Tümevarım Tümevarım

(1)

Tümevarım Tümevarım

Eşitsizlikler Eşitsizlikler

Hasan KORKMAZ Hasan KORKMAZ

İzmir Fen Lisesi

(2)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

Çarpımları 1 olan, pozitif iki sayı en az kaç olabilir?

Örneğin; 1/2 ile 2 ; 1/2 +2 =2,5 Örneğin; 1/2 ile 2 ; 1/2 +2 =2,5

Öneğin; 2/3 ile 3/2 ; 2/3+3/2=13/6=2,16667 Öneğin; 2/3 ile 3/2 ; 2/3+3/2=13/6=2,16667

Öneğin; 21/22 ile 22/21 ; 21/22+22/21=2,002265 Öneğin; 21/22 ile 22/21 ; 21/22+22/21=2,002265

Acaba siz bu değeri daha da küçülten örnekler Acaba siz bu değeri daha da küçülten örnekler

verebilir misiniz?

Toplamı mümkün mertebe küçültmek için sayıları Toplamı mümkün mertebe küçültmek için sayıları

(3)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

Çarpımları 1 olan, pozitif 3 sayı en az kaç Çarpımları 1 olan, pozitif 3 sayı en az kaç

olabilir?

Örneğin; 1/2, 3/2, 4/3 ; 1/2+3/2+4/3 =3,3333 Örneğin; 1/2, 3/2, 4/3 ; 1/2+3/2+4/3 =3,3333

Örneğin;

11/12, 32/33, 9/8 ; 11/12+32/33+9/8 =3,011364 11/12, 32/33, 9/8 ; 11/12+32/33+9/8 =3,011364

Acaba siz bu değeri daha da küçülten örnekler Acaba siz bu değeri daha da küçülten örnekler

verebilir misiniz?

nasıl seçersiniz?

(4)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

Çarpımları 1 olan, pozitif n sayı en az kaç Çarpımları 1 olan, pozitif n sayı en az kaç

olabilir?

nasıl seçersiniz?

(5)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

Teorem:

Teorem: Çarpımları 1 olan, pozitif n tane reel Çarpımları 1 olan, pozitif n tane reel sayının toplamı en az n dir.

sayının toplamı en az n dir.

Yani;

(6)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

İspat:

1. Adım: n=2 için ispat;

(7)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

İspat:

2. Adım: Teorem n-1 için doğru olsun;

Yani;

(8)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

İspat:

3. Adım: n için ispat:

a)Bu n tane sayının hepsi de 1 ise toplamları n dir ve teorem bu özel durumda doğrudur.

(9)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

İspat:

3. Adım: n için ispat:

b) Bu n tane sayının hepsi de 1 değilse; en az biri 1 den küçük ve en az biri de 1 den büyük olmak

zorundadır.

Örneğin; ve olsun;

(10)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

3. Adım: n için ispat (devam):

Eşitsizliğin sol tarafına ile

sayılarını ekleyelim ve çıkaralım;

(11)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

3. Adım: n için ispat (devam):

Sol taraftan negatif bir sayıyı silersek eşitsizlik kuvvetleneceğinden;

bulunur.

Hani Alkış..?

(12)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

Aritmetik-Geometrik-Harmonik Ortalamalar:

İki pozitif reel sayının toplamlarının yarısı AO, çarpımlarının karekökü GO,

ve 2 nin çarpmaya göre tersleri

toplamına bölümü HO’yu hesaplayalım.

Sonra bunları sıralayalım.

(13)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

Örneğin sayılar 4 ve 9 olsun;

Örneğin sayılar 6 ve 6 olsun;

Küçükten büyüğe doğru sıralamayı nasıl yapmalıyız?

(14)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

Üç pozitif reel sayının toplamlarının 3 e bölümü AO, çarpımlarının küp kökü GO,

ve 3 ün çarpmaya göre tersleri

toplamına bölümü HO’yu hesaplayalım.

Sonra bunları sıralayalım.

(15)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

Örneğin sayılar 5, 8 ve 11 olsun;

Örneğin sayılar 7, 7 ve 7 olsun;

Küçükten büyüğe doğru sıralamayı nasıl yapmalıyız?

(16)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

Verilen örneklerden hareketle sizce,

AO, GO ve HO arasındaki sıralama için;

sıralamalarından hangisi daha uygun.

(17)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

Tanım: n tane pozitif reel sayının,

toplamlarının n e bölümüne “Aritmetik Orta”,

çarpımlarının n. dereceden köküne “Geometrik Orta”, n nin; sayıların çarpmaya göre tersleri toplamına

bölümüne de “Harmonik Orta” denir.

(18)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

Yani; için,

(19)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

Teorem:

Teorem: n tane pozitif reel sayının; n tane pozitif reel sayının;

aritmetik ortası AO, geometrik ortası GO ve aritmetik ortası AO, geometrik ortası GO ve

harmonik ortası HO arasında;

bağıntısı vardır.

Yani ; için,

dir.

(20)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

İspat:

İspat: Eşitsizliği iki parçaya ayıralım: Eşitsizliği iki parçaya ayıralım:

(21)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

İspat:

“n tane pozitif reel sayının çarpımları 1 ise toplamları n den büyük ya da eşittir” teoremi gereğince;

I:

(22)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

İspat:

İspat: ( I devam)( I devam) I:

Bu eşitsizliğe, Aritmetik-Geometrik Eşitsizliği denir.

(23)

Tümevarım Tümevarım (Eşitsizlikler) (Eşitsizlikler)

İspat:

II:

sayılarına Aritmetik-Geometrik Eşitsizliğini uygulayalım.

her iki tarafın çarpmaya göre tersini alalım:

Böylece ispat tamamlanır.

Nerede Alkışım…?

(24)

Tümevarım Tümevarım

( Eşitsizlik Uygulamaları ) ( Eşitsizlik Uygulamaları )

Soru:

Çözüm:

Yani; bulunur.

(25)

Tümevarım Tümevarım

( Eşitsizlik Uygulamaları ) ( Eşitsizlik Uygulamaları )

Soru:

Çözüm:

Eşitsizlikleri taraf-tarafa çarpalım:

(26)

Tümevarım Tümevarım

( Eşitsizlik Uygulamaları ) ( Eşitsizlik Uygulamaları )

Soru:

Çözüm:

(27)

Tümevarım Tümevarım

( Eşitsizlik Uygulamaları ) ( Eşitsizlik Uygulamaları )

Soru:

Çözüm:

(28)

Tümevarım Tümevarım

( Eşitsizlik Uygulamaları ) ( Eşitsizlik Uygulamaları )

Soru:

Çözüm:

(29)

Tümevarım Tümevarım

( Eşitsizlik Uygulamaları ) ( Eşitsizlik Uygulamaları )

Soru:

Çözüm:

(30)

Tümevarım Tümevarım

( Eşitsizlik Uygulamaları ) ( Eşitsizlik Uygulamaları )

Soru:

Çözüm: