 tam say¬lar¬için

GL ⁰ (s; t) =

"

s + 2it 2 is 2t its 2it + is ² s

#

; GL ₁ (s; t) =

"

s ² + 2t + its s + 2it st + 2it ² 2t its

#

GL ⁿ⁺¹ (s; t) = s GL ⁿ (s; t) + t GL ^{n 1} (s; t)

indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬ile tan¬mlanan fGL ⁿ (s; t) g _n2N matris dizisine (s,t) Gauss Lu- cas matris disizi denir.

Teorem 3.2.2: n 0 tamsay¬s¬için

GL _n (s; t) =

"

GL n+1 (s; t) GL n (s; t) tGL _n (s; t) tGL _{n 1} (s; t)

# :

Ispat: · n = 0 için

GL ⁰ (s; t) =

"

GL ₁ (s; t) GL ₀ (s; t) tGL 0 (s; t) tGL 1 (s; t)

#

=

"

1 i

it 1 is

#

0 n k için do¼ gru olsun

GL ^k (s; t) =

"

GL _k+1 (s; t) GL _k (s; t) tGL k (s; t) tGL k 1 (s; t)

#

n = k + 1 için do¼ grulu¼ gunu görelim GL ^k+1 (s; t) = s GL ^k (s; t) + t GL ^{k 1} (s; t)

= s

"

GL k+1 (s; t) GL k (s; t) tGL _k (s; t) tGL _{k 1} (s; t)

#

+t

"

GL _k (s; t) GL _{k 1} (s; t) tGL _{k 1} (s; t) tGL _{k 2} (s; t)

#

=

"

sGL _k+1 (s; t) + tGL _k (s; t) sGL _k (s; t) + tGL _{k 1} (s; t) stGL _k (s; t) + t ² GL _{k 1} (s; t) stGL _{k 1} (s; t) + t ² GL _{k 2} (s; t)

#

=

"

GL _k+2 (s; t) GL _k+1 (s; t) tGL _k+1 (s; t) tGL _k (s; t)

#

Teorem 3.2.3:

GL ⁿ (s; t) = L ⁿ (s; t) + it L ^{n 1} (s; t):

Ispat: ·

L ⁿ (s; t) + it L ^{n 1} (s; t) =

"

L _n+1 (s; t) L _n (s; t) tL n (s; t) tL n 1 (s; t)

#

+it

"

L _n (s; t) L _{n 1} (s; t) tL _{n 1} (s; t) tL _{n 2} (s; t)

#

=

"

L _n+1 (s; t) + itL _n (s; t) L _n (s; t) + itL _{n 1} (s; t) tL _n (s; t) + it ² L _{n 1} (s; t) tL _{n 1} (s; t) + it ² L _{n 2} (s; t)

#

=

"

GL _n+1 (s; t) GL _n (s; t) tGL _n (s; t) tGL _{n 1} (s; t)

#

= GL ⁿ (s; t):

3.2.1 (s; t) Gauss Lucas Matris Diziler · Için Binet Formülü

Teorem 3.2.1.1:

GL ⁿ (s; t) =

"

c ⁿ⁺¹ + d ⁿ⁺¹ c ⁿ + d ⁿ t (c ⁿ + d ⁿ ) t c ^{n 1} + d ^{n 1}

# :

Ispat: · GL _n (s; t) say¬lar¬n¬n binet formülü

c = 2 is 2 + i p

s ² + 4t

2 ; d = 2 is 2

i p

s ² + 4t 2

= s + p

s ² + 4t

2 ; = s p

s ² + 4t 2

olmak üzere

GL _n (s; t) = c ⁿ + d ⁿ

¸ seklindedir. O halde;

GL ⁿ (s; t) =

"

GL _n+1 (s; t) GL _n (s; t) tGL _n (s; t) tGL _{n 1} (s; t)

#

=

"

c ⁿ⁺¹ + d ⁿ⁺¹ c ⁿ + d ⁿ t (c ⁿ + d ⁿ ) t c ^{n 1} + d ^{n 1}

# :

3.3 Özel Teoremler

Teorem 3.3.1:

