Her reel sayının ikinci kuvveti pozitif olduğundan reel sayılarda x 2  16  0 şeklindeki denklemlerin çözümü yapılamaz. Çünkü;

KARMAŞIK SAYILAR

I. Karmaşık Sayılar Kümesi

Her reel sayının ikinci kuvveti pozitif olduğundan reel sayılarda x 2  16  0 şeklindeki denklemlerin çözümü yapılamaz. Çünkü;

2 16 x 0 2 16

x     

olup karesi – 16 olan hiçbir reel sayı yoktur. O halde bu şekildeki denklemlerin çözümü için daha büyük bir sayı sistemine gereksinim vardır.

2 1

i   olan i sayısını düşünelim. İ sayısı reel sayı değildir.

Tanım

 1 sayısına sanal (imajiner) sayı birimi denir. i   1 şeklinde gösterilir. i 2   1 dir.

Örnek:

i 1 

 olmak üzere  5  5 .  1  5 i. dir.

Örnek:

i 1 

 olmak üzere   ^{ 3 2} sayısının eşitini bulalım.

Çözüm:

i.

3 1 . 3

3   

 olduğuna göre,

      ^{ 3 2  3 i. 2  3 2 i. 2  3 .    1   3 tür.}

Örnek:

i 1 

 olmak üzere,

i.

3 3 

 ve  27  27 i. olduğuna göre,

  ^{1 9}

. 2 9 i.

81 i.

27 .i . 3 27 .

3       

 dur.

Örnek:

Aşağıda bazı sayıların sanal sayı birimi ile yazılışları verilmiştir.

i.

3 1 . 9

9   



i.

2 1 . 2

2   



i.

3 2 i.

12 1 . 12

12    



i.

5 1 . 25

25   



i.

5 5 i.

75 1 . 75

75    



i.

3 3 1 . 27

27   



i.

2 3 1 . 18

18   



i.

2 4 1 . 32

32   



Uyarı

a ve b pozitif reel sayı ve x, y negatif reel sayı olmak üzere, b

. a b .

a  dir.

y . x y .

x  dir.

A. Sanal Sayının Kuvvetleri

i 1 

 ve i 2   1 olmak üzere, aşağıda sanal sayı biriminin bazı kuvvetleri verilmiştir. İnceleyiniz.

0 1 i 

1 i i 

2 1 i  

i i ).

1 ( 2 i.

3 i

i     

1 ) 1 ).(

1 2 ( 2 i.

4 i

i     

i i.

1 4 i.

5 i

i   

1 i.i 5 i.

6 i

i    

Görüldüğü gibi sanal sayı birimi i’nin kuvvetleri;

1, i, -1, -i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Örnek:

i 1 

 olmak üzere, i ³⁵ sayısının eşitini bulalım.

Çözüm:

3 i

i   ve i 4  1 olduğundan 35  4 . 8  3 olmak üzere,

  ^{i 4 8 i. 3 1 8 .( )i i}

3 8 . i 4

i 35        dir.

Örnek:

i 1 

 olmak üzere, i  ¹⁸ sayısının eşitini bulalım.

Çözüm:

2 1

i   ve i 4  1 olduğundan  18  4 .(  5 )  2 olmak üzere,

  ^{i 4 5 i. 2 1 5 .( 1 ) 1}

3 ) 5 .(

i 4

i 18      

 

 

 dir.

Sonuç

Sanal sayı biriminin ( i’in ) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,

Kalan 0 ise, i ^x ifadesinin eşiti 1 dir. 

 

 

 _i ^{4 k  0} _{ 1}

Kalan 1 ise, i ^x ifadesinin eşiti i dir.    4 k  1 _ i   

i

Kalan 2 ise, i ^x ifadesinin eşiti -1 dir.    _i ^{4 k  2} _{  1}   

Kalan 3 ise, i ^x ifadesinin eşiti –i dir. 

 

 

 _i ^{4 k  3} _{  i}

Örnek:

2719 sayısının 4 ile bölümünden kalan 3 tür.

Buna göre, i 2719  i 3   i dir.

Örnek:

Aşağıda sanal sayının bazı kuvvetleri hesaplanmıştır.

İnceleyiniz.

2 1 7 . i 4

i 30    

3 i 117 . i 4

i 471    

0 1 5 . i 4

i 20   

2 1 ) 9 .(

i 4

i  34     

1 i 30 . i 4

i 121   

2 1 498 . i 4

i 1994    

3 i 501 . i 4

i 2007    

2 1 ) 39 .(

i 4

i 154    

 

Örnek:

i 2 i. 7 17 2 i

2    işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

i 2 3 1 . i. 4 1 2 4 . i 4 2 2 7 i i.

17 2 i

2         

 2  i  i  (  1 )  1 bulunur.

Örnek:

7 x 2 3 x 3 2 x 4 ) x (

P     polinomu veriliyor.

)i (

P değerini bulunuz..

Çözüm:

7 i 3 ) 1 .(

2 )i .(

4 7 i.

2 3 i.

3 2 i.

4 ) x (

P          

  4 i  2  3 i  7   i  9

B. Karmaşık Sayı Tanımı R

b ,

a  birer reel sayı ve i   1 olmak üzere z  a  b i.

şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık sayı (komplex sayı) denir.

Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

Buna göre,

} 1 i , R b , a ,i . b a z / z {

C       dir.

Örnek:

i.

5

3  , i.

4

2  1 _,  3  3 i. ,

i.

5

0  , 7  0 i. , 0  0 i. birer karmaşık sayıdırlar.

Tanım i.

b a

z   karmaşık sayısında a reel sayısına karmaşık sayının reel kısmı, b reel sayısına karmaşık sayısının sanal kısmı denir.

Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Örnek:

i.

6 12

z   karmaşık sayısı için, 12

) z

Re(  ve İm ( z )   6 dır.

Örnek:

i.

18

z  karmaşık sayısı için, 0

) z

Re(  ve İm ( z )  18 dir.

Örnek:

17

z  karmaşık sayısı için, 17

) z

Re(  ve İm ( z )  0 dır.

Örnek:

i.

5 1 3

z   karmaşık sayısında,

3 1 ) z

Re(  , ) 5

z 1 (

İm  tir.

4 i.

2 1

z 2   karmaşık sayısında, 2

2 ) z

Re(  ,

4 ) 1 z 2 (

İm   tür.

i.

3 3 3

z    karmaşık sayısında 3

3 ) z

Re(   , ) 3

z 3 (

İm  tür.

i.

4 5

z  karmaşık sayısında 0

4 ) z

Re(  , ) 5

z 4 (

İm  tir.

5 7

z  karmaşık sayısında 7

5 ) z

Re(  , ) 0

z 5 (

İm  dır.

Örnek:

2 i.

6

z  4  karmaşık sayısının reel ve sanal kısımlarını bulalım.

Çözüm:

i.

3 2 2

i.

6 2 4 2

i.

6

z 4     

 olup,

2 ) z

Re(  , İm ( z )  3 bulunur.

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani R  C dir.

Örnek:

 4 reel sayısı  4  0 i. karmaşık sayısına eşittir.

C. İki Karmaşık Sayının Eşitliği

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural i.

b 1 a

z   ve c d i.

z 2   _olsun.

z 2

z 1  ise a  c ve b  d dir.

Örnek:

1

i   olmak üzere z  2 2  7 i. ve w  4  7 i. karmaşık sayılarının reel ve imajiner kısımları birbirine eşit

olduğundan bu iki karmaşık sayı eşittir.

Buna göre z  w dir.

Örnek:

1

i   olmak üzere z  7  3 i. ve w  7  3 i. karmaşık sayılarının reel kısımları birbirine eşit fakat imajiner kısımları birbirine eşit olmadığından bu iki karmaşık sayı eşit değildir.

Buna göre z  w dir.

Örnek:

i ).

b a ( 1 8

z    ve a b 24 i.

z 2    karmaşık sayıları veriliyor.

z 2

z 1  olduğuna göre a 2  b ² ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

8 1 ) z

Re(  , ) a b

z 1 (

İm   dir.

b a 2 ) z

Re(   , ) 24

z 2 (

İm  tür.

z 2

z 1  olduğundan

8 b ve 16 a 24 b a

8 b

a  









 

 bulunur.

Buna göre,

320 64 2 256

2 8 2 16 2 b

a       bulunur.

Örnek:

i 2 3 a 1 4

z    ve 5 7 i bi

z 2    karmaşık sayıları veriliyor.

z 2

z 1  olduğuna göre a  b toplamı kaçtır?

Çözüm:

3 a 4 1 ) z

Re(   , ) 2

z 1 (

İm  dir.

5 2 ) z

Re(  , ) b 7

z 2 (

İm   dir.

z 2

z 1  olduğundan

5 b ve 2 a 7 7 b

5 3 a

4   









 

 bulunur.

Buna göre,

3 ) 5 ( 2 b

a       bulunur.

Örnek:

1

i   olmak üzere z  2 x  3 i  ( x  y ). i ve i.

6 8 y

w    karmaşık sayıları veriliyor.

w

z  olduğuna göre x . y kaçtır?

Çözüm:

i ).

4 y ( x 2 i ).

1 y ( i 3 x 2

z        olup,

x 2 ) z

Re(  , İm ( z )  y  4 tür.

i.

6 8 y

w    ise, 8 y ) w

Re(   , İm ( w )   6 dır.

w

z  olduğundan

10 y ve 1 -10 x

y

8 y - 2x 6 4 y

8 y x

2    















 



 

 bulunur.

Buna göre,

10 ) 10 ).(

1 ( y .

x     bulunur.

D. Reel Kökü Olmayan 2.Dereceden Bir Denklemin Sanal Kökleri

a , b ve c birer reel sayı olmak üzere ax 2  bx  c denklemine 2. dereceden reel katsayılı denklem denir.

Bu denklemin   b 2  4 ac olmak üzere;

1)   0 olduğunda iki farklı reel kökü vardır.

Bu kökler sırasıyla;

a 2 b

x 1   

 ve

a 2 b

x 2   



2)   0 olduğunda birbirine eşit olan iki reel kök vardır.

Bu kökler;

a 2

b x 1 

 ve

a 2

b

x 2 

 dır.

3)   0 olduğunda denklemin reel kökü yoktur.

Reel kök olmaması durumunda;   0 olduğundan

 0



 olup denklemin iki farklı sanal kökü vardır.

Bu kökler sırasıyla;

a 2 b

x 1   

 ve

a 2 b

x 2   

 bulunur.

Örnek:

5 x 2 2

x   denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm:

16 20 4 5 . 1 . 2 4 ) 2 ( ac 2 4

b        



 bulunur.

