P∞ n=1an pozitif terimli bir seri ise P∞ n=1(ean − 1) yakınsaktır ⇐⇒P∞ n=1an yakınsaktır

MT 241 Analiz 3 Sorular 7 Seriler

1. P xn mutlak yakınsak bir seri ve (yn) sınırlı bir dizi ise, P(xnyn) nin de mutlak yakınsak bir seri oldu˘gunu g¨osterin.

2. * (x_n) yakınsak bir dizi ve f : N → N bir e¸sleme (1-1 ve ¨orten bir fonksiyon) olsun. ∀n ∈ N i¸cin yn = xf (n) olarak tanımlayalım. lim xn = lim yn oldu˘gunu g¨osterin.

3. * ¨Onceki sorudaki iddiayı, (x_n) has ıraksak iken de kanıtlayınız.

4. P∞

n=1a_n pozitif terimli bir seri ise P∞

n=1(e^an − 1) yakınsaktır ⇐⇒P∞

n=1a_n yakınsaktır.

5. P∞

n=1a_n pozitif terimli bir seri ise P∞

n=1ln (1 + a_n) yakınsaktır ⇐⇒ P∞

n=1a_n yakınsaktır.

6. A¸sa˘gıdaki serilerin yakınsaklıklarını inceleyiniz. (p,α ∈ R ve α > 1) (a) P∞

n=2 1 (ln n)^α

(b) P∞ n=2

1 (ln n)^{ln n}

(c) P∞ n=2

1 (ln n)ⁿ

(d) P∞ n=1

ln n n^α

(e) P∞ n=1

√n+1−√

√ n n

(f) P∞ n=1

n!

3·5···(2n+1)

(g) P∞ n=1

(n!)² (2n)!

(h) P∞

n=1n ln 1 +_n¹p

(i) P∞

n=1

2·4···(2n) 3·5···(2n+1)

(j) P∞ n=1

2·4···(2n) 5·7···(2n+3)

(k) P∞ n=1

1 n√

n+1

(l) P∞ n=1(√ⁿ

a − 1) (a > 1) (m) P∞

n=1

n2√

a − 1
(a > 1) (n) P∞

n=1

p _n

n+1

(o) P∞ n=1

n!

nⁿ

(p) P∞ n=1

n e^√n

(q) P∞ n=1

ln n e^√n

(r) P∞ n=1

1 n^{1+ 1n}

(s) P∞ n=1(√ⁿ

n − 1) (t) P∞

n=1(√ⁿ

n − 1)ⁿ (u) P∞

n=1a^{ln n}

1