GF ^m (s; t) GF ⁿ (s; t) = GF ^m+n (s; t) + it GF ^{m+n 1} (s; t):

Ispat ·

GF ^m (s; t) GF ⁿ (s; t) = ( F ^m (s; t) + it F ^{m 1} (s; t))( F ⁿ (s; t) + it F ^{n 1} (s; t))

= F ^m (s; t) F ⁿ (s; t) + it F ^m (s; t) F ^{n 1} (s; t)

+it F ^{m 1} (s; t) F ⁿ (s; t) + i ² t ² F ^{m 1} (s; t) F ^{n 1} (s; t)

= F ^m+n (s; t) + it F ^{m+n 1} (s; t) + it( F ^{m+n 1} (s; t) +it F ^{m+n 2} (s; t))

= GF ^m+n (s; t) + it GF ^{m+n 1} (s; t):

Teorem 3.3.2:

GL ¹ (s; t) GF ⁿ (s; t) = GL ⁿ⁺¹ (s; t) + it GL ⁿ (s; t):

Ispat: ·

"

s ² + 2t + its s + 2it st + 2it ² 2t its

# "

GF _n+1 (s; t) GF _n (s; t) tGF _n (s; t) tGF _{n 1} (s; t)

#

=

"

GF _n+1 (s; t)(s ² + 2t + its) + tGF _n (s; t)(s + 2it) GF _n+1 (s; t)(st + 2it ² ) + tGF _n (s; t)(2t its) GF _n (s; t)(s ² + 2t + its) + tGF _{n 1} (s; t)(s + 2it)

GF n (s; t)(st + 2it ² ) + tGF n 1 (s; t)(2t its)

#

Burada a 11 konumundaki eleman¬incelersek

a ₁₁ = s ² GF _n+1 (s; t) + itsGF _n+1 (s; t) + tGF _n+1 (s; t)

+tGF _n+1 (s; t) + tsGF _n (s; t) + it ² GF _n (s; t) + it ² GF _n (s; t)

= s(sGF _n+1 (s; t) + tGF _n (s; t)) + tGF _n+1 (s; t)

+it(sGF _n+1 (s; t) + tGF _n (s; t)) + t(GF _n+1 (s; t) + itGF _n (s; t))

= sGF _n+2 (s; t) + tGF _n+1 (s; t) + it(GF _n+2 (s; t)) + t(GF _n (s; t) + itGF _n (s; t))

= GF _n+3 (s; t) + tGF _n (s; t) + it(GF _n+2 (s; t) + tGF _n (s; t))

= GL _n+2 (s; t) + itGL _n+1 (s; t)

Benzer ¸ sekilde a 12 , a 21 ve a 22 elemanlar¬n¬da incelersek.

a ₁₂ = GL _n+1 (s; t) + itGL _n (s; t)

a ₂₁ = tGL n+1 (s; t) + it ² GL n (s; t)

a ₂₂ = tGL _n (s; t) + it ² GL _{n 1} (s; t)

Bütün elemanlar¬matrise yerine koyup düzenlersek.

"

GL _n+2 (s; t) GL _n+1 (s; t) tGL _n+1 (s; t) tGL _n (s; t)

# + it

"

GL _n+1 (s; t) GL _n (s; t) tGL _n (s; t) tGL _{n 1} (s; t)

#

= GL _n+1 (s; t) + itGL _n (s; t):

Sonuç 3.3.3:

GL ¹ (s; t) GF ⁿ (s; t) = GF ⁿ (s; t) GL ¹ (s; t) = GL ⁿ⁺¹ (s; t) + it GL ⁿ (s; t):

Sonuç 3.3.4:

GL ₂ (s; t)GF _n+1 (s; t) + tGL ₁ (s; t)GF _n (s; t) = GL _n+2 (s; t) + itGL _n+1 (s; t):

Sonuç 3.3.5:

GL ₂ (s; t)GF _n (s; t) + tGL ₁ (s; t)GF _{n 1} (s; t) = GL _n+1 (s; t) + itGL _n (s; t):

Sonuç 3.3.6:

GL ₂ (s; t)GF _n (s; t) + tGL ₁ (s; t)GF _{n 1} (s; t) = GL _n+1 (s; t) + itGL _n (s; t):