 0

 olduğunda denklemin reel kökü yoktur.

O halde iki farklı komplex kök vardır.

Bunlar;

i 2 2 1

i 4 2 1

. 2

16 ) 2 ( a

2 b

x 1   

 





 





 

i 2 2 1

i 4 2 1

. 2

16 ) 2 ( a

2 b

x 2   

 





 





  dir.

Örnek:

7 x 2 4

x   denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm:

12 28 16 7 . 1 . 2 4 ) 4 ( ac 2 4

b        



 bulunur.

 0

 olduğunda denklemin reel kökü yoktur. O halde iki farklı komplex kök vardır. Bunlar;

i 3 2 2

i.

3 2 4 1

. 2

12 ) 4 ( a

2 b

x 1   

 





 





 

i 3 2 2

i.

3 2 4 1

. 2

12 ) 4 ( a

2 b

x 2   

 





 





 

bulunur.

E. Karmaşık Sayıların Analitik Düzlemde Belirtilmesi Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının;

i.

b a

z   şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi, Z ( a , b ) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

Örnek:

i.

2 1 3

z    , 3 3 i.

z 2   , 4 2 i.

z 3    karmaşık sayılarını sayı doğrusunda gösterelim.

Örnek:

i.

7 ) 2 a 1 (

z    karmaşık sayısının sanal eksen üzerinde,

i ).

3 8 b ( 2 5

z    karmaşık sayısının reel eksen üzerinde yer alması için a + b toplamı kaç olmalıdır?

Çözüm:

Sanal eksen üzerindeki karmaşık sayıların reel kısımları sıfırdır.

Reel eksen üzerindeki karmaşık sayıların sanal kısımları sıfırdır.

Buna göre; b 3  8  0  b  2 olur.

O halde a  b  2  2  4 tür.

Uyarı

Karmaşık sayılar; düzlemdeki noktalar olduğundan sıralama özelliği yoktur. Yani karmaşık sayılarda büyüklük veya küçüklük sıralaması yoktur.

F. Karmaşık Sayıların Eşleniği 1

i   olmak üzere z  a  b i. karmaşık sayısı verilmiş olsun. Bu karmaşık sayının sanal kısmının işaretini değiştirmekle elde edilen a  b i. karmaşık sayısına

i.

b a

z   karmaşık sayısının eşleniği denir ve z  a  b i.

biçiminde gösterilir.

Örnek:

i.

2 1 5

z   sayısının eşleniği, 5 2 i.

z 1   dir.

i.

3 2 8

z    sayısının eşleniği, 8 3 i.

z 2    dir.

i.

3 2

z  sayısının eşleniği, 0 2 i. 2 i z 3     dir.

4 6

z  sayısının eşleniği, 6 0 i. 6 z 4    dır.

Örnek:

i.

3 2

z   karmaşık sayısının eşleniğini bularak komplex düzlemde gösteriniz.

Çözüm:

Şekilden görüldüğü gibi i.

3 2

z   olup z karmaşık sayısı ile onun eşleniği olan z karmaşık sayısı reel eksene göre

simetriktirler.

Sonuç i.

y

x  karmaşık sayısı ile eşleniği olan x  y i. sayısı reel eksene göre (Ox eksenine göre) simetriktir.

Örnek:

3 2

z   sayısının eşleniği z  2  3 dir

Örnek:

i.

2 5

z   karmaşık sayısının eşleniğinin eşleniğini bulalım.

Çözüm:

  ^{z 5 2 i}

i.

2 5 z i.

2 5

z        

Sonuç

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği karmaşık sayının kendisine eşittir.

i.

b a

z   ise z  a  b i. olup   ^{z  a  b i.  z dir.}

G. Karmaşık Sayıların Mutlak Değeri (Modülü)

Bir karmaşık sayının eşlendiği noktanın orjine (başlangıç noktasına) olan uzaklığına o karmaşık sayının modülü (mutlak değeri) denir. z  a  b i. karmaşık sayısının modülü z ile gösterilir.

Yandaki taralı üçgene pisagor bağıntısı uygulanırsa

b 2 a 2 2 z

2 b 2 a

z     

bulunur.

O halde bir karmaşık sayının modülü reel ve komplex kısımlarının kareleri toplamının karekökü ile bulunur.

Örnek:

i.

3 4

z   karmaşık sayısının modülünü bulalım.

Çözüm:

5 2 25

2 3 2 4 2 b a

z       bulunur.

Örnek:

i.

4 2

z    karmaşık sayısının ile eşleniğinin modülünü bulalım.

Çözüm:

5 2 2 20

2 4 ) 2 (

z      bulunur.

i.

4 2 z i.

4 2

z        olup

5 2 2 20

) 4 2 ( ) 2 (

z      

Sonuç

Bir karmaşık sayının modülü ile eşleniğinin modülü birbirine eşittir.

Yani z  z dir.

Örnek:

z ) z (

f  ve g ( x )  2 x  1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre )i

4 3 )(

gof

(  kaçtır?

Çözüm:

2 5 2 4 3 i.

4 3 )i 4 3 (

f       tir.

11 1 5 . 2 ) 5 (

g    olup, 11 ) 5 ( g )) i 4 3 ( f ( g )i 4 3 )(

gof

(      bulunur.

Sonuç

Bir karmaşık sayının mutlak değeri (modülü) negatif olamaz.

Yani z  0 dır.

Örnek:

1

i   olmak üzere z  cos x  2 i. ve 2 z  17

olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır?

Çözüm:

2 2 17 2 2 x 2 cos

z  17   

2 x 1 4 cos x 1 cos 2 4 4 17 2 x

cos      

 dir.

x 3 



 tür.

H. Karmaşık Sayılarda İşlemler 1) Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

1

i   olmak üzere, i.

b a

z   ve w  c  d i. karmaşık sayılarının toplamı i

).

d b ( ) c a ( )i . d c ( )i . b a ( w

z          dir.

Örnek:

1

i   olmak üzere, z  8  15 i. ve w   3  4 i.

karmaşık sayılarının toplamını bulalım.

Çözüm:

)i . 4 3 ( )i . 15 8 ( w

z      

^{ ( 8  3 )  ( 15  4 ). i  5  19 i.}

Örnek:

i.

5 3

z   , w   4 i. karmaşık sayıları için z  w toplamını bulalım.

Çözüm:

)i . 4 0 ( )i . 5 3 ( w

z     

^{ ( 3  0 )  ( 5  4 ). i  3  i}

2) Çıkarma İşlemi w z ) w (

z     olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

1

i   olmak üzere, i.

b a

z   ve w  c  d i. karmaşık sayılarının farkı i ).

d b ( ) c a ( )i . d c ( )i . b a ( w

z          dir.

Örnek:

1

i   olmak üzere, z  8  15 i. ve w   3  4 i.

karmaşık sayıları veriliyor. z  w farkını bulalım.

Çözüm:

)i . 4 3 ( )i . 15 8 ( w

z      

^{ ( 8  (  3 ))  ( 15  4 ). i}  11 11 i.

3) Çarpma İşlemi

2 1

i   olmak üzere, i.

b a

z   ve w  c  d i. karmaşık sayılarının çarpımı )i

. d c ).(

i.

b a ( w .

z   

^{ a . c  a . d i.  b . c i.  b . d . i.i}

^{ ( a . c  b . d )  ( a . d  b . c ). i} dir.

Örnek:

2 1

i   olmak üzere, z  8  15 i. olduğuna göre 2 . z , z

.i .

2 ve ( 2  i ). z sayılarını bulalım.

Çözüm:

i.

30 16 )i . 15 8 .(

2 z .

2     dir.

i.

16 2 30

i.

30 i.

16 )i . 15 8 .(

i.

2 z .i .

2        dir.

i. 2 15 i.

8 i.

30 16 )i . 15 8 ).(

i 2 ( z ).

i 2

(        

^{ 16  15  38 i.  1  38 i.}

Örnek:

1

i   olmak üzere, z  2  3 i. ve w  4  5 i. karmaşık sayıları veriliyor. z . w çarpımını bulalım.

Çözüm:

i. 2 15 i.

12 i.

10 8 )i . 5 4 ).(

i.

3 2 ( w .

z       

^{ 8  15  22 i.   7  22 i.}

Örnek:

)i 1 2 .(

)i . 2 3 (

z    karmaşık sayısının reel ve sanal kısımlarını bulalım.

Çözüm:

i.

12 5 )i . 2 3 ).(

i.

2 3 2 ( )i . 2 3

(       olup,

i.

17 7 )i 1 ).(

i.

12 5 ( )i 1 2 .(

)i . 2 3 (

z         

Örnek:

) 11 i 1 10 ( ) i 1 (

z     toplamını bulalım.

Çözüm:

i 2 2 i i i 1 )i 1 ).(

i 1 2 ( )i 1

(         

i 2 2 i i i 1 )i 1 ).(

i 1 2 ( )i 1

(          

    ^{( 1 )i 2 5 ( 1 )i 2 5 .( 1 )i}

)i 11 1 10 ( )i 1 (

z         

)i 1 5 .(

i ).

32 5 ( i.

5 32 )i 2 5 ( )i 2 (

     

 32 i.  32 i.  32 i. 2   32

Örnek:

1

i   olmak üzere, z  2  3 i. olduğuna göre, z nin eşleniği ile çarpımını bulalım.

Çözüm:

i. 2 9 i.

6 i.

6 4 )i . 3 2 ).(

i.

3 2 ( z .

z       

 4  9  13

Sonuç 1

i   ve z  a  b i. olmak üzere, z nin eşleniği ile çarpımı z

²

dir.

i. 2 b 2 i.

b . a i.

b . 2 a a )i . b a ).(

i.

b a ( z .

z       

 ^{a 2}  ^{b 2}  ^{z 2}

Örnek:

1

i   olmak üzere, z  5  3 i. olduğuna göre, z nin eşleniği ile çarpımını bulalım.

Çözüm:

i. 2 9 i.

15 i.

15 25 )i . 3 5 ).(

i.

3 5 ( z .

z       

^{ 25  9  34}

34 z 2 34

z 34 z .

z      tür.

Örnek:

1

i   olmak üzere, 4 .( 1 2 )i ⁴ )i

2 1

(   çarpımını bulalım.

Çözüm:

 ^{( 1 2 i ).( 1 2 i}  ⁴  ^{1 2 ( 2 )i 2}  ⁴

)i 4 2 1 4 .(

)i 2 1

(       

^   ^{1  4 i. 2 4  5 4  625}

Örnek:

1

i   olmak üzere, ( 1  )i ¹² işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

   ^{( 1 )i 2 6 1 2 i i 2}  ⁶

)i 4 2 1 12 .(

)i 1

(       

^  ^{1  2 i.  1}  ^{6  (  2 )i 6  64 i. 6}

 64 .(  1 )   64

Örnek:

i.