Sonuç 3.3.7:

tGL ₁ (s; t)GF _n+1 (s; t) + t ² GL ₀ (s; t)GF _n (s; t) = tGL _n+1 (s; t) + it ² GL _n (s; t):

Sonuç 3.3.8:

tGL 1 (s; t)GF n (s; t) + t ² GL 0 (s; t)GF n 1 (s; t) = tGL n (s; t) + it ² GL n 1 (s; t)

Teorem 3.3.9: Teorem 3.3.2 yi genellersek

GF ^m (s; t) GL ⁿ (s; t) = GL ⁿ (s; t) GF ^m (s; t)

= GL ^m+n (s; t) + it GL ^{m+n 1} (s; t):

Ispat: ·

GF ^m (s; t) GL ⁿ (s; t) = GF ^m (s; t)( GF n+1 (s; t) + t GF ^{n 1} (s; t))

= GF ^m (s; t) GF ⁿ⁺¹ (s; t) + t GF ^m (s; t) GF ^{n 1} (s; t)

= GF ^m+n+1 (s; t) + it GF ^m+n (s; t) +t GF ^{m+n 1} (s; t) + it ² GF ^{m+n 2} (s; t)

= GL ^m+n (s; t) + it GL ^{m+n 1} (s; t):

GL ⁿ (s; t) GF ^m (s; t) = ( GF n+1 (s; t) + t GF ^{n 1} (s; t)) GF ^m (s; t)

= GF ⁿ⁺¹ (s; t) GF ^m (s; t) + t GF ^{n 1} (s; t) GF ^m (s; t)

= GF ^m+n+1 (s; t) + it GF ^m+n (s; t) +t GF ^{m+n 1} (s; t) + it ² GF ^{m+n 2} (s; t)

= GL ^m+n (s; t) + it GL ^{m+n 1} (s; t)

sa¼ g tara‡ar e¸ sit oldu¼ gundan sol tara‡ar da e¸ sittir.

Sonuç 3.3.10:

GL ^m (s; t) GF ⁿ⁺¹ (s; t) + GF ⁿ (s; t) GL ^{m 1} (s; t)

= GF ⁿ (s; t) GL ^m+1 (s; t) + t GL ^m (s; t) GF ^{n 1} (s; t)

t ² GL ^m (s; t) GF ^{n 1} (s; t) + t GL ^m+1 (s; t) GF ⁿ (s; t)

= t ² GF ⁿ (s; t) GL ^{m 1} (s; t) + t GF ⁿ⁺¹ (s; t) GL ^m (s; t):

Ispat: ·

GF ^m (s; t) GL ⁿ (s; t) = GL ⁿ (s; t) GF ^m (s; t)

idi o halde bu iki matrisin elemenlar çarp¬m¬n¬gösterirsek

"

GF _m+1 (s; t) GF _m (s; t) tGF _m (s; t) tGF _{m 1} (s; t)

# "

GL _n+1 (s; t) GL _n (s; t) tGL _n (s; t) tGL _{n 1} (s; t)

#

=

"

GL _n+1 (s; t) GL _n (s; t) tGL n (s; t) tGL n 1 (s; t)

# "

GF _m+1 (s; t) GF _m (s; t) tGF m (s; t) tGF m 1 (s; t)

#

"

GF _m+1 (s; t)GL _n+1 (s; t) + GF _m (s; t)GL _n (s; t) tGF _m (s; t)GL _n+1 (s; t) + t ² GF _{m 1} (s; t)GL _n (s; t) GF _m+1 (s; t)GL _n (s; t) + tGF _m (s; t)GL _{n 1} (s; t) tGF m (s; t)GL n (s; t) + t ² GF m 1 (s; t)GL n 1 (s; t)

#

=

"

GL _n+1 (s; t)GF _m+1 (s; t) + GL _n (s; t)GF _m (s; t) tGL _n (s; t)GF _m+1 (s; t) + t ² GL _{n 1} (s; t)GF _m (s; t) GL _n+1 (s; t)GF _m (s; t) + tGL _n (s; t)GF _{m 1} (s; t) tGL _n (s; t)GF _m (s; t) + t ² GL _{n 1} (s; t)GF _{m 1} (s; t)

#

matrislerin ayn¬konumlu elemanlar¬e¸ sit olaca¼ g¬ndan e¸ sitlikler gösterilmi¸ s olur.