4 1 3

z   , 5 12 i.

z 2   karmaşık sayıları için z 2 1 .

z ve

z 2 1 .

z değerlerini hesaplayarak karşılaştıralım.

i.

56 33 )i . 12 5 ).(

i.

4 3 2 ( z 1 .

z      

 (  33 ) 2  56 2  65

12 2 5 2 2 . 2 4 3 i.

12 5 . i.

4 2 3 z 1 .

z      

^{ 5 . 13  65} olduğundan

z 2 1 . 2 z z 1 .

z  dir.

Örnek:

i.

8 1 i.

3 )i 1 .(

z      eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulalım.

Çözüm:

i.

b a

z   olsun.

i 3 )i 1 ).(

i.

b a ( i.

3 )i 1 .(

z      

 a  a i.  b i.  b i. 2  3 i.

 a  b  ( a  b  3 ). i

i.

8 1 i ).

3 b a ( b a i.

8 1 i.

3 )i 1 .(

z             

^{a 2 , b 3}

8 3 b a

1 b

a  











 

 



i.

3 2 i.

b a

z     bulunur.

Sonuç

z 1 ve

z 2 karmaşık sayıları için . z ₂ z 1 z 2 1 .

z  dir.

Çarpma İşleminde Ters Eleman Özelliği:

i.

b a

z   olsun. z sayısının çarpma işlemine göre tersi z  1 ile gösterilir. z . z  1  1 olmalıdır. Şimdi bu eşitlikten z  1 sayısını belirleyeceğiz.

z 1 i.

b a 1 1 z 1 1 z ).

i.

b a ( 1 1 z .

z 

 

 

 





  dir.

z 1 1

z   bulunur.

Örnek:

i 2

z   karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersi

olan z  ¹ sayısını bulalım.

Çözüm:

i 2

1 z 1 1

z     olup payda da komplex sayı bulunması tercih edilen bir durum olmadığından son eşitlikteki sayının pay ve paydası z  2  i sayısının eşleniği olan z  2  i ile çarpılarak payda reel sayı yapılmalıdır.

5 i.

1 5 2 5

i 2 )i 2 ).(

i 2 (

)i 2 .(

1 i 2

1 z 1 1

z   

 



 

 

 

bulunur.

O halde i.

5 1 5 1 2

z    dir

Örnek:

i.

2 3

z   karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersi olan z  ¹ sayısını bulalım.

)i . 2 3 ).(

i.

2 3 (

)i . 2 3 .(

1 i.

2 3

1 z 1 1

z  

 

 

 

^i.

5 2 5

3 2 3

i.

2

3  



  bulunur.

Örnek:

i 1

2 2 i z 5

 

  ise Re( z ) + İm( z ) toplamı kaçtır?

Çözüm:

i 3 1

i 1 i.

2 2 i 2 i

i.

2 4 i 5 ) 2 i( i 1

2 )i 1 ( i 2 z 5



 











 

 



 



Sayının pay ve paydası eşleniği ile çarpılırsa

5 i 2 5 1 10

i 4 2 9

1 i 2 3 i i 3 1 )i 3 1 )(

i 3 1 (

)i 3 1 ).(

i 1

z (     

 





 







 

5 3 5 2 5 ) 1 z ( İm ) z

Re(       bulunur

4) Bölme İşlemi

z 1 ve

z 2 birer karmaşık sayı olmak üzere 0 z 2  olsun.

) 1 z 2 1 .(

z  sayısına

z 1 in

z 2 ye bölümü denir ve z 2 z 1

ile gösterilir.

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ve paydanın paydanın eşleniği ile çarpılmasıyla yapılır.

Yani a b i.

z 1   ve c d i.

z 2   ise,

)i . d c ).(

i.

d c (

)i . d c ).(

i.

b a ( )i . d c ( c d i.

i.

b a z 2 z 1







 

 

  dir.

Örnek:

1

i   olmak üzere

i 3 4

i 2 z 3



  olduğuna göre z sayısını bulalım.

Çözüm:

Pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılırsa,

9 16

i 17 6 12 i 2 9 i 12 i 12 16

i 2 6 i 9 i 8 12 )i 3 4 ( 4 3 i

i 2 z 3





 











 

 

 

i

25 17 25

6 25

i 17

6   



Örnek:

i 1

i z 3



  ise Re( z  1 )  İm ( z  1 ) değeri kaçtır?

Çözüm:

i 2 2

i 2 4 i 2 i 2 i 1

i 2 i 3 i 3 )i 1 ( 1 i

i

z 3   

 









 

 

 

5 i.

1 5 2 5

i 2 1 4

i 2 )i 2 ( 2 i

1 z 1 1

z   

 

 

 



 

5 3 5 1 5 ) 2 z 1 ( İm 1 ) z

Re(       bulunur.

Örnek:

i 3

z   karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin eşleniğinin mutlak değeri kaçtır?

Çözüm:

4 i.

1 4

3 1 3

i 3

)i 3 (

i 3

1 z 1 1

z  



 



 

 

2 2 1 4 2 1 4 1 3 z 4 i.

1 4 1 3

z         



 



  



 



 



 





bulunur.

Örnek:

2004 i 1

i

z 1 



 







  sayısının reel kısmı kaçtır?

Çözüm:

2004 1

1 i 2 i i 1 2004

)i 1 ( 1 i

i

z 1  





 



























 

 

 

  ^{i 2004 1}

2004 2

i

 2   

 



 





5. Eşlenik ve Mutlak Değer İle İlgili Bazı Özellikler

z 1 ve

z 2 birer karmaşık sayı olmak üzere,

 z 1 z ₂

z 2

z 1    dir.

 z 1 z ₂

z 2

z 1    dir.

 z 1 . z ₂

z 2 1 .

z  dir.



z 2 z 1 z 2 z 1

 







 





dir.

 ) n ( z 1 ) ⁿ z 1

(  dir.

 z ₁

z 1 z 1

z 1      dir.

 z ₁ ²

z 1 .

z 1  dir.



z 2 z 1 z 2 z 1

 dir.

 ) ⁿ

z 1 n ( 1 ) z

(  dir.

 Her z  a  b i. karmaşık sayısı için

2 z ) z z

Re( 

 ve

i 2 z ) z z (

İm 

 dir.

Örnek:

i 3 4

i 2 z 3



  olduğuna göre z nin değerini bulalım.

Çözüm:

5 13 25 13 3 2 4 2

2 2 3 2 i 3 4

i 2

z 3  



 



  tir.

Örnek:

i 3 1

i 2 z 1



  olduğuna göre z nin eşleniğinin mutlak değerini bulalım.

Çözüm:

2 2 10

5 3 2 1 2

2 2 1 2 i 3 1

i 2 z 1

z  



 



 

 dir.

Örnek:

1

i   olmak üzere

i 3 2

)i 4 1 ).(

i 3 2 z (



 

  olduğuna göre

z  1 ifadesinin değerini bulalım.

Çözüm:

)i 4 1 ).(

i 3 2 (

i 3 2 1

i 3 2

)i 4 1 ).(

i 3 2 1 (

z   

 





 

 

  





 





i 4 1 . i 3 2

i 3 2 )i 4

1 ( . i 3 2

i 3 2

 



 

 



 

^{( 2 ) 4 4}

) 4 2 (

1 ) 4

2 .(

13

13  

 

 

Örnek:

2 i 2

z 1   ve i

3 8

z 2   karmaşık sayıları için 2 )

z 1 . z

Re( değerini bulalım.

Çözüm:

3 1 1 3 1 2 . 3 1 . 8 2 d 2 . b c . a 2 ) z 1 . z

Re(         tür.

Örnek:

10 z

z   ve z  z   4 i ise z karmaşık sayısını bulalım.

Çözüm:

2 5 10 2

z ) z z

Re(   

 ve

i 2 2

i 4 i 2

z ) z z (

İm       olduğundan,

i.

2 5 i.

b a

z     bulunur.

Örnek:

i.

2 3 3 

 ifadesinin değerini bulalım.

Çözüm:

3 . 3 i.

2 1 . 3 )i . 2 1 .(

3 i.

2 3

3        



bulunur.

Örnek:

)i 2 . 3 7

(  ifadesinin değerini bulalım.

Çözüm:

  ^{7 2 3 2 2}

i 2 3 2 7

)i . 3 7

( 



 



 







  7  9  16

bulunur.

Örnek:

 ^{2  2 i.}  ⁶ ifadesinin değerini bulalım.

Çözüm:

    ^{2 2 2 2 2}

i. 6 2 6 2

)i . 2 2

( 



 



  









 ^{2  2}  ^{6  2 6  64}

 bulunur.

Örnek:

i 1

z   ise z ⁵⁰ ifadesinin değerini bulalım.

Çözüm:

  ^{2 50 2 25}

2 50 ) 1 2 ( 50 1 50 z

z       

 

 

 _bulunur.

K. İki Karmaşık Sayı Arasındaki Uzaklık

1

i   olmak üzere a b i.

z 1   ve c d i.

z 2   olsun Bu sayılar arasındaki uzaklık komplex düzlemde bu sayıların görüntüleri arasındaki uzaklığa eşittir.

Bu uzaklığa k dersek şekildeki taralı dik üçgende pisagor bağıntısına göre;

) 2 d b 2 ( ) c a ( 2 k

) d b 2 ( ) c a 2 (

k          dir.

Bu karmaşık sayı arasındaki uzaklık;

) 2 d b 2 ( ) c a 2 ( 1 z

z      dir.

Örnek:

i.

4 1 2

z   ve 6 i.

z 2   ise bu karmaşık sayılar arasındaki uzaklığı bulalım.

Çözüm:

5 25 9 2 16

) 1 4 2 ( ) 6 2 2 ( 1 z

z          olur.

Örnek:

i.

2 1 1

z   ve 3 i

z 2    ise bu karmaşık sayılar arasındaki uzaklığı bulalım.

Çözüm:

5 25 9 2 16

)) 1 ( 2 2 ( )) 3 ( 1 2 ( 1 z

z           

bulunur.

Örnek:

1

i   olmak üzere z  6  5 i. ve w   1  i olduğuna göre karmaşık düzlemde z sayısına karşılık gelen noktanın,

w sayısına karşılık gelen noktaya uzaklığını bulalım.

Çözüm:

Karmaşık düzlemde z sayısına karşılık gelen noktanın, w sayısına karşılık gelen noktaya uzaklığı z  w dir.

2 65 2 4 7 i 4 7 )i 1 ( i 5 6 w

z           

II.Yol i.