Teorem 3.3.11:

GL ² m (s; t) = (s ² + 4t)( GF ^2m (s; t) + it GF ^{2m 1} (s; t)):

Ispat: ·

GL ² m (s; t) =

"

GL _m+1 (s; t) GL _m (s; t) tGL _m (s; t) tGL _{m 1} (s; t)

# "

GL _m+1 (s; t) GL _m (s; t) tGL _m (s; t) tGL _{m 1} (s; t)

#

=

"

GL ² _m+1 (s; t) + tGL ² _m (s; t)

tGL _m+1 (s; t)GL _m (s; t) + t ² GL _m (s; t)GL _{m 1} (s; t) GL _m+1 (s; t)GL _m (s; t) + tGL _m (s; t)GL _{m 1} (s; t)

tGL ² _m (s; t) + t ² GL ² _{m 1} (s; t)

#

a ₁₁ konumundaki eleman¬incelersek. (a 22 benzer ¸ sekilde)

GL ² _m+1 (s; t) + tGL ² _m (s; t) = (GF _m+2 (s; t) + tGF _m (s; t)) ² +t(GF _m+1 (s; t) + tGF _{m 1} (s; t)) ²

= GF _m+2 ² (s; t) + t ² GF _m ² (s; t)

+2tGF _m+2 (s; t)GF _m (s; t)

+tGF _m+1 ² (s; t) + t ³ GF _{m 1} ² (s; t)

+2t ² GF _m+1 (s; t)GF _{m 1} (s; t)

= 1 s ² + 4t

2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

(GL _2m+4 (s; t) ( t) ^m+2 GL ₀ (s; t)) +it(GL 2m+3 (s; t) ( t) ^m+1 GL 1 (s; t))

+t ² (GL _2m+4 (s; t) ( t) ^m GL ₀ (s; t)) +it ³ (GL _{2m 1} (s; t) ( t) ^{m 1} GL ₁ (s; t))

+2t(GL _2m+2 (s; t) ( t) ^m GL ₂ (s; t)) +2it ² (GL 2m+1 (s; t) ( t) ^{m 1} GL 3 (s; t))

+t(GL _2m+2 (s; t) ( t) ^m+1 GL ₀ (s; t)) +it ² (GL _2m+1 (s; t) ( t) ^m GL ₁ (s; t))

+t ³ (GL _{2m 2} (s; t) ( t) ^{m 1} GL ₀ (s; t)) +it ⁴ (GL 2m 3 (s; t) ( t) ^{m 2} GL 1 (s; t))

+2t ² (GL _2m (s; t) ( t) ^{m 1} GL ₂ (s; t)) +2it ³ (GL _{2m 1} (s; t) ( t) ^{m 2} GL ₃ (s; t))

3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

= 1

s ² + 4t 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

(GL _2m+4 (s; t) + itGL _2m+3 (s; t)) +t ² (GL _2m (s; t) + itGL _{2m 1} (s; t))

+2t(GL _2m+2 (s; t) + itGL _2m+1 (s; t)) +t(GL _2m+2 (s; t) + GL _2m+1 (s; t))

+2t ² (GL _2m (s; t) + itGL _{2m 1} (s; t)) +t ³ (GL _{2m 2} (s; t) + GL _{2m 3} (s; t))

2( t) ^m+2 GL ₀ (s; t) + 2i( t) ^m+2 GL ₁ (s; t) +2( t) ^m+1 GL ₂ (s; t)

2( t) ^m+1 GL ₂ (s; t) 2i( t) ^m+1 GL ₃ (s; t) +( t) ^m+2 GL ₀ (s; t)

i( t) ^m+2 GL ₁ (s; t) + ( t) ^m+2 GL ₀ (s; t) i( t) ^m+2 GL ₁ (s; t)

+2i( t) ^m+1 GL 3 (s; t)

3

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 7

7 5