5 6

z   ve w   1  i olduğuna göre z’ nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü A(6,5) ve w’nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü B(-1,1) dir.

z ile w arasındaki uzaklık, iki nokta arasındaki uzaklık formülünden,

65 16 2 49

) 1 5 2 ( )) 1 ( 6 ( w

z          olur.

Tanım

Aynı özellikleri taşıyan noktaların oluşturduğu kümeye, bu noktaların geometrik yeri denir.

Noktalar kümesinin geometrik yer olabilmesi için:

1. Verilen koşulu sağlayan tüm noktalar, geometrik yere ait olmalıdır.

2. Geometrik yere ait her nokta, verilen koşulu

Örnek:

1

i   ve z  x  y i. olmak üzere z  3 i  z olduğuna göre, z’nin karmaşık düzlemdeki geometrik yer denklemini bulunuz.

Çözüm:

i.

y x

z   olduğuna göre z  3 i  z ise,

y 2 x 2 ) 2 3 y 2 ( x yi x i 3 yi

x         

y 2 x 2 9 y 2 6 2 y

x     



2 y   3

 dir.

Bu eşitlik sanal eksene dik bir doğru belirtir. Bunun anlamı

2

y   3 doğrusu üzerindeki her sayı (nokta) z  3 i  z koşulunu sağlayan z sayısı olabilir.

Kural

Merkezi O(h,k) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi, r 2

) 2 k y 2 ( ) h x

(     dir.

Örnek:

2 25 ) 1 y 2 (

x    denklemini sağlayan ( x , y ) noktaları merkezi O ( 0 ,  1 ) ve yarı çapı 5 birim olan bir çemberdir.

Örnek:

1

i   ve z  x  y i. olmak üzere z  2  3 i  2 olduğuna göre, z’nin alabileceği değerleri karmaşık düzlemde gösterelim.

Çözüm:

i.

y x

z   ve z  2  3 i  2 olduğuna göre,

2 2 ) 3 y 2 ( ) 2 x ( 2 i 3 2 i.

y

x         

2 2 ) 2 3 y 2 ( ) 2 x

(    

 dir.

Bu eşitlik merkezi O (  2 , 3 ) ve yarı çapı 2 birim olan bir çemberdir.

Yandaki çember üzerindeki her sayı (nokta) z  2  3 i  2 koşulunu sağlayan z sayısı olabilir.

Sonuç i.

y x

z   , w  a  b i. iki karmaşık sayı ve r pozitif bir reel sayı olmak üzere,

1. z  w  r eşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.

2. z  w  r eşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çemberin iç bölgesindeki noktaların kümesini belirtir.

3. z  w  r eşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çemberin dış bölgesindeki noktaların kümesini belirtir.

Örnek:

3 )i 3 2 (

z    eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüleri olan noktaların kümesini belirtelim.

Çözüm:

i.

y x

z   olsun.

3 )i 3 2 (

z    eşitliği i.

y x

z   karmaşık sayılarının, i.

3 1 2

z   karmaşık sayısına uzaklıklarının 3 birim olduğunu gösterir.

Buna göre z  x  y i. karmaşık sayılarının düzlemdeki

görüntüleri, merkezi 2 3 i.

z 1   ve yarıçapı 3 birim olan çemberi oluşturur

Örnek:

3 1

z   eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüleri olan noktaların kümesini belirtelim.

Çözüm:

3 1

z   eşitsizliğini sağlayan noktaların kümesi, merkezi 1  0 . i ve yarıçapı 3 birim olan çemberin üzerindeki ve dışındaki noktalardan oluşur.

Örnek:

2 i

z   eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüleri olan noktaların kümesini belirtelim.

Çözüm:

2 i

z   ifadesini 2 )i 0 (

z    olarak düzenleyelim. z  ( 0  )i  2 eşitsizliğini sağlayan noktaların kümesi, merkezi ( 0 ,  1 ) ve yarıçapı 2 birim olan çemberin üzerindeki noktalar ile içindeki noktalardan oluşur.

Örnek:

2 i 3 2

z    eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüleri olan noktaların kümesini belirtelim.

Çözüm:

i.

y x

z   olmak üzere 2

i 3 2

z    ise 2 2 ) 2 3 y 2 ( ) 2 x

(     dir.

Bu eşitsizlik merkezi )

3 , 2 (

O  ve yarıçapı 2 birim olan çemberin iç bölgesini belirtir. Çember üzerindeki noktalar verilen eşitsizliği sağlamadığı için kesikli olarak

Örnek:

9 i 7 8

z    ise z  ( 8  7 )i  9 dur.

Bu eşitsizliği, merkezi O ( 8 ,  7 ) ve yarıçapı 9 br olan çember ve bu çemberin iç bölgesinde bulunan sayılar sağlar.

Örnek:

15 i 10 5

z    ise z  (  5  10 )i  15 dur.

Bu eşitsizliği, merkezi O (  5 , 10 ) ve yarıçapı 15 br olan çember ve bu çemberin dış bölgesinde bulunan sayılar sağlar.

II. Kutupsal Koordinat Sistemi ve Karmaşık Sayıların Kutupsal (Trigonometrik) Gösterimi

A noktasının başlangıç noktasına uzaklığı OA  r ,

OA ışınının Ox ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının ölçüsü de  olsun.

r ve  reel sayılarına A noktasının kutupsal koordinatları denir. Bu nokta A ( r ,  ) şeklinde gösterilir.

Düzlemde bir 0 başlangıç noktası ve bir 0x başlangıç ışını seçelim. O başlangıç noktasına kutup noktası, 0x başlangıç ışınına da kutup ekseni denir. Bir kutup noktası ve bir de kutup ekseninden oluşan koordinat sistemine kutupsal koordinat sistemi denir.

A noktasının kutupsal koordinatları ( r ,  ) ise r ye yarıçap bileşeni ve  ya açısal bileşen denir.

Kutupsal koordinatları ( r ,  ) olan A noktası )

2 , r

(    , ( r ,   4  ) , ( r ,   2  ) ,…. İkililerinden biri ile belirtilebilir.

Her k  Z için ) 2 . k , r

(    ikilisi A ( r ,  )

noktasının kutupsal

koordinatıdır. Buna göre

kutupsal koordinat

sisteminde, düzlemin bir

noktasına birden çok

kutupsal koordinat ikilisi

karşılık getirilebilir.

Örnek:

Kutupsal koordinatları A ( 3 , 30 o ) ve B ( 5 , 240 o ) noktalarını kutupsal koordinat düzleminde gösterelim.

A. Bir Noktanın Kartezyen Ve Kutupsal Koordinatları Arasındaki Bağıntılar

Bir A noktasının kartezyen koordinatları A ( a , b ) kutupsal koordinatları A ( r ,  ) olsun.

Yandaki şekilden;

b 2 a 2

r  









 a .r cos r

cos a









 b .r sin r

sin b olduğu görülür.

Örnek:

Kartezyen koordinatları ) 2

3 , 3 2 ( 3

A  olan A noktasının, kutupsal koordinatlarını yazalım.

Çözüm:

2 ) 3 , 3 2 ( 3

A  kutupsal koordinatları A ( r ,  ) ise

3 9 2 2

3 2 3

2 2 3 2 b a

r        



 



 



 



 _tür.

2 1 3 2 3 r cos   a  

2 3 3

2 3 3

r

sin b   





 olup,

Kosinüsü 2

1 ve sinüsü 2

 3 olan açı 4. bölgede olup

ölçüsü 3

 5

 tür.

O halde A noktasının kutupsal koordinatları

3 ) , 5 3 (

A 

olur .

Örnek:

Kutupsal koordinatları ) 3 , 2 4 (

A  olan A noktasının, kartezyen koordinatlarını yazalım.

Çözüm:

2 2 . 1 3 4 cos 2 . 4 cos .r

a     





 



 



 _ve

3 2 2 . 3 3 4 sin 2 . 4 sin .r

b   





 olup

A noktasının kartezyen koordinatları

) 3 2 , 2 (

A  olarak bulunmuş olur.

B. Bir Karmaşık Sayının Kutupsal Koordinatları

Komplex düzlemde A ( a , b ) noktasına eşlenen z  a  b i.

karmaşık sayısının yeri r

z

OA   ve s ( H Oˆ A )   dır.

A noktası ^A   ^{z , } ikilisiyle belirlenir.

Yukarıdaki şekildeki üçgende b 2

a 2

z   ,









 b z . sin z

sin b ,









 a z . cos z

cos a

a ve b yerine değerleri yazılarak

    













 a b i. z . cos z . sin i. z . cos .i sin

z yazılır.

Üçgendeki  açısının ölçüsü olarak k  Z ve







 2 k

0 olmak üzere   2 k  sayılarından herhangi biri alınabilir.  ya bu açının esas ölçüsü denir.

Tanım





 2 k sayılarına z  a  b i. karmaşık sayısının argümentleri denir.







 2 k )

z

arg( yazılır. 0    2 k  olmak üzere  ya bu açının esas argümenti denir. arg( z )   yazılır.

Örnek:

Kutupsal koordinatları ) 3 , 5 6

( 

olan karmaşık sayıyı standart biçimde yazalım.

Çözüm:

Kutupsal koordinatları ) 3 , 5 6

( 

olan karmaşık sayının mutlak değeri (modülü) 6 ve argümenti

3 5 tür.

Buna göre,

  _



 



 ^ _ ^









 3

sin 5 3 .i cos 5 . 6 sin .i cos . z z

2 i.

18 2

6 2

.i 3 2 . 1 6

  



 



 



 bulunur.

Örnek:

i.

3 1

z   sayısını kutupsal biçimde yazalım.

Çözüm:

2 2 4

) 3 2 ( 2 1 2 b a

z      

2 1 z

cos   a  ve

2 3 z

sin   b 

Kosinüsü 2

1 ve sinüsü 2

3 olan açı 1. bölgede olup ölçüsü

3

 

 tür.

O halde   

 2 k ) 3

z

arg( olup esas argümenti

) 3 z

arg( 

 tür.

i.

3 1

z   sayısının kutupsal biçimi;

  _



 



 ^ _ ^









 .i sin 3

cos 3 . 2 sin .i cos . z

z tür.

Z

k  olmak üzere

 

 



    ^ _{ }    _    ^ _{ }   

 2 k

sin 3 .i k 3 2 cos . 2

z tür.

Örnek:

i.

2 2

z   sayısını kutupsal biçimde yazalım.

Çözüm:

2 2 2 ) 2 2 ( 2 2 2 b a

z      

2 2 2 2

2 z

cos   a   ve

2 2 2 2

2 z

sin b